专题39 函数综合压轴题（39题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题39函数综合压轴题汇编，收录39道2026年多地中考真题，聚焦二次函数与几何综合、新定义及生活化建模，适配中考冲刺训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|39题|二次函数解析式（山东烟台题求抛物线表达式）、线段最值（安徽题点到直线距离）、新定义函数（河南“黄金搭档点”）、函数与几何综合（河北题旋转与抛物线）|情境生活化（山西小麦产量、湖南河道放牧建模），跨模块融合（四川广元题二次函数与一次函数“顶点弦”），设问分层（基础求解析式、高层存在性探究）|

专题39 函数综合压轴题（39题） 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点 函数综合压轴题 核心考查二次函数基础解析式、抛物线上线段最值（距离 / 长度 / 面积）、新定义函数题型、、函数与几何综合存在性。 函数压轴三大变化：一是新定义常态化，题干阅读量提升，要求现场建模；二是跨模块深度融合，二次函数串联一次函数、旋转对称、特殊三角形、最值路径，不再单一考计算；三是情境生活化，农田产量、河道放牧等实际抛物线建模增多，设问分层递进，基础求解析式、中层线段最值、高层存在性探究，侧重分类讨论、数形结合与逻辑说理 一、解答题 1．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解； （2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解； （3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ∴， 设抛物线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点到直线的距离为 ∴在上， ∵平行， ∴的解析式分别为， 联立 消去得， 解得： 联立 消去得， 解得： ∵点横坐标为， ∴或或 （3）∵ ∴ 如图，过点作使得，则， ∴，，， ∴， 过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值，最小值为． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 3．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）当时，；当时，． 理由如下：由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当时，恒成立， 故只用讨论的情形： 时，，故整数点只有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 综上所述，当时，；当时，． 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出 （ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可． 【详解】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． （2）解：（i）令，可得， 即， ， 故解得， ； （ⅱ）略 4．（2026·河南·中考真题）定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． (2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①点的横坐标为，点的横坐标为；②或 【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12， ∴， ∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为， 由（1）得， ∵点，的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为：， 当时，， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴ 解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时， ∴点的横坐标为：，， 当时，， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点， ∵即， 即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴， ∴即， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 5．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，点不在直线上 (2)的值为或 (3) 【分析】（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可； （3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； （2）解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； （3）解：∵， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 6．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 7．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 8．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案； （3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q 在中，当时，， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标为p， ∴点Q的纵坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H， ∵，点C与点D关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴点E的纵坐标为2； 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 同理可得， ∴，即轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为； 综上所述，点E的纵坐标为或2． 9．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解：为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 10．（2026·云南·中考真题）已知，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上． (1)求抛物线与轴的公共点的坐标； (2)比较与的大小． 【答案】(1) ， (2) 当时，；当时， 【分析】（1）令，求出值即可得出结果； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，当时，解得， ∴抛物线与轴的公共点的坐标为，； （2）解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，； ∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上， ∴或， ①当时，整理得，解得， 将代入得： ∵， ∴，即. ② 当时，整理得， 解得， ∴，两边除以得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上：当时，；当时，. 11．（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又， 垂直平分， ． 【分析】（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得， 进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点； （3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． （2）略 （3）略 12．（2026·广东·中考真题）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解； （3）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点作于点 对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴对称轴为直线 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中，； （3）解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 13．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 14．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②6； (3)存在，Q的坐标为， 【分析】（1）由且，可得，，即，．将两点坐标代入，求解即可； （2）①先求直线解析式为，由为等腰直角三角形，可知点到的距离与竖直线段成正比，设，表示出的长度并配方，当时最大，即可求出点P坐标；②先求出抛物线对称轴为，根据轴，可得为定值．将点向右平移1个单位得，则，原式转化为．当、、三点共线时和最小，由两点间距离公式得，即可求出最小值； （3）已知、，先求得，设的中点为G，则，由三线合一可得，设，由可得，，再结合等边三角形的高列方程求解，得到的两个坐标，对应线段两侧的两种情况． 【详解】（1）解：，， ，， ，， 将，代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①过点作轴的垂线交轴于点，交于点，过点作于点，如图， 当时，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ， 在中，， 设的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 设，则， 为第一象限内的点， ， ∵， 当时，最大，即当取最大值时，最大，此时； ②将点向右平移1个单位长度得点，则，连接交对称轴于点，如图， ∵，且， ∴， ∵， ， ∴ 当，，三点共线时，最小，为， ∵，， ∴， ， 的最小值为6； （3）解：由（2）得，点坐标为， ∴，， 在中，， 设的中点为G，连接，如图， 则G的坐标为，即，且， ∵为等边三角形， ∴，且， 在中，， 设，由得， 解得， 又∵， ∴ 将代入，得 解得或， 当时，，即； 当时，，即， 综上所述，点Q的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置． 15．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 16．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①定点； 如图，设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、． ∴． 又∵A、两点到直线的距离相等， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即：点为中点． ∵，， ∴中点， 即直线过定点； ②直线过定点 【分析】（1）令，解得，再根据抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，． （2）①设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．即可证明．得到，则点为中点，根据中点公式得到，即直线过定点； ②先求出顶点，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，即可证明，得到，设，，分别表示出，，，，代入整理得，再联立，结合根与系数的关系得到，．即可得到，则，直线过定点． 【详解】（1）解：令，解得， ∵抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①略 ②∵的对称轴为，当时，， ∴顶点， 如图，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 设，， ∴，，，， ∴． 整理得． ∵直线与抛物线交于，两点． ∴联立， 可得， ∴，． 代入可得， ∴． ∴， ∴当时，固定不变， ∴直线过定点． 17．（2026·天津·中考真题）已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． (1)当，，时，求点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)①的值为6；②的值为． 【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解； （2）①求得顶点的坐标为，作轴于点，得到和都是等腰直角三角形，推出，求得，把，代入求解即可； ②根据题意求得，，作轴于点，则是等腰直角三角形，得到四边形是平行四边形，推出，过点作，且，证明，得到，推出，则当共线时，有最小值，即有最小值，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴点的坐标为； （2）解：①由题意得， 对称轴为直线， 顶点的坐标为， 作轴于点， 如图，由题意得点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得（舍去），， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为6； ②∵点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， 作轴于点，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，即有最小值， ∵，，，且取得最小值为， ∴，即， 解得， ∴的值为． 18．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，． (1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； (2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）连接交 轴于点，然后解，再根据轴对称的性质即可求解； （2）①导角得到，则，那么，然后解，即可求解，然后找出两个临界位置求解的取值范围即可； ②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解的取值范围． 【详解】（1）解：连接交 轴于点， ∵，，． ∴由对称可得，，， ∴，，， ∴，， ∵点A，C关于x轴对称， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴ ∴ ∴， 由得，， 在中，，得 ∴ 当点重合时，如图： 此时由（1）可得，； 当点重合时，如图： 此时，则， ∴的取值范围为； ②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴由对称可得，，， ∴， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大 ∴时，；时，， ∴时，； 当，重叠部分为五边形，延长交直线于点， 在中，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 即 ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为， 当时，可求；当时，可求， ∴当时，； 当时，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴， ∴由对称可得，， ∴， 即， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，可求；时，可求， ∴当时， 综上：． 19．（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 20．（2026·甘肃武威·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①8；② (3)， 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可； ②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解； （3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答． 【详解】（1）解∶∵抛物线过点，点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由点，可得，， ， ， ， ． ②如图，过点作轴，垂足为， 则． 四边形为正方形， ，， ∵， ∴， ，，， ∴， ， 设，则， 点 点在抛物线上， ，解得，（不满足，舍去）， 点． （3）解：如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，， 四边形为平行四边形， ，． 连接， ， 当，，三点共线时，，如图， 即的最小值等于的长． 令时，， 解得，，， 点， ∴点． 点， ， ， ∴在中，， 的最小值为 设直线的表达式为， ∵直线过点，， ，解得， 直线的表达式为， 点， ， 点， 当取最小值时，． 21．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)的取值范围是 (3)点E的坐标为， 【分析】（1）将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到点的坐标； （2）根据设出直线的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到的值，再结合二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴的不等式求解； （3）先联立直线、与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据建立水平距离的关系，求出与的关系式，然后利用、、和、、三点共线的条件，得到关于的关系式，联立求解得到的值，进而求出的值和点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 则， 解得：， ， 联立，可得， 解得：，， 点的坐标为， 点的横坐标为， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：， 设的函数解析式为：， 联立， 则， 由根与系数的关系得， 函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：， 则，即， 解得：； （3）解：设的函数解析式为：， 联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， 同理，联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， ，， ， ，整理得， 即， 设， 如图， 、、三点共线， ∴直线的k值与直线的k值相等， ， 化简得，，则， 同理由、、三点共线得， ， 整理得，， ，，， ， 解得：， ， 解得：， ，， ， ， 点的坐标为，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 22．（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①或；② (3)①是；②或或 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②令：，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解； ②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②令：， 解得：（舍去）， 如图， 又∵ 根据函数图象可得：当时， （3）①∵，：， 点为上一点，横坐标为，则， 点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， 点为上一点，横坐标为，，即 ∴点，是平移前后的一组对应点； ②解：∵点为上一点，横坐标为3． ∴时，，则， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， 即 ∴， 情形一：当时，点在轴及其上方部分， 最高点为， （i）如图，当时，最低点为 ∴ 当时，， 此方程无解，不存在此情形； （ii）如图，当时，最低点为 ∴ 当时， 解得：（舍去）或 情形二：当时，此时如图， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：或（舍去）； 情形三：当时， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当时，或或． 23．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 24．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 25．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 26．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 27．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）略 28．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 29．（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，结合抛物线对称轴得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）略． 30．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”； （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得； （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 31．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 32．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； (3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ； (4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，过作轴， 设，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； （4）解：如图，作轴，轴 由（2）知，，，直线的解析式为， , ，且， 在和中，， ， ， 设，则， 是的中点， ∴ ∵，， 为等腰直角三角形， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 直线的解析式为， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K， 则， 是等腰直角三角形， ∴，即，可得， ∴，则， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则， 则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 33．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． (1)求线段的长； (2)已知P为y轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，将线段，组成的折线段“”沿x轴正方向平移得到折线段“”，点D，A，C的对应点分别为．与反比例函数的图象交于点E，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点F，与交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)是定值， 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出点A坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出，最后根据两点距离公式求解即可； （2）设，，分三种情况讨论直角位置： ①，②，③，根据勾股定理列方程求解即可； （3）设平移距离为，则，，，求出直线的解析式，与联立，求出点，求出的解析式，直线的解析式，联立后求出交点的横坐标，过点分别作轴，轴，根据平行线分线段成比例得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵在反比例函数上，代入得，即， 将代入得，直线为， ∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称， ∴， 由两点距离公式：； （2）解：设，， 分三种情况讨论直角位置： ①：由勾股定理得， 则， 化简得， 故（负值已舍去）， 即； ②：由勾股定理得， 则， 解得， 即； ③：由勾股定理得， 则， 解得：，不符合，舍去； 综上，若为直角三角形，则或； （3）解：根据（1）可知， ∴， 设平移距离为，则平移后各点坐标：，，， 设直线的解析式为， 代入点和点得， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与联立得，整理得， 解得：或， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， 解得：， 即交点的横坐标， 过点分别作轴，轴， 则， ∴， ∵， ∴． 34．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ 【分析】（1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 35．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 36．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为 (2)①   ②    ③点M的坐标为或 【分析】（1）将点和分别代入，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标； （2）①根据题意知点，可得，再分当点N在点M上方的抛物线上时，当点N在点M下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围； ②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，再由矩形R的水平宽度，得，进而得，可得矩形R的垂直高度h的取值范围； ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时， 第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：将点和分别代入，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴它的顶点坐标为； （2）①解：根据题意知点， 当时，， ∴， 当点N在点M上方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， ∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为； 当点N在点M下方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， 当时，，解得(舍去)或， ∴，此时，矩形宽度的最大值为． 综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ； ②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称， ∵矩形R的水平宽度， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴矩形R的垂直高度h的取值范围是； ③解：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时，， ∴(舍去)； 第二种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第三种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第四种情况：当时，， ∴(舍去)； 综上，点M的坐标为或． 37．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； ①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为直线， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，过点作于，则， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 38．（2026·北京·中考真题）对于不共线的三点A，B，C，连接，，并作劣弧，使得所在圆的圆心在过点A且与平行的直线上，称由，和组成的图形为单弧三角形，记作，其中所在圆的圆心称为的弧心． 在平面直角坐标系中， (1)如图1，点，，，直接写出的弧心的坐标及的长； (2)如图2，点，，当的弧心为O时，求点F的坐标； (3)已知点，对于平面内的点N，存在点P，Q满足和的弧心均为O，和都不是钝角三角形，且，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)点F的坐标为 (3) 【分析】（1）先根据、两点坐标求出的垂直平分线，再结合“过点且与平行”的条件进而得到弧心坐标，最后计算半径与圆心角，代入弧长公式即可； （2）先根据平行线的性质得出直线与的一次项系数相等，利用待定系数法代入点坐标求出直线的一次函数解析式；再根据同圆半径相等得到，结合勾股定理列出坐标方程，联立直线解析式求解并舍去已知点对应的解，即可得到点的坐标； （3）先利用同圆半径相等和勾股定理求出的长度，再通过作垂线构造矩形得到、为非钝角的有效线段长度；再分和两种情况，结合勾股定理逆定理判断是否为钝角，根据的条件列不等式求解；最后合并两种情况的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可知：弧心在过点且与平行的直线上，且弧心是所在圆的圆心， ∴弧心到、距离相等，即在的垂直平分线上， ∵，，为水平线段（平行于x轴）， ∴过且平行于的直线为水平线：， ∴中点为，其垂直平分线为竖直线：， ∴两直线交点即为弧心，坐标为， ∵弧心到、距离相等， ∴半径为弧心到点的距离：， ∵，， ∴， ∴、与弧心构成直角三角形， ∴圆心角为， ∴的长． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∵的弧心为O， ∴， 设点坐标为，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（与点重合，舍去），， 将代入，解得， 故的坐标为． （3）解：弧心为，故，即在单位圆上， 设点的坐标为， 根据勾股定理可得， 过点、分别作坐标轴平行线，得：， 代入，得， 由题意可得已知直线过原点，且， 分别过点、作的垂线，交直线于、两点， 当点在线段上时，、均为直角或锐角（非钝角）； 若在左侧或右侧，对应角为钝角； 由、、，可判定四边形是矩形， 根据矩形对边相等得：， 情况1：当时， 当与原点重合时，， 代入得：， 此时为非钝角，因此整条线段都满足三角形非钝角的要求，有效区域长度为， 要存在，需有效长度， 解得， 结合得； 情况2：当时， 当与原点重合时，， 因此直线上，原点附近一段区域会使为钝角， 设中点为，∴， ，， ∵， ∴圆心到直线的距离的平方， ∴， 要存在，需钝角区域宽度， 解得， 结合得； 合并两种情况，得的取值范围为． 39．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②，， 【分析】（1）把点代入抛物线表达式中可解出的值； （2）由（1）求出点和点的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标； （3）利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时，的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题39函数综合压轴题(39题) 中考命题规律 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 函数压轴三大变化：一是新定义常 态化，题干阅读量提升，要求现场 建模；二是跨模块深度融合，二次 函数串联一次函数、旋转对称、特 核心考查二次函数基础解析式、 殊三角形、最值路径，不再单一考 抛物线上线段最值（距离/长度 考点函数综合压 计算；三是情境生活化，农田产 轴题 /面积)、新定义函数题型、、 量、河道放牧等实际抛物线建模增 函数与几何综合存在性。 多，设问分层递进，基础求解析 式、中层线段最值、高层存在性探 究，侧重分类讨论、数形结合与逻 辑说理 真题考点精练 一、解答题 1.(2026山西中考真题)综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同 的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 亩的产量)（千克）与每亩施氨量x(千克)的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28. 设中肥力麦田每亩的产量为”（千克），低肥力麦田每亩的产量为”（千克）.已知点 (0,160) B(18,646)C(28,496) 均在描述与关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点. y/千克 B 646 中肥力：y=▲ 496 C 低肥力： 1602 y2=x2+26x+140 140 0246810121416182022242628x千克 y ()建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量”与的函数关系式： ②应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产是”与”的函数关系式为片=-+26x+140 ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以 及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到 最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克， 经判断n小于m,请直接写出m与n的差。 2.(2026山东烟台中考真题)如图，直线y=-x-6与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线 3 y=ax2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一个交点为B·抛物线的对称轴为直线x= 2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点D在抛物线上，横坐标为1，若点D到直线AC的距离为2 反，求出所有满足条件的的值： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P0 (3)若H为抛物线的顶点，P为对称轴上一点，请直接写出 H 2 的最小值. 3 3.(2026安徽中考真题)已知抛物线y=京x(2a-x(a>0). (1)求抛物线顶点的纵坐标； 3 (2)点 (x<x2)都在抛物线上. (i)求a的值； (ⅱ)设a为正整数，线段AB上横坐标为整数的点的个数为m,请比较m与2a-2的大小，并说明理由. 4.(2026河南中考真题)定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则 称点巴是点P的“黄金搭档点”例如，抛物线=上，点B,9)是点0,0) 是点 的“黄金搭档点”， 1)点 A(0,-3) 和点8在抛物线’=X++C上，点B是点4的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12.求 b,C的值. (2)点M,N在(1)中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”. ①若点M,N的纵坐标相等，求点M,N的横坐标. ②抛物线上M,N两点之间的部分（含M,N两点）记为图象W,设点M的横坐标为m,当 5 <m<0时，若图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值。 5.(2026河北中考直慰)如图，三次函数'=(K-0川-3刘）（其中>0)的图象与轴交于A,B两点 (点A在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D. 3/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)若t=1,求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C是否在直线PD上： (2)当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值： E(0,m B)连接OP,当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交'轴于点 ,请直接写出m的最小 值. 6.(2026四川广元中考真题)定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交 点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”· 在平面直角坐标系x0中，一次函数y=2+2的图象与x轴，y轴分别交于A'B两点. B 图1 备用图 0)如图L,若点P为线段1B的中点，二次函数'=ar+br+c(a≠0 的“顶点弦”为线段PB,且点P为 顶点，求该二次函数的解析式： 2)在(1)的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E,使∠BPE+∠BA0=45°，求点E的坐标； 6点C在线段B上，若抛物线y4++a+0和物传=a,:4r+ea0 的“顶点 GA 弦”分别为GA和GB,点G为F和F的顶点，且a+2a,=0,求GB的值. 7.(2026上海中考真题)对于函数”=ar+br+c(a≠0 ,对称轴与x轴交于点A,将点4向右平移一个 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 单位得到点B,使点C与点B的横坐标相等，且点C的纵坐标为2a,则称点C为抛物线的“派生点”，并 且将直线AC称为抛物线的“派生直线”· y=2x2+3 (1)已知函数 ，求该函数的“派生直线”解析式： (②)已知点C为某抛物线的“派生点”，点 P(1,m)n2(7,n) 和 在其“派生直线”y=2x-6上，且点P是该抛 PC 物线与其“派生直线”的交点，求CO的值，并判断点Q是否在抛物线上. 8(2026四川遂宁中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数=a㎡2+ x+c(a≠0)的图象与x 轴交于4(，八、B 两点，与y轴交于点C0,2) 备用图 (I)求二次函数的表达式： (②)连接BC,点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作PH⊥BC于点H,求线段PH的最大值： 3)连接AC,点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E,作射线DE,使 LBDE=∠ACO,求点E的纵坐标. 9.(2026湖南中考真题)如图，公路1与铁路”垂直交汇于河岸0点处，公路与河岸的另一交点为4， 其中河岸 OCB 段为抛物线的一部分，AB段为线段， O4=7km AB=5km ”,点B到公路的距离 BD=3km 抛物线的顶点C到公路与铁路？的距离分别为 4km,2km 与 .当地政府为了振兴乡村经济， 拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧.为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图 5/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,棚栏EF紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏BH1EF,点H在该段抛物线上：栅栏 FG⊥EF 点C在线段B上.以点0为坐标原点，直线与分别为轴与'轴，规定'个单位长度为 1km,建立平面直角坐标系。 B D A O 图1 图2 (I)请直接写出点B的坐标： (2)分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）： 3)点E到铁路的距离小于 .5km,EH=2G,己知建km长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花 1km 费17万元.求栅栏EH到铁路的距离。 10 26云南中考直题)已知m+,S=m'+m+-8。某二次函数表示的图象为抛物线人 m2 m 抛物线M经过4(-10,0)，B2m-4m,0)两点.函数y=(2x+43x-24)表示的图象为抛物线T.x轴上有 这样的点，它既在抛物线M上，又在抛物线T上. (1)求抛物线T与x轴的公共点的坐标： ②比较S与45 的大小. 1.(2026福建中考真题)已知抛物线'=-r+x+d (1)若b=1,C=2,求抛物线的顶点坐标： ②若抛物线上存在一点P6,W)在销上方，求证：抛物线与产轴有两个交点： B)抛物线与x轴交于A,B两点，与'轴交于 点C02),直线=x+2与=--相交于点D,E是' 轴上不与点C重合的点.若坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC=ME,试探究CD和DE的数量关系， 并证明. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026广东中考真题)如图1，设0为坐标原点，二次函数y=-r+r+3 A(-3,0) 图象经过点 与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,连接AB,BC. VA C:O 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (2)求cos∠ABC的值： 3)如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ,与二次函数在第二象限的图象交于点Q,求 BP+2PO 的最大值. 13.(2026四川达州中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a(x+x-3)与”轴交于A,B (-3,0) 两点.与》轴交于点C.直线'=x+m经过点C、与轴交于点 D A 备用图 (I)求m的值及抛物线的函数表达式： (②)若线段EF在抛物线的对称轴上运动，且EF=2,求四边形DCEF周长最小时点E的坐标； ®将抛物线沿射线8C方向平移35个单位长度，点C为平移后的揽物线对称轴上一动点，请问是否有在 BC 以A,C,G为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G的坐标：若不存在.说明理由. 14。(2026四川广安中考真愿)如图，二次函数'=r+r+4 (a,b为常数，a≠0)的图象与轴分 7/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB 1 别交于点A,点B,与y轴交于点C,OA2,AB=6. A 备用图 (I)求二次函数的解析式： (②)①连接AC,点P是第一象限内抛物线上的一动点，当点P到AC的距离最大时，求点P的坐标： ②在①的条件下，点M,N分别是y轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN⊥y轴，连接BM,MN, NP,求BM+MN+NP的最小值： (3)在(2)的条件下，平面内是否存在点Q,使以点Q,A,P为顶点的三角形为等边三角形？若存在， 请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 15、(2026山东德州中考真题)己知二次函数=(-m+25(x-m)3,m为常数. (1)当m=0时，求该二次函数的对称轴： (2)若当x>0时，'随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点A,且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离. 16.(2026四川乐山中考真题)已知抛物 Cy=-2-3交轴于A、8丙点（点4在点B的左侧）， 顶点为点P. B 备用图1 备用图2 (I)求A、B两点的坐标； 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)直线 :y=c+b(k≠0)与抛物线C交于D,E两点 ①若A、B两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由： ②若∠DPE=90°，试问直线I是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 17.(2026天洋中考真题)已知抛物线”=+c+C(“,6,C为常数。a<0,c>0)的顶点为P. (1)当a=-1,b=-2,c=3时，求点P的坐标 ②点4〔(-℃，0)和点B为抛物线与轴的两个交点，点C为抛物线与'轴的交点。 1 ①当a=-2时，若∠PCA=90,求c的值： ②若点B(m,0),∠ACB=75”,D为线段BC的中点，点M在线段4C上（不与点4，C重合），点N在 线段4B上，且CM=5BN,当N+ND 取得最小值为时，求的值 18.(2026天津中考真题)将一个四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，0为原点，点B在x 轴的正半轴上，点A,C分别在第一、第四象限，且关于x轴对称，OA=6,∠A=90°，∠AOC=120° 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为 一，点C的坐标为 (②)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线I1x轴，沿直线！折叠该纸片，折叠后点O的对应点 O落在x轴的正半轴上.设OP=t. ①如图②，若直线I分别与边AB,CB相交于点D,E,当折叠后重叠部分为五边形时，点A,C的 对应点分别为A,C,A'O与DB相交于点F,C'O与EB相交于点G·试用含有t的式子表示线段 DF的长，并直接写出t的取值范围： ②设折叠后重叠部分的面积为$，当2≤t≤8时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 9/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026甘肃天水中考真题)抛物线y= r+征+c与x轴交于小C20两点，与y轴交于点 3 B(0,-6) D B上（点D与点 OB 动点在线段 不重合). YA YA A D B 图1 图2 图3 1)求抛物线y= x+bx+C的表达式： (②)连接CD,在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN. ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积： ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标： )咖图3，在动点D的正上方有另一动点E0,p,且ED- 4,当点D从点B开始运动时，点E以相同的 速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动.连接AE,CD,求 AE+CD的最小值和此时P的值 0（2026甘肃武威中正考直抛物线上+bx+C与轴交于，C2,0两点，与y轴交于B 3 B(0,-6) ,动点D在线段OB上（点D与点O不重合）， D B B 图1 图2 图3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求抛物线y=子r++e的表达式： 3 (2)连接CD,在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN. ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积： ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标： )如图3，在动点D的正上方有另一动点E0,p,且D-3, 4,当点D从点B开始运动时，点E以相同的 速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动.连接AE,CD,求 AE+CD的最小值和此时P的值. 21.(2026四川成都中考真题)如图，在平面直角坐标系0中，直线'=c+2(k>0)与抛物线'= 相交于A,B两点，C,D两点在抛物线上，且CD∥AB. V O 备用图 ①若点1的坐标为1) 求K的值和点B的坐标； ②在山的条件下，记C,D两点的横坐标分别为m,”(m<川)，当m5x≤n时，函数=(-总 在x=n处取得最大值，求h的取值范围： 3)若AB=2CD,直线AC,BD的交点E恰好落在x轴正半轴上，求点E的坐标和k的值. 22.(2026吉林中考真题)如图①，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，函数 y=(+1-1(-3≤x≤0)的图象记为G,顶点为点4.将0向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位 G 长度得到图象G,点4的对应点为点8，图象9与C合起来得到的图象记为6。 G 11/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -4-3-入-1 34 -✉/ 11234x -5FD 图① 图② 1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 G A( y=(x+1}-1(-3≤x≤0) G B( (2)观察图象G,解答下列问题： ①直接写出当x在什么范围内取值时，'随x的增大而减小： ②当-2≤x≤n时，-1≤y≤0，求n的取值范围. ⊙)如@。点P为上一点，横必标为m,点为上一点，横坐标为m+3,点C为C上一点，横坠标 G 为3.过点C作×轴的平行线，点P关于直线的对称点为点D,过点D作轴的平行线？.图象上P h 两点之间的部分（含P,P两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为”， ①请你判断点P,Q是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当h=2h时，直接写出m的值。 23。（2026四川自贡·中考真题)平面直角坐标系中，抛物线y=一2r+mx+n经过(0,6)和(2,4)两点. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y (I)求m,n的值 (②)如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A,B,C,D(点A在第三象限，点C在第二象限). ①求线段OC长度的最小值： ②连接1C,BD分别交轴于E,F两点，设△O1E,△OBF S S2 的面积分别为， 是否存在直线AB =25若存在，求出直线B的解析式：若不存在，请说明理由。 使 24.(2026四川巴中：中考真腰)如图，抛物线"=r++2(a0)与轴交于1(-20)、B,0 两点 B B O 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值： 3)在第二象限内的抛物线上是否存在点Q,使得∠ACQ=2∠OCB？若存在，求点Q的坐标；若不存在， 说明理由、 25.(2026四川南充中考真愿)已知抛物线’=-(x-+1 (t为常数). （-3,m)(（1,m) (1)若抛物线过点 ,求t的值 P(2t-1,0 (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点 为线段AB上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直 13123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 线y=2-3交于点M,N,求MN最大值 8点C(,）,D(:,少)都在揽物线上，当21-1≤x≤-2,2≤名≤4时，都有<为，求t的取值范围 26. （2026:四川凉山中考真题)如图，抛物线'=r+br+ 与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其 B(4,0)C(0,4) 中 对称轴是直线x=1.动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动， 设运动时间为t(0≤t≤4)秒，过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P. (1)求抛物线解析式； (2②)抛物线的对称轴交BC于点E,顶点是点D,当t为何值时，四边形DENP为平行四边形： (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动.当t为 何值时，四边形PCQB的面积最大，并求最大面积 27,(2026重庆中考真题)如图，在平面直角坠标系中，抛物线y=+b加+c与轴交于点A B(4,0) 与y轴交于点 C(0,1 ,连接4C,BC 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD L BC,垂足为D,E是x轴上一动点，连接PE.当 PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PE+ 24E的最小值： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )将抛物线沿射线C1方向干移5 CA 个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F,M是平移后抛物线上 一点，直线AM交直线BF于点N,且∠ANB=∠ACB-9O°.请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写 出求解点M的其中一种情况的过程. 28.(2026贵州中考真题)某课外实践小组用A1模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示 如图①所示.跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.飞机在距水面垂直高度为 8.1的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别 :y=-0252+2.5xC:y=-0,25x+m+n.C:y=-0.25x+r+9,与水面分别接触于点B,点 为 C.(演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计) A C C2 C B D 图① 图② (1)已知点A与点O所在直线AO的表达式为y=-0.9x,分别求出A,B两点的坐标： D(12,0 (2)若水面上 处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽DE=4的暗礁，抛物线C在 x=14时距水面最高，请判断跳弹沿路径C2运动时能否避开障碍物和暗礁； )在②)的条件下，若跳弹从水面上点C弹起后，沿路径C击对方目标截面F处时，启动跳弹内部回弹 装置，避开暗礁沿直线FM加速飞向水面，接触水面后沿直线MN撞向目标，该过程始终保持 FH MH 1 Mi=NH2,且目标露出水面的垂直高度HG=6,点H的坐标(20,0)，打击点N距水面的距离为NH, 且6sNHs10 求抛物线中的取值范围。 29.(2026湖北武汉中考真题)抛物线： 线9：y=-+2x+3与”轴交于、B两点（点1在点B左侧）· 15123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图1 图2 (1)求A、B两点的坐标， Q次图1，直线"dd<0交抛物线S于C、D两点，BCD 的外心E在边CD上，求的值 3)如图2，抛物线： 线S:)=+m+9与抛物线C交于M、N两点，连接MN.T是线段MW上一点，过 点T作'轴的平行线分别交抛物线9、C于P、 、 两点，连接PM、PN OM ON 求证：△PMW与 △QMN 的面积相等， 30.(2026四川达州·中考真题)数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为 “相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点， 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定.如图1.因为一次函数与反比例函数图象没有交点， 所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定y=2x-1与'=的关系时，由函数表达式得 2x1,去分母得2X-X-1=0,因为A=9>0:所以函数图象有两个交点，故它们是“友好西数” y,=kx+b 2、 V= OB 图1 图2 图3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【问题解决】 2 1)对于函数①y=元，②y=2x,®y=-3x+1.其中①与②是“函数”，①与③是“函 数”： ②若y=(m≠0)与片=+bk≠0)是“友好函数”，如图2，当y>片时x的取值范围是一若 y=（n≠0)与y=2x-6是“相连函数”，则n的值为一 6明3过省C6的4、么对应的区微分别与一(（：00}， =（k2≠0，x>0 )是相连函数”，相连点分别为尸，。.人、马与产轴分别交于4，B两点，已知48=6，人=-18 求+5的值。 3引.（2026：黑龙江绥化中考真题)综合与探究，已知抛物线"=r+r+4与轴交于点1-1,0)， B(4,0,与'轴交于点C,点0为坐标原点，作直线BC。 B A B -10 4 -10 备用图 (1)求该抛物线的解析式。 (②)在抛物线上有两个动点P,Q,点P在第一象限，横坐标为m,过点P作x轴的垂线，垂足为N,交 BC于点M,点O的横坐标为”多。若AVCw的面积记作S,△PMO的面积记作S,当S=S+S,有最 大值时，求点P的坐标.（自行完成作图并解答） 17123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=ax2+bx+ 沿射线8C方向平移，平移后，新抛物线'过点C,点E是新抛物线√对称轴 BC (3)把抛物线 与x轴的交点，点F是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC,FO.若FO平分∠CFE,请直接写出符合 条件的点F坐标.（自行完成作图并作答） 32.(2026黑龙江齐齐哈尔·中考真题)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线=a+x+4a<0)与‘销交于点4(-20)，B(4,0),与'》轴交T 点C,作直线AC,BC,点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,PD交直 线BC于点E B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； 6)如图2，若将抛物线'=ar+r+ 沿射线1C方向平移、 5 个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物 线上一点，且∠CB0=∠ACB,则点O的坐标为： ④)当PE最大时，作直线OE,若点M为直线BC上的一个动点，连接OM,将线段OM绕点O顺时针旋转 90°得到OM',取OM'的中点N，,过点N作NF⊥OE,垂足为F,连接AN,PF,则AW+PF的最小值 为 33 【2026四川成都中考真题)如图1，在平面直角坐标系xO中，直线y三与反比例函数少2的图 A(1,a 象相交于 ,B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C,D, 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA 图1 图2 (1)求线段AB的长： (2)已知P为y轴正半轴上一点，若△ABP为直角三角形，求点P的坐标： )如图2，将线段DA,AC组成的折线段“D-A-C”沿x轴正方向平移得到折线段“D-A'-C'”,点 D,A,C的对应点分别为D,A,C'.C'与反比例函数的图象交于点E,直线BD'与反比例函数的图象在 FG 第一象限交于点B,OE与Cr交于点G.试探究：在平移过程中，GC的值是否为定值？若是，求出这个 值；若不是，请说明理由 34.(2026江西·中考真题)如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为 “伴随对称抛物线”· )试判断'=-4x+4与=-r+2x 是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： ②如图1，若G:y=a(-A广+长与9：y=a(x-广+k互为“件随对称抛物线”，顶点分别为4， 4,记,C组成的图形为C. B2 A 图1 图2 ①试猜想“与”的数量关系，并证明， 19/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若： y=x2h>0BB2八 8.8分别为S,G上的点，且四边形 BAB, 为正方形，求 (h-2)(h-1)(h+1) 的值 35.(2026江苏苏州中考真题)将一个二次函数'=r+x+C与一个一次函数 =mx+n 求和，可以得 到一个新的二次函数'=ar+(b+m)x+(c+m) 我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函 数的“吸收”，“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”， 若二次函数"=对一次函数"=m+”吸收”，所得吸收屑数”的网像与轴的交点坐标为2,0) (4,0) ,求m,n的值： y=x2+2x- (2)已知二次函 对一次函数'=mr+”“吸收”. ①若所得“吸收函数”的最小值与”=+2x-3 的最小值相等，求n的取值范围： ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M,且与一次函数y=mx+m的图像交于A,B两点.当△ABM的面积 为4时，求的值 36。.(2026江苏扬州中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线'=r+r+1经过点2,1和(4,7)】 VA 备用图1 备用图2 备用图3 (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标， (2)抛物线上有两动点M,N,横坐标分别为m,n(m<n),记抛物线在M,N之间的部分（包括M,N 两点)为图象G.过图象G的左右两端M,N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴 的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R ①若m=-2,矩形R的垂直高度h=9,则矩形R的水平宽度p的取值范围是一： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若矩形R的水平宽度P=5,则矩形R的垂直高度h的取值范围是 ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标. 37。(2026四川甘孜中考真题)如图1，抛物线’=(+12x-6)a≠0)与轴负半轴交于点4，与” 轴交于B(0,6) D B B C G 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②)将原点O,点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C,点D,连接CD,AD,作∠OAD的平分线 交CD于点E. ①求点E的坐标： ②如图2，点F为直线AD左侧抛物线上一点，连接FE并延长交x轴于点G,连接DG交抛物线于点H, 连接EH,当∠DEH=∠DEF时，求点H的横坐标 38(2026北京中考真题)对于不共线的三点4,，C,连接1B。4C,并作劣BC,使得BC所在 BC 圆的圆心在过点A且与BC平行的直线上，称由MB,AC和B 和 组成的图形为单弧三角形，记作△A-BC 其中BC所在圆的圆心称为△1-BC, 的弧心. 在平面直角坐标系O少中， 21123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 Q①咖图1，点4(-2-，B(-3训，C1,直接写出△4-BC的教心的坐标及BC的长， 如图2，点D(2V5.2,E(2,0）,当△D-厅的弧心为0时，求点P的坐标， M(1,0) 3)已知点 对于平面内的点N,存在点卫，Q满足△P-M瓜和A0-瓜 的弧心均为O,aPMW和 △QMN 9=1 都不是钝角三角形，且 ,记N的横坐标为t直接写出t的取值范围。 39.(2026湖北中考真恩)抛物线'=-2r+C与*轴交于点 (-1,0) )和点B,与'轴交于点C.点P在 直线BC上，设点P的横坐标为. VA 图1 备用图 (1)求c的值； (2)如图1，点H是抛物线上位于第四象限的点，PH平行于x轴.当t=1时，求点H的坐标： 6)点P在直线BC上且位于点P的右上方，PQ=25.过点P,0分别作”轴和镇的垂线，四条垂线围 成四边形PEQF.若四边形PEQF的边与抛物线有两个交点M,N,记M,V的纵坐标之和为∫. ①当点P在线段BC上时，求关于t的函数解析式： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当=号时，直接号出，的值 23123可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题39函数综合压轴题 (39题) 答案版 1.@y=-6x-18+646(0≤x≤28) (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氨量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5 千克：②15 2.①y=3r+x-6 ②=-3-3W5或1=-3+321=-3 或 或 15 3) 3.(1)3 2-V2 2)(i)2;(i)当a=l,2,3时，m>2a-2;当a≥4时，m<2a-2. 理由如下：由①得48=5-=20，已知2≈1,414，m<Va+1显然成立， 令2a+1<2a-2解得a>3+3 ≈5.121， 2 也就是说，当a≥6时，m<2a-2恒成立， 故只用讨论a=1,23,4,5的情形： a=1时， 古1② 0.2935=14V2 1.707 2 ,故整数点只有x=1, .m=1,2a-2=0,.m>2a-2: a=2时，与=2-5=0586,6=2+万=3414，放整数点有=1x=2x=3 .m=3,2a-2=2.m>2a-2 a=3时，5=332、 -20.879,5=3+3V 2 2521,故整数点有x=lx=2x=3=4x=5, 1/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .m=5,2a-2=4.m>2a-2 4时，与4-221725=4+25628，收丝数点有=2=3=4x-5-6 .m=5,2a-2=6.m<2a-2 a=5时，5=552 2 1.465,x=5+5V ≈8.535 2 ,故整数点有x=2,x=3,x=4,x=5,x=6,x=7,x=8， .m=7,2a-2=8.m<2a-2 综上所述，当a=1,2,3时，m>2a-2;当a≥4时，m<2a-2. 4.(1)b=2;c=-3 2)0点M的横坐标为2，点N的横坐标为)；②-4+5或-4+V5 5.)y=x-3,点C'不在直线PD上 (2)的值 4-万4 3)-2 60-++2 2E2,5) 3)2 7.(1)y=4x 2)Co=1，点O在抛物线上 8.(1)y=- 三x+2 21 4v5 (2)5 (3)-2或2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(1)B(3,3) D直线AB的函数表达式为：少=-子+2引 一4x+4:抛物线0CB的函数表达式为：y=-x2+4x 1km 3) 10.(1) (-2,0)(8,0) (2) 当m=时 S>V145m=1±5S<V145 当 时， (2)证明：·抛物线上的 P(在轴上方， .%=-x6+bx+c>0 C=x6-bx,+6 :B2-4×(-I)×c=b2+4c=b2+4x6-4bx,+4,=(2x。-b}2+4y,>0 即方程-x2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴.抛物线与x轴有两个交点. B)CD和DE的数量关系是CD=DE, 证明：“抛物线"=-Y+r+C与轴交于4，B两点，与'轴交于点C(0,2),如图。 3/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故可设1(，0）B(60).x>与 则，云是方程r+r+2=0的两根， b+b2+8 由求根公式可得= 5-b=+8 2， 2， 又坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC, b 由对称性可设(2m M 由勾股定理可得， g可e-以.e-g-好 2 bb+b2+8 22 +m-o-[8+6a-2. 解得m 2 (b1 ·点M的坐标为2'2， y=bx+2 y=-bx-1 “直线 相交于点D, .b≠0， 3 x=2b 联立y=bx+2,解得 1 y=-bx-1 y=2 31 “点D的坐标为2b'2, 又：MC=ME, ∴.MD垂直平分CE, .CD=DE 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.1)y=-x2-2x+3 2W5 (2)5 25V2 3)8 13.1)m=3y=-x2+2x+3 a 8,q2号.c2.c22d2写 14.1)y= 2+x+4: 20P(2,4) ②6： ③)存在，0的坐标为3+25,2+5.(3-25,2-) 15.)直线r=5 @3-1sms 6)33 16.a)1(-1,0).B&,0) 20定点F1,0) 如图，设直线I与x轴交于点F,过点A作AG⊥DE,过点B作BH1DE,垂足分别为G、H. 5/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G XF(1,0)/ B ∴.∠AGF=∠BHF=90° 又A、B两点到直线的距离相等， .AG=BH 又，∠AFG=∠BFH, 片△AGF≌aBF(AAS) .AF =BF, 即：点F为AB中点 -1,0）B3,0) AB中点 F(1,0) 即直线过定 F(1,0) ②直线'过定点亿-) 17.①点P的坐标为L4), 20的值为6，②‘的值为5】 18.a)12,0).(3,-35 g0DF-45,-46 3 ,3<t<6;② 45sSs725 36 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)08;②(4，-2) 135 9 卫= 3)AE+CD的最小值为4，此时 4 00y 3t6 208,②M(4-2) ®5，p- 9 21.k=1,点B的坐标为 2,4) A的取值范国是≤兮 )点B的坐标为5,0），k=2N2 2.0)4(-,-0.G:y=(x-2-40≤x≤3)B2,4) @035x-威0≤x≤2，@1≤ms2-6 60是，②m=-1- m-1f0 2 5或 -1+6 m=0 23.(1)n=6: ②0线段0C长度的最小值为v而：②=5。 24.()少=-x2-x+2 (2)1 6104 (3)存在， 749 25.(1)t=-1 7/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19 ②)MN的最大值为4 5 6)1<-2或1>1 26.0)少=7x2+x+4 (2)3秒 7 3)当t=2时，四边形PCQB的面积最大，最大面积为4 1 3 27.a)y=-x2+3x+1 4 4 。3) 9√2 2, ®)点M的坐标为中2或-14，-52) 过程如下： 4x- 2+16,将抛物线沿射线CA方向平移√2个单位长度得到抛物线y, 1 3 ∴.平移方式为将抛物线y=- ++1向左平移1个单位，向下平移1个单位， 4 B(4,0) 点B的对应点为F, :F(4-1,0-,即F8,-) 设直线BF的解析式为y=mx+n, [0=4m+n m=1 ∴.-1=3m+n,解得n=-4, 直线BF的表达式为y=x-4, :直线y=x在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为45°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “.直线BF与直线y=x与x轴所成的夹角相等， ∠NBG=45°， ∠HBN=180°-45°=135°， 情况1： H(1,0) 如图，取点 当点N在x轴上方时， N G .4(-l,0)C(0,1) ..OA=OC=OH=1, :AH⊥OC, .∠CAO=∠CH0=45°， .∠CHB=135°=∠HBN,∠ACH=90°， :.∠BCH=∠ACB-∠ACH=∠ACB-90°， .∠ANB=∠ACB-90°， .∠BCH=∠ANB. .LCBO=∠BAW, .tan∠CB0=tan∠BAN=OC-1 OB 4 ,点N在直线BF上， N(n,n-4) 设 n-41 .n-(-1)4 部得0=号。 :得 9/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4(-10) 二可得直线N的表达式为y=4x+ 4 1.1 y=4x+4 将11和， -1x2+11联立得， 11 y=4x+4y 4 4x tx 1 2 y=-4+4x+2 4 x=1 1x=-1 解得y=2y=0(舍去)， 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作CL⊥BC交直线BF于点L,CL与x轴交点K,过点A作AW∥CL交直线BF于点N, B 设直线AC的解析式为y=x+t, 1=t s=1 0=-s+t,解得t=1, .直线AC的解析式为y=r+1, kAc=kBr=1, ..AClI BF, ∴.∠ACL=∠CLB,∠ACL=∠ACB-90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠AWB=∠ACB-90°， ∴.∠ANB=∠ACL, 此时直线AN与抛物线y'的交点即为所求的M, .∠CKO+∠KCO=∠KCO+∠OCB=∠OCB+∠CBO=90°， ∴.∠CBO=∠KCO, 在RtaCBO中，an∠CBO=OC=1 OB4· :.tan∠KCO=tan /CBO= 1 4 :an∠Kco-OS=是nOK1 0C4,即14， 设直线CL的解析式为y=cx+d, 1=d 0=+d,解得： c=4 将点C,K分别代入得： d=1 .直线CL的解析式为y=4x+1, .AN∥CL, ∴k4w=kc=4, 设直线AW的解析式为y=4x+e, 将点1-10)代入，e=4。 ∴.直线AN的解析式为y=4x+4, y=4x+4 11 +4x+2 11/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [x=-14 x=-1 解得y=-52 y=0(舍去)， :M(-14-52) 奇TE,有M东写读4- 28.①4(-98.1B10,0) (2)能避开障碍物和暗礁； 4121 6)4≤p<1 2· 29.①1(-1,0)B&,0) (2) d=-1 ③)证明：设直线MN的解析式为y=c+b,点T的横坐标为t,则T,t+b), ∵P2∥y轴， Pt,-t2+2t+3)Q,2+pt+q） 设M(w)Nxy) 联立直线MW与抛物线S得红+h=+2x+3 x2+(k-2)x+(b-3)=0 整理得： .·MN C 是直线与的交点， 六，。是该方程的两根， .PT=yp-yH+2+3-(t+b)t+(k-2)+(b-3)(t-x)t-x 同理，联立直线W与抛物线S得+b=+pr+g】 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2+(p-k)x+(g-b)=0 整理得 M,N也在抛物线C2上， .x1x2 也是该方程的两根， 0T=yo-y(e+pt+9）-(t+b)2+(p-)+(g-b)H-x)-x) ∴.PT=QT 过点M作MH⊥PO于点H,则MH是△PMT和△QMT的公共高， M S.wOMlI PT-OT. 1 .S.PAT=S.oMT S.mT-S. 同理，过点N作NG L PO于点6，可得S S.PMN=S.PAT+S.PNT S.QMN=S.OMT+S.ONT S.PM=S.oM D M H 30.(1)陌生：友好 9 ②)x<-3或0<x<1:2 3)45 31.)少=-2+3x+4 13116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 aP2,6) 58+V39 58-V39 3)22或22 32.)y=)2+x+4 ②)PE的最大值为2，此时点P的坐标为 2,4) 3-V615+V61 6)(5,2)或2,4 刚2 33.)B=2V5 包点+标为5安引 FG3 3)是定值，GC-2 34.)解： y=x2-4x+4y=-x2+2x 与 互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： y=-4x+4=(-2的顶点为20)， 将=2代入=-+2中，得’=-2+2x2=0, 即y=-+2x经过2,0) y=-r+2x=-(x-旷+1的顶点为 将=1代入y=-4r+4由 中，得"=1-4x1+4=1 即=4红+4经过 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数"=r-4+4与=-+2x 互为“伴随对称抛物线”. 2)09+4=0 ,证明如下： C:y=a(x-4)广+k与S:y=a,(x-广+k :4,4.4(%,6) :若S:y=ax-么广+与9：y=a,(区-，)+互为“件随对称抛物线”， k=a,(么-}+k、k=a(-h+k. 两式相加得a+a么-)=0 h≠h2 ∴.a1+a2=0 ②C的对称中心为线段 A 的中点： ®6-26-10h+1)=4 35.1)m=-2n=-8 2)0n2-1.②m=2√5，m,=-22,m,=26m,=-26 36。@抛物线的函数表达式为"=-+2x+1,顶点坐标为.2) ②03≤p56②h≥至 ③点M的坐标为1-V5,-1或(-2+V5,65-10) 2x+65 0(6,25),②3w5-3 15116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.a1,-)2元 ②点F的坐标为5) 39.(1)c=-3 a1+2,-2) t2+3t-6(0≤t≤1) 。31-5-3+页 60f={21-40<1≤3)：②42,2