奥数培优第8讲 递推法与标数法（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第8讲 加法原理——递推法与标数法专项前言 教学目标 华罗庚说："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 在数学的王国里，计数问题是一颗璀璨的明珠。上一讲我们学习了加法原理的基本应用——分类计数法。今天，我们要学习加法原理的另一种神奇用法——递推法与标数法！ 你有没有遇到过这样的问题： 登楼梯，每次可以登1级或2级，登上10级台阶有多少种不同的登法？ 在网格图上，从左下角走到右上角，走最短路径，有多少种不同的走法？ 取火柴，每次取2根或3根，取完15根有多少种不同的取法？ 这些问题看起来很难，但是只要我们掌握了递推法和标数法，就能轻松解决！ 递推法的核心思想是：从简单情况入手，找到规律，一步步推算出复杂情况的答案。就像爬楼梯一样，一步一步往上爬，最终就能到达顶峰！ 准备好了吗？让我们一起探索递推法的奥秘吧！ 知识与技能 理解递推法的基本思想和适用条件；掌握标数法的解题步骤；能运用递推法解决登台阶、取火柴等问题；能运用标数法解决网格最短路径问题；掌握"从简单到复杂"的递推思维方式。 过程与方法 通过观察、比较、归纳，发现递推规律；经历"简单→复杂→规律→应用"的学习过程;培养数形结合的思维习惯；体会"化繁为简、逐步递推"的数学思想。 情感态度与价值观 感受数学规律的神奇，激发数学学习兴趣；培养有条理、循序渐进的思维习惯;体会数学在生活中的应用价值；增强用数学方法解决问题的信心。 教学重难点 重点： 递推法的基本思想（从简单到复杂） 标数法的解题步骤（从起点开始，依次标数） 登台阶问题的递推公式 网格路径问题的标数方法 难点： 如何找到递推关系（前几项和后几项的关系） 有障碍或有特殊要求的路径问题 多种条件限制下的递推问题 递推法与加法原理的联系与区别 【高频易错总提示】 同学们，在学习递推法和标数法时，最容易出错的地方有这几个，一定要注意哦！ 1. 初始条件算错：递推的前几项（第1项、第2项）一定要算对，不然后面全错！ 2. 递推关系找错：不是所有题都是"前两项相加"，要看清每次可以走几步 3. 标数时漏点：网格图标数时，要按顺序一个一个标，不要漏掉某个点 4. 方向搞反：最短路径只能向右和向上走，不能走回头路 5. 有障碍的点忘记处理：不能通过的点，标数应该是0 6. 坐标看走眼：题目说“第2列”时，不要以为是向右走2格！（小学阶段“第1列”通常指最左边一列，从A点出发向右走0格）。本讲统一采用坐标(x,y)表示“向右x格，向上y格”，请务必看清坐标，不要再数错格子！ 一、知识点总结 （一）什么是递推法？ 递推法：也叫"递推计数法"，就是从最简单的情况开始，一步步推算，找到规律，最终得到复杂问题的答案。 核心思想：第n项的结果，可以由前面几项的结果通过加法得到。 关键：找到递推关系——后一项和前几项的关系。 （二）什么是标数法？ 标数法：是递推法在图形问题中的应用。从起点开始，在每个点上标出到达这个点的方法数，一直标到终点。 核心思想：到达一个点的方法数 = 所有能一步到达这个点的前一个点的方法数之和。 简记为：每个点 = 能到达它的所有前驱点的方法数相加。 在从左下角到右上角、只能向右和向上走的网格图中：每个点 = 左边点的方法数 + 下边点的方法数。而在更一般的有向图中，则需将所有能直接到达该点的前驱点方法数相加。 关键：按顺序标数，不要漏点，不要跳点。 📐 坐标约定（重要！） 在本讲所有的网格图中，我们用 (x, y) 表示一个点的位置，其中 x 表示“从A点向右走的格数”，y 表示“从A点向上走的格数”。 例如：坐标 (2, 1) 表示“从A点向右走2格，再向上走1格”的位置。 ⚠️ 特别注意：为了计算方便，本讲一般统一使用上述坐标描述，不再使用“第几列第几行” 的说法（因为日常用语中“第1列”容易与“向右1格”混淆，导致计算错误）。 （三）三大常考题型 题型 特点 解题关键 登台阶问题 每次走1级或2级（或其他步数），求登n级的方法数 找到递推公式：第n级 = 第n-1级 + 第n-2级 取火柴问题 每次取2根或3根（或其他根数），求取完n根的方法数 类似登台阶，注意初始条件的设定 网格路径问题 在网格图上走最短路径，求从A到B的路线数 标数法：从起点开始，依次标出每个点的方法数 （四）通用解题四步法（速记：找→初→推→验） 找：分析问题，找到递推关系（后一项和前几项的关系）； 初：算出前几项的初始值（第1项、第2项……）； 注意：部分问题（如取火柴）需要从 第0项 开始设定初始值，此时第0项通常取 1，表示“什么都不做/不取”这一种方式。请根据题目灵活确定从第几项开始。 推：根据递推关系，一步步推算，直到得到答案； 验：用简单情况验证，检查递推关系是否正确。 【小技巧集锦】 1. 登台阶（每次走1、2级）→ 类斐波那契数列（前两项相加，数列从 1，2 开始；标准斐波那契为1，1，2，3，5……）取火柴：每次取2、3根 → 前第2项 + 前第3项 2. 网格图：标数法，从左下到右上，每个点 = 左边 + 下边 3. 有障碍：障碍点标0，其他正常标 4. 经过某点：分段算，A→C × C→B 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 登台阶问题】★基础 【题目】 小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶。他登上10级台阶共有多少种不同的登法？ 【解题思路】 这道题是典型的递推法应用。我们从最简单的情况开始，一步步推算，找到规律。 登上第n级台阶的方法数 = 登上第(n-1)级的方法数 + 登上第(n-2)级的方法数。 因为：要到第n级，要么从第(n-1)级走1步上去，要么从第(n-2)级走2步上去。 【完整解析】 第一步：找递推关系 登上第n级台阶，有两种情况： 从第(n-1)级登1级上去 从第(n-2)级登2级上去 根据加法原理：登上第n级的方法数 = 登上第(n-1)级的方法数 + 登上第(n-2)级的方法数 第二步：算初始值 登上第1级：只有1种方法（直接登1级） 登上第2级：有2种方法（1+1，或直接登2级） 第三步：一步步推算 第1级：1种 第2级：2种 第3级：第1级 + 第2级 = 1 + 2 = 3种 第4级：第2级 + 第3级 = 2 + 3 = 5种 第5级：第3级 + 第4级 = 3 + 5 = 8种 第6级：第4级 + 第5级 = 5 + 8 = 13种 第7级：第5级 + 第6级 = 8 + 13 = 21种 第8级：第6级 + 第7级 = 13 + 21 = 34种 第9级：第7级 + 第8级 = 21 + 34 = 55种 第10级：第8级 + 第9级 = 34 + 55 = 89种 第四步：验证 我们可以验证前几项： 第3级：1+2=3，列举：1+1+1、1+2、2+1，共3种，正确！ 第4级：2+3=5，列举：1+1+1+1、1+1+2、1+2+1、2+1+1、2+2，共5种，正确！ 答：登上10级台阶共有89种不同的登法。 随堂小练1 小红要登上8级台阶，每步只能登1级或2级。一共有多少种不同的登法？ 【方法总结】 登台阶问题（每次1级或2级）解题步骤： 1. 找递推关系：第n级 = 第n-1级 + 第n-2级 2. 算初始值：第1级=1种，第2级=2种 3. 一步步推算：从第3级开始，依次算出每一级的方法数 4. 验证：用简单情况检查递推关系是否正确 小知识：本题得到的数列 1，2，3，5，8，13…… 与著名的“斐波那契数列”（1，1，2，3，5，8，13……）从第2项开始完全相同，两者的核心规律相一致：从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 【例2 网格最短路径】★★提升 【题目】 在一个横向4格、纵向3格 的网格图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？ （说明：A在左下角，B在右上角，只能向右和向上走） 【解题思路】 这道题用标数法解决。从起点A开始，在每个点上标出到达这个点的方法数，一直标到终点B。 标数规则：到达一个点的方法数 = 左边点的方法数 + 下边点的方法数。 因为：要到这个点，要么从左边向右走一步，要么从下边向上走一步。 【完整解析】 第一步：确定标数顺序 该网格图共有5列交点、4行交点。从左下角A点开始，按从下到上、从左到右的顺序，依次标出每个点的方法数。 第二步：标初始值 · 起点A：1种方法（就在起点） · 最下面一行的所有点：都只有1种方法（一直向右走） · 最左边一列的所有点：都只有1种方法（一直向上走） 第三步：依次标数 每个点的方法数 = 左边点的方法数 + 下边点的方法数 4×3的网格（5列4行的点），标数结果： 第1行（最下面）：1、1、1、1、1 第2行：1、2、3、4、5 第3行：1、3、6、10、15 第4行（最上面）：1、4、10、20、35 终点B在右上角，对应的方法数是35。 第四步：验证 我们可以用另一种方法验证： 从A到B，总共要走4步向右，3步向上，共7步。 问题转化为：在7步中选3步向上（剩下的4步向右），有多少种选法？ 答案是组合数C(7,3) = 7×6×5 / (3×2×1) = 210 / 6 = 35，和标数法结果一样！ 答：共有35条不同路线。 随堂小练2 在一个3×2的网格图中，从左下角A走到右上角B，走最短路径，只能向右和向上走。一共有多少种不同的走法？ 【方法总结】 网格最短路径问题（标数法）解题步骤： 1. 确定方向：最短路径只能向右和向上走 2. 标初始值：最下面一行和最左边一列都标1 3. 依次标数：每个点 = 左边点 + 下边点 4. 得到答案：终点的数字就是答案 口诀：标数法，真简单，左加下，往上填；一行一行往右填，一列一列往上填。 【例3 取火柴问题】★★提升 【题目】 有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？ 【解题思路】 这道题和登台阶问题类似，也是用递推法。我们可以把它想象成"上15级台阶，每次上2级或3级"。 取完n根火柴的方法数 = 取完(n-2)根的方法数 + 取完(n-3)根的方法数。 因为：要取完n根，要么最后一次取2根（前面取了n-2根），要么最后一次取3根（前面取了n-3根）。 【完整解析】 第一步：找递推关系 取完n根火柴，有两种情况： 最后一次取2根，前面取了(n-2)根 最后一次取3根，前面取了(n-3)根 根据加法原理：取完n根的方法数 = 取完(n-2)根的方法数 + 取完(n-3)根的方法数 第二步：算初始值 取0根（不取）：1种方法（什么都不取） 取1根：0种方法（因为每次至少取2根） 取2根：1种方法（直接取2根） 取3根：1种方法（直接取3根） 小提示：计数规则中，不取任何物品（空序列）统一计为 1 种方案。 第三步：一步步推算 0根：1种 1根：0种 2根：1种 3根：1种 4根：取2根 + 取1根 = 1 + 0 = 1种 5根：取3根 + 取2根 = 1 + 1 = 2种 6根：取4根 + 取3根 = 1 + 1 = 2种 7根：取5根 + 取4根 = 2 + 1 = 3种 8根：取6根 + 取5根 = 2 + 2 = 4种 9根：取7根 + 取6根 = 3 + 2 = 5种 10根：取8根 + 取7根 = 4 + 3 = 7种 11根：取9根 + 取8根 = 5 + 4 = 9种 12根：取10根 + 取9根 = 7 + 5 = 12种 13根：取11根 + 取10根 = 9 + 7 = 16种 14根：取12根 + 取11根 = 12 + 9 = 21种 15根：取13根 + 取12根 = 16 + 12 = 28种 第四步：验证 我们验证前几项： 5根：2种（2+3、3+2），正确！ 6根：2种（2+2+2、3+3），正确！ 7根：3种（2+2+3、2+3+2、3+2+2），正确！ 答：取完15根火柴共有28种不同取法。 将上述结果整理成表格，可以更清楚地看出数列的变化规律： 已取根数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取法种数 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 随堂小练3 有10根火柴，每次取2根或3根，取完这堆火柴共有多少种不同取法？ 【方法总结】 取火柴问题解题步骤： 1. 找递推关系：第n项 = 第(n-a)项 + 第(n-b)项（a、b是每次取的根数） 2. 算初始值：前几项要仔细算，注意0根的情况通常是1种 3. 一步步推算：从第4项开始，依次算出每一项的方法数 4. 验证：用简单情况检查递推关系是否正确 注意：每次取的根数不同，递推关系也不同，不要死记硬背！ 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 【拓展1 经过特定点的路径】★★★拔高 【题目】 在一个4×3的网格图中，从左下角A点沿最短路线到右上角B点，其中必须经过 C点（坐标为(2,1)，即向右2格、向上1格的位置），共有多少条不同路线？ 【解题思路】 这道题要求必须经过C点，我们可以把整个路程分成两段： 第一段：从A到C 第二段：从C到B 因为是分步完成的，所以用乘法原理：总路线数 = A→C的路线数 × C→B的路线数 每一段都可以用标数法或组合数来计算。 【完整解析】 第一步：分段 把整个路程分成两段：A→C，C→B 第二步：分别计算每段的路线数 第一段：A→C C点坐标为(2,1)，从A(0,0)到C(2,1)，要走2步向右和1步向上。 用组合数计算：C(3,1) = 3种 （验证：用标数法也能得到3种，结果一致） 第二段：C→B 从C(2,1)到B(4,3)，要走2步向右和2步向上。 用组合数计算：C(4,2) = 6种 （验证：用标数法也能得到6种，结果一致） 第三步：用乘法原理 因为是分步完成的，所以总路线数 = 各段路线数相乘 总路线数 = 3 × 6 = 18（条） 第四步：验证 我们可以用标数法直接验证： 在4×3的网格中，先标到C点是3，然后从C点继续往后标，最后到B点是18。 结果一致，正确！ 答：共有18条不同路线。 【随堂小练4】 在一个3×2的网格图中，从左下角A走到右上角B，走最短路径，必须经过C点（坐标为(1,1)，即向右1格、向上1格的位置）。一共有多少种不同的走法？ 【方法总结】 经过特定点的路径问题解题步骤： 1. 分段：按必须经过的点，把整个路程分成几段 2. 分别算：用标数法或组合数分别算出每一段的路线数 3. 相乘：根据乘法原理，把各段的路线数相乘 4. 验证：用标数法直接标一遍，检查结果是否一致 口诀：经过点，要分段，一段一段分别算；算完之后乘起来，乘法原理来帮忙。 【拓展2 有障碍的路径】★★★拔高 【题目】 下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，C点（坐标为(2,1)）和D点（坐标为(3,2)），那么从A点到B点的最短路线有多少条？ （说明：A在左下角，B在右上角，C和D是两个不能通过的点） 【解题思路】 有障碍的路径问题，还是用标数法，只是不能通过的点要标0（表示到达这个点的方法数为0）。 标数规则和之前一样：每个点 = 左边点 + 下边点。 只是遇到障碍点时，这个点的方法数是0。 【完整解析】 第一步：确定障碍点 C点坐标为(2,1)，不能通过，这个点的方法数是0。 第二步：标初始值 起点A(0,0)：1种方法 最下面一行（y=0）：都标1（一直向右走） 最左边一列（x=0）：都标1（一直向上走） 第三步：依次标数 按从下到上、从左到右的顺序标数： 正常点：左边 + 下边 障碍点：直接标0 4×3的网格（5列4行的点），标数结果： 第1行（y=0，最下面）：1、1、1、1、1 第2行（y=1）：1、2、0、1、2（第3个点是C，标0；第4个点 = 左边(0) + 下边(1) = 1；第5个点 = 左边(1) + 下边(1) = 2） 第3行（y=2）：1、3、3、4、6（第3个点 = 左边(3) + 下边(0) = 3） 第4行（y=3，最上面）：1、4、7、11、17 终点B在右上角(4,3)，对应的方法数是17。 第四步：验证 我们可以用另一种方法验证： 如果没有障碍，总路线数是C(7,3) = 35条。 经过C点的路线数是：A→C × C→B = C(3,1) × C(4,2) = 3 × 6 = 18条。 所以不经过C点的路线数 = 35 - 18 = 17条。 和标数法结果一样，正确！ 答：共有17条不同路线。 【随堂小练5】 在一个3×2的网格图中，从左下角A走到右上角B，走最短路径。C点（坐标为(1,1)，即向右1格、向上1格的位置）不能通过。一共有多少种不同的走法？ 【方法总结】 有障碍的路径问题解题步骤： 1. 找障碍点：确定哪些点不能通过； 2. 标初始值：最下面一行和最左边一列正常标1，障碍点标0； 3. 依次标数：每个点 = 左边点 + 下边点；障碍点直接标0； 4. 验证：可以用"总路线数 - 经过障碍点的路线数"来验证。 注意：障碍点不仅自己过不去，还会影响后面的点，一定要按顺序标，不要跳！ 【拓展3 有方向限制的路径】★★★拔高 【题目】 有A、B、C、D、E、F六个点，箭头方向如下： A→B、A→C、B→D、C→D、C→E、D→F、E→F 从A到F一共有多少种不同的走法？ 【解题思路】 这道题也是用标数法，只是方向不是固定的向右和向上，而是由箭头决定。 标数规则：到达一个点的方法数 = 所有能直接到达这个点的前一个点的方法数之和。 我们需要按"从起点到终点"的顺序，依次标出每个点的方法数。 【完整解析】 第一步：确定标数顺序 从起点A开始，按照箭头方向，依次标出每个点的方法数。 要注意：算一个点之前，必须先算完所有能到达它的前一个点。 顺序：A → B、C → D、E → F 第二步：标初始值 起点A：1种方法 第三步：依次标数 每个点的方法数 = 所有能直接到达这个点的前一个点的方法数之和 A：1 B：只有A能到B → 1 C：只有A能到C → 1 D：B和C都能到D → 1 + 1 = 2 E：只有C能到E → 1 F：D和E都能到F → 2 + 1 = 3 所以从A到F共有3种不同的走法。 第四步：验证 我们可以一一列举： A → B → D → F A → C → D → F A → C → E → F 共3种，正确！ 答：从A到F共有3种不同的走法。 【随堂小练6】 有A、B、C、D、E五个点，箭头方向如下： A→B、A→C、B→D、C→D、C→E、D→E 从A到E一共有多少种不同的走法？ 【方法总结】 有方向限制的路径问题解题步骤： 1. 定顺序：确定标数的顺序，从起点开始，按箭头方向依次标； 2. 标起点：起点标1； 3. 依次标：每个点 = 所有能直接到达它的前一个点的方法数之和； 4. 得答案：终点的数字就是答案； 关键：一定要按顺序标，算一个点之前，先确保所有能到它的点都算完了！ 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 初始条件算错】★★提升 【题目】 小明要登上5级台阶，每步只能登1级或2级。一共有多少种不同的登法？ 常见错误 有同学这样算： 第1级：1种 第2级：1种（1+1） 第3级：1+1=2种 第4级：1+2=3种 第5级：2+3=5种 答案：5种 错在哪里？ 初始条件算错了！ 第2级台阶有2种登法：1+1，或者直接登2级。不是1种！ 初始条件错了，后面的就全错了。 【正确解法】 第1级：1种 第2级：2种（1+1、2） 第3级：1+2=3种 第4级：2+3=5种 第5级：3+5=8种 验证：列举一下 1+1+1+1+1 1+1+1+2 1+1+2+1 1+2+1+1 2+1+1+1 1+2+2 2+1+2 2+2+1 共8种，正确！ 正确答案：8种 【避坑提醒】递推问题，初始条件一定要算对！最好用列举法验证前几项，确保没问题了再继续往后推。 【易错题2 递推关系找错】★★提升 【题目】 有10根火柴，每次取2根或3根，取完这堆火柴共有多少种不同取法？ 常见错误 有同学这样算： 第1根：1种 第2根：1种 第3根：1+1=2种 第4根：1+2=3种 …… 答案：…… 错在哪里？ 递推关系找错了！ 这道题每次取2根或3根，所以递推关系应该是：第n项 = 第(n-2)项 + 第(n-3)项 不是前两项相加！前两项相加是每次取1根或2根的情况。 不同的题目，递推关系是不一样的，不能死记硬背！ 正确解法 第0根：1种（不取） 第1根：0种（每次至少取2根） 第2根：1种（取2根） 第3根：1种（取3根） 第4根：第2根 + 第1根 = 1 + 0 = 1种 第5根：第3根 + 第2根 = 1 + 1 = 2种 第6根：第4根 + 第3根 = 1 + 1 = 2种 第7根：第5根 + 第4根 = 2 + 1 = 3种 第8根：第6根 + 第5根 = 2 + 2 = 4种 第9根：第7根 + 第6根 = 3 + 2 = 5种 第10根：第8根 + 第7根 = 4 + 3 = 7种 正确答案：7种 【避坑提醒】递推关系不是固定的！一定要看清题目，每次可以走几步、取几根，然后自己推导递推关系，不要想当然地套用"前两项相加"。 【易错题3 标数方向搞反】★★提升 【题目】 在一个2×2的网格图中，从左下角A走到右上角B，走最短路径，只能向右和向上走。一共有多少种不同的走法？ 常见错误 有同学标数时方向搞反了，从右上角开始往左往下标，或者每个点 = 右边 + 上边，结果就错了。 错在哪里？ 标数的方向搞反了！ 最短路径是从左下到右上，只能向右和向上走。 所以到达一个点，只能从左边（向右走一步）或下边（向上走一步）过来。 应该是：每个点 = 左边点 + 下边点 不是右边 + 上边！ 正确解法 用标数法： 第1行（最下面）：1、1、1 第2行：1、2、3 第3行（最上面）：1、3、6 终点在右上角，答案是6种。 验证：列举一下 右、右、上、上 右、上、右、上 右、上、上、右 上、右、右、上 上、右、上、右 上、上、右、右 共6种，正确！ 正确答案：6种 【避坑提醒】标数法一定要注意方向！先想清楚"要到这个点，可以从哪些点过来"，然后把那些点的方法数加起来，不要搞反了！ 五、趣味挑战题 【挑战题 神奇的斐波那契数列】★★★★挑战 同学们，你们知道吗？登台阶问题（每次1级或2级）的答案，就是著名的斐波那契数列！ 本题得到的数列 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…… 就是著名的 斐波那契数列（标准斐波那契数列为 1，1，2，3，5，8，13……，本题相当于从标准数列的第2项开始）。它们共同规律是：从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 🌟 挑战一： 斐波那契数列的第12项是多少？ 🌟 挑战二： 观察斐波那契数列，你发现了什么有趣的规律？（提示：看看奇偶性） 🌟 挑战三： 如果每次可以登1级、2级或3级台阶，那么登上第5级台阶有多少种不同的登法？ 🤔 思考题： 斐波那契数列在自然界中也很常见哦！比如向日葵的花盘、松果的鳞片、鹦鹉螺的外壳……你还能想到哪些地方有斐波那契数列的影子？ 参考答案： 1. 挑战一：第12项是144 2. 挑战二：奇偶性是"奇、偶、奇、奇、偶、奇……"每3个一循环 3. 挑战三：13种（递推关系：第n项 = 第n-1项 + 第n-2项 + 第n-3项） 六、一题多解精选 【经典题 网格最短路径】★★提升 【题目】 在一个4×3的网格图中，从左下角A走到右上角B，走最短路径，只能向右和向上走。一共有多少种不同的走法？ 解法一：标数法（推荐） 思路：从起点开始，每个点标出到达的方法数，每个点 = 左边点 + 下边点。 步骤： 第1行（最下面）：1、1、1、1、1 第2行：1、2、3、4、5 第3行：1、3、6、10、15 第4行（最上面）：1、4、10、20、35 答案：35种 优点：最直观，容易理解，适合所有网格路径问题（包括有障碍、经过特定点等）。 解法二：组合数法 思路：从A到B，总共要走4步向右，3步向上，共7步。问题转化为：在7步中选3步向上（剩下的4步向右），有多少种选法？ 步骤： 这是一个组合问题，答案是 C(7,3) C(7,3) = 7×6×5 / (3×2×1) = 210 / 6 = 35 答案：35种 优点：计算快，适合没有障碍、没有特殊要求的简单网格路径问题。 缺点：有障碍或经过特定点时，不能直接用，需要分段或排除。 解法三：插空法（位置分析法） 思路：总共要走7步，其中选3步向上（U），剩余4步向右（R）。本质等价于从 7 步里选 3 步向上，和组合法完全一致。 步骤： 第1类：第1步就是U，剩下2个U在剩余6个位置中任选 → C(6，2) = 15种 第2类：第1步是R，第2步是U，剩下1个U在剩余5个位置中任选 → C(5，1) = 5种 第3类：前2步都是R，第3步是U，剩下1个U在剩余4个位置中任选 → C(4，1) = 4种 ……（依此类推，也可简化） 但其实最快捷的方法仍是组合数法：从7个位置中选3个放U，即C(7，3) = 35种。 答案：35种 说明：位置分析法是组合数法的直观理解方式，能帮助大家理解“为什么是C(7，3)”。 优点：帮助理解组合数公式的来源。 【方法对比】 标数法：最直观，容易理解，适合所有网格路径问题（包括有障碍、经过特定点等） 组合数法：计算快，适合没有障碍、没有特殊要求的简单问题 分类讨论法：帮助理解原理，实际解题用得少 考试时推荐用标数法，不容易出错，还能检查每一步。 七、基本练习 （共4题，建议用时：20分钟） 第1题 ★基础 小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶。共有多少种不同的登法？ 第2题 ★★提升 有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法？ 第3题 ★★提升 在一个3×3的网格图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？ （说明：A在左下角，B在右上角，只能向右和向上走） 第4题 ★★提升 一只青蛙在井底，井深10米。青蛙每次向上跳3米，又下滑1米。像这样，青蛙第几次才能跳出井口？ （提示：本题可以逐次模拟（递推思路），也可以用“先减去最后一次跳的3米”来算。想一想：最后一次跳出去前，青蛙最多离井口多少米？哪种方法更快？） 注：本题不是求‘有多少种方法’，而是用递推的思维模拟过程，求唯一确定的结果。这类问题我们称为‘递推模拟’。 八、拓展练习 （共3题，建议用时：25分钟） 第1题 ★★★拔高 在一个4×3的网格图中，从A点沿最短路线到B点，其中必须经过C点（坐标为(2,1)），共有多少条不同路线？ （说明：A在左下角，B在右上角，只能向右和向上走） 第2题 ★★★拔高 在一个4×3的网格图中，C点（坐标为(2,1)）和D点（坐标为(3,2)），正在修路不能通过。那么从A点到B点的最短路线有多少条？ （说明：A在左下角，B在右上角，只能向右和向上走） 第3题 ★★★拔高 有8级台阶，小明从下向上走，若每次只能跨过1级或2级，他走上去共有多少种不同的方法？ （提示：这就是我们学过的登台阶问题哦！） 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 答案：34种 解析： 登台阶问题，每次1级或2级，递推公式：第n级 = 第n-1级 + 第n-2级 第1级：1种 第2级：2种 第3级：1+2=3种 第4级：2+3=5种 第5级：3+5=8种 第6级：5+8=13种 第7级：8+13=21种 第8级：13+21=34种 答：一共有34种不同的登法。 随堂小练2 答案 答案：10种 解析： 3×2的网格图（4列3行的点），用标数法： 第1行：1、1、1、1 第2行：1、2、3、4 第3行：1、3、6、10 终点在右上角，答案是10种。 验证：C(5,2) = 10，正确！ 答：一共有10种不同的走法。 随堂小练3 答案 答案：7种 解析： 取火柴问题，每次取2根或3根，递推公式：第n根 = 第(n-2)根 + 第(n-3)根 0根：1种 1根：0种 2根：1种 3根：1种 4根：第2根 + 第1根 = 1+0=1种 5根：第3根 + 第2根 = 1+1=2种 6根：第4根 + 第3根 = 1+1=2种 7根：第5根 + 第4根 = 2+1=3种 8根：第6根 + 第5根 = 2+2=4种 9根：第7根 + 第6根 = 3+2=5种 10根：第8根 + 第7根 = 4+3=7种 答：共有7种不同取法。 随堂小练4 答案 答案：6种 解析： 3×2的网格图，必须经过C点（坐标为(1,1)） 分段计算： A→C：从A(0,0)到C(1,1)，要走1步右和1步上，共C(2,1)=2种 C→B：从C(1,1)到B(3,2)，要走2步右和1步上，共C(3,1)=3种 总路线数 = 2 × 3 = 6种 验证：用标数法直接标，结果一致。 答：一共有6种不同的走法。 随堂小练5 答案 答案：4种 解析： 3×2的网格图，C点（坐标为(1,1)）不能通过。 方法一：标数法，C点标0 第1行（y=0）：1、1、1、1 第2行（y=1）：1、0、1、2（第2个点是C，标0） 第3行（y=2）：1、1、2、4 终点在右上角，答案是4种。 方法二：排除法验证 总路线数（无障碍）：C(5,2) = 10种 经过C点的路线数：A→C × C→B = C(2,1) × C(3,1) = 2 × 3 = 6种 不经过C点的路线数 = 10 - 6 = 4种 两种方法结果一致，正确！ 答：一共有4种不同的走法。 随堂小练6 答案 答案：3种 解析： 五个点A、B、C、D、E，箭头方向： A→B、A→C、B→D、C→D、C→E、D→E 标数法： A：1 B：只有A能到B → 1 C：只有A能到C → 1 D：B和C都能到D → 1 + 1 = 2 E：C和D都能到E → 1 + 2 = 3 验证：一一列举 A → B → D → E A → C → D → E A → C → E 共3种，正确！ 答：从A到E一共有3种不同的走法。 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：987种 解析： 登台阶问题，每次1级或2级，递推公式：第n级 = 第n-1级 + 第n-2级 第1级：1种 第2级：2种 第3级：1+2=3种 第4级：2+3=5种 第5级：3+5=8种 第6级：5+8=13种 第7级：8+13=21种 第8级：13+21=34种 第9级：21+34=55种 第10级：34+55=89种 第11级：55+89=144种 第12级：89+144=233种 第13级：144+233=377种 第14级：233+377=610种 第15级：377+610=987种 答：共有987种不同的登法。 第2题 答案：274种 解析： 取火柴问题，每次取1～3根，递推公式：第n根 = 第(n-1)根 + 第(n-2)根 + 第(n-3)根 0根：1种（不取） 1根：1种（取1根） 2根：2种（1+1、2） 3根：4种（1+1+1、1+2、2+1、3） 4根：第3根 + 第2根 + 第1根 = 4+2+1=7种 5根：第4根 + 第3根 + 第2根 = 7+4+2=13种 6根：第5根 + 第4根 + 第3根 = 13+7+4=24种 7根：第6根 + 第5根 + 第4根 = 24+13+7=44种 8根：第7根 + 第6根 + 第5根 = 44+24+13=81种 9根：第8根 + 第7根 + 第6根 = 81+44+24=149种 10根：第9根 + 第8根 + 第7根 = 149+81+44=274种 验证：前几项列举正确，递推关系正确。 答：共有274种不同取法。 第3题 答案：20种 解析： 3×3的网格图（4列4行的点），用标数法： 第1行：1、1、1、1 第2行：1、2、3、4 第3行：1、3、6、10 第4行：1、4、10、20 终点在右上角，答案是20种。 验证：C(6,3) = 20，正确！ 答：共有20条不同的路线。 第4题 答案：第5次 解析： 青蛙每次向上跳3米，又下滑1米，相当于每次净上升2米。 但是注意：最后一次跳出去就不会下滑了！ 我们一步步算： 第1次：跳3米，到3米，滑1米，到2米 第2次：跳3米，到5米，滑1米，到4米 第3次：跳3米，到7米，滑1米，到6米 第4次：跳3米，到9米，滑1米，到8米 第5次：跳3米，到11米，已经超过10米了，跳出去了！ 所以第5次才能跳出井口。 注意：不要直接用10÷2=5次，虽然这道题答案正好是5，但思路不一样！ 比如井深9米，答案不是4.5次，而是第4次： 第3次结束在6米 第4次跳3米，到9米，正好跳出去 答：青蛙第5次才能跳出井口。 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：18种 解析： 经过特定点的路径问题，分段计算再相乘。 4×3的网格图，C点坐标为(2,1)： A→C：从A(0,0)到C(2,1)，要走2步右和1步上，共C(3,1)=3种 C→B：从C(2,1)到B(4,3)，要走2步右和2步上，共C(4,2)=6种 总路线数 = 3 × 6 = 18种 验证：用标数法直接标，结果一致。 答：共有18条不同路线。 第2题 答案：9种 解析： 本题同时封锁 C、D 两点，需同时扣除经过 C、经过 D、重复经过两点的路线。 总路线（无障碍）：C(7,3) = 35种 经过C点：A→C（C(3,1)=3种）× C→B（C(4,2)=6种）= 18种 经过D点：A→D（C(5,2)=10种）× D→B（C(2,1)=2种）= 20种 同时经过C和D：A→C（3种）× C→D（C(2,1)=2种）× D→B（C(2,1)=2种）= 12种 不经过C且不经过D：35 - 18 - 20 + 12 = 9种 答：共有9条不同路线。 第3题 答案：34种 解析： 这道题就是典型的登台阶问题！ 每次跨过1级或2级，登上8级台阶，递推公式：第n级 = 第n-1级 + 第n-2级 第1级：1种 第2级：2种 第3级：1+2=3种 第4级：2+3=5种 第5级：3+5=8种 第6级：5+8=13种 第7级：8+13=21种 第8级：13+21=34种 答：共有34种不同的方法。 十二、本讲总结（思维导图速记） 🗺️ 知识地图 加法原理——递推法与标数法 · 基本思想 · 从简单到复杂，一步步推算 · 找到递推关系，利用加法原理 · 数形结合，直观易懂 · 两大核心方法 · 递推法：适用于登台阶、取火柴等问题 · 标数法：适用于网格路径、有向图等问题 · 三大常考题型 · 登台阶问题：每次1级或2级 → 类斐波那契数列（从1，2开始；前两项相加） · 取火柴问题：每次2根或3根 → 类似递推 · 网格路径问题：最短路径 → 标数法 · 三种拓展题型 · 经过特定点：分段计算，乘法原理 · 有障碍的路径：障碍点标0 · 有方向限制：按箭头方向标数 · 解题步骤 · 找：找到递推关系或标数规则 · 初：算出初始值或起点值 · 推：一步步推算或依次标数 · 验：用简单情况验证 📋 核心公式速查表 题型 递推关系 初始条件 举例 登台阶（1或2级） f(n) = f(n-1) + f(n-2) f(1)=1, f(2)=2 1,2,3,5,8,13,21... 取火柴（2或3根） f(n) = f(n-2) + f(n-3) f(0)=1, f(1)=0, f(2)=1, f(3)=1 1,0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,9... 取火柴（1~3根） f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3) f(0)=1, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4 1,1,2,4,7,13,24... 网格路径（m×n） 每个点 = 左边 + 下边 最下一行=1，最左一列=1 组合数 C(m+n, m) 经过特定点 分段计算，再相乘 每段用标数法 A→C × C→B 有障碍路径 障碍点标0，其他正常 同普通网格 障碍点=0 ⚠️ 避坑清单 ❌ 最容易错的6个地方： 1.初始条件算错：前几项算错，后面全错 避坑方法：用列举法验证前几项，确保正确 2.递推关系找错：不是所有题都是"前两项相加" 避坑方法：看清每次走几步、取几根，自己推导递推关系 3.0根/0级的情况忽略：有些问题0根是1种方法（不取） 避坑方法：注意题目从第几项开始，0的情况要不要考虑 4.标数时漏点：网格图标数漏掉某个点 避坑方法：按顺序一行一行、一列一列标，不要跳 5.方向搞反：标数时搞反了左右上下 避坑方法：先想清楚"到这个点能从哪些点过来"，再加 6.障碍点处理错：障碍点后面的点也受影响 避坑方法：障碍点标0，其他点正常算，按顺序来 🎯 解题小口诀 【递推法口诀】 递推法，真奇妙，从简单，往难推； 先找关系再算初，一步一步往上推。 前几项，要算对，不然后面全白费； 算完之后验一验，简单情况来核对。 【标数法口诀】 标数法，真简单，从起点，开始算； 左边加下边，数字往上填。 一行一行往右填，一列一列往上填； 遇到障碍标个0，按部就班别着急。 【解题四步口诀】 一找初二推三验， 递推标数都灵验； 简单复杂找规律， 加法原理来体现。 —— 本讲结束，继续加油哦！💪 —— 学科网（北京）股份有限公司 $