专题09 一元二不等式的求解 （4大知识点+9大题型+强化训练）-2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义

本讲义聚焦一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解核心知识点，从基础的解集概念、交集运算入手，逐步深入含参分类讨论，再结合二次函数图象与方程根的关系，延伸至恒成立问题、根的分布及实际应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料通过含参不等式分类讨论培养逻辑推理（数学思维），结合函数图象强化几何直观（数学眼光），设计太阳能供电费用等实际问题提升模型意识（数学语言）。题型分层且有跟踪训练，课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题09 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解 知识点一、含参一元一次不等式(组)的求解 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 3.含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点二、一元二次不等式的求解 1．一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点三、一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为________． 知识点四、从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 知识点一、含参一元一次不等式（组）的求解 题型01：含参一元一次不等式的求解 【例1】不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．若不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x<1}，则实数a必须满足 . 2. 若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 3. 若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 题型02：含参一元一次不等式组的求解 【例2】若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【跟踪训练】 1．若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为 . 知识点二、一元二次不等式的求解 题型03：解一元二次不等式 【例3】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例4】解下列不等式： （1）(2)；(3)．（4）； 【跟踪训练】 1.求下列不等式的解集： (1)；(2)；(3)；(4)． 2.解下列不等式： (1)； (2)；(3).（4）； 3.解下列不等式： (1)； (2) (3)；(4)；(5)．(6)； 题型04：解含参数的一元二次不等式 【例5】解关于x的不等式：. 【例6】解关于的不等式：． 【跟踪训练】 1. 求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： （1） （2）； （3）． 2．解关于的不等式: . 3.解关于x的不等式 4.已知，求解关于的不等式. 题型05：根据一元二次不等式的解集求参数 【例7】若不等式的解集是，则的值为（       ） A．-10 B．-14 C．10 D．14 【例8】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 2.不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 4.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（       ） A． B． C． D．的解集为或 5.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6. 已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 知识点三、综合提升 题型06：有关一元二次不等式恒成立问题 【例9】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练】 1. 已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 2. ，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 3.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07：一元二次方程根的分布 【例10】关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【跟踪训练】 1. 关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 2. 若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________. 3.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B．C．D． 4.已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5.已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 题型08：一元二次不等式的实际应用 【例11】近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【跟踪训练】 1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 2.某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 题型09：综合提升 【例12】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 2. 已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 3. 已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，设，，若，求的取值范围. 一、填空题 1.已知，若关于的不等式的解集为，则 . 2.不等式组无实数解，则的取值范围是 . 3.不等式的解集为_______ 4.不等式的解集是_______ 5.不等式的解集为_________. 6.不等式的解集为________ 7.不等式的解集是________ 8.若不等式的解集是，则的值为_______ 9. ，恒成立，则实数a的取值范围是 . 10.若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为_______ 11.若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________． 12.方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 二、选择题 13.设，解关于的不等式，下列说法正确的是（   ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 14. 不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 15．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（    ） A．B．C． D． 16.已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论错误的是（       ） A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} 三、解答题 17.解下列一元二次不等式 (1) (2) 18．解决下列问题： (1)求解关于的不等式：； (2)设集合，若集合中有3个元素，求的范围. 19. 根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 20.已知关于的不等式，其中． (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若时，不等式的解集为，求的取值范围． (3)若，求该不等式的解集（解集用表示） 21.设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题09 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解 知识点一、含参一元一次不等式(组)的求解 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 3.含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点二、一元二次不等式的求解 1．一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点三、一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为________． 知识点四、从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 知识点一、含参一元一次不等式（组）的求解 题型01：含参一元一次不等式的求解 【例1】不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 【跟踪训练】 1．若不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x<1}，则实数a必须满足 . 【答案】a<-1 【详解】因为不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x<1}， 所以a+1<0，则a<-1. 故答案为：a<-1 2. 若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答. 【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且， 因此，且，不等式化为：，而，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 3. 若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到是方程的根，求得且，进而化简不等式，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的根，且， 即，且，可得， 则不等式可化为， 因为，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 题型02：含参一元一次不等式组的求解 【例2】若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含参数的一元一次不等式 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 【跟踪训练】 1．若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过画数轴即可求解. 【详解】通过画数轴，根据解集为，判断出和的关系，得． 故选：C. 2．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】 因为关于的一元一次不等式组有解， 所以 故答案为： 知识点二、一元二次不等式的求解 题型03：解一元二次不等式 【例3】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】根据一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由题意可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为或. （4）由题意可得，令，解得或， 所以不等式的解集为. 【例4】解下列不等式： （1）(2)；(3)．（4）； 解：（1），， 所以不等式的解集是； （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4），整理得：，即 解得：，不等式解集为：. 【跟踪训练】 1.求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】根据解一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. （2）因为不等式等价于， 所以解得或， 所以不等式的解集为或. （3）因为不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （4）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. 2. 解下列不等式： (1)； (2)；(3).（4）； 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）通过配方即可得解； （2）化为一元二次不等式的标准形式，根据判别式即可得解； （3）先判断判别式，然后即可得解. 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为（或写为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （4），整理得： ，故不等式再实数范围内无解 不等式解集为：. 3.解下列不等式： (1)； (2) (3)；(4)；(5)．(6)； 【答案】(1)或 (2)(3)或(4)(5)（6），，。 【解析】(1)因为，所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3. 所以原不等式的解集为或. (2)因为， 所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝ 所以原不等式的解集为. (3)将原不等式变形为，即，解得或， 故原不等式的解集为或； (4)将原不等式变形为，解得，故原不等式的解集为； (5)对于不等式，，故原不等式的解集为. (6)不等式化为，即，解得， 即或，∴原不等式的解集为，，； 题型04：解含参数的一元二次不等式 【例5】解关于x的不等式：. 【答案】答案见解析 【解析】即， 则对应方程的根为， ①当或时，原不等式的解集为， ②当或时，原不等式的解集为， ③当时，原不等式的解集为. 【例6】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【跟踪训练】 1. 求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： （1） （2）； （3）． 【详解】(1)因为，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）， 解得， 所以不等式的解集为. （3）由得， 即， 当时，即恒成立， 不等式的解集为. 当时，，所以不等式的解集为或. 当时，，所以不等式的解集为或. 2．解关于的不等式: . 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分成，，，，几种情况分别讨论不等式的解集； 【详解】原不等式可化为.. （1）当时，有. （2）当时， 式，∵， ①当时，，∴. ②当时，，，此时解集为. ③ 当时，.∴. （3）当时，式，∵，∴.∴或. 综上所述，原不等式的解集为: 当时，为或； 当时，为； 当时，为； 当时，为； 当时，为. 3.解关于x的不等式 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】解：关于x的不等式可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}，． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，所以． 即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或}， 4.已知，求解关于的不等式. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由于可化简为，二次项系数中含有参数且是否为零不确定，先按二次项系数的符号分类讨论，再讨论两根的大小即可求解 【详解】， （1）当时， 即 解得 （2）当时， 解得 （3）当时 ①当时，即 解得 ②当时， 或 ③当时， 或 综上所述： 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 题型05：根据一元二次不等式的解集求参数 【例7】若不等式的解集是，则的值为（       ） A．-10 B．-14 C．10 D．14 【答案】B 【解析】由题意，和是方程的两个根，由韦达定理得：且，解得：，，所以.故选：B 【例8】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式，即， 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故； 当时，不等式解集为，此时不符合题意； 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故； 故实数m的取值范围为．故选：C 【跟踪训练】 1.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且， 则，解得，，所以不等式化为，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故选：A． 2.不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解. 【解答过程】设是方程的两个根， 由题意知，，解得， 所以不等式可变为， 即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 3.若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解. 【解答过程】由题不等式的解集为， 所以是方程的两不等实数根， 所以，得，， 所以. 故选：C. 4.已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（       ） A． B． C． D．的解集为或 【答案】D 【解析】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确； 的根为，则，即∴，B正确； ，C正确；，即，则，解得 ∴的解集为，D错误；故选：D． 5.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得. 【解答过程】由，得． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 综上，实数的取值范围为或. 故选：B. 6. 已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 知识点三、综合提升 题型06：有关一元二次不等式恒成立问题 【例9】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】当时，恒成立，符合题意； 当时，由题意有，解得，综上，.故选：B. 【跟踪训练】 1. 已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 2. ，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 【答案】A 【分析】先排除的情况，再根据一元二次不等式恒成立，得出的值，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】当时，不会恒成立，所以， 所以，即， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A. 3.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得不等式对任意实数均成立，分和，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：因为不等式对任意实数均成立， 即不等式对任意实数均成立， 当，即时，有恒成立，满足题意； 当，即时， 则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 题型07：一元二次方程根的分布 【例10】关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 【跟踪训练】 1. 关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】不妨设关于的方程的两实数根为，，利用韦达定理推出矛盾，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，，则， 若两根均大于，则，矛盾， 故不存在实数，使得关于的方程的两根均大于， 即实数的取值集合为. 故答案为： 2. 若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________. 【答案】 【解析】首先，设方程的两根为，则， 所以，又，解得．故答案为：． 3.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为关于的方程在区间内有实根， 所以在区间内有实根， 令，，所以在上单调递减， 所以，即， 依题意与在内有交点， 所以. 故选：B 4.已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 由题可知： 则，即故选：C 5.已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以的取值范围是． 题型08：一元二次不等式的实际应用 【例11】近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费， (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【详解】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为. 【跟踪训练】 1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 2.某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 题型09：综合提升 【例12】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）把代入，解不等式即可； （2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求的最小值即可. 【解答过程】（1）当时，， 则不等式，即， 解得，或， 因此当时，不等式的解集为. （2）当时，关于的不等式恒成立， 即当时，关于的不等式恒成立， 在时，恒成立， 令， 令，则， 故， 又， 当且仅当，即时等号成立， 故当，即时，， 因此可得， 即当时，关于的不等式恒成立，的取值范围为. 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程根的关系，根据韦达定理即可求出； （2）不等式化为（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0，分类讨论即可求出． 【解答过程】解：（1）由已知可得方程x2﹣（a+3）x+2a+b+1＝0的两个根为x1＝2，x2＝3， 由韦达定理可得， 解得：a＝2，b＝1， （2）不等式f（x）＜b﹣1可化为x2﹣（a+3）x+2（a+1）＜0， 因式分解得（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0， （i）若a+1＞2，由题意可得，解得2＜a≤3， （ii）若a+1＜2，由题意可得，解得﹣1≤a＜0， （iii）若a+1＝2与题意不符， 综上：﹣1≤a＜0或2＜a≤3． 2. 已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分析可知，，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）由（1）可知，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 3. 已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，设，，若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）根据题意，利用含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式， 若，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 若，不等式可化为，即， 此时方程的两根分别为， 当时，不等式即为，解得，解集为； 当时，不等式即为， 若，可得，解得或，不等式的解集为或； 若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为； 若，可得，解得或，不等式的解集为或， 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）解：由不等式，可得，即， 因为时，集合，且， 所以不等式在上恒成立， 设， 则满足，解得， 即实数的取值范围为. 一、填空题 1.已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 2.不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 3.不等式的解集为_______ 【解题思路】由题可得不等式解集. 【解答过程】或，则得或. 则解集为或. 4.不等式的解集是_______ 【解题思路】直接求解一元二次不等式即可. 【解答过程】因为，所以， 所以不等式的解集是. 5.不等式的解集为_________. 【解题思路】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】因为不等式， 所以， 6.不等式的解集为________ 【解题思路】根据题意解一元二次不等式即可. 【解答过程】由，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 7.不等式的解集是________ 【解析】原式化为，即，故不等式的解集为. 8.若不等式的解集是，则的值为_______ 【解析】由题意，和是方程的两个根， 由韦达定理得：且，解得：，， 所以. 9. ，恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题运算求解. 【详解】因为，整理得， 当时，则不恒成立，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 10.若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为_______ 【解题思路】讨论、，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【解答过程】当时，恒成立，满足； 当时，，可得， 综上，. 11.若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________． 【答案】（，＋∞） 【解析】设，由题意，解得，故答案为：． 12.方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】的两个根都大于，解得 可求得实数的取值范围为故答案为： 二、选择题 13.设，解关于的不等式，下列说法正确的是（   ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 【答案】C 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】对分四种情况讨论得解. 【详解】解：当时，，该不等式的解集为； 当时，，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为. 故选：C 14. 不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的解法解不等式即可． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为． 故选：A． 15．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵不等式的解集为R，当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立， 故a＝2符合题意； 当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R， 则，解得， 综合①②可得，实数a的取值范围是． 故选：B． 16.已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论错误的是（       ） A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} 【答案】A 【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得， ，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确. 故选：A. 三、解答题 17.解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 18．解决下列问题： (1)求解关于的不等式：； (2)设集合，若集合中有3个元素，求的范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）注意到. ①当，即时，此时不等式解集为空集； ②，即时，此时不等式解集为； ③，即时，此时不等式对应方程的解为： ，又， 则不等式解集为：. 综上，当时，解集为；时，解集为；时，解集为. （2）由（1）可知，时满足题意，又注意到， 结合中有3个元素，则， 得. 故的范围是. 19. 根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围，再结合必要不充分条件的定义计算即可； （2）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可； 【详解】（1）由，记； 由，记． 因为是的必要不充分条件，所以，则 且等号不同时成立，解得， 综上，的取值范围为； （2）若命题为真，设为的两个不等的负根，则 ，解得； 若命题为真，则当时，不等式化为，恒成立； 当时，，解得，于是的范围是． 若真假，则， 若假真，则， 综上，若一真一假，则． 20.已知关于的不等式，其中． (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若时，不等式的解集为，求的取值范围． (3)若，求该不等式的解集（解集用表示） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得，代入所求不等式求解即可； （2）由一元二次不等式在R上恒成立列不等式求解即得； （3）由题设，讨论参数求对应的解集即可. 【详解】（1）由一元二次不等式的解集知，可得， 又由，可得，即， 解得， 故不等式的解集为； （2）由条件知，不等式在R上恒成立， 当时，显然恒成立； 当时，需使，解得， 综上； （3）由题设，，则有， ① 当时，不等式可化成 若，即时，解集为 若，即时，无解； 若，即时，解集为. ② 当时，则，解集为; ③ 当，则，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 21.设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $