精品解析：四川省资阳市安岳县石羊初级中学2021-2022学年八年级下学期第三次月考数学试题

八年级数学下册第三次月考 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点M与点N关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 如图，在周长是的中，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于两条对角线长度的乘积 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 已知点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 7. 如图所示，将一张矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（　　） A. 乙的速度为5米/秒 B. 乙出发8秒钟将甲追上 C. 当乙到终点时，甲距离终点还有96米 D. a对应的值为123 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有  （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 从2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为_____． 12. 将平面直角坐标系中的直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的直线解析式是______． 13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，矩形的长、宽分别为7cm、4cm，EF过点O分别交AB、CD于E、F，那么图中阴影部分面积为___cm2． 14. 若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数在第二象限的图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为8，则k的值为______． 16. 两个反比例函数在第一象限内的图象如图所示，点，．．．，在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是，···，共个连续奇数，过点，···，分别作轴的平行线，与的图象交点依次是，，．．．．，，则_______． 三．解答题（本大题8小题，共86分） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简（－x＋1）÷，再从－1，0，1中选择合适的x值代入求值． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别是AD，BC上的点，且，分别过点E，F作，，垂足分别为G，H，连接EH，FC．请判断四边形HFCE的形状并说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，已知 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 21. 如图，在正方形中，点P在上，且不与重合，点H在上，且不与重合，连接与交于点E． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若正方形的边长为，求线段的长． 22. 为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍． （1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润． 23. 如图AM∥BN，C是BN上一点， BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E． （1）求证：△ADO≌△CBO． （2）求证：四边形ABCD是菱形． （3）若DE = AB = 2，求菱形ABCD的面积． 24. 如图，矩形中，点C在y轴上，点A在x轴上，点B的坐标是，矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与、y轴分别交于点D、F． （1）求线段的长； （2）求直线的解析式； （3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下册第三次月考 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，即可得解． 【详解】由题意，得x−5≠0 ∴ x≠5 故选：A． 【点睛】此题主要考查根据分式有意义的条件求自变量的取值范围，熟练掌握，即可解题． 2. 已知点M与点N关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点O的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点M与点N关于原点对称， ∴，， 故． 故选：C． 3. 如图，在周长是的中，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据线段的垂直平分线求出，待求出的周长等于，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵的周长是， ∴（）， ∴（）． ∴的周长是（）． 4. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，a必定不为0，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．当时，此时无意义，故D不符合题意． 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于两条对角线长度的乘积 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形， 如下图，，，则四边形不是矩形，故错误，是假命题，不符合题意； C．菱形的面积等于两条对角线长度的乘积的一半，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意． 6. 已知点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y（k＞0）的图象上， ∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象在第一、三象限， ∵﹣7＜﹣4，0＜5， ∴y2＜y1＜0＜y3， 即y2＜y1＜y3， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7. 如图所示，将一张矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 利用求，根据折叠性质求，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵, ∴ 故选：D． 8. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据菱形的判定可得四边形ABCD是菱形，再根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】如图，连接AC、BD，交于点O，过点B作于点E，过点D作于点F，则， 由题意得：， 四边形ABCD是平行四边形， 在和中，， ， ， 平行四边形ABCD是菱形， ， 则在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 9. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（　　） A. 乙的速度为5米/秒 B. 乙出发8秒钟将甲追上 C. 当乙到终点时，甲距离终点还有96米 D. a对应的值为123 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以判断出各个选项的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），故选项A正确； 甲的速度为：8÷2＝4（米/秒）， 设乙出发x秒将追上甲， 5x＝8+4x，得x＝8，故选项B正确； 当乙到终点时，甲距离终点还有：500﹣（100+2）×4＝92（米），故选项C错误； a＝500÷4﹣2＝125﹣2＝123，故选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是明确题意，明确题意结合图象是解题关键． 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有  （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，综合运用以上知识点，正确做辅助线构造全等是解题的关键；由正方形的性质可证，即可判断①，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断③，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断④，在上截取，连接， 则是等边三角形，证明即可得解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，，， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， ， ， ， 故④正确； 在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 从2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 将平面直角坐标系中的直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的直线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式即可． 本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律，属于基础题，中考常考题型． 【详解】解：将直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，得到直线，即， 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，矩形的长、宽分别为7cm、4cm，EF过点O分别交AB、CD于E、F，那么图中阴影部分面积为___cm2． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：四边形是矩形，且长、宽分别为、， ，， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分面积为， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 14. 若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． 【答案】1或3 【解析】 【分析】先去分母化为整式方程，再结合解为正整数、分式分母不为“0”求k即可． 【详解】解：， 等式两边都乘得， 整理得， 解得， ∵方程的解为正整数，且， ∴且， ∵k为正整数， ∴或3． 15. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数在第二象限的图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为8，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据平行线间的距离相等得出，然后根据反比例函数性质k的几何意义即可求得． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 又反比例函数经过第二象限， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确平行线之间的距离处处相等，进而得到的面积=的面积是解题的关键． 16. 两个反比例函数在第一象限内的图象如图所示，点，．．．，在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是，···，共个连续奇数，过点，···，分别作轴的平行线，与的图象交点依次是，，．．．．，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点，，，，在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是，，，，，纵坐标分别是1，3，5，，共2020个连续奇数，可求出相应的，，，，，再把，代入反比例函数，可求出的值． 【详解】解：点，，，，在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是，，，，，纵坐标分别是1，3，5，，共2020个连续奇数， ，，，，，， 把代入反比例函数得， ， 故答案为：． 【点睛】考查反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上的点坐标特征，找到横坐标的规律是解题的关键． 三．解答题（本大题8小题，共86分） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 两边同时乘以得，， 整理得，， 解得； 检验：当时，， 所以是原方程的增根， 所以原方程无解． 18. 先化简（－x＋1）÷，再从－1，0，1中选择合适的x值代入求值． 【答案】；-1 【解析】 【分析】先将小括号内的分式通分化简，再根据除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，结合完全平方公式、平方差公式解题，约分、化简，最后根据分式有意义的条件代入，计算求值即可． 【详解】 当时， 原式 【点睛】本题考查分式的化简求值，其中涉及分式有意义的条件、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别是AD，BC上的点，且，分别过点E，F作，，垂足分别为G，H，连接EH，FC．请判断四边形HFCE的形状并说明理由． 【答案】平行四边形，见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证得，根据垂直定义和平行线的判定证得∥，再利用AAS证明，可得，进而根据平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：四边形HFGE是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∥． ∴． ∵，， ∴． ∴∥． ∵． ∴． ∴． ∴四边形HFGE是平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂直定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形的全等是解答的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，已知 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1），；（2）4 【解析】 【分析】（1）一次函数和反比例函数都经过点A，把点A坐标代入即可求得； （2）先利用解析式求得点B坐标，再利用求面积． 【详解】解：把代入得， 解得 一次函数解析式为； 把代入得， 反比例函数解析式为； 把代入得 点坐标为， 当时，， 解得 点坐标为 ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及三角形的面积，得出B点坐标是解题关键． 21. 如图，在正方形中，点P在上，且不与重合，点H在上，且不与重合，连接与交于点E． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若正方形的边长为，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可以得到Rt△PAB≌Rt△HBC，然后根据全等三角形的性质、正方形的性质、外角的性质和直角三角形的定义可以得解； （2）由（1）和已知可以求出HB、BC、CH的值，然后根据三角形面积的求法可以得到BE的长度． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴， 在Rt△PAB和Rt△HBC中， ， ∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL）， ∴∠APB＝∠BHC， ∵∠APB+∠PBA＝90°， ∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB， ∴BP⊥CH； 【小问2详解】 解：∵正方形ABCD的边长为12， ∴AB＝BC＝12， ∵AP＝5， 由（1 ）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5， 在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝， ∵△HBC的面积＝， ∴， 解得：BE＝， 即线段BE的长为． 【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握直角三角形全等的判定和性质、直角三角形的定义、三角形外角定理、勾股定理的应用是解题关键． 22. 为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍． （1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；（2）购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元 【解析】 【分析】（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，利用“用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍”列方程求解即可； （2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，结合题目条件得到y的范围，并列出利润关于y的一次函数，运用一次函数的性质结合y范围即可求解． 【详解】解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元， 由题意，得， 方程两边乘，得， 解得， 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为． 故甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件， ∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍， ∴． ∴． 由题意，利润=-20y+4000， ∵， ∴W随y的增大而减小， ∴当时，W的最大值为元， ∴获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元． 【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数在实际问题中的应用.熟练运用一次函数的性质确定最大利润方案是解决本题的关键． 23. 如图AM∥BN，C是BN上一点， BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E． （1）求证：△ADO≌△CBO． （2）求证：四边形ABCD是菱形． （3）若DE = AB = 2，求菱形ABCD的面积． 【答案】 （1）证明：∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO， ∵AM∥BN， ∴∠DAC＝∠ACB， 在△AOD和△COB中， ， ∴△ADO≌△CBO（ASA）； （2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO， ∴AD＝CB， 又∵AM∥BN， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM∥BN， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABN， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）由ASA即可得出结论； （2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD＝AB，即可得出结论； （3）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性质得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD═，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝CB， 又DE⊥BD， ∴AC∥DE， ∵AM∥BN， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE＝2，AD＝EC， ∴EC＝CB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EC＝CB＝AB＝2， ∴EB＝4， 在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，矩形中，点C在y轴上，点A在x轴上，点B的坐标是，矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与、y轴分别交于点D、F． （1）求线段的长； （2）求直线的解析式； （3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线的解析式为 （3）在x轴上存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及对运用勾股定理求解即可； （2）设，根据折叠可得，然后对运用勾股定理建立方程求解，再由待定系数法求解直线的表达式即可； （3）由菱形的性质可得为等腰三角形，然后分三种情况讨论，根据菱形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，点B的坐标是， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得：， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在， ∵使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形， ∴为等腰三角形， ①当时，此时， ∴M的坐标为或； ②当时，连接交于点 如图所示： 设直线解析式为， 由点在图象上可知：， ∴， 则直线解析式为， 设点， 在中，， 即， 解得， ∵点E在第三象限， ∴， ∴ ∵四边形是菱形 ， ∴ ∴ ∴点； ③当时，垂直平分，垂足为G，作于P，如图所示： 由②得，则，， 在中，由勾股定理得 ∵， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，在x轴上存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $