奥数培优第9讲 列表逆推法与多变量还原专项 讲义-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】四年级下册奥数培优·第9讲 列表逆推法与多变量还原专项讲义前言 教学目标 波利亚说："解题是一种实践性技能，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它。" 上一讲我们学习了还原问题的基本思想——倒推法，知道了“知道结果，求原来”的问题可以用倒推法解决。今天，我们要学习更复杂的还原问题——列表逆推法与多变量还原！ 你有没有遇到过这样的问题： 一堆棋子，分了好几次，最后剩下几个，问原来有多少个？ 三堆苹果，互相转移，最后一样多，问原来各有多少个？ 兄弟三人分桔子，互相给来给去，最后一样多，问原来各有多少个？ 这些问题看起来很复杂，变量多、操作多，很容易搞混。但是只要我们掌握了列表逆推法，就能把复杂的问题变得清晰明了！ 列表逆推法的核心思想是：把每一步的变化都列在表格里，从后往前一步步倒推。就像看电影倒放一样，从结尾倒着看到开头，就能知道最初是什么样子！ 准备好了吗？让我们一起探索列表逆推法的奥秘吧！ 知识与技能 理解较复杂还原问题的特点（多次操作、多变量）;掌握列表逆推法的解题步骤;能运用列表法解决多次操作型还原问题;能运用列表法解决多变量分配型还原问题;掌握"从后往前、逆运算"的倒推思维; 过程与方法 通过列表整理，培养有序思考的习惯;经历"结果→过程→原来"的倒推学习过程;培养用表格整理信息的能力;体会"化繁为简、逆向思维"的数学思想 情感态度与价值观 感受逆向思维的神奇，激发数学学习兴趣;培养有条理、循序渐进的思维习惯;体会数学方法在解决复杂问题中的价值;增强用数学方法解决问题的信心。 教学重难点 重点： 列表逆推法的基本步骤（从后往前、逆运算） 多次操作型还原问题的解法 多变量分配型还原问题的解法 用表格清晰地展示每一步的变化 难点： 如何正确地进行逆运算（加变减、减变加、乘变除、除变乘） 多变量互相转移时，每一步哪些量变了、哪些没变 "拿出一半平分给别人"这类操作的逆推 列表时的顺序和对应关系 【高频易错总提示】 同学们，在学习列表逆推法时，最容易出错的地方有这几个，一定要注意哦！ 1. 逆运算搞反：倒推时，加要变减、减要变加、乘要变除、除要变乘，不能搞反！ 2. 顺序搞反：一定要从最后一步开始往前推，不能从第一步往后推！ 3. 多变量时搞混谁变了：每次操作只有部分量变了，没变的量要保持不变！ 4. "一半"的逆推错："拿出一半"倒推时要乘以2，不是除以2！ 5. 忘记验算：倒推完一定要正向验算一遍，确保正确！ 一、知识点总结 （一）什么是复杂还原问题？ 复杂还原问题：就是比基本还原问题更复杂的"知道结果、求原来"的问题，通常特点是： 操作次数多（同一个量变了好几次） 变量个数多（有好几个量在互相变化） 变化关系复杂（"拿出一半平分给别人"这类操作） 核心思想：还是倒推法——从结果出发，用逆运算一步步往前推。 关键方法：列表法——把每一步的变化都列在表格里，清晰明了，不容易搞混。 （二）列表逆推法的基本规则 倒推时，每一步都要做逆运算： 原来的操作（正向） 倒推时的操作（逆向） 加上一个数 减去这个数 减去一个数 加上这个数 乘以一个数 除以这个数 除以一个数 乘以这个数 拿出一半 乘以2 增加一个 减去一个 （三）三大常考题型 题型 特点 解题关键 多次操作型 同一个量，经过多次相同或不同的操作，求原来的值 从最后一次操作开始，一步步往前逆推 多变量分配型 有好几个量，互相转移，最后都相等或已知，求原来各是多少 列表法，每一步看清楚哪些量变了、哪些没变 一半平分型 "拿出一半平分给别人"这类操作，涉及多个变量的变化 搞清楚"拿出一半"后自己剩多少，别人各得到多少 （四）通用解题四步法（速记：找→列→推→验） 1. 找：找到最后的结果，确定有几个变量 2. 列：列出表格，把最后的结果填在最后一行 3. 推：从后往前，用逆运算一步步推算每一步之前的状态 4. 验：正向验算一遍，从原来的状态按题目操作一遍，看结果是否一致 小技巧集锦： 1. 列表时，每一步只看这一步操作，其他不变的量直接抄下来 2. "拿出一半平分给两个人"→ 自己剩一半，两个人各得到四分之一 3. 多变量问题，最后如果都相等，先算出来最后每个是多少（总数÷个数） 4. 倒推完一定要正向验算！这是避免错误的最好方法！ 5. 数字比较大时，列表更清晰，不容易算错 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 多次四等分棋子】★基础 【题目】 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？ 【解题思路】 这道题是典型的多次操作型还原问题。棋子一共被分了三次，每次都是"四等分剩1枚，取走三份又1枚"。 题目问"原来至少有多少枚"，说明最后一次四等分时，每份的棋子数要尽可能少。最少的情况是每份1枚。 我们从最后一次开始，一步步往前倒推。 【完整解析】 第一步：确定最后一次的情况 题目问"至少有多少枚"，所以最后一次四等分时，每份最少是1枚。 第二步：从后往前倒推 第三次分之前（第二次分之后）： 四等分后每份1枚，还剩1枚 分之前有：1×4 + 1 = 5（枚） 第二次分之前（第一次分之后）： 四等分后每份5枚，还剩1枚 分之前有：5×4 + 1 = 21（枚） 第一次分之前（原来）： 四等分后每份21枚，还剩1枚 分之前有：21×4 + 1 = 85（枚） 第三步：列表整理 次数 分之前棋子数 每份棋子数 剩下棋子数 第三次 5枚 1枚 1枚 第二次 21枚 5枚 1枚 第一次 85枚 21枚 1枚 第四步：正向验算 原来85枚棋子： 第一次：85枚四等分，每份21枚，剩1枚；取走三份又1枚（21×3+1=64枚），剩下85-64=21枚 ✓ 第二次：21枚四等分，每份5枚，剩1枚；取走三份又1枚（16枚），剩下5枚 ✓ 第三次：5枚四等分，每份1枚，剩1枚；取走三份又1枚（4枚），剩下1枚 ✓ 三次分完都符合"四等分剩1枚"的条件，正确！ 答：原来至少有85枚棋子。 随堂小练1 有一堆苹果，把它三等分后剩下2个，取走两份又2个；剩下的再三等分又剩2个。问：原来至少有多少个苹果？ 【方法总结】 多次操作型还原问题解题步骤： 1. 找结果：找到最后一次操作后的结果 2. 定顺序：从最后一次操作开始，从后往前推 3. 逆运算：每一步都用逆运算（加变减、减变加、乘变除、除变乘） 4. 列表格：把每一步的结果列在表格里，清晰明了 5. 验算：正向验算一遍，确保正确 注意："至少有多少"的问题，最后一次的每份数量要取最小值（通常是1）。 【例2 拿一半放回一个球】★★提升 【题目】 袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？ 【解题思路】 这道题也是多次操作型还原问题。每次操作都是"拿出一半，再放回一个"。 我们从最后一次操作后的结果（3个球）开始，一步步往前倒推。 关键是搞清楚"拿出一半再放回一个"的逆运算是什么。 【完整解析】 第一步：分析操作的逆运算 正向操作：拿出一半，再放回一个 也就是：原来的数量 → 除以2 → 加1 → 操作后的数量 逆运算：操作后的数量 → 减1 → 乘以2 → 原来的数量 （先减1：把放回去的那个拿出来；再乘2：把拿走的一半补回来） 第二步：从后往前倒推 第5次操作后：3个 第5次操作前：(3 - 1) × 2 = 4个 第4次操作后：4个 第4次操作前：(4 - 1) × 2 = 6个 第3次操作后：6个 第3次操作前：(6 - 1) × 2 = 10个 第2次操作后：10个 第2次操作前：(10 - 1) × 2 = 18个 第1次操作后：18个 第1次操作前（原来）：(18 - 1) × 2 = 34个 第三步：列表整理 操作次数 操作后数量 操作前数量 第5次 3个 4个 第4次 4个 6个 第3次 6个 10个 第2次 10个 18个 第1次 18个 34个 第四步：正向验算 原来34个球： 第1次：拿出一半17个，放回1个 → 34-17+1 = 18个 ✓ 第2次：拿出一半9个，放回1个 → 18-9+1 = 10个 ✓ 第3次：拿出一半5个，放回1个 → 10-5+1 = 6个 ✓ 第4次：拿出一半3个，放回1个 → 6-3+1 = 4个 ✓ 第5次：拿出一半2个，放回1个 → 4-2+1 = 3个 ✓ 最后正好是3个，正确！ 答：袋中原有34个球。 随堂小练2 有一筐梨，每次拿出其中的一半再放回1个梨，这样操作了4次，筐里还有5个梨。问：筐里原来有多少个梨？ 【方法总结】 "拿一半放回一个"型还原问题解题关键： 1. 逆运算顺序：先减1（拿回放回去的那个），再乘2（补回拿走的一半） 2. 顺序不能搞反！不能先乘2再减1 3. 列表法更清晰，每一步的结果都列出来 4. 一定要正向验算，确保正确 口诀：拿一半，放一个，倒推时，先减一，再乘二。 【例3 三堆苹果互相转移】★★提升 【题目】 三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？ 【解题思路】 这道题是多变量分配型还原问题。有三堆苹果，互相转移，最后三堆相等。 我们先算出最后每堆有多少个（48÷3=16个），然后从最后一步开始，用列表法一步步往前倒推。 关键是：每一步操作，只有两堆发生了变化，第三堆是不变的。 【完整解析】 第一步：算出最后每堆的数量 三堆苹果共48个，最后三堆相等，所以每堆有：48 ÷ 3 = 16（个） 第二步：从后往前倒推 最后状态（第三次操作后）： 第一堆16个，第二堆16个，第三堆16个 第三次操作：从第三堆拿出与此时（第二次操作后）第一堆个数相等的苹果并入第一堆 这次操作是第三堆给第一堆，给的数量等于第一堆当时的数量。 第一堆得到和自己一样多的数量，所以第一堆翻倍了。 倒推时：第一堆 ÷ 2，第三堆 + 第一堆增加的数量 第一堆操作前：16 ÷ 2 = 8（个） 第三堆操作前：16 + 8 = 24（个） 第二堆不变：16个 第二次操作后：第一堆8个，第二堆16个，第三堆24个 第二次操作：从第二堆拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆 这次操作是第二堆给第三堆，第三堆翻倍了。 倒推时：第三堆 ÷ 2，第二堆 + 第三堆增加的数量 第三堆操作前：24 ÷ 2 = 12（个） 第二堆操作前：16 + 12 = 28（个） 第一堆不变：8个 第一次操作后：第一堆8个，第二堆28个，第三堆12个 第一次操作：从第一堆拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆 这次操作是第一堆给第二堆，第二堆翻倍了。 倒推时：第二堆 ÷ 2，第一堆 + 第二堆增加的数量 第二堆操作前：28 ÷ 2 = 14（个） 第一堆操作前：8 + 14 = 22（个） 第三堆不变：12个 原来：第一堆22个，第二堆14个，第三堆12个 第三步：列表整理 状态 第一堆 第二堆 第三堆 最后（第三次后） 16个 16个 16个 第三次前（第二次后） 8个 16个 24个 第二次前（第一次后） 8个 28个 12个 第一次前（原来） 22个 14个 12个 第四步：正向验算 原来：第一堆22个，第二堆14个，第三堆12个（共48个） 第一次：从第一堆拿14个给第二堆 第一堆：22 - 14 = 8个 第二堆：14 + 14 = 28个 第三堆：12个（不变） 第二次：从第二堆拿12个给第三堆 第一堆：8个（不变） 第二堆：28 - 12 = 16个 第三堆：12 + 12 = 24个 第三次：从第三堆拿8个给第一堆 第一堆：8 + 8 = 16个 第二堆：16个（不变） 第三堆：24 - 8 = 16个 最后三堆都是16个，正确！ 答：原来第一堆有22个，第二堆有14个，第三堆有12个苹果。 随堂小练3 甲、乙、丙三个小朋友共有邮票72张。先从甲的邮票中拿出与乙同样多的给乙；再从乙的邮票中拿出与丙同样多的给丙；最后从丙的邮票中拿出与这时甲同样多的给甲。这时三人的邮票数恰好相等。问：甲、乙、丙三人原来各有多少张邮票？ 【方法总结】 多变量分配型还原问题解题步骤： 1. 算结果：如果最后都相等，先算出每个最后是多少（总数÷个数） 2. 列表格：列出每个变量在每一步的数量 3. 从后推：从最后一步开始，一步步往前倒推 4. 看变化：每一步看清楚哪些量变了、哪些没变 5. 逆运算：翻倍的量要除以2，给出的量要加回来 6. 要验算：正向验算一遍，确保正确 关键：每次操作只有部分量变了，没变的量直接抄下来，不要动！ 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 三个油桶互相倒油（各增加一倍型）】★★★拔高 【题目】 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？ 【解题思路】 这道题是多变量分配型还原问题的升级版。每次操作是一个桶给另外两个桶倒油，使它们各增加一倍。 我们从最后各桶都是16千克开始，用列表法一步步往前倒推。 关键：每次操作，被倒油的两个桶都翻倍了，倒油的桶减少了那两个桶增加的量。 【完整解析】 第一步：确定最后状态 最后各桶都是16千克，所以：甲16千克，乙16千克，丙16千克（共48千克） 第二步：从后往前倒推 第三次操作：丙桶倒入甲、乙两桶，使它们各增加一倍 这次操作是丙给甲和乙倒油，甲和乙都翻倍了。 倒推时：甲和乙都要除以2，丙要加上甲和乙增加的量。 甲操作前：16 ÷ 2 = 8（千克） 乙操作前：16 ÷ 2 = 8（千克） 丙操作前：16 + 8 + 8 = 32（千克） 第二次操作后：甲8千克，乙8千克，丙32千克 第二次操作：乙桶倒入丙、甲两桶，使它们各增加一倍 这次操作是乙给丙和甲倒油，丙和甲都翻倍了。 倒推时：丙和甲都要除以2，乙要加上丙和甲增加的量。 丙操作前：32 ÷ 2 = 16（千克） 甲操作前：8 ÷ 2 = 4（千克） 乙操作前：8 + 16 + 4 = 28（千克） 第一次操作后：甲4千克，乙28千克，丙16千克 第一次操作：甲桶倒入乙、丙两桶，使它们各增加一倍 这次操作是甲给乙和丙倒油，乙和丙都翻倍了。 倒推时：乙和丙都要除以2，甲要加上乙和丙增加的量。 乙操作前：28 ÷ 2 = 14（千克） 丙操作前：16 ÷ 2 = 8（千克） 甲操作前：4 + 14 + 8 = 26（千克） 原来：甲26千克，乙14千克，丙8千克 第三步：列表整理 状态 甲桶 乙桶 丙桶 最后（第三次后） 16千克 16千克 16千克 第三次前（第二次后） 8千克 8千克 32千克 第二次前（第一次后） 4千克 28千克 16千克 第一次前（原来） 26千克 14千克 8千克 第四步：正向验算 原来：甲26千克，乙14千克，丙8千克（共48千克） 第一次：甲倒入乙、丙，使它们各增加一倍（即乙增加原有的14千克，丙增加原有的8千克） 乙增加14千克，丙增加8千克 甲：26 - 14 - 8 = 4千克 乙：14 + 14 = 28千克 丙：8 + 8 = 16千克 第二次：乙倒入丙、甲，使它们各增加一倍 丙增加16千克，甲增加4千克 甲：4 + 4 = 8千克 乙：28 - 16 - 4 = 8千克 丙：16 + 16 = 32千克 第三次：丙倒入甲、乙，使它们各增加一倍 甲增加8千克，乙增加8千克 甲：8 + 8 = 16千克 乙：8 + 8 = 16千克 丙：32 - 8 - 8 = 16千克 最后三桶都是16千克，正确！ 答：原来甲桶有26千克，乙桶有14千克，丙桶有8千克油。 随堂小练4 有甲、乙、丙三个小朋友，各有糖果若干颗。先将甲的糖果分给乙、丙，使他们各增加一倍；再将乙的糖果分给丙、甲，使他们各增加一倍；最后将丙的糖果分给甲、乙，使他们各增加一倍。这时三人各有24颗糖果。问：三人原来各有多少颗糖果？ 【方法总结】 "一个桶给另外两个桶各增加一倍"型解题步骤： 1. 算结果：确定最后每个桶的数量 2. 列表格：列出每个桶在每一步的数量 3. 从后推：从最后一步开始倒推 4. 看变化：每次操作，被倒油的两个桶翻倍，倒油的桶减少 5. 逆运算：翻倍的桶 ÷ 2，倒油的桶 + 另外两个桶增加的量 6. 要验算：正向验算一遍，确保正确 关键：每次操作有两个桶翻倍，一个桶减少，不要搞混！ 【拓展2 兄弟三人分桔子】★★★拔高 【题目】 兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人现在的年龄各是多少岁？ 【解题思路】 这道题是"一半平分"型的还原问题。每次操作是一个人拿出自己桔子的一半，平分给另外两个人。 我们先算出最后每人有多少个桔子（24÷3=8个），然后从最后一步开始倒推。 关键是搞清楚：拿出一半平分给两个人，自己剩一半，另外两个人各得到四分之一。“每人所得个数”指的是第一次分桔子时每人分到的个数，即倒推求出的"原来"数量 【完整解析】 第一步：算出最后每人的桔子数 24个桔子，三人最后一样多，所以每人有：24 ÷ 3 = 8（个） 第二步：分析"拿出一半平分给两人"的变化 假设A拿出自己的一半平分给B和C： A剩下：原来的一半（1/2） B得到：A原来的1/4（一半的一半） C得到：A原来的1/4（一半的一半） 倒推时：A要乘以2（补回自己的一半），B和C要减去各自得到的1/4。 第三步：从后往前倒推 最后状态（第三次操作后）： 老大8个，老二8个，老三8个 第三次操作：老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三 这次操作是老大拿一半平分给老二和老三。 老大拿出一半后剩8个，说明老大操作前有：8 × 2 = 16（个） 老大拿出了8个，平分给老二和老三，每人得到4个。 倒推时：老大×2，老二-4，老三-4 老大操作前：8 × 2 = 16（个） 老二操作前：8 - 4 = 4（个） 老三操作前：8 - 4 = 4（个） 第二次操作后：老大16个，老二4个，老三4个 第二次操作：老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大 这次操作是老二拿一半平分给老三和老大。 老二拿出一半后剩4个，说明老二操作前有：4 × 2 = 8（个） 老二拿出了4个，平分给老三和老大，每人得到2个。 倒推时：老二×2，老三-2，老大-2 老二操作前：4 × 2 = 8（个） 老三操作前：4 - 2 = 2（个） 老大操作前：16 - 2 = 14（个） 第一次操作后：老大14个，老二8个，老三2个 第一次操作：老三把所得的桔子的一半平分给老大与老二 这次操作是老三拿一半平分给老大和老二。 老三拿出一半后剩2个，说明老三操作前有：2 × 2 = 4（个） 老三拿出了2个，平分给老大和老二，每人得到1个。 倒推时：老三×2，老大-1，老二-1 老三操作前：2 × 2 = 4（个） 老大操作前：14 - 1 = 13（个） 老二操作前：8 - 1 = 7（个） 原来：老大13个，老二7个，老三4个 第四步：算现在的年龄 题目说"每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数"，所以： 老大三年前13岁，老大现在的年龄：13 + 3 = 16（岁） 老二三年前7岁，老二现在的年龄：7 + 3 = 10（岁） 老三三年前4岁，老三现在的年龄：4 + 3 = 7（岁） 第五步：列表整理 状态 老大 老二 老三 最后（第三次后） 8个 8个 8个 第三次前（第二次后） 16个 4个 4个 第二次前（第一次后） 14个 8个 2个 初始分配桔子数量（三人最初分到的桔子） 13个 7个 4个 第六步：正向验算 原来：老大13个，老二7个，老三4个（共24个） 第一次：老三拿一半（2个）平分给老大和老二，每人1个 老大：13 + 1 = 14个 老二：7 + 1 = 8个 老三：4 - 2 = 2个 第二次：老二拿一半（4个）平分给老三和老大，每人2个 老大：14 + 2 = 16个 老二：8 - 4 = 4个 老三：2 + 2 = 4个 第三次：老大拿一半（8个）平分给老二和老三，每人4个 老大：16 - 8 = 8个 老二：4 + 4 = 8个 老三：4 + 4 = 8个 最后三人都是8个，正确！ 答：兄弟三人现在的年龄分别是16岁、10岁、7岁。 随堂小练5 甲、乙、丙三人共有48元钱。如果丙先把自己钱的一半平分给甲和乙，接着乙把自己钱的一半平分给丙和甲，最后甲把自己钱的一半平分给乙和丙，这时三人的钱数恰好相同。问：三人原来各有多少钱？ 【方法总结】 "拿出一半平分给两人"型还原问题解题步骤： 1. 算结果：如果最后都相等，先算出每人最后是多少 2. 列表格：列出每人在每一步的数量 3. 从后推：从最后一步开始倒推 4. 看变化：拿出一半的人，自己剩一半，另外两人各得四分之一 5. 逆运算：拿出一半的人 × 2，另外两人 - 各自得到的量 6. 要验算：正向验算一遍，确保正确 关键：平分给两个人，每人得到的是"拿出的一半"，也就是原来的四分之一！ 【拓展3 五只猴拿桃问题】★★★★挑战 【题目】 有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴又拿走剩下的一半加半个，第三、四、五只猴照此方式办理，最后还剩下一个桃。问：原来有多少个桃？ （说明：本题中‘半个’意味着每次操作时，桃子总数均为奇数，因此‘一半’为 x.5，加半个后恰好为整数个桃子。） 【解题思路】 这道题是多次操作型还原问题的升级版。5只猴子依次拿桃，每次都是"拿走一半加半个"。 我们从最后剩下1个桃开始，一步步往前倒推。 关键是搞清楚"拿走一半加半个"的逆运算是什么。 【完整解析】 第一步：分析操作的逆运算 正向操作：拿走一半，再拿走半个 也就是：原来的数量 → 除以2 → 减0.5 → 剩下的数量 逆运算：剩下的数量 → 加0.5 → 乘以2 → 原来的数量 （先加0.5：把多拿走的半个补回来；再乘2：把拿走的一半补回来） 第二步：从后往前倒推 第5只猴拿完后：剩1个 第5只猴拿之前：(1 + 0.5) × 2 = 3个 第4只猴拿完后：剩3个 第4只猴拿之前：(3 + 0.5) × 2 = 7个 第3只猴拿完后：剩7个 第3只猴拿之前：(7 + 0.5) × 2 = 15个 第2只猴拿完后：剩15个 第2只猴拿之前：(15 + 0.5) × 2 = 31个 第1只猴拿完后：剩31个 第1只猴拿之前（原来）：(31 + 0.5) × 2 = 63个 第三步：列表整理 猴子 拿完后剩下 拿之前的数量 第5只 1个 3个 第4只 3个 7个 第3只 7个 15个 第2只 15个 31个 第1只 31个 63个 第四步：正向验算 原来63个桃： 第1只：拿走一半加半个 = 31.5 + 0.5 = 32个，剩63-32 = 31个 ✓ 第2只：拿走一半加半个 = 15.5 + 0.5 = 16个，剩31-16 = 15个 ✓ 第3只：拿走一半加半个 = 7.5 + 0.5 = 8个，剩15-8 = 7个 ✓ 第4只：拿走一半加半个 = 3.5 + 0.5 = 4个，剩7-4 = 3个 ✓ 第5只：拿走一半加半个 = 1.5 + 0.5 = 2个，剩3-2 = 1个 ✓ 最后正好剩1个，正确！ 答：原来有63个桃。 随堂小练6 有一堆西瓜，第一次卖出总数的一半又半个，第二次卖出余下的一半又半个，第三次卖出余下的一半又半个，最后还剩1个西瓜。问：这堆西瓜原来有多少个？ 【方法总结】 "拿走一半加半个"型还原问题解题关键： 1. 逆运算顺序：先加0.5（补回多拿的半个），再乘2（补回拿走的一半） 2. 顺序不能搞反！不能先乘2再加0.5 3. 列表法更清晰，每一步的结果都列出来 4. 一定要正向验算，确保正确 小发现： （仅适用于"每次拿一半加半个"且最后正好剩1个的情况）在每次都是"拿一半加半个"，且最后正好剩1个的情况下，倒推规律非常明显。每次"一半加半个"，倒推就是"加半个再乘2"。如果有n次操作，最后剩1个，原来就是-1个。比如5次操作就是-1=63个、3 次操作-1=15个。 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 逆运算顺序搞反】★★提升 【题目】 小明有一些糖，先吃了一半，又吃了2颗，还剩5颗。小明原来有多少颗糖？ 常见错误 有同学这样算： 5×2=10颗，10+2=12颗 "答案：12颗" 错在哪里？ 该同学虽然知道"吃一半"要×2、"又吃2颗"要+2，但顺序搞反了！把最后一步的逆运算当成了第一步。 正向顺序是：先吃一半，再吃2颗。 倒推时应该从后往前：先把最后吃的2颗加回来，再把吃的一半乘回来。 也就是：先加2，再乘2。不是先乘2再加2！ 正确解法 倒推时，从最后一步开始： 最后剩5颗，这是吃了2颗之后的数量 吃2颗之前有：5 + 2 = 7（颗） 这7颗是吃了一半之后的数量 吃一半之前有：7 × 2 = 14（颗） 所以原来有14颗糖。 验证：原来14颗，吃一半剩7颗，再吃2颗剩5颗，正确！ 正确答案：14颗 避坑提醒：倒推时一定要从最后一步开始，一步一步往前推，顺序和正向相反！ 正向：A → B → C 倒推：C → B → A 每一步都用逆运算，顺序不能搞反。 【易错题2 多变量时谁变了搞混】★★提升 【题目】 甲、乙、丙三人各有一些书。甲给乙5本，乙给丙3本，丙给甲4本，这时三人各有10本。问：甲原来有多少本书？ 常见错误 有同学这样算： 10 - 5 + 4 = 9本 "答案：9本" 错在哪里？ 加减搞反了！ 甲给乙5本 → 甲减少了5本 → 倒推时应该加回来（+5） 丙给甲4本 → 甲增加了4本 → 倒推时应该减回去（-4） 正确的应该是：10 + 5 - 4 = 11本 正确解法 倒推时，每一步都反过来： 丙给甲4本 → 甲增加了4本 → 倒推时甲要减4 乙给丙3本 → 甲没变 → 甲的数量不变 甲给乙5本 → 甲减少了5本 → 倒推时甲要加5 所以甲原来有：10 - 4 + 5 = 11（本） 验证：甲原来11本，给乙5本剩6本，丙给甲4本后剩10本，正确！ 正确答案：11本 【避坑提醒】多变量问题，每次操作只看和自己有关的变化！ 给出去的 → 倒推时加回来 得到的 → 倒推时减回去 没变的 → 直接抄下来 【易错题3 "一半"的逆推错】★★提升 【题目】 有一筐苹果，第一次卖出一半多2个，还剩10个。问：原来有多少个苹果？ 常见错误 有同学这样算： 10×2 + 2 = 22个 "答案：22个" 错在哪里？ 顺序搞反了！ "卖出一半多2个"，正向是先卖一半，再卖2个。 倒推时应该先加2个（把多卖的2个补回来），再乘2（把一半补回来）。 也就是：(10+2)×2=24个。不是先乘2再加2！ 正确解法 倒推时，从最后一步开始： 最后剩10个，这是卖了2个之后的数量 卖2个之前有：10 + 2 = 12（个） 这12个是卖了一半之后的数量 卖一半之前有：12 × 2 = 24（个） 所以原来有24个苹果。 验证：原来24个，卖一半剩12个，再卖2个剩10个，正确！ 正确答案：24个 【避坑提醒】"一半多几个"的问题，倒推时一定要先加几个，再乘2！ 顺序不能搞反！不能先乘2再加几个。 口诀：一半多几，倒推先加几，再乘二。 五、趣味挑战题 【挑战题 神奇的倒推思维】★★★★挑战 同学们，倒推法不仅能解决数学题，在生活中也很有用哦！ 比如，你想在晚上9点睡觉，需要做这些事： 刷牙洗脸：10分钟 看故事书：20分钟 吃晚饭：30分钟 写作业：1小时 你知道最晚几点开始写作业吗？ 🌟 挑战一： 用倒推法算一算，最晚几点开始写作业，才能保证9点准时睡觉？ 🌟 挑战二： 如果还要加上"玩游戏30分钟"，而且玩游戏要在写作业之后、吃晚饭之前，那最晚几点开始写作业呢？ 🌟 挑战三： 你能自己设计一个"倒推时间安排"的问题吗？考考你的爸爸妈妈！ 🤔 思考题： 你还能想到生活中哪些地方可以用到倒推法？比如规划旅行路线、准备生日派对…… 参考答案： 1. 挑战一：最晚7点开始写作业（9点往前推：10分钟洗漱→8:50，20分钟看书→8:30，30分钟吃饭→8:00，1小时写作业→7:00） 2. 挑战二：最晚6点半开始写作业（再加30分钟玩游戏，7点往前推30分钟就是6点半） 3. 挑战三：答案不唯一，只要合理就行！ 六、一题多解精选 【经典题 三堆苹果问题】★★提升 【题目】 三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？ 解法一：列表逆推法（推荐） 思路：从最后三堆相等开始，用列表法一步步往前倒推。 步骤： 1. 最后每堆：48÷3=16个 2. 第三次操作前：第一堆8个，第二堆16个，第三堆24个 3. 第二次操作前：第一堆8个，第二堆28个，第三堆12个 4. 第一次操作前：第一堆22个，第二堆14个，第三堆12个 答案：原来第一堆22个，第二堆14个，第三堆12个。 优点：最直观，容易理解，适合所有多变量还原问题。 解法二：方程法 思路：设原来三堆分别有x、y、z个，根据题意列方程求解。 步骤： 设原来第一堆x个，第二堆y个，第三堆z个。 第一次操作后：第一堆x-y个，第二堆2y个，第三堆z个 第二次操作后：第一堆x-y个，第二堆2y-z个，第三堆2z个 第三次操作后：第一堆2(x-y)个，第二堆2y-z个，第三堆2z-(x-y)个 最后三堆都是16个，所以： 2(x-y) = 16 → x-y = 8 2y-z = 16 2z-(x-y) = 16 解这个方程组： 由x-y=8，代入第三个方程：2z-8=16 → 2z=24 → z=12 代入第二个方程：2y-12=16 → 2y=28 → y=14 由x-y=8 → x=8+14=22 答案：原来第一堆22个，第二堆14个，第三堆12个。 优点：逻辑严谨，适合学过方程的同学。 缺点：列方程比较复杂，容易列错。 方法对比： 1. 列表逆推法：最直观，容易理解，适合所有还原问题，推荐使用 2. 方程法：逻辑严谨，但列方程复杂，适合学过方程的同学 小学阶段推荐用列表逆推法，不容易出错，还能培养逆向思维！ 七、基本练习 （共4题，建议用时：25分钟） 第1题 ★基础 有一筐苹果，每次拿出其中的一半再放回1个苹果，这样操作了3次，筐里还有7个苹果。问：筐里原来有多少个苹果？ 第2题 ★★提升 书架有上、中、下三层，一共放了192本书。先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等。问：这个书架上、中、下三层原来各有多少本书？ 第3题 ★★提升 有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴又拿走剩下的一半加半个，第三只猴照此方式办理，最后还剩下1个桃。问：原来有多少个桃？ 第4题 ★★提升 有一筐鸡蛋，第一次卖出一半多2个，第二次卖出余下的一半少2个，第三次卖出余下的一半多2个，最后还剩3个。问：原来有多少个鸡蛋？ 八、拓展练习 （共3题，建议用时：30分钟） 第1题 ★★★拔高 甲、乙、丙三人各有若干元钱。甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出现有的一半平分给甲、丙，最后丙又拿出现有的一半平分给甲、乙。这时他们各有240元。问：甲、乙、丙三人原来各有多少钱？ 第2题 ★★★拔高 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？ 第3题 ★★★★挑战 有一堆西瓜，第一次卖出总数的一半又半个，第二次卖出余下的一半又半个，第三次卖出余下的一半又半个，第四次卖出余下的一半又半个，最后还剩1个西瓜。问：这堆西瓜原来有多少个？ 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 答案：17个 解析： "至少有多少个"说明最后一次三等分时每份最少是1个。 从后往前倒推： 第二次分之后剩下1个（即第二次分每份是1个） 第二次分之前：1×3 + 2 = 5个 第一次分之后剩下5个（即第一次分每份是5个） 第一次分之前（原来）：5×3 + 2 = 17个 验证：原来17个，两次三等分后剩1个，正确！ 答：原来至少有17个苹果。 随堂小练2 答案 答案：50个 解析： 每次拿出一半再放回1个，逆运算：先减1，再乘2。 从后往前倒推： 第4次操作后：5个 第4次操作前：(5-1)×2 = 8个 第3次操作后：8个 第3次操作前：(8-1)×2 = 14个 第2次操作后：14个 第2次操作前：(14-1)×2 = 26个 第1次操作后：26个 第1次操作前（原来）：(26-1)×2 = 50个 验证：原来50个，操作4次后剩5个，正确！ 答：筐里原来有50个梨。 随堂小练3 答案 答案：甲33张，乙21张，丙18张 解析： 72张邮票，最后三人相等，每人72÷3=24张。 从后往前倒推： 1. 最后：甲24，乙24，丙24 2. 第三次（丙给甲）：甲翻倍了，甲之前12张，丙给了甲12张，丙之前24+12=36张，乙不变24张 3. 第二次后：甲12，乙24，丙36 4. 第二次（乙给丙）：丙翻倍了，丙之前18张，乙给了丙18张，乙之前24+18=42张，甲不变12张 5. 第一次后：甲12，乙42，丙18 6. 第一次（甲给乙）：乙翻倍了，乙之前21张，甲给了乙21张，甲之前12+21=33张，丙不变18张 7. 原来：甲33，乙21，丙18 验证：原来甲33，乙21，丙18（共72张），三次操作后各24张，正确！ 答：甲原来有33张，乙原来有21张，丙原来有18张。 随堂小练4 答案 答案：甲39颗，乙21颗，丙12颗 解析： 最后各有24颗，三人共72颗。 从后往前倒推： 1. 最后：甲24，乙24，丙24 2. 第三次（丙给甲、乙，各增加一倍）：甲和乙都翻倍了，甲之前12颗，乙之前12颗，丙给了甲12颗、乙12颗，丙之前24+12+12=48颗 3. 第二次后：甲12，乙12，丙48 4. 第二次（乙给丙、甲，各增加一倍）：丙和甲都翻倍了，丙之前24颗，甲之前6颗，乙给了丙24颗、甲6颗，乙之前12+24+6=42颗 5. 第一次后：甲6，乙42，丙24 6. 第一次（甲给乙、丙，各增加一倍）：乙和丙都翻倍了，乙之前21颗，丙之前12颗，甲给了乙21颗、丙12颗，甲之前6+21+12=39颗 7. 原来：甲39，乙21，丙12 验证：原来甲39，乙21，丙12（共72颗），三次操作后各24颗，正确！ 答：甲原来有39颗，乙原来有21颗，丙原来有12颗。 随堂小练5 答案 答案：甲26元，乙14元，丙8元 解析： 48元，最后三人相等，每人48÷3=16元。 从后往前倒推： 1. 最后：甲16，乙16，丙16 2. 第三次（甲拿一半平分给乙、丙）：甲拿出一半后剩16元，甲之前32元，拿出了16元，乙和丙各得8元；乙之前16-8=8元，丙之前16-8=8元 3. 第二次后：甲32，乙8，丙8 4. 第二次（乙拿一半平分给丙、甲）：乙拿出一半后剩8元，乙之前16元，拿出了8元，丙和甲各得4元；丙之前8-4=4元，甲之前32-4=28元 5. 第一次后：甲28，乙16，丙4 6. 第一次（丙拿一半平分给甲、乙）：丙拿出一半后剩4元，丙之前8元，拿出了4元，甲和乙各得2元；甲之前28-2=26元，乙之前16-2=14元 7. 原来：甲26，乙14，丙8 验证：原来甲26，乙14，丙8（共48元），三次操作后各16元，正确！ 答：甲原来有26元，乙原来有14元，丙原来有8元。 随堂小练6 答案 答案：15个 解析： 每次卖出一半又半个，逆运算：先加0.5，再乘2。 从后往前倒推： 第三次卖完后：1个 第三次卖之前：(1+0.5)×2 = 3个 第二次卖完后：3个 第二次卖之前：(3+0.5)×2 = 7个 第一次卖完后：7个 第一次卖之前（原来）：(7+0.5)×2 = 15个 验证：原来15个西瓜，卖三次后剩1个，正确！ 答：这堆西瓜原来有15个。 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：42个 解析： 每次拿出一半再放回1个，逆运算：先减1，再乘2。 从后往前倒推： 1. 第3次操作后：7个 2. 第3次操作前：(7-1)×2 = 12个 3. 第2次操作后：12个 4. 第2次操作前：(12-1)×2 = 22个 5. 第1次操作后：22个 6. 第1次操作前（原来）：(22-1)×2 = 42个 验证：原来42个，操作3次后剩7个，正确！ 答：筐里原来有42个苹果。 第2题 答案：上层88本，中层56本，下层48本 解析： 192本书，最后三层相等，每层192÷3=64本。 从后往前倒推： 1. 最后：上64，中64，下64 2. 第三次（下层给上层）：上层翻倍了，上层之前32本，下层给了上层32本，下层之前64+32=96本，中层不变64本 3. 第二次后：上32，中64，下96 4. 第二次（中层给下层）：下层翻倍了，下层之前48本，中层给了下层48本，中层之前64+48=112本，上层不变32本 5. 第一次后：上32，中112，下48 6. 第一次（上层给中层）：中层翻倍了，中层之前56本，上层给了中层56本，上层之前32+56=88本，下层不变48本 7. 原来：上88，中56，下48 验证：原来上层88，中层56，下层48（共192本），三次操作后各64本，正确！ 答：上层原来有88本，中层原来有56本，下层原来有48本书。 第3题 答案：15个 解析： 每次拿走一半加半个，逆运算：先加0.5，再乘2。 从后往前倒推： 第三只猴拿完后：1个 第三只猴拿之前：(1+0.5)×2 = 3个 第二只猴拿完后：3个 第二只猴拿之前：(3+0.5)×2 = 7个 第一只猴拿完后：7个 第一只猴拿之前（原来）：(7+0.5)×2 = 15个 验证：原来15个桃，三只猴拿完后剩1个，正确！ 答：原来有15个桃。 第4题 答案：36个 解析： 从后往前倒推，注意"多几个"和"少几个"的逆运算不同： "一半多几个"倒推：先加几个，再乘2 "一半少几个"倒推：先减几个，再乘2 具体计算： 第三次卖完后：3个 第三次卖之前（"一半多2个"）：(3+2)×2 = 10个 第二次卖完后：10个 第二次卖之前（"一半少2个"）：逆运算为 先减2，再乘2 ，即(10-2)×2 = 16个 第一次卖完后：16个 第一次卖之前（原来，"一半多2个"）：(16+2)×2 = 36个 验证： 原来36个鸡蛋： 第一次：卖一半多2个，卖18+2=20个，剩16个 ✓ 第二次：卖一半少2个，卖8-2=6个，剩10个 ✓ 第三次：卖一半多2个，卖5+2=7个，剩3个 ✓ 正确！ 答：原来有36个鸡蛋。 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：甲120元，乙210元，丙390元 解析： 最后各有240元，三人共720元。 从后往前倒推： 最后：甲240，乙240，丙240 第三次（丙拿一半平分给甲、乙）：丙拿出一半后剩240元，丙之前480元，拿出了240元，甲和乙各得120元；甲之前240-120=120元，乙之前240-120=120元 第二次后：甲120，乙120，丙480 第二次（乙拿一半平分给甲、丙）：乙拿出一半后剩120元，乙之前240元，拿出了120元，甲和丙各得60元；甲之前120-60=60元，丙之前480-60=420元 第一次后：甲60，乙240，丙420 第一次（甲拿一半平分给乙、丙）：甲拿出一半后剩60元，甲之前120元，拿出了60元，乙和丙各得30元；乙之前240-30=210元，丙之前420-30=390元 原来：甲120，乙210，丙390 验证： 原来甲120，乙210，丙390（共720元） 第一次：甲拿一半（60元）平分给乙、丙，各得30元 → 甲60，乙240，丙420 第二次：乙拿一半（120元）平分给甲、丙，各得60元 → 甲120，乙120，丙480 第三次：丙拿一半（240元）平分给甲、乙，各得120元 → 甲240，乙240，丙240 最后三人各240元，正确！ 答：甲原来有120元，乙原来有210元，丙原来有390元。 第2题 答案：甲桶26千克，乙桶14千克，丙桶8千克 解析： 最后各桶都是16千克，三桶共48千克。 从后往前倒推： 1. 最后：甲16，乙16，丙16 2. 第三次（丙倒入甲、乙，各增加一倍）：甲和乙都翻倍了，甲之前8千克，乙之前8千克，丙给了甲8千克、乙8千克，丙之前16+8+8=32千克 3. 第二次后：甲8，乙8，丙32 4. 第二次（乙倒入丙、甲，各增加一倍）：丙和甲都翻倍了，丙之前16千克，甲之前4千克，乙给了丙16千克、甲4千克，乙之前8+16+4=28千克 5. 第一次后：甲4，乙28，丙16 6. 第一次（甲倒入乙、丙，各增加一倍）：乙和丙都翻倍了，乙之前14千克，丙之前8千克，甲给了乙14千克、丙8千克，甲之前4+14+8=26千克 7. 原来：甲26，乙14，丙8 验证：原来甲26，乙14，丙8（共48千克），三次操作后各16千克，正确！ 答：甲桶原有26千克，乙桶原有14千克，丙桶原有8千克油。 第3题 答案：31个 解析： 每次卖出一半又半个，逆运算：先加0.5，再乘2。 从后往前倒推： 1. 第四次卖完后：1个 2. 第四次卖之前：(1+0.5)×2 = 3个 3. 第三次卖完后：3个 4. 第三次卖之前：(3+0.5)×2 = 7个 5. 第二次卖完后：7个 6. 第二次卖之前：(7+0.5)×2 = 15个 7. 第一次卖完后：15个 8. 第一次卖之前（原来）：(15+0.5)×2 = 31个 验证：原来31个西瓜，卖四次后剩1个，正确！ 小发现：n次"一半又半个"操作，最后剩1个，原来就是2^(n+1)-1个。4次就是2^5-1=31个！ 答：这堆西瓜原来有31个。 十二、本讲总结（思维导图速记） 📊 一、知识地图 📋 二、核心方法速查表 题型 正向操作 逆运算 注意事项 拿一半放回一个 ÷2 → +1 -1 → ×2 先减1，再乘2，顺序不能反 拿走一半加半个 ÷2 → -0.5 +0.5 → ×2 先加0.5，再乘2 一半多几个 ÷2 → -几 +几 → ×2 先加几，再乘2 一半少几个 ÷2 → +几 -几 → ×2 先减几，再乘2 给对方，对方翻倍 对方×2，自己-对方原来的 对方÷2，自己+对方增加的 对方翻倍，倒推时对方除以2 拿出一半平分给两人 自己÷2，两人各+自己原来的1/4 自己×2，另外两人减去分到的数量 平分给两人，每人得四分之一 ⚠️ 三、避坑清单 1. 逆运算顺序搞反 正向：A → B → C 倒推：C → B → A 一定要从最后一步开始，一步一步往前推，顺序不能搞反！ 2. "一半多几"和"一半少几"搞混 "一半多几个"倒推：先加几个，再乘2 "一半少几个"倒推：先减几个，再乘2 正好相反，不要搞混！ 3. 多变量时谁变了搞混 每次操作，只有部分量变了，没变的量直接抄下来，不要动！ 给出去的 → 倒推时加回来 得到的 → 倒推时减回去 4. 忘记验算 还原问题最容易出错，一定要正向验算一遍！ 从原来的状态按题目操作一遍，看结果是否一致。 💡 四、解题小口诀 还原问题解题口诀 还原问题并不难，从后往前倒着算。 每步都用逆运算，加变减来减变加。 乘变除来除变乘，顺序一定不能反。 多变量时列表格，谁变谁没变分清。 算完一定要验算，正向推一遍才安心。 列表逆推法口诀 找结果，列表格，从后往前一步步。 翻倍的，除以二，给出的，加回来。 得到的，减回去，没变的，抄下来。 算完后，要验算，正向推一遍才放心。 🎉 恭喜你完成了本讲学习！逆向思维是数学中非常重要的思维方式，掌握了倒推法，你就能解决很多看似复杂的问题！ 学科网（北京）股份有限公司 $