专题03 有理数运算综合培优（8题型突破·举一反三）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算8大核心题型，以"题型突破+举一反三"构建方法体系，融合抽象能力与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |裂项相消|2典例+4变式|基础公式推导，类比迁移应用|从分数运算到数列求和的逻辑延伸| |绝对值化简|2典例+2变式|非负性应用，分类讨论去符号|数形结合思想的递进式训练| |数轴动态问题|2典例+2变式|动点公式，中点公式，折叠规律|从静态表示到动态变化的思维升级| |新定义运算|7典例+8变式|规则转化，符号运算综合|抽象概念到具体应用的模型构建| |乘方与进位制|2典例+5变式|规律探究，进制转化公式|数系扩展与运算规则的深度迁移|

专题03 有理数运算综合培优（8题型突破·举一反三） 题型01 裂项相消（期中期末压轴） 题型02 绝对值化简（培优核心、必考难点） 题型03 倒数法巧算（培优难点） 题型04 数轴上动点（七上压轴入门） 题型05 数轴上的翻折（压轴重难点·七上必考） 题型06 新定义运算进阶（中考创新题型） 题型07 乘方规律探究（培优专项·考试高频） 题型08 进位制认识与探索（拓展培优） ▌题型01 裂项相消（期中期末压轴） 基础公式：、 【典例1-1】（25-26七年级上·甘肃天水·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 【典例1-2】（25-26七年级上·广东东莞·阶段检测）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式＝__________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：， ， ， …… ， ， ∴ ． （3）解：∵， ， …… ， ， ∴ ． 【变式1-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 【详解】（1）解：由式子规律得：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【详解】（1）解：由规律可得，第④个等式为；第个等式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1-4】（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． ▌题型02 绝对值化简（培优核心、必考难点） 1. 非负性：，两个非负数和为0，则各自为0 2. 绝对值核心： 3.解题核心：先判正负，再去绝对值符号，正数直接去，负数变相反数 4.常用结论：若数轴上，则， 【典例2-1】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）（1）若，求的值； （2）若a、b、c是非零的有理数，且，求的值． 【详解】解：（1）∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 故的值为； （2）∵，，， 又∵， ∴、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数， ∴ ∴， ∴． 【典例2-2】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）时，式子有最小值为6，理由： 根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． ▌题型03 倒数法巧算（培优难点） 除数为多个分数和、被除数为单一分数，先算倒数再取反 【典例3】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，再把所得结果相加． 思路2：先求出，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____________． (2)请选择一种正确的思路计算： 【详解】（1）解：∵有理数除法不满足分配律，即； 思路1将拆分为，违背除法法则； 思路2先算括号内和再相除、思路3先算倒数的除法再求倒数，均符合除法法则，正确． 思路3：先算，再求所得结果的倒数，正确． 故答案为：1； （2）解法1： =1； 解法2： ， ． 【变式3-1】（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算： ①； ②． 【详解】（1）解：观察计算过程可知，解法一是错误的，因为除法没有分配律． 故答案为：一 （2）解：① ． ②先计算的倒数 ， ∴， ∴原式． ▌题型04 数轴上动点（七上压轴入门） 动点表示的数=起点数+运动速度×时间（右加左减）；两点距离 【典例4-1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，甲、乙两人的对应点分别在数轴和6的位置上，两个点沿数轴做东西方向移动的游戏．每一局，两人先进行“石头，剪刀，布”的划拳，（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀），而后根据输赢结果进行移动，然后再进行下一局． 移动规则：①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为___________，乙在数轴上代表的数为___________； (2)若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是___________，此时甲与乙在数轴上的位置相距___________个单位长度． (3)从如图所示的位置开始，若进行了局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出的值：___________． 【详解】（1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 故答案为：；5； （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 根据规则三局之后甲对应的数为：， 根据规则三局之后乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 【典例4-2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离．，请你利用数轴解决以下问题：（如图1）      (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为______________； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示1的点之间，点P对应的数记为m，则________ (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则等于_______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，，16，20，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟3个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 【详解】（1）解：∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或； （2）解：∵点P对应的数记为m， ∴表示点P到1和的距离和， ∵数轴上点P位于表示的点与表示1的点之间， ∴点P到1和的距离和为：， ∴； （3）解：∵， ∴． （4）解：①∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，，16，20， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， ∵点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动7秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短； ②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为： （次）， ∴需要运动的路程为：， ∴运动时间为：（秒）， 即从出发到都经过这5个点的最短时间为260秒． 【变式4-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； （2）如果点A表示数3，将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； 【归纳一般】 （3）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度（），请你猜想终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________． 【深入研究】 （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点A表示的数是，乙选择的游戏起点B表示的数是；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 A、B两点移动的方式 平局、乙胜 点A向右移动1个单位，点B向右移动2个单位 甲胜 点A向左移动2个单位，点B向左移动1个单位 设甲、乙两人共进行了k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）． ①当时，其中平局1次，甲胜1次，求点A、B最终表示的数； ②当时，其中平局x次，甲胜2次，求A、B两点间的距离． 【详解】解：∵点A表示数，向右移动7个单位长度， ∴终点B表示的数是，A、B两点间的距离是7． 故答案为：4，7； （2）∵点A表示数3，先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度， ∴终点B表示的数是； ∵A表示3，B表示4， ∴A、B两点间的距离是； 故答案为：4，1； （3）∵点A表示的数为m，向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度（）， ∴终点B表示的数是； ∵A表示m，B表示， ∴A、B两点间的距离为 ． 故答案为：；． （4）①∵，平局1次，甲胜1次， ∴乙胜的次数为次； ∵点A起点为，平局右移1、甲胜左移2、乙胜右移1， ∴点A最终表示的数是； ∵点B起点为，平局右移2、甲胜左移1、乙胜右移2， ∴点B最终表示的数是． 答：A表示的数为，B表示的数为1． ②∵，甲胜2次， ∴平局与乙胜的次数为次； ∵点A起点为，平局与乙胜右移1、甲胜左移2， ∴点A最终表示的数是； ∵点B起点为，平局与乙胜右移2、甲胜左移1， ∴点B最终表示的数是； ∵A表示，B表示0， ∴A、B两点间的距离是． 答：A、B两点间的距离是7． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【详解】（1）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 设的奇点为P，则， ∴， ∴此时点P表示的数为：， 即数3所表示的点是的奇点； 设的奇点为Q，则， ∴， ∴此时点Q表示的数为：； （2）解：∵点是数轴上的一个动点， ∴当点E在M、N之间时，最小， ∴的最小值为； 故答案为：8； （3）解：∵点所表示的数为，点所表示的数为30， ∴； 当点B为的奇点时，， 此时点P表示的数为； 当点B为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为； 当点P为的奇点时，， ∴， ∴此时点P表示的数为：； 当点P为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 综上，点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，，中恰有一个点为其余两点的奇点． ▌题型05 数轴上的折叠（压轴重难点·七上必考） 数轴中点公式：若数轴上两点对应数为 ，则两点折叠重合的折点（中点）对应数： 核心规律：折叠重合的两个点，到折点的距离相等。 【典例5-1】（25-26七年级上·全国·期中）如图为白纸上的一条数轴，，是数轴上的两个点，点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4． (1)点表示的数是 ． 提示：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4，所以，所以点表示的数是1． (2)，，，是数轴上不同于，的四个点，把数轴折叠，使，两点重合，此时，两点也重合． ①若点在原点的右边，到原点的距离为6，求点表示的数． ②若点，在数轴上原点的两侧，点到点的距离是100，折叠后，点到点，的距离相等，求点表示的数． 【详解】（1）解：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4， 所以， 故答案为：1． （2）①解：对折点表示的数为 所以点到对折点的距离为， 所以点表示的数为． ②若点在原点左侧，折叠后，，两点重合，点到点的距离等于折叠前点到点的距离，所以折叠后点表示的数为． 因为折叠后点到点，的距离相等，所以点表示的数为． 若点在原点右侧，同理可得，折叠后点表示的数为． 所以点表示的数为． 综上，点表示的数为201或． 【典例5-2】（25-26七年级上·广东中山·期中）操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点．如图，点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，． (1)若点表示的数是，求点表示的数； (2)若点表示的数是2，求点表示的数； (3)点经过上述操作后得到对应点为，若点对应的数是，则点对应的数是_____（用含的代数式表示） (4)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若点与点A之间的距离等于2，则点表示的数是_____． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）由题意，点表示的数为； （3）由题意，点表示的数为； （4）由（1）（2）可知，点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点A之间的距离等于2， ∴点表示的数为或； ∴点表示的数为或． 【典例5-3】（25-26七年级上·河南郑州·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动 把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？下列选项中可以表示以上过程及结果的是（　　） A．                B． C．                D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位长度，紧接着第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度……，依此规律跳，当它跳第次时，落在数轴上的点表示的数是___________； (2)翻折变化 假如数轴可折叠，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合； 若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点和点表示的数分别是多少？请回答并写出理由； 一条数轴上有点，其中点表示的分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点与点的距离为，则点表示的数___________． 【详解】（1）解：根据移动过程可得：， 故选：； 如果向左为“”, 向右为“”， ∴机器人跳动过程可以用算式表示为： ， ∴当机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵表示的点与表示的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， ∵， ∴表示2026的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点表示的数为，点表示的数为． 理由：∵数轴上两点之间的距离为，点在点的左侧，折痕处的点表示的数为， ∴两点到折痕处的距离都是， ∴点表示数为，点表示的数为； 当点在的左侧时， ∵，点表示的数为， ∴表示的数为， ∵以点为折点， ∴点表示的数为：； 当点在的右侧时， ∵，点表示的数为， ∴表示的数为， ∵以点为折点时， ∴点表示的数为：； 综上所述：点表示的数或． 【变式5-1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 【详解】（1） 由折叠知，表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 由数轴可知表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 故答案为． （2）折叠后点与点重合， 点与点关于表示数的点对称， 两点之间距离为， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为，． （3）点P到与的距离比为， 设P表示的数为x，则： ， 即：， 情况1：当时，，解得， 情况2：当时，，解得， 情况3：，，解得（不在范围，舍去）， 综上所述，P点表示的数为或． 【变式5-3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ 【详解】（1）解：∵表示的点1与表示的点重合， ∴折痕为原点O， 则表示的点与2表示的点重合， 故答案为： （2）解：∵折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合， 则折痕表示的点为， ①设表示的点与数a表示的点重合， 则， ； 故答案为： ②∵数轴上A、B两点之间距离为8， ∴数轴上A、B两点到折痕的距离为4， ∵A在B的左侧， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）解：设C表示，D表示8， 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 综上，折痕处对应的点所表示的数是或或． ▌题型06 新定义运算进阶（中考创新题型） 读懂新运算规则，严格代入，结合乘方、绝对值、混合运算综合计算 【典例6-1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号；异号两数运算时，把绝对值相加，结果取负号；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值． （2）原式 ． （3）若，原式左边，矛盾； 若，原式左边，矛盾； 若，原式左边， 则， 解得． 【典例6-2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）已知数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且规定表示不大于的最大整数，例如． (1)若，，，求的值； (2)若、、满足，且，求的值； (3)若，，且点、点在数轴上从左到右排列，，求的值． 【详解】（1）解：， ． （2）由于， ，， ，， ，， ，，， ． （3），， ，， ，即， ， 由于点、点在数轴上从左到右排列， ， 满足要求，故． 【典例6-3】（25-26七年级上·北京·期中）探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 【详解】（1）解：根据题意，“乘减法”法则为：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0． （2）解： ； （3）解：不适用． 例如：，而，两者不相等． 【典例6-4】（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 【详解】（1）解：①，， ， ①为“隔一数对”； ②，， ， ②不为“隔一数对”； 故答案为①． （2）解： ． （3）解： ． 【典例6-5】（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【详解】（1）解：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2） ； （3）， ， 当时，， 得， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为3或1． 的值为7或5． 【典例6-6】（25-26七年级上·云南昆明·期中）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“的圈次方”. 【初步探究】（1）直接写出计算结果：______；______. 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ______；______. （3）算一算：. 【详解】解：（1）；； （2） ， ； （3） ． 【典例6-7】（25-26七年级上·福建福州·期中）定义：将三个不等于0的有理数，，两两相除（其中对于，可得，两种商），得到的商是个互不相等的数（相等的商看作是一个数），称这个数为这三个有理数的“互商组”，为该“互商组”的基数． 例如，对于三个有理数1，2，3，得到“互商组”：，，，，，，其基数为6． (1)求，，的“互商组”； (2)请举例探究对于任意三个不等于0的有理数，，的“互商组”的基数的所有可能取值； (3)已知三个不等于0的有理数，，的“互商组”是，，，它们在数轴上所表示的点分别是，，（如下图）．若的最小值为4，且，求的值． 【答案】(1)，，的互商组为：，，1； (2)基数的所有可能取值为1，2，3，4，5，6； (3)的值为或375． 【详解】（1）由题意：因为，， 所以，，的互商组为：，，1； （2）①若三个有理数为，，，此时 ②若有两个有理数相等， 如，，，则互商组为，，此时 如，，，则互商组为，，，此时 ③若三个有理数都不相等， 如，，，则互商组为，，，，此时， 如，，，则互商组为，，，，，此时， 如1，2，3，此时， 综上所述，基数的所有可能取值为1，2，3，4，5，6． （3）由②可得，当互商组基数为3时，、、中存在两数相等情况，假设， 则、、中有一个为1，结合数轴可得： 因为最小值为4， 所以当时取到最小值，即，得，． 所以，或 当时，由得，即 所以 当时，由得，即 所以． 综上所述的值为或375． 【变式6-1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 【变式6-2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的下n次方”．直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 除方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：________． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】计算：． 【详解】解： 概念学习 根据除方的定义： ， ， 故答案为：；； 深入探究 （1）， （2）（共个），即， 故答案为：，； 结论应用： ． 【变式6-3】（25-26七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【详解】（1）解：∵：， ∴， ∵是一个两位数，且， ∴当两个数字之和小于时，或或或， 当两个数字之和大于时，或或或或或， 故答案为：；或或或或或或或或或（写一个即可）； (2)解：不一定成立，理由， 反例：取，， 所以：；：； ∴，， 所以左边； 右边， ∴左边右边，即， ∴原等式不一定成立． 【变式6-4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义．如图，表示2的点A与表示的点B重合，所以；表示的点C与表示的点D距离为0.9，所以．    (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为__________． ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【详解】（1）解：由定义，，；，． 答：，． （2）①解：当时， 若是正整数，则，；是负整数，，， 故． 若不是正整数，设（为非负整数，），则，，， 故 综上，的值为或． 故答案为：或． ②解：由①得，代入，得， ∵为整数时，， ∴． 答：值为． （3）解：设（），则（为整数），，， 由，得，即， ∵， ∴，对应；；（舍去）． 答：的值为、或． 【变式6-5】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 【详解】（1）解：点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 则称点为点、的“7格距点”， 故答案为：7； （2）解：由整点为、的“5格距点”，可知整点点到的距离与点到点的距离之和为5， 由数轴可知，此时点所表示的整数可能为，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （3）解点到点的距离为1， 点表示的数为或， 当点表示的数为2时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 当点表示的数为4时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 答：点表示的数为2或4，的值为5或7； （4）解：∵点在数轴上点左侧运动，且点到点的距离等于点到点的距离的2倍， ∴， 点表示的数为：， 此时， 答：的值为． 【变式6-6】（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为6，则称为“平方减数”，并把分解成的过程，称为“平方减数分解”．例如：因为，24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以554是“平方减数”，554分解成的过程就是“平方减数分解”． (1)下列正整数中，“平方减数”的是______；（填写序号） ①600    ②604    ③606 (2)按照以上规定，最小的“平方减数”是______，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为______； (3)把一个“平方减数”进行“平方减数分解”，即，若将放在的左边组成一个新的四位数，恰好能被9整除，且是一个正整数的平方，请直接写出满足条件的正整数． 【详解】（1）解：， ①，十位数字相同，个位数字之和不为6，不是“平方减数”； ②，十位数字相同，个位数字之和为6，是“平方减数”； ③，十位数字不相同，不是“平方减数”； 故答案为：②； （2）解：∵是最小的“平方减数”， ∴， ∴， ∵与的十位数字相同，个位数字之和为6， ∴， 即， ∴最小的“平方减数”是，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为； 故答案为：，； （3）解：设(t为十位，u为个位，），， ∵将放在的左边组成一个新的四位数， ∴ ∵能被9整除， ∴能被9整除， 当时，（不是整数，舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， ∴， 此时，， ∵是一个正整数的平方， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式6-7】（25-26七年级上·山东济南·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： ； （3）解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，，， ∴ ． 【变式6-8】（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【详解】解：（1）点A是点B，C的“关联点”， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． ▌题型07 乘方规律探究（培优专项·考试高频） 列出前3～4组数据，观察底数、指数、符号规律，总结通用通项公式，重点区分正负交替规律。 【典例7-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：___________； 【详解】解：由所给图形得： ； ； ⋯； 所以，； 【典例7-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 【变式7-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， ∴； （4）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 【变式7-2】（25-26七年级上·广西南宁·期中）请根据图1中A，B两点的位置，回答问题： (1)分别写出它们所表示的有理数：A：______；B：______ (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数______的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是______、______． (5)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值． 【详解】（1）解：点A表示的数是：1，点，B表示的数是：． 故答案为：1，； （2）∵， ∴点A的距离为4的点表示的数是：5或． 故答案为：5或； （3）∵点A点与表示的点重合， ∴， ∴折合点表示的数是：， 设与点B重合的点表示的数为x，由题意得， ， ∴， ∴点B点与数1.5表示的点重合． 故答案为：1.5； （4）∵， ， ， 又∵M在N的左侧 ∴M，N两点表示的数分别是，； （5）根据图形可知，． ▌题型08 进位制认识与探索（拓展培优） 一、进位制基础概念 核心定义：进位制是记数的规则，日常生活默认十进制，数学拓展常用二进制、八进制、十六进制。 通用规则：k进制，基数为，数字只能取 ，逢进1。 常用进制特点 十进制（）：数字0～9，逢10进1，日常计算通用 二进制（）：数字0、1，逢2进1，计算机核心进制 八进制（）：数字0～7，逢8进1 十六进制（）：数字0～9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15) 进制读写规范： 表示二进制数101，不加下标默认十进制。 二、k进制 → 十进制（必考转化） 转化公式（位权展开法）：从右往左，数位从0开始计数，每一位数字×，全部相加。 公式示例： 补充：任意数的0次幂 三、十进制 → k进制（除基取余法） 解题步骤：十进制数反复除以基数，记录余数，最后余数为最高位，最先余数为最低位，倒序排列即为k进制数。 四、进制混合运算（培优拔高） 核心思路：非十进制运算，优先统一转化为十进制计算，结果再转回目标进制；简单运算可直接遵循“逢k进1”规则计算。 五、进制探究规律（压轴拓展） 核心规律：n位k进制数，最大数值为，最小正数值为 【典例8-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 【典例8-2】（25-26七年级上·重庆·期中）我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 【详解】（1）解：， 二进制中的数等于十进制的数； （2）解：； （3）解： ， ， 八进制中的数等于七进制的数． 【典例8-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【详解】（1）解：∵， 根据表格可知，十进制数33化为二进制数时，最高位是， ∴， 故答案为：； （2）解：由题和表格可知：， 故答案为：245； （3）解：由题和表格可知，把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ， 由题和表格可知，把十进制数25化为六进制数： ． （4）解：把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 把三进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 由题意，得 ． 可得． ． 【典例8-4】（25-26七年级上·云南昆明·期中）综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0），如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码，请求出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应的暗码，若二维码的简易编码所对应的数值大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格，图2中从左到右五列对应的明码分别是（空格）．请求出图3中从左到右五列对应的明码． 【详解】（1）解：第一行代表的二进制的数字为， 转换成十进制数为； 第二行代表的二进制数字为， 转换成十进制数为； 第三行代表的二进制的数字为， 转换成十进制数为； 第四行代表的二进制数字为， 转换成十进制数为； 第五行代表的二进制数字为， 转换成十进制数为； ∴小辉同学的准考证号为：2410272108； （2）解：第一列所对应的二进制的数字，转换成十进制数15，则暗码为，则对应的明码为“”； 第二列所对应的二进制的数字，转换成十进制数6，则暗码为，则对应的明码为“”； 第三列所对应的二进制的数字，转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”； 第四列所对应的二进制的数字，转换成十进制数16，则暗码为，则对应的明码为“”； 第五列所对应的二进制的数字，转换成十进制数2，则暗码为，则对应的明码为“”； ∴图3中从左到右五列对应的明码． 【典例8-5】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）武汉江滩灯光秀是长江沿岸规模最大的夜景工程之一，核心看点可概括为“一条18公里光影走廊、三大主题篇章、四大最佳观赏带”．若灯光秀的“亮灯时刻”由灯光控制器来控制，控制器接收到的信号为“亮灯码”，“亮灯码”是八进制数，控制器通过解码将其转换为4位十进制数，例如“亮灯时刻”是，通过转换得到十进制数1945，则“亮灯时刻”是． (1)①若“亮灯码”是则“亮灯时刻”是_____； ②若“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是_____； (2)第二届长江文化艺术节于2025年9月12日在武汉开幕，开幕式于开始，并且在有无人机表演．若灯光秀与开幕式同步开启，并且在无人机表演时需要更换灯光秀内容，灯光秀需要重启．则灯光秀开启时的“亮灯码”是_____；无人机表演开始时的“亮灯码”是_____； (3)若灯光控制器系统发生故障，“亮灯码”的进制发生了变化，维修工程师进行以下操作；若输入“亮灯码”是．则“亮灯时刻”是；若输入“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是，请根据工程师的操作直接写出的值． 【详解】（1）解：① ， 所以“亮灯时刻”是． ② ， 所以“亮灯时刻”是． （2）解： ， 即灯光秀开启时的“亮灯码”是， ， 即无人机表演开始时的“亮灯码”是， 故答案为：；； （3）解： ， 则的值可能是9， 那么 ， ， 综上，的值是9． 【典例8-6】（25-26七年级上·河南洛阳·期中）综合与实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢八进一就是八进制．也就是说，“逢n进一”就是n进制，n进制的基数为n．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数 七进制数 各进制之间可以进行转换，如：七进制数转换成与其相等的十进制数，只要将七进制的每个数字，依次乘7的正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可以得到与它相等的十进制数． 素材2 将十进制数转换为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得余数按倒序从低位到高位排序即可．将十进制数转换为与其相等的二进制数也是同样的方法．如：              ∴                                           ∴ 素材3 二进制的加法运算与十进制的加法运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0～9，逢十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，逢二进一．如：，，，． 根据上面材料，探索完成以下任务： 任务一： （1）将二进制数转换为十进制数为______，将十进制数87转换为八进制数为______． 任务二： （2）计算：______． 任务三： （3）《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．由图可知，孩子的出生天数是多少天？ 【详解】解：（1）， 将十进制数87转换为八进制数，则： ； （2） ， 将十进制数25转换为二进制数，则： ， 即； （3）由题意可得，从右到左绳子的结数对应五进制的个位、位、位、位， 由图可得，结数为1个位、3个位、2个位、1个个位， ∴五进制数为， 则转换为十进制为：（天）． 【变式8-1】（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【详解】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数， ∴密码为：． 【变式8-2】（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【详解】解：任务一：， 任务二：八进制数3751表示的十进制数为： ， ， ， 任务三：二进制数101101101转成十进制数为： ， ， ， 因为365为奇数，所以密码为：． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏常州·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于某年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法：每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】 （1）请写出第四个八卦符号表示的二进制数：． 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依次类推），然后相加．例如，，．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） （2）把（ICME﹣14）中的二进制数依次转换为十进制数，得到的这个四位数是，将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数（写出计算过程）． 由此推断第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于某年在上海举办． 【类比迁移】 （3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为； 故答案为：； (2)3745，2021，过程： 图2对应的二进制数从左往右依次为， ， ， ， ， 这个四位数是3745； ， 故答案为：3745，2021； （3）根据“满五进一”，从右到左绳子上的结数对应的权值分别为、、， 假设从右到左结数依次为1、3、2（结合图示规律），则转换为十进制数： ， 答：孩子已经出生66天． 【变式8-4】（25-26七年级上·湖北·期中）当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题、二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． (1)类比十进制的计数原理：，把一个二进制数转化为十进制数的方法为： ①将二进制数转化为十进制数为________； ②一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值的最大值为________； (2)①把十进制数39转化为二进制数； ②把二进制数转化为八进制数． (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 乘法：，，，． 除法：，． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①； ②； ③． 【详解】（1）解：①； ②一个字长为7位的二进制数最大值为， ； 一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值的最大值为127； 故答案为：①25；②127； （2）解：①， 把十进制数39转化为二进制数为； ②二进制数转化为十进制数为 ， ， 十进制89写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． （3）解：①； ②； ③ ． 故答案为：①100011；②10111；③11010100． 【变式8-5】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：如图， 解得； （3）解：如图， ∴， ， ； （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于． 【变式8-6】（25-26七年级上·福建莆田·期中）综合实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 二进制数，记作：. 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：. 素材2 将十进制数化为与其相等的二进制数采用除二取余法，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．同样十进制数转化为八进制数可用除八取余法. 如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法： 减法： （同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)将十进制数21转化成二进制数的值为______； (2) （用二进制表示）； (3)若将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18时，称原来的两位数为“青春数”．问是否存在这样的“青春数”，使该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 则 则将十进制数21转化成二进制数的值为：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据题意：， ∵是一个十进制的两位数， ∴或， 当时，原数为43，新数为34， 则，不是“青春数”，不符合题意； 当时，原数为86，新数为68， 则，是“青春数”，符合题意 ∴这样的“青春数”存在，这个“青春数”是86． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数运算综合培优（8题型突破·举一反三） 题型01 裂项相消（期中期末压轴） 题型02 绝对值化简（培优核心、必考难点） 题型03 倒数法巧算（培优难点） 题型04 数轴上动点（七上压轴入门） 题型05 数轴上的翻折（压轴重难点·七上必考） 题型06 新定义运算进阶（中考创新题型） 题型07 乘方规律探究（培优专项·考试高频） 题型08 进位制认识与探索（拓展培优） ▌题型01 裂项相消（期中期末压轴） 基础公式：、 【典例1-1】（25-26七年级上·甘肃天水·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【典例1-2】（25-26七年级上·广东东莞·阶段检测）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式＝__________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【变式1-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 【变式1-3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【变式1-4】（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． ▌题型02 绝对值化简（培优核心、必考难点） 1. 非负性：，两个非负数和为0，则各自为0 2. 绝对值核心： 3.解题核心：先判正负，再去绝对值符号，正数直接去，负数变相反数 4.常用结论：若数轴上，则， 【典例2-1】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）（1）若，求的值； （2）若a、b、c是非零的有理数，且，求的值． 【典例2-2】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【变式2-2】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） ▌题型03 倒数法巧算（培优难点） 除数为多个分数和、被除数为单一分数，先算倒数再取反 【典例3】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，再把所得结果相加． 思路2：先求出，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____________． (2)请选择一种正确的思路计算： 【变式3-1】（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算： ①； ②． ▌题型04 数轴上动点（七上压轴入门） 动点表示的数=起点数+运动速度×时间（右加左减）；两点距离 【典例4-1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，甲、乙两人的对应点分别在数轴和6的位置上，两个点沿数轴做东西方向移动的游戏．每一局，两人先进行“石头，剪刀，布”的划拳，（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀），而后根据输赢结果进行移动，然后再进行下一局． 移动规则：①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为___________，乙在数轴上代表的数为___________； (2)若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是___________，此时甲与乙在数轴上的位置相距___________个单位长度． (3)从如图所示的位置开始，若进行了局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出的值：___________． 【典例4-2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离．，请你利用数轴解决以下问题：（如图1）      (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为______________； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示1的点之间，点P对应的数记为m，则________ (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则等于_______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，，16，20，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟3个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 【变式4-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； （2）如果点A表示数3，将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； 【归纳一般】 （3）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度（），请你猜想终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________． 【深入研究】 （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点A表示的数是，乙选择的游戏起点B表示的数是；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 A、B两点移动的方式 平局、乙胜 点A向右移动1个单位，点B向右移动2个单位 甲胜 点A向左移动2个单位，点B向左移动1个单位 设甲、乙两人共进行了k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）． ①当时，其中平局1次，甲胜1次，求点A、B最终表示的数； ②当时，其中平局x次，甲胜2次，求A、B两点间的距离． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ ▌题型05 数轴上的折叠（压轴重难点·七上必考） 数轴中点公式：若数轴上两点对应数为 ，则两点折叠重合的折点（中点）对应数： 核心规律：折叠重合的两个点，到折点的距离相等。 【典例5-1】（25-26七年级上·全国·期中）如图为白纸上的一条数轴，，是数轴上的两个点，点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4． (1)点表示的数是 ． 提示：因为点表示的数是，点在点的右边，且到点的距离是4，所以，所以点表示的数是1． (2)，，，是数轴上不同于，的四个点，把数轴折叠，使，两点重合，此时，两点也重合． ①若点在原点的右边，到原点的距离为6，求点表示的数． ②若点，在数轴上原点的两侧，点到点的距离是100，折叠后，点到点，的距离相等，求点表示的数． 【典例5-2】（25-26七年级上·广东中山·期中）操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点．如图，点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，． (1)若点表示的数是，求点表示的数； (2)若点表示的数是2，求点表示的数； (3)点经过上述操作后得到对应点为，若点对应的数是，则点对应的数是_____（用含的代数式表示） (4)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若点与点A之间的距离等于2，则点表示的数是_____． 【典例5-3】（25-26七年级上·河南郑州·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动 把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？下列选项中可以表示以上过程及结果的是（　　） A．                B． C．                D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位长度，紧接着第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度……，依此规律跳，当它跳第次时，落在数轴上的点表示的数是___________； (2)翻折变化 假如数轴可折叠，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合； 若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点和点表示的数分别是多少？请回答并写出理由； 一条数轴上有点，其中点表示的分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点与点的距离为，则点表示的数___________． 【变式5-1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 【变式5-3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3） 在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ ▌题型06 新定义运算进阶（中考创新题型） 读懂新运算规则，严格代入，结合乘方、绝对值、混合运算综合计算 【典例6-1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【典例6-2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）已知数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且规定表示不大于的最大整数，例如． (1)若，，，求的值； (2)若、、满足，且，求的值； (3)若，，且点、点在数轴上从左到右排列，，求的值． 【典例6-3】（25-26七年级上·北京·期中）探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 【典例6-4】（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 【典例6-5】（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【典例6-6】（25-26七年级上·云南昆明·期中）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“的圈次方”. 【初步探究】（1）直接写出计算结果：______；______. 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ______；______. （3）算一算：. 【典例6-7】（25-26七年级上·福建福州·期中）定义：将三个不等于0的有理数，，两两相除（其中对于，可得，两种商），得到的商是个互不相等的数（相等的商看作是一个数），称这个数为这三个有理数的“互商组”，为该“互商组”的基数． 例如，对于三个有理数1，2，3，得到“互商组”：，，，，，，其基数为6． (1)求，，的“互商组”； (2)请举例探究对于任意三个不等于0的有理数，，的“互商组”的基数的所有可能取值； (3)已知三个不等于0的有理数，，的“互商组”是，，，它们在数轴上所表示的点分别是，，（如下图）．若的最小值为4，且，求的值． 【变式6-1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式6-2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的下n次方”．直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 除方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：________． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】计算：． 【变式6-3】（25-26七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【变式6-4】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义．如图，表示2的点A与表示的点B重合，所以；表示的点C与表示的点D距离为0.9，所以．    (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为__________． ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【变式6-5】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 【变式6-6】（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为6，则称为“平方减数”，并把分解成的过程，称为“平方减数分解”．例如：因为，24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以554是“平方减数”，554分解成的过程就是“平方减数分解”． (1)下列正整数中，“平方减数”的是______；（填写序号） ①600    ②604    ③606 (2)按照以上规定，最小的“平方减数”是______，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为______； (3)把一个“平方减数”进行“平方减数分解”，即，若将放在的左边组成一个新的四位数，恰好能被9整除，且是一个正整数的平方，请直接写出满足条件的正整数． 【变式6-7】（25-26七年级上·山东济南·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【变式6-8】（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． ▌题型07 乘方规律探究（培优专项·考试高频） 列出前3～4组数据，观察底数、指数、符号规律，总结通用通项公式，重点区分正负交替规律。 【典例7-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：___________； 【典例7-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【变式7-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 【变式7-2】（25-26七年级上·广西南宁·期中）请根据图1中A，B两点的位置，回答问题： (1)分别写出它们所表示的有理数：A：______；B：______ (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数______的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是______、______． (5)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值． ▌题型08 进位制认识与探索（拓展培优） 一、进位制基础概念 核心定义：进位制是记数的规则，日常生活默认十进制，数学拓展常用二进制、八进制、十六进制。 通用规则：k进制，基数为，数字只能取 ，逢进1。 常用进制特点 十进制（）：数字0～9，逢10进1，日常计算通用 二进制（）：数字0、1，逢2进1，计算机核心进制 八进制（）：数字0～7，逢8进1 十六进制（）：数字0～9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15) 进制读写规范： 表示二进制数101，不加下标默认十进制。 二、k进制 → 十进制（必考转化） 转化公式（位权展开法）：从右往左，数位从0开始计数，每一位数字×，全部相加。 公式示例： 补充：任意数的0次幂 三、十进制 → k进制（除基取余法） 解题步骤：十进制数反复除以基数，记录余数，最后余数为最高位，最先余数为最低位，倒序排列即为k进制数。 四、进制混合运算（培优拔高） 核心思路：非十进制运算，优先统一转化为十进制计算，结果再转回目标进制；简单运算可直接遵循“逢k进1”规则计算。 五、进制探究规律（压轴拓展） 核心规律：n位k进制数，最大数值为，最小正数值为 【典例8-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【典例8-2】（25-26七年级上·重庆·期中）我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 【典例8-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【典例8-4】（25-26七年级上·云南昆明·期中）综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0），如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码，请求出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应的暗码，若二维码的简易编码所对应的数值大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格，图2中从左到右五列对应的明码分别是（空格）．请求出图3中从左到右五列对应的明码． 【典例8-5】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）武汉江滩灯光秀是长江沿岸规模最大的夜景工程之一，核心看点可概括为“一条18公里光影走廊、三大主题篇章、四大最佳观赏带”．若灯光秀的“亮灯时刻”由灯光控制器来控制，控制器接收到的信号为“亮灯码”，“亮灯码”是八进制数，控制器通过解码将其转换为4位十进制数，例如“亮灯时刻”是，通过转换得到十进制数1945，则“亮灯时刻”是． (1)①若“亮灯码”是则“亮灯时刻”是_____； ②若“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是_____； (2)第二届长江文化艺术节于2025年9月12日在武汉开幕，开幕式于开始，并且在有无人机表演．若灯光秀与开幕式同步开启，并且在无人机表演时需要更换灯光秀内容，灯光秀需要重启．则灯光秀开启时的“亮灯码”是_____；无人机表演开始时的“亮灯码”是_____； (3)若灯光控制器系统发生故障，“亮灯码”的进制发生了变化，维修工程师进行以下操作；若输入“亮灯码”是．则“亮灯时刻”是；若输入“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是，请根据工程师的操作直接写出的值． 【典例8-6】（25-26七年级上·河南洛阳·期中）综合与实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢八进一就是八进制．也就是说，“逢n进一”就是n进制，n进制的基数为n．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数 七进制数 各进制之间可以进行转换，如：七进制数转换成与其相等的十进制数，只要将七进制的每个数字，依次乘7的正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可以得到与它相等的十进制数． 素材2 将十进制数转换为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得余数按倒序从低位到高位排序即可．将十进制数转换为与其相等的二进制数也是同样的方法．如：              ∴                                           ∴ 素材3 二进制的加法运算与十进制的加法运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0～9，逢十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，逢二进一．如：，，，． 根据上面材料，探索完成以下任务： 任务一： （1）将二进制数转换为十进制数为______，将十进制数87转换为八进制数为______． 任务二： （2）计算：______． 任务三： （3）《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．由图可知，孩子的出生天数是多少天？ 【变式8-1】（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【变式8-2】（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏常州·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于某年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法：每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】 （1）请写出第四个八卦符号表示的二进制数：． 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依次类推），然后相加．例如，，．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） （2）把（ICME﹣14）中的二进制数依次转换为十进制数，得到的这个四位数是，将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数（写出计算过程）． 由此推断第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于某年在上海举办． 【类比迁移】 （3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【变式8-4】（25-26七年级上·湖北·期中）当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题、二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． (1)类比十进制的计数原理：，把一个二进制数转化为十进制数的方法为： ①将二进制数转化为十进制数为________； ②一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值的最大值为________； (2)①把十进制数39转化为二进制数； ②把二进制数转化为八进制数． (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 乘法：，，，． 除法：，． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①； ②； ③． 【变式8-5】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【变式8-6】（25-26七年级上·福建莆田·期中）综合实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 二进制数，记作：. 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：. 素材2 将十进制数化为与其相等的二进制数采用除二取余法，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．同样十进制数转化为八进制数可用除八取余法. 如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法： 减法： （同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)将十进制数21转化成二进制数的值为______； (2) （用二进制表示）； (3)若将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18时，称原来的两位数为“青春数”．问是否存在这样的“青春数”，使该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $