第一章 回顾与思考 课件 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件围绕勾股定理及逆定理展开，以“勾股树”情境导入，通过单元结构图梳理知识框架，对比勾股定理与逆定理的区别联系，构建从回顾知识到应用实践的学习支架。 其亮点在于情境化设计激发学习兴趣，专题突破（如立体图形最短路径、折叠问题）培养空间观念与几何直观，实际应用（渡河、航行问题）渗透方程思想与模型意识。课堂小结引导学生反思易错点，助力教师高效教学，提升学生推理能力与应用意识。

第一章 勾股定理 回顾与思考 教学目标： 1. 梳理勾股定理、逆定理相关知识，构建本章知识框架，熟练运用定理进行计算与直角三角形判定。 2. 归纳典型题型解法，体会数形结合、方程思想，提升几何推理与解决实际问题的能力。 3. 查漏补缺，反思常见易错点，养成规范解题、及时归纳梳理的习惯。 教学重点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决计算、证明与实际应用问题。 教学难点：构造直角三角形解题，区分勾股定理与逆定理，规避常见易错陷阱。 创设情境 在美丽的勾股树下， 回顾、反思、提升。 单元结构图 勾股定理 勾股定理 的逆定理 直角三角形 验证方法 已知两边 求第三边 判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直 知识要点 一、勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 二、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 勾股数 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数 三、勾股定理与勾股定理的逆定理的比较 以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有 a2 + b2 =c2 关系式成立. 以一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 为条件，得出这个三角形是直角三角形的结论  都与三角形三边有关；  都与直角三角形有关 勾股定理 勾股定理的逆定理 区 别 联 系 知识要点 1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 ，则第三边长的平方是（　　） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25 D 2. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为______. 分类思想 查漏补缺 双垂图 3.下列以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a = 1.5，b = 2，c = 3 B. a = 7，b = 24，c = 25 C. a = 6，b = 8，c = 10 D. a = 3，b = 4，c = 5 A 逆向思维 4.如图1，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形. 图 2 由图 1 的两个小正方形向外分别作直角边之比为 4 : 3 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图 中所有正方形的面积和为 ( ) A.200 B.175 C.150 D.125 50 75 32 42 52 32 42 32 42 100 B 数学结合 5. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想. 下列选项中的图形， 不能证明勾股定理得是 ( ) C 6. 观察下列等式. 第 1 个等式：(22 - 1)2 + 42 = 52； 第 2 个等式：(32 - 1)2 + 62 = 102； 第 3 个等式：(42 - 1)2 + 82 = 172； 第 4 个等式：(52 - 1)2 + 102 = 262. (1) 请用含 n ( n 为正整数，且 n > 1) 的等式表示上面的规律，并证明其正确性. 解：(n2 - 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2 (n2 - 1)2 + (2n)2 = n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2. (2) 若三个整数能构成直角三角形的三边长，则称这 三个数为勾股数 (例如，3，4，5). 现有一个直角边为 35 的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用 (1) 中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由. (2) 它的三边长能为勾股数. 理由如下： 35 = 36 - 1 = 62 - 1， 把 n = 6 代入，得 (62 - 1) + (2×6)2 = (6+1)2， 即 352 + 122 = 372， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37. 7.如图，某人欲横渡一条河， 由于水流的影响，实际上岸地点 A 处偏离欲到达地点 B 处 40 m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 10 m 求该河的宽度 BC 的长. 解：设 BC 为 x m，则 AC 为 (x + 10) m. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，由勾股定理得 AC2 + AB2 = BC2，即 (x + 10)2 = 402 + x2. 解得 x = 75，即 BC = 75 m. 答：该河的宽度 BC 为 75 m. 实际应用 8. B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 北 东 B M P 60° 解：甲船航行的距离为 BM = 16 n mile， 乙船航行的距离为 BP = 30 n mile. 因为 162+302 = 1156，342 = 1156， 所以 BM2 + BP2 = MP2. 所以△MBP 为直角三角形. 所以∠MBP = 90°. 所以 乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的. 实际应用 9. 小明家住在 18 层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿.如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 米、1.5 米、2.2 米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？ 糟糕，太长了，放不进去 实际应用 1.5 米 1.5 米 2.2 米 1.5 米 1.5米 x x 2.2米 A B C x2 = 1.52 + 1.52 = 4.5 AB2 = 2.22 + x2 = 9.34 AB ≈ 3.1 米 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 3.1 米，因为竹竿放不进去，所以小明买的竹竿至少是 3.1 米. 实际应用 方程思想 专题突破 专题1.立体图形中的最短路径问题 【方法技巧】先把立体图形展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”求解． 10.如图，长方体的长为2，宽为1，高为4.一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点A斜对角的点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是____． 5 11.如图，圆柱形玻璃杯的底面周长为18 cm，高为12 cm，在杯内距杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处．若蚂蚁要吃到蜂蜜，则最短爬行路程为____cm. 12.如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20 cm，长都是50 cm，宽都是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是 ( ) A. 100 cm B．120 cm C．130 cm D．150 cm C 13.如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为16 dm，3 dm，1.5 dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 ( ) A．20 dm B．25 dm C．30 dm D．35 dm A 专题突破 专题2.翻转问题 解决这类问题的关键是抓住对称性．一般设未知数，由勾股定理列出含有平方关系的方程，运用方程思想分析和解决问题． 14. 如图，将等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)沿EF折叠，使点A落在边BC的中点A1处，BC＝6，求线段AE的长． 解：依题意，得A1E＝AE，A1B＝ BC， BE＝AB－AE＝BC－AE. 在Rt△A1BE中，由勾股定理，得 AE2＝ ＋(BC－AE)2， 即AE2＝32＋(6－AE)2， 解得AE＝ (变式1)如图，在长方形ABCD中，AB＝15，BC＝25，E，F分别是边AD，BC上的点．将长方形ABCD沿EF折叠,点C恰好与点A重合,点D落在点G处,求AE的长． 解：由折叠，得∠AGE＝∠ADC＝ 90°， GE＝DE，AG＝CD＝15. 设GE＝DE＝x，则AE＝25－x. 在Rt△AEG中，由勾股定理，得 AG 2＋GE 2＝AE 2， 即152＋x2＝(25－x)2，解得x＝8. ∴AE＝25－8＝17. (变式2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10.在边AC上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使AB与直线BC重合，点A的对应点为D，求CE的长． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝102－62＝64， ∴AC＝8. 由折叠，得BD＝AB＝10，DE＝AE. 在Rt△CDE中，CE2＋CD2＝DE2， 即CE2＋(10－6)2＝(8－CE)2， 解得CE＝3. (变式3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上．把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则BD＝____． 5 (变式4)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB的中点C′处．若AB＝6,BC＝9,求BF的长. 解：依题意，得BC′＝AB， C′F＝CF＝BC－BF. 在Rt△BFC′中，由勾股定理，得 BF2＋ ＝(BC－BF)2， 即BF2＋32＝(9－BF)2，解得BF＝4. 本章我最容易出错的地方：________________________________ 后续需要强化练习的题型：________________________________ 这节课我掌握了：________________________________ 课堂小结 $