专题38 综合与实践-几何综合压轴题（37题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编37道中考几何综合压轴题，涵盖三角形旋转、矩形折叠、最短路径等核心考点，分层设问适配中考梯度，融入古代矩盘、行车转弯等生活化情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|37题|三角形全等与旋转、图形折叠与对称、最短路径与定角定圆模型|分层设问（如眉山题三问梯度）；生活化情境（古代矩盘测量、农田规划）；素养导向（新定义几何、网格限尺作图）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题38综合与实践-几何综合压轴题(37题) 中考命题规律. 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 几何压轴三大变化：一是变换综合 化，旋转、折叠、对称叠加考查， 分层设问梯度明显，多解分类成为 区分难点；二是模型生活化，行车 核心考查三角形基础线段与角、垂 转弯、古测量工具、农田规划、手 考点综合与实 直平分线与全等三角形、图形旋转、 践几何综合压轴 工实物入题，弱化纯几何模型；三 折叠综合压轴、最短路径与定角定圆 题 模型、新定义几何与尺规网格作图 是素养导向强化，新增新定义探 等考点 究、网格限尺作图、隐圆最值，侧 重现场建模、逻辑说理，不再单纯 考证明，融合代数计算、分类讨 论、实际方案分析。 真题考点精练 一、解答题 1.(2026四川眉山中考真题)【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质. 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=10,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE,CE,DE与AC交于点F, 1/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由. (②)【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长， MD 拓展延神】如图3，点M为D延长线上点，且满足MC=E,当轮三kk>时，求D 值（用含k的式子表示）. 【答案】(I)CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE :∠BAC=90° .,∠DAE=∠BAC ·∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD .∠CAE=∠BAD AB=AC △ABD≌AACE(SAS) ..CE=BD a丽 1 O)k-1 【分析】（山正勇△1BDaa1CE(S4S）即可得证， (2)先由勾股定理求解DE,然后根据等腰直角三角形求解AE,AB,再证明△AEF∽△ABD得到 EFAE BDAB即可： DM DCDC 1 DMDM 1 (3)证明aMCD∽aMEC即可得到CM=CE=BDk,则FM=CM=K,从而得解. 【详解】(1)略 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：BC=10,CD=4, ..BD=BC-CD=6, AB=AC,∠BAC=90° ∴.∠B=∠ACB=45° .△ABD≌AACE .CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°， ∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° DE-DC+CE+6-23 在Rt△ADE中，AD=AE, :DE=VAD2+AE=V2AD,∠AED=∠ADE=45 640=e=9e-9a5-函 B=4C=2BC=5×10=55 同理可求 2 2 :∠AEF=∠B=45°，∠EAF=∠BAD=90°-∠DAF .△AEF∽△ABD EF AE ·BDAB EF 26 ·65√2 解翔乐而， (3)解：由(1)可得，△ABD≌△ACE ∴∠ECA=∠B=45° .MC=MF, .∠MCF=∠MFC. ·.∠FCD+∠MCD=∠ECF+∠FEC .∠DCF=∠ECF=45 3/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠MCD=∠MEC .∠M=∠M ∴.△MCD∽aMEC DM DCDC ·CM CE BD ..BD =k(k>1) DC DM DCDC 1 ·CM CE BD k ..CM=FM DMDM 1 FM CM k DM 1 :FD k-1· 2.(2026内蒙古中考真题)综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD,将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶 点A重合放置，记该三角形为△AEF.顶点E,F分别在正方形的AB,AD边上，如图1，现将△AEF绕 点A按逆时针方向旋转Q角，其中O°<a<90°，得到△AEF',连接BE,DF',如图2. F 图1 图2 图3 (I)初步探究：猜想线段BE'与线段DF'的数量关系，并说明理由： (②)深入探究：在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE'与BE'互相垂直时，AE'交EF边于点 M,E'F'交AD边于点N,如图3. ①求证NANF'=D·NE': ②求△AEM与△AFM面积的比值. 【答案】I)BE'=DF',理由如下： ,四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90° 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AE=AF,∠EAF=90° ∴由旋转可得，AE'=AF',∠EAF'=90, .∠BAD=∠E'AF'=90°， ∴.∠BAE'=∠DAF' △BAE'≌△DAF'(SAS) .'BE'=DF': (2)①证明：AE'⊥BE, ∴.∠AE'B=90°， 由(1)可得，△BAE'≌△DAF', .∠AE'B=∠AF'D=90°， :∠EAF'=90°， .∠E'AF'+∠AF'D=180°， .AE'∥DF, NA NE' ND NF'' .NA-NF'=ND-NE': @ 【分析】(1)证 △BAE'≌△DMF'(SAS)即可： (2)①证明AE∥DF',再由平行线分线段成比例定理求解即可： ②过点F作FH⊥AF交AE的延长线于点H,先求出BE=VAB-E=2,然后证明△MFH∽△BEA 求出FH= EM AE 4 4，再由△AEM∽△HM’得到FMFH3,再由共高三角形面积比等于底之比求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：①略 ②过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H, 5/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D MX E 3 图3 由题意得，AB=15,AE=AE=9 .∠AEB=90°. BE=VAB-AER=12 ,正方形ABCD中，∠BAD=90°， ∴.∠1=∠3=90°-∠2， ,∠AFH=∠BE'A=90°， .△AFH∽△BE'A, FH AF AEBE FH 9 .912? FH=2 ·∠HFD=∠BAD=90°， .FH∥AE, :.△AEM∽△HFM, EM AE 94 .FM FH-27-3. 4 SAAEML=EM4 :.S△AMFM3 即△AEM与△AFM面积的比值为3： 3.(2026甘肃天水·中考真题)在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部 分探究内容，请你思考并解答， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ B B 图1 图2 图3 【初步尝试】 (I)如图1，在△ABC中，AB=AC,过点B作B0∥AC,B=2,连接A0.点P在线段AB上，满足 ∠BPC=∠CAQ AP ,求“的长 【类比探究】 (②)如图2，在△ABC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P,D分别是线段 .E上的动点（不合端点），-D.当BPC=∠8CD,用等式表示击CD利O5, 和的数量关系， 并说明理由. 【拓展迁移】 3)如图3，在矩形AEBD中，P,D分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BO.当 ∠EAQ= )∠DAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由. 【答案】I)AP=2 2)解：CD=E,理由如下： 如图1，连接AQ」 B 四边形 为矩形， 图1 AEBD 7/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE∥AD, .∠PAC=∠QBA AC=BA,∠PAC=∠QBA,AP=BQ, △PAC≌△QBA(SAS) ∴.∠CPA=∠AQB :180°-∠CPA=180°-∠A0B, 即∠BPC=∠AQE :∠BPC=∠BCD .∠BCD=∠AQE, :四边形AEBD为矩形， .BD=AE,∠BDC=∠BDA=∠AEQ=9O°， .△BDC≌△AEQ(AAS) ∴.CD=OE B)解：BP=2QE,理由如下： 如图2，延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF. B O E D 图2 .·AF=AB ∠DFB=∠ABF=080-∠D1P)=90P-D1P, ∠BA0=2DMP, ∴.∠DFB=90°-∠EAQ=∠EQA △DFB≌△EQA(AAS) 由(2)同理可得， ..FD=OE 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AF, .AP+BP=AD+FD, ∴.AP+BP=AD+QE :四边形AEBD为矩形， :AD=BE, :AP+BP=BE+OE, .AP+BP=BO+20E AP=BO :BP=20E 【分析】(1)由平行线的性质得到∠PAC=∠QBA.由∠BPC=∠CA0得到∠PCA=∠QAB,从而证明 △PAC≌△QBA(ASA) 根据全等三角形的性质即可解答： (②)连接10.证明△P1C≌a0BA(S4S) 得到∠CPA=∠AOB,因此∠BPC=∠4OE,从而 ∠BCD=∠4OE,进而证明△BDC≌a1EO(MS), 即可得出CD=QE (3)延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF,由等边对等角得到 ∠DFB=∠ABF=080-∠D1P)=90-DP=∠E01,由DFB2BE04(1MS)得到FD=QE,根据线 段的和差得出AP+BP=AD+QE,根据矩形的性质有AD=BE,因此AP+BP=BO+2QE,从而可得 BP=2QE 【详解】(1)解：：B0∥AC, ∴.∠PAC=∠QBA :∠BPC=∠CAQ」 ∴.∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB ∴.∠PCA=∠QAB :∠PAC=∠QBA,AC=BA,∠PCA=∠OAB, ∴.△PAC≌△QBA(ASA) 9/132 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AP=BQ=2 (2)略 (3)略 4.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动 己知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG,BA=2'BE=1'BABE BC-BF=k,先将矩形EBFG的边BE BF分别落在矩形ABCD的边BA,BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为C,连接AE, CF D D A D G 图1 图2 图3 图4 Q)【问题初探】如图1，当k=1,0°<<90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是，AE与CF的数量关系 是 ②【类比推理1如图2，当=5,0<口<90时，试探究4E与CF的数量头系，请写出结论，并说明 理由； O)【深入探充】如图3，当=5,0<a<360时，点M为边BC的中点，直线E6交线段8C于点V, 若EN=MN,则CF的长为_： ④【拓展延伸】如图4，当《=5.0°<a<90 时，过点E作01BC,垂足为°，在线段BE上取点P, 使BP-号0，连接AP:若。BP的面积为g:则g的取值范围是-、 【答案】I)∠AEB=∠CFB,AE=CF CF=3AE ②)解： ,证明如下： ,四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， .∠ABC=∠EBF=90° 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, .∠ABE=∠CBF, BC_BF =V3 BA BE ∴△CBFP△ABE, 。. CF_BC=3 AE BA ∴.CF=V3AE 6)3政a ④0<5时 【分析】（证明△MBE≌CBF(S4S),即可得到∠ABB=∠CFB,E=CF： CE=BC=5,则cF=5AE (2)证明ACBF6ABE,得到AE=BA (3)分两种情况：点E在BC上方和点E在BC下方，分别画出示意图，讨论求解即可； 过点P作pyB于点M,证明AMPB∽△OBE,推出PM0:B吧，根据(B0-EO≥0， 3 出2E0-0≤0+E0；由勾股定理得B0+EQ=BE-P-1,则可证明E0-80≤分，根据 S-BPM-号0：B0可利答案 3 BC_BF=k=1, 【详解】(1)解：当k=1时，则BA=BE .BC=BA,BF=BE ',四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， .∠ABC=∠EBF=90°， .∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, ∴.∠ABE=∠CBF, △ABE≌△CBF(SAS) 11/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AEB=LCFB,AE=CF: (2)略 (3)解：如图所示，当点B在BC上方时，连接AN,过点B作BT⊥AW于点T, A D E(T) B BC BF :BA BE =k=√5 BC=3BA=23 :点M为BC的中点， .BM CM=BC=3: ,四边形EBFG是矩形， .∠BEG=∠EGF=90°： 设EN=MN=x,则 BN BM-MN=3-x 在Rt△EBN中，由勾股定理得BN2=EN2+BE2, （3-x=x+12 ts 3 BN=23 Ew= 3, 3 ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， AN =VAB2+BN=43 3, :BT⊥AN, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAw=5AB-BN=号ANBr 2 25_14 *2x 1 3=23 -BT ∴.BT=1, TN=VBN-BT-3 , BNBN,BE-BT-1.EN-TN= 3, △BEN≌ABTN(SSS) .∠BNE=∠BNT, .E、N、T三点共线，即点E与点T重合： AE=AN-EN= 由(2)得CF=V5AE=3 如图所示，当点E在BC下方时， D NM G :四边形EBFG是矩形， :、∠BEG=∠EBF=90° .∠BEN=180°-∠BEG=90°， 同理可得 N=3 3, 13/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠EBN= EN3 BE 3, .∠EBN=30°： 如图所示，过点B作ET⊥AB交AB的延长线于点T, :四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90° .∠EBT=180°-90°-30°=60°， LT=BEcos∠EB7-Er=BE5m∠Br= 2， .AT=AB+BT=5 , :AE=VAT2+E7=V万 ,∠ABC=∠EBF=90°， ∴.∠ABC+∠EBC=∠EBF+∠EBC, .∠ABE=∠CBF, BC _BF=k=3 又：BABE .△ABE∽△CBF, CF_BC=3 ·AEBA CF-AE=2i 综上所述，CF的长为3或V21: (4)解：如图4所示，过点P作PM⊥AB于点M, A D 图4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PM⊥AB,EQ⊥BC. :∠PMB=∠BQE=90°， ∴.∠MBP+∠MPB=90°， ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， .∠MBP+∠OBE=90°， .∠MPB=∠OBE, :△MPB∽△QBE, PM BP BO BE' PM-BP:B2DP.BO BE :PB=0. 3 ÷PM=80-0, (B0-E0)}≥0 BQ+EQ2-2EQ·BQ≥0 2EQ·BQ≤BQ+EQ tAEBO 在 中，由勾股定理得 O2+EO2=BE2=12=1 2EQ·BQ≤BQ+EQ=1 1 :E0B0≤2， ~S-4Pw-x2号0-0号00. 1 2 3 ..8s 211 323 又，S>0 15/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0<5 3 5.(2026四川广元中考真题)在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后 将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律， 在△A0B与△COD中，∠AB0=∠CD0=90°，∠A0B=∠COD=30°，OA=6,OC=4,将△C0D绕点 0顺时针旋转，旋转角为(0<a<180),直线BD与直线4C相交T点5」 y D B D B E 图1 图2 备用图 【初步探究】 (1)如图2，∠AEB的度数为」 【尝试应用】 (②)如图2，若BE∥OA,求CE的长： 【创新提升】 3)若C,D,E三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC的长 【答案】1)30° g吟 64W2-2326+2 或 【分析】(I)先证明△OBA∽△ODC,再证明△AOC∽△BOD,则∠OAC=∠OBD,然后根据三角形的 外角性质求解即可； (2)连接0E,证 △ATB≌△OTE(SAS ,则可得∠TE0=∠TBA=90°，然后对Rt△C0E运用勾股定理 求解即可： (3)连接OE,由(1)知∠OAC=∠OBD,记直线AE与B0交于点T,证明∠OET=∠CD0=90°，则 C,O,E,D四点共圆，可得∠CDE+∠COE=I80°，然后分CD=DE和CD=CE两种情况求解即可. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：∠AB0=∠CD0=90°，∠AOB=∠COD=30° .△OBA∽△ODC,∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB,即∠AOC=∠BOD, OB OA .0D0C, OA OC ∴.OBOD' :∠AOC=∠BOD, ∴.△AOC△BOD. ∴.∠OAC=∠OBD 如图，记AE,BO交于点T, B E 图2 '∠OTE=∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠AEB, .∠AEB=∠AOB=30°： (2)解：OA=6,∠A0B=30°， :B-04=5, 如图，连接OE, B D E 图2 17/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BE∥OA, .∠OBE=∠AOB=30°，∠OAE=∠AEB=30°， ∴.∠OAE=∠AOB,∠OBE=∠AEB, .TA=TO,TE=TB, :∠ATB=∠OTE, ,△ATB≌△OTE(SAS) ∴.∠TE0=∠TBA=90°，OE=AB=3, 0C=4, :CE=V0C2-0E=④-3- (3)解：连接OE, 由(I)知∠OAC=∠OBD,记直线AE与BO交于点T, :∠ATO=∠BTE. .△ATO∽△BTE, AT OT ·BTET, AT BT OT ET' :∠ATB=∠OTE, .△ATBm△OTE, ·.∠OET=∠ABT=90° ∴.∠0ET=∠CD0=90°， .C,O,E,D四点共圆， .∠CDE+∠COE=180°， 当CD=DE时，∠ECD=∠CED=30°， ∴.∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=120°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠C0E=60°， .CE=0Cx6im∠C0B=4x5-2W5OE=0Cxcs∠C0E=4×2 2 :4E=VA02-0E=v6-2=45 :1C=AE-CB=4w2-25 在Rt△CD0中，OC=4,∠COD=30°. acD=5C0=2, 当CD=CE=2时，同理可得∠OET=90°， ÷0E=V0c2-CE2=e-2=25 AE=v0A-0E2=6-(25-26, :4C=AE+CE=26+2 综上：若C,D,E三点构成以CD为腰的等腰三角形，4C的长为W5-25或26+2 或 6.(2026四川成都中考真题)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探 究 如图，△ABC≌△EAD,AB=AC=nBC(n>I),点D在AC边上，延长ED交AB于点F. 19/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 (I)【初步感知】求证：AF2=FD·FE; (2)【深入探究】如图1，当n=2,AD=1时，求BF的长： 3)【拓展延伸】如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA'D',若F, ,D'三点共线，且点A的对应点A满足A'A⊥A'B,求n的值. 【答案】(I)证明：：△ABC≌△EAD, .∠BAC=∠E,即∠FAD=∠E, 又，∠AFD=∠EFA, .△AFDP△EFA, 、AFFD ·FEAF' ∴.AF2=FDFE; 2 2)3 8V2+1 【分析】(I)根据全等三角形的性质得到∠FAD=∠E,结合∠AFD=∠EFA证明△AFD∽aEFA,再利用 相似三角形的性质即可证明： AF FD AD 1 (2)根据题意得BC=AD=1'AB=AC=AE=DE=2?由。AFDEFA得到FE=AF=AE2:则 2=2尔·D护，再利用线段的和养列出关于4B长的方程，求出，即可求解5的长 (3)连接AF,设BC=AD=1,由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n,根据旋转的性质得 AE=A'E,∠EA'D'=∠EAD,则∠EAA=∠EAA,设∠EAD'=∠EAD=a,导角可得 ∠EAF=∠EAF=18O°-&，则∠FAA=∠FAA,推出AF=A'F,再结合AA⊥AB推出BF=A'F,则 4=8F-号B=,再油0B得到E=F-,D- n 2,再利用线段的和差列 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 出关于n的方程，即可求解n的值. 【详解】(1)略 (2)解：，△ABC≌△EAD .BC=AD=1,AB=AE,AC=DE, AB=AC=nBC,n=2, .'AB=AC=AE=DE=2, 由(I)得，△AFD△EFA, AF FD AD 1 ·FE AF AE2’ ∴FE=2AF,FD=2AF DE-FE-FD-3AF-2 2 解得AF=4 3 “BF=AB-AF=2-4=2 33’ 即BF的长为3： (3)解：如图，连接A'F, A B D 设BC=AD=1, 由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n, 由旋转的性质得，AE=AE,∠EAD'-∠EAD, ∴.∠EAA=∠EAA, 设∠EA'D'=∠EAD=a, :F,A,D三点共线， .∠EA'F+∠EAD'=180°， 21/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EAF=180°-a, .AE =DE, .∠AED=180°-2a, ,△ABC≌△EAD, .∠BAC=∠AED=180°-2a, .∠EAF=∠BAC+∠EAD=180°-2a+a=180°-a, ∴.∠EAF=∠EAF, ·.∠EAF-∠EAA'=∠EAF-∠EAA,即∠FAA=∠FAA, .AF=A'F, ,AA⊥AB, .∠AAB=90°， ∴.∠FAA'+∠FBA'=90°，∠FAA+∠FA'B=90°， ∴.∠FBA'=∠FAB, :BF=A'F, .AF-BF=14B-In 1 21 由(I)得，△AFD∽aEFA, AF FD AD 1 ·FE=AF=AEn 三一 FE-MAF-Tw FD-I4F-1 2 n 2 .DE FE-FD= 121 2 二n, 解得7V2+1 负值已舍去)， 2+1 n的值为 7.(2026山西中考真题)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC中，AB=BC,BO是△ABC的中线.将△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, 其中点B,C的对应点分别为点D,E,线段DE分别与线段OA,AB交于点M,F,线段OE与AB交 于点N. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 (I)推理证明：求证：△AON≌aEOM: (②)拓展延伸：在旋转过程中，当OD∥AB时，探究下列问题. ①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由： ②已知OB=2,OA=3.在射线DO上取一点G,在射线B0上取一点H,使OH=OG.当以点A,G, H为顶点的三角形是直角三角形，且G为直角边时，请直接写出线段BH的长 【答案】(I)证明：：AB=BC,BO是△ABC的中线， ∠A=∠C,AO=CO,BO⊥AC, 'aBOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, ∴.∠E=∠C,EO=CO ∴∠A=∠E,AO=EO, .∠AON=∠EOM. 在△AON和△EOM中， ∠A=∠E AO=EO ∠AON=∠EOM' ∴.△AON≌AEOM(ASA) 2)①解：DO=DF, 理由如下： :AB=BC,BO是△ABC的中线， .∠ABO=∠CBO, :aBOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, .∠D=∠CBO,OD=OB, ∴.∠ABO=∠D, :OD∥AB, 23/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠D=∠AFD, ∴.∠AFD=∠ABO, DF∥OB ∴四边形DFBO是平行四边形， .OD=OB .DFBO是菱形， :.DO=DF: ②线段8明的长为下或4-丽 或 【分析】(1)根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出∠A=∠E,A0=E0,结合图形得到 ∠AON=∠EOM,运用“角边角”即可求证： (2)①根据旋转得到∠D=∠ABO,由平行线的判定得到DF∥OB,可证四边形DFBO是菱形，由此即 可求解； ②证明G,H在以O为圆心，OH为半径的圆上，即图中的G,H,G,H',可得四边形GHG'H'为矩形，可得 当以点A,G,H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，当∠AGH'=90°，则AH'一定过点 ∠AGH=90°。∠AHG'=90°，A,G,H ,不符合题意：只有 或 ，此时 三点共线，再进一步求解即可 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：，OG=OH, :G,H在以O为圆心，OH为半径的圆上，即图中的G,H,G,H', .∠GH'G'=∠H'GH=∠GHG=∠HG'H'=90°， .四边形GHGH'为矩形， ∴当以点A,G,H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时， 当∠AGH'=90°，则AH′一定过点O,不符合题意： ∴.只有∠AGH=90°或∠AH'G=90°， 此时A,G,H'三点共线， 如图所示，当点H在线段BO上时，∠AGH=90°，且点G在线段DO上，过点H作HP⊥OP于点P, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .∴∠HPO=∠AOB=90° OD∥AB, ∴.∠HOP=∠ABO OB=2,OA=3. AB=OP+OB=3,tan∠H0P=tan∠AB0=40=3_PH BO2 OP, 设OP=2x,HP=3x, 则OH=VOP2+hP=x ..OG=OH=OG'=OH'=13x :OD∥AB, .△H'GO△H'AB, OG H'O .ABHB’ √13x13x .√3√13x+2, 解得： x=5-2或=0（舍去）， 此时BH=B0-H0=2-1Bx=2-(V3-2=4-3 BH'=OB+OH'=2+V13x=2+V13-2=V13 综上所述， BH=134-13 或 8.(2026贵州中考真题)小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 25/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E 图① 图② 图③ 【动手操作】如图①，在直线I的两侧有两点A,B,小红要在直线I上确定一点P,使AP+BP最短. (I)请帮小红确定点P的位置，并画出图形； (2)解决该问题的依据是一； 【问题探究】 3)如图②，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一个动点，连接EF,CF, ∠DBC=30°BC=2V3 当EF+CF的值最小时，求线段EF的长； 【拓展延伸】 4)如图③，在四边形ABCD中，AD‖BC,BD=CD,CE⊥BD,垂足为E,∠A=2∠ADB,AD=1, AB=3,若点P是线段BC垂直平分线上的一个动点，连接BP,EP.确定点P的位置使△BPE周长最小， 并求出该周长的最小值. 【答案】I)如图①，点P即为所求： ● B 图① (2)两点之间线段最短 3)1 4v5+46 (43 【分析】(1)连接AB与直线I的交点即为点P: (2)依据为两点之间线段最短： (3)过点C作BD的对称点T,CT交BD于点S,连接FT,ET,ET交BD于点O,则 EF+CF=TF+EF≥TE,故当点F与点Q重合时，EF+CF取得最小值，如图，连接ES,然后证明 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FE⊥BC,再解RtBEF即可； (4)过点D作DF⊥BC于点F,过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,先判断点P在直线DF上， 连接PE,PB,PC,确定△BPE周长的最小值为BE+CE,先证明△MCD∽△DCB,再利用△DBF∽aCBE 求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点C作BD的对称点T,CT交BD于点S,连接FT,ET,ET交BD于点O, B E .CS⊥BD,FT=FC, .EF+CF=TF+EF≥TE, ∴.当点F与点O重合时，EF+CF取得最小值，如图，连接ES, T A F B :CS⊥BD,点E为BC中点，∠DBC=30°， BE=ES=EC=BC-233BCS-905-/D8C-60 ∴.△ESC为等边三角形， .SE=SC=ST, .∠SEC=∠SCE=∠ESC=60° 27/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :C,T关于BD对称， ..CS=TS, .ST=ES, .∠T=∠SET, ,∠T+∠SET=∠ESC, ∠SET=∠T=30°， ∴.∠TEC=∠SET+∠SEC=90°， .FE⊥BC, EF=BExtan∠DBC=N5×5-l 3 (4)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M, A B .DB=DC, .BF=CF,∠DBC=∠DCB ∴.DF垂直平分BC, .点P在直线DF上， 连接PE,PB,PC, ..PB=PC, .PE+PB=PE+PCCE, 当点P在CE上时，PE+PB取得最小值即为CE, .CAnE=BE+PE+PB,BE不变， ∴，△BPE周长的最小值为BE+CE, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD∥BC,CM∥AB ∴四边形ABCM是平行四边形， :.CM=AB=3,∠A=∠BCM,BC=AM, :AD‖BC, :∠ADB=∠DBC,∠MDC=∠DCB ∴.∠ADB=∠DBC=∠MDC=∠DCB. 设∠ADB=∠DBC=∠MDC=∠DCB=a, ,∠A=2∠ADB, .∠A=∠BCM=2a, ∴.∠DCM=∠BCM-∠DCB=a, ∴.∠MDC=∠MCD=∠DCB=∠DBC, :.MD=MC=3,△MCD∽△DCB, BC=AM=AD+DM=1+3=4, MC DC DC CB' 3 CD .CD4’ 解得CD=2V5 (舍负)， BD=23 BF-CF-1BC-1x4-2 2 .DF-CD-CF=2 :CE⊥BD .∠DFB=∠CEB=90°， ∠DBF=∠CBE, .△DBFACBE, DB DF BF CB CE BE' 29/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25222√5 ∴.4CEBE2, 22+2√5 .CE+BE 2, CE+BE= 4V3+4v6 3 4V3+46 .△BPE周长的最小值 3 9.(2026四川达州中考真题)综合与探究 C C2 C D MB B B CE ND 图1 图2 图3 【方法探究】 0)如图1，直线4，AB两点在直线上，G,9,C=点在直线上，连接1C AC AC2 AC BC BC2 BC ABC1△ABC2△ABC3 ,我们发现 面积的数量关系是一，理由是 (2)如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点(C不与A重合)、D是AC的中点，用圆规和无刻度直 尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由： (3)【问题解决】如图3，直线 表B/CD,M是B上一点，MN1CD,垂足为XN=4、E是射线 C 上的动点，连接EW,过点M在4B上方作射线MLM,G是MF上的一点，连接EG,S,a。=12 求线段WG的最大值. 【答案】(I)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图2 点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A), 证明：连接OD :O是AB中点，D是AC的中点， :.OD是△ABC的中位线 ..ODIl BC 又，AB是直径 .∠ACB=90°， .∠AD0=∠ACB=90°， ∴.点D在以OA为直径的圆上. 又，点A、C不重合，故点D不与点A重合， ∴.点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A), (3)8 【分析】(1)根据平行线间的距离处处相等即可得出结论： (2)根据三角形中位线性质可得OD‖BC,由此得出∠AD0=∠ACB=90°，根据90°角所对弦是直径，可 得点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A): (3)过点G作6KIM,交CD手K,交4B于P,利用)可符5a=.aw-12 ,根据 Sg-KEMN=12求得KE-6,再由四边形KEMP是平行四边形，可得PM=KE=6:由MG1ME 可得2MGP是直角三角形，取pM中点0：则OG=OM=PW=3,根据点到圆上一点的距离最值即可符 OG+NG≥NG,即当点G在ON延长上时，NG最大，最大值为OG+NG 31/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC,△ABC2△ABC 【详解】(1)解： 面积相等。 理由：它们共底边AB,且由于，顶 点C,C,C到直线的距离（即高）相等，故面积相等， (2)略 (3)解：过点G作GK I ME,交CD于K,交AB于P, M -B 由(1)可得： S.EMG=S.EMK :MN⊥CD,MN=4 SAENG=12 :SaEw=12,即KB4=12, 解得：KE=6, .GK ME,ABI CD. ∴.四边形KEMP是平行四边形， .PM=KE=6. 又：MG⊥ME,即∠GME=90°， .∠MGP=90°. ,点G在以PM为直径的半圆弧(AB上方，不含P、M两点)上运动， 取pW中点0则OG=0M=PM=6=3,连接ON、OG: 2 2 .OG+WG≥NG, 当点G在ON延长上时，WG最大，最大值为OG+NG, :ABIICD,MN⊥CD, 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .MN⊥AB,即∠OMN=90°， .ON=VOM2+MN2=32+4=5 .0N+0G=5+3=8, 即NG最大值为8. 【点睛】解题关键是利用平行转化三角形面积，抓“定角对定弦”构造辅助圆，化“动”为“静”；利用 “圆外一点到圆上点的最大距 (d+）”模型，巧解线段最值。 10.(2026山东·中考真题)我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其 正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为 左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的 弧组成角度盘. 左矩 右矩 角度盘 矩尺盘 -铅垂线 重物G 图1 图2 图3 图4 图5 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、 矩尺盘的交点的刻度为读数. (I)如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE=31°），矩尺盘读数为6(DE=6),可 知仰角∠P=∠DAE=3P,tan∠P=tan∠DAB=DE-6 0.6.如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数 ΓAD100. 为29°（∠DAE=29°），矩尺盘读数为5.5(DE=5.5),则仰角∠P= ,tan∠P≈ (结果 精确到0.1). 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E到地面的距离(EB的长度)·如图5，某同学站在 城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到 33/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°.已知4C=20m,该同学眼 睛到地面的高度是1.6m,求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0.lm)· 【答案】(1)61°：1.8 (2)8.3m 【分析】(1)根据直角三角形两个锐角互余得出∠P=90°-∠DAE=61°，根据an∠P=tan∠AED,结合正 切定义，求出结果即可： 2设EE:EN=m则MF=20-xm,则REME中，根据m☑EMF=,存0S0求 出x的值，即可得出答案， 【详解】(1)解：根据题意可得：AG⊥PQ,∠AQP=90°， ∠DAE=29°， .∠P=90°-∠DAE=61°， ,在正方形ABCD中∠ADC=90°， .∠AED=90°-∠DAE=61°， ∴.∠P=∠AED, im P-t F (2)解：根据题意得：BF=CN=1.6m,MN=AC=20m,∠EFM=∠EFN=90°，∠NGH=45° GH⊥MN,K=5,JK=10, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B .∠ENF=90°-45°=45°， 六RIA EFN中，tan∠ENF=EE N, 即an45°=1=EF FN· .EF =FN, 设EF=FN=m,则 MF=(20-x)m .∠MJL+∠EMF=∠MJL+∠KJL=90°， 、∠EMF=∠KL, 片m∠EMF=am∠KL=g-点=05， JK 10 六RtaEMF中，tan∠EMF=E MF 即0.5s x 20-x 解得：x≈6.67， .EB=EF+FB=6.67+1.6=8.27≈8.3(m) 答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m 11.(2026重庆中考真题)综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究. D B 【动手操作】 35/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，在口ABCD中，AB<BC.用尺规完成基本作图：作出∠ABC的平分线，交AD于点E. 【问题提出】 他们猜想DE,BC,AB之间存在以下数量关系：DE=BC-AB, 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明 【答案】①)解：作图如下： E D B (2)证明：由作图知，BE是∠ABC的平分线， ∴.∠ABE=∠CBE, ,四边形ABCD是平行四边形， .ADIl BC,AD=BC, .∠AEB=∠CBE, ∴.∠AEB=∠ABE, .AB=AE, DE=AD-AE, ∴DE=BC-AB 【分析】(1)按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可： (2)由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得AB=AE,从而可证明猜想. 【详解】(1)解：略： (2)证明：略。 12.(2026黑龙江绥化中考真题)尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P. ·P ·P B B 图1 图2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN,并使等腰三角形的底边MN经 过点P,点M,点N分别在射线OA,射线OB上.（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕 迹) (②)【拓展探究】如图2，若∠AOB=58°，连接OP,OP=3.以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA, 射线OB于C,D两点，则劣弧CD的长度为 CD (本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含元 的代数式表示的结果) 【答案】I)解：如图，△OMN即为所求， 29 (2)307 【分析】(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB分别交于点C、点D,连接CP, 作射线CP,以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP、线段CD分别交于点E、点F,以P为圆心， CE为半径画弧，弧与射线CP相交于G,以G为圆心，EF为半径画弧，两弧相交于H,作直线PH,与 射线OA,射线OB分别相交于点M、点N,则△OMN即为所求； (2)直接根据弧长公式求解即可. 【详解】(1)解：画图略， 理由：由作图知：OC=OD,∠ECF=∠GFH, :.∠OCD=∠ODC,CD∥MN, ∴.∠OCD=∠OMN,∠ODC=∠ONM. ∴.∠OMN=∠ONM. ..OM=ON, .△OMN即为所求： (2)解：由作图知：OC=OD=OP=3, 58π×329 “劣弧CD的长度为180=307. 37/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026四川南充中考真题)在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AP=AB 图1 图2 图3 (I)【初步感知】如图1，点P在线段AC上，若OP=2CP,AC=6,求AB的长. (②)【深入探究】如图2，点P在线段CD上，若CP=DP,设AB长为x,AC长为y,求y与x之间的函数 关系式 DP B)【拓展运用】如图3，点P在线段CD上，将。ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求DC的值， 【答案】1)5 V -x(x>0) 2 DP 5-1 3)DC2 【分析】(1)根据菱形的性质得出OC=OA=3,再结合题意得出OP=2,即可求解； (2)过点P作PE⊥LAC于点B,根据菱形的性质及相似三角形的判定和性质得出△CPE∽aCDO, 1 1 GPx.OC气)》C亚0C4,然后利用股京理建立方程整理即可得出v与x之间的函数关系式 21 2 (3)设AP交BD于点F将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D',连接PD,AD,根据题意得 出AD=AD'=AP=AB,∠DAP=∠DAP,利用各角之间的关系得出∠DAP=36,∠APD=∠ADP=72°， ∠ADF=∠PDF=)∠ADP=36°，再由相似三角形的判定和性质得出PDF6PAD,APDP,设 DP FP 2 DP=m,DC=n AP=n,FP=n-m ·则 ,代入求解即可 【详解】(1)解：，四边形ABCD是菱形，AC=6, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OC=0A=3. .OP=2CP, OP=2, ..AB=AP=OP+0A=5: (2)过点P作PE⊥AC于点E, ,四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, ∴.PE∥BD ..ACPEACDO. CE CP .OC CD' ..CP=DP, CE CP 1 ·OCCD2, ..AB=x,AC=y, 、.Cp_1x.OC=长y,CE=2OC=4少 1 2 AE=AC-CE-3 PE2=PC2-CE2 在RtAPCE中， 在Rt△PAE中， PE=Pm-AE=r-(》 ▣月-=-. 39/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-3x, y= 6 整理得 2 即 2 2“(舍去)： 6 v与x之间的函数关系式为y 2xr>0) (3)如图，设AP交BD于点P,将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D',连接PD,AD', D F AP=AB, .AD=AD'=AP=AB,∠DAP=∠DAP, 又∠ABD'=∠ADP, ∴.∠ADP=∠APD=∠APD'=∠AD'P=∠AD'B=∠ABD', ∴.∠DAP=∠D'AP=∠BAD', :AB∥CD, ∴.∠APD=∠PAB=2∠DAP, :∠PDA+∠APD+∠DAP=180°， .5∠DAP=180°， .∠DAP=36°，∠APD=∠ADP=72°， ∠ADF=∠PDF=)∠ADP=36, 2 ∴.∠PDF=∠DAP=∠ADF, .∠DPF=∠DFP=72°， .DF AF PD, 又∠DPF=∠APD ∴.△PDF∽△PAD, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DP FP AP DP' ..DP2 AP.FP, 设DP=m,DC=n,则AP=n,FP=n-m, ∴.m2=n(n-m) .m2+mn-n2=0. (+10 n n m5-1 取正数解得：n2, DP m 5-1 DC n 2 14.(2026河南中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE, 记旋转角为C,作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH. A D 4 D E B 图1 图2 (1)【观察猜想】 当a=30°时，如图1，∠BEH的度数为 CH的长为 (2)【探究证明】 当0°<α<120°时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立， 请说明理由. (3)【拓展延伸】 41/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当0°<a<120 4V2 时，若 DCH 的面积为 ,请直接写出此时旋转角的度数。 【答案】(1)60°：4 (2)两个结论仍然成立.证明如下： ~四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, AB=AD=BC=4,AD∥BC, ∠ABC=180°-∠BAD=60°， AB=AE, .AD=AE=AB, :∠BAE=&,则∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-a, ∠4E8-80-∠B1E)=90-号.∠AED-080-∠E4D)-5[180-20-a]=30+号 BE =BH, 为等边三角形， ∴.∠EBH=60° ∴.∠ABC=∠EBH,则∠ABC-∠CBE=∠EBH-∠CBE, ∴∠ABE=∠CBH, .BE=BH,AB=CB, .·△ABE≌ACBH(SAS) :AE=CH, ∴CH=4 6)15°或105°. 【分析】(I)根据菱形的性质得到AB=BC=CD=AD=4,ADI‖BC,由旋转的性质，三角形内角和定理 得到∠AEB=75°，△ADE是等腰直角三角形，根据平角得到∠BEH=6O°，结合题意得到△BEH是等边三 ABE≌ACBH(SAS) 角形，再证明 得到CH=AE=4, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2②根据菱形的性质，旋转的性质得到<4BE=90-号∠AED=30+号，根据平角得到∠BEH=60心 结合题意得到△BEH是等边三角形，再证明△1BE≌aCBH(S4S 得到CH=AE=4 (3)结合(1)，(2)的解析分类讨论：当点H在CD左边时，过点H作HG⊥CD延长线于点G,由面 HG=2√2 积公式得到 根据解直角三角形的计算得到∠H1CG=45° 由平角的定义即可求解：当点H在 CD右边时，同理得到∠HCG=45°，由&=∠BCG+∠HCG即可求解. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, .AB=BC=CD=AD=4,ADII BC. ∴.∠ABC=180°-∠BAD=60° ,将边AB绕点A逆时针旋转至AE,旋转角α=30°， 、.AB=AE=AD,∠BAE=30° ∠ABE=∠AEB=)180-∠BAE)=)×180°-30°)=75°， 2 :.∠CBE=∠ABE-∠ABC=75°-60°=15°， .∠CBE+∠AEB=15°+75°=90°，即AE⊥BC, 设AE,BC交于点M, D M H ..AD//BC, .∠DAE=∠CME=90° ∴.△ADE是等腰直角三角形， .∠ADE=∠AED=45°， ,∴.∠BEH=180°-∠AEB-∠AED=180°-75°-45°=60° BE=BH, 43/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BEH=∠BHE=60°，则△BEH是等边三角形， :∠ABE=75°，∠CBH=∠CBE+∠EBH=15°+60°=75°， ∴.∠ABE=∠CBH, ·AB=CB,∠ABE=∠CBH,BE=BH, :△MBE≌aCBH(SMS) .CH=AE=4; (2)略 (3)解：由上述证明得到∠BCD=∠BAD=120°，AB=BC=CD=AD=AE=CH=4,△ABE≌ACBH, ∴.∠BAE=∠BCH=a,∠DCH=∠BCD+∠BCH=120°+a, 第一种情况，当点H在CD左边时，如图所示，过点H作HG⊥CD延长线于点G, G .S.DCH= CD.HG=4V2 2 :ic=20-8Y5-25 CD 4 在Rt△CHG中， sin∠HCG=HG-22V5 42, .∠HCG=45°， :∠DCH+∠HCG=180°， .120°+a+45°=180°， 解得：a=15°： 第二种情况，当点H在CD右边时，如图所示，过点H作HG⊥CD延长线于点G, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E B G H 同理可得， HG-2√2 :sin∠hcG HG2N2√2 CH42, .∠HCG=45°， :∠BCG=180°-∠BCD=180°-120°=60°， ∴.∠BAE=a=∠BCH=∠BCG+∠HCG=60°+45°=105° 15.(2026山东中考真题)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°」 A 图1 图2 图3 备用图 【观察与发现】 (1I)如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD,点D与点C是对应点.点E,F分别在边AB, AC上，AE=CF,连接DE,DF.求证：DE=DF 【思考与探究】 (②)如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H.点E,F分别在边AB,AC上，CF=2AE,连接EF, HE,HF,猜想线段EF与HE的数量关系，并说明理由. 【拓展与延伸】 6)如图3，在（②的条件下，延长PE至点G,使G=5,连接G1, GA GHAB=6 AG=27 ·若 ”,求线 段AE的长度 【答案】I)证明：连接CD,如图所示： 45/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据旋转可得：∠CAD=60°，AC=AD, :△ACD为等边三角形， ∴.CD=AD,∠ACD=60°， :∠EAD=∠BAC-∠CAD=120°-60°=60°， .∠EAD=∠ACD, ..AE=CF, .△AED≌ACFD(SAS) ..DE=DF; Q2)EF=3HE 理由如下： AH⊥AC, ∴.∠HAF=90° .∠BAH=∠BAC-∠HAF=30°. .sinC=sin30°= 1AH 2 HC' AB=AC, :∠4=∠C=)×(180°-120)=30°， .∠BAH=∠C, .CF=2AE, AE 1 ·CF=2, AE AH ·CFHC .△AEH∽△CFH, HE AH 1 ·HFHC2，∠AHE=∠CHF, .∠AHE+∠AHF=∠AHF+∠CHF 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即∠EHF=∠AHC, HE AH HF-HC' HE HF ·AHHC, ∴.△EFH∽△ACH, .∠EFH=∠C=30°，∠HEF=∠HAC=90°， .∠EHF=90°-30°=60°， ∴.tan∠EHf=tan60°=V5=EF HF EF=3HE 3)1或2 【分析】(I)连接CD,证明△ACD为等边三角形，得出CD=AD,∠ACD=60°，再证明 △AED≌aCFD(SAS) ,即可得出结论： HE AH 1 (2)证明△AEHo△CFH,得出HF=HC2,∠AHE=∠CHF,证明AEFH∽aACH,得出 ∠EFH=∠C=30°'∠HEF=∠HAC=90,根据an∠EHf=tan60°=3=EF HF,即可得出答案； (3)延长CA:并取点N使AN=AP:过点G作GM⊥于点M,根据中位线的性质得出E=GN, AE∥GN,设AE=x,则GN=2AE=2x,CF=2AE=2x,AN=AF=6-2x,解直角三角形求出 MN=GN=x GM-5GN=x 2 2 根据勾股定理得出：6-+(5✉=（可，求出的值，即可 得出答案. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：延长CA,并取点N,使AN=AF,过点G作GM⊥AN于点M,如图所示： 47/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、.M 、.W B 则∠GMA=90°， .EG=EF, :.AE为△FGN的中位线， :4-CN,A5∥GN: ∴.∠GNA=∠BAC=120°， .∠GNM=180°-120°=60°， AB=6, .AC=AB=6. 设AE=x,则GN=2AE=2x,CF=2AE=2x,AN=AF=6-2x, cos∠MNG=cos60°='=MW 2 GN. sin∠WG=sin60=V5_GM 2 GN Mw=号GN=xGM=5GN=5x 2 .AM=AN+MN=6-2x+x=6-x, 在Rt△AGM中，根据勾股定理得：AM2+GM2=AG2, 即(6-x+(3x=2万， x=2x2=1 解得： .AE=1或2 16.(2026山东烟台中考真题)【尝试发现】 AB 2 BD )如图1，ABCPAADE,AC=3:当点D,E分别在边AB和AC上时，CE的值是 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 图1 【变式探究】 (②)如图2，将(1)中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE,BD, AC与BD交于点O,CE与BD的延长线交于点F· E D 图2 BD ①求CE的值； ②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明： 【联系拓广】 B)如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=6,点E在边BC上且BE=2,连接AE.F是直线BC上 的动点，作△AFG∽△ABE,连接CG,EG ①当点F在线段CB的延长线上，且EG=EA时，求EF的长： ②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长. G 图3 备用图 2 【答案】0) 2 2)03: 49/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②∠BAC=∠BFC,证明如下： 连接AF, 图2 由①得△BADACAE, :.∠ABD=∠ACE,即∠ABF=∠ACF, “点A、B、C、F四点共圆， .ZBAC=ZBFC: 36 3)05:②13 【分析】山)由相似三角彩的性质可得验一招号，从面可得0=号，4B-号4C,再结合 AD AB2 3 BD=AB-AD,CE=AC-AE,计算即可得出结果： AB AC AB AD 2 (2)①由相似三角形的性质可得AD=AE,∠BAC=∠DAE，从而得出ACAE3,∠BAD=∠CAE, 再证明△BAD∽aCAE,即可得出结果：②连接AF,由①得△BAD∽aCAE,由相似三角形的性质得出 ∠ABF=∠ACF,即点A、B、C、F四点共圆，最后再由圆周角定理即可得证： (3)①由矩形的性质得∠48C=90°，由勾服定理得1B=店， ,由相似三角形的性质得 ∠AFG=∠ABC=90°，∠FAG=∠BAE,∠AGF=∠AEB,证明点A、F、G、E四点共圆，求出 ∠AEG=90°，从而可得AG=V26,由正切的定义得出tan∠FAG=G-名 =AF=3,设FG=2x,则AF=3x,结 合勾股定理求出 AF=3x=3V ,从面可得8F=3,即可得出结果：②由主动点F在直线8C上，得出点 BF=3 G 、EG G⊥EG 在直线 上运动，当 BC时，CG的长度最小，为CG,此时点F在F处，由0得 CG 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CG_2 CG-2 ∠AEG=90°，结合正切的定义得出EG3,设EG3,则EG,=3a, cG,=2a=8国 由勾股定理求得 G=3a=12v13 13, 13,作GM1BC于M,由等面积法得 GM-24 13, △AFB∽△FG,M 再证 ,由相似三角形的性质计算即可求解 【详解】(I)解：，△ABC∽aADE, AD AB 2 AEAC-3 D号，B=c :点D,E分别在边AB和AC上， .BD=AB-AD,CE=AC-AE, C、2 2 .BD-4B-AD34 E 3 2(4C-AE)_2 CE AC-AE AC-AEAC-AE (2)解：①：△ABCn△ADE, AB AC ADAE,∠BAC=LDAE' 4B=D=2 ·∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,ACAE3, .∠BAD=∠CAE, .△BADACAE, BD AB 2 CEAC3 ②略： (3)解：①：四边形ABCD为矩形， .∠ABC=90°， AE=VAB+BE=13 ,△AFGn△ABE, .∠AFG=∠ABC=90°，∠FAG=∠BAE,∠AGF=∠AEB, 51/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,点F在线段CB的延长线上， ·.∠AGF=∠AEF ∴.点A、F、G、E四点共圆， ,.∠AFG+∠AEG=180° .∠AEG=90°， EG=EA=13 :4G=AE2+EG=-V26 :∠FAG=∠BAE. .tan☑FAG=tan∠BAE=BE_2 AB 3 :tan∠FAG=FG-2 AF 3, 设FG=2x,则AF=3x, 由勾股定理得AF2+FG2=AG, ÷3x+(2x=(26. : (负值不符合题意，舍去)， 1F=3x=3V2 BF=VAF2-AB=3 .EF=BF+BE=5; ②：主动点F在直线BC上， ∴从动点G必须在某一直线上， ,当点F在点B时，点G在点E的位置， “点G在直线EG上运动， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 、、G EF G 图3 CG⊥EG 时， CG N CG F、 当 的长度最小，为CC,此时点F在处， 由①得∠AEG=90°， ∴.∠AEB+∠BEG=∠AEB+∠BAE=90°， ∴.∠BEG=∠BAE, ∠BEG=∠CEG ∠BAE=∠CEG ·tan∠CEG=tan∠BAE= 3 CG_2 .EG3, CG_2 设EG3,则EG,=3a, CG2+EG2=CE2 由勾股定理得 :(2a'+(3a=(6-2y 解得a=4v13 13 (负值不符合题意舍去)， EG=3a=1213 8v13 13, CG=2a= 13, ,M⊥BCM 作 于 :S.c0e=2 GCG=CE.GM, 2 53/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12V13.8√13 ÷GM=EG.CG-13x13.24 CE 4 3 ∠ABE=∠AG,=∠FMG=90° ∠AEB=90°-∠G,EM=∠FGM △AFBP△FG,M FG GM AF BF, .FG=2 F3 BF=GM=3x24_36 3 21313 6 综上所述，当CG的长度最小时，此时BF的长为13 17.(2026湖南中考真题)【问题背景】 如图1，给定平行四边形ABCD,点P是AD边上不与A,D重合的一动点.如图2，作△XYZ,使得 XY=AD,且当点P运动时，保持∠X=∠ABP,∠Y=∠DCP A P 图1 图2 R 图3 图4 【动手操作】 将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方： 操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为2，作S‖AB交AD于点S: 操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R,连接RP, 【问题解决】 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)如图1，当∠BPC=8O°时，∠APB+∠DPC=: (2)如图3，从结论①，②中选一个给出证明： ①△ASOABAP,②△DSOACDP； 3)如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由； ④)如图4，设AD=4,AB=3,当点P运动时，求PR+PD的最大值. 【答案】(1)100 (②)解：选择①△ASOABAP, 证明：，QS‖AB .∠ASO=∠BAP, 又∠QAS=∠ABP. △ASOPABAP: 选择②△DSQ∽aCDP 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD. 又OS‖AB, ..OS I CD 、∠OSD=∠PDC, 又∠QDS=LDCP. ADSOPACDP B)解：AP=DS, 理由：：△ASOABAP,△DSQ∽aCDP, SO AS SO DS ·APAB①，DPCD, AB=CD. SO DS ·DP=AB②， 55/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由O得AB.S0=AP.AS, 由②得AB·SQ=DP·DS, .AP·AS=DP.DS. AP-(4D-SD)=(4D-AP)DS ∴AP·AD-AP.SD=ADDS-AP.DS, .AP.AD=AD.DS. ..AP=DS 49 412 【分析】(1)根据平角定义求解即可： (2)选择O:根据平行线的性质得出∠AS0=∠BAP,结合∠QAS=∠ABP即可得证；选择@：根据平行 四边形的性质和平行线的传递性得出QS川CD,根据平行线的性质得出∠QSD=∠PDC,结合 ∠QDS=∠DCP 即可得证： (3)根据(2)中△ASOPABAP,△DSORACDP,可得出ABSO=AP·AS,AB·SO=DP:DS,则 APAS=DP.DS,变形为 P-(4D-SD)-(4D-AP)-DSPD-AP-SD-AD-DS-AP-DS. 出AP·AD=ADDS,然后根据等式的性质即可得出结论： (4)根据题意，得图3中△AD卫和图4中aDAR全等，得出DQ=AR,由图3中△DSQACDP,得出 OD DS AR AP PC=CD,结合AP=DS,得出PCCD,则可证明。ARP∽aCPD,设PD=x,则AP=4-x,根据相 似三角形的性质求出PR=4红， 3,则PR+PD=4x- 3+x,然后根据二次函数的性质求解即可。 【详解】(1)解：，∠BPC=80°， ∴.∠APB+∠DPC=180°-∠BPC=100°： (2)略 (3)略 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)解：根据题意，得图3中△AD和图4中△DAR全等， ..DO=AR ,图3中ADSOACDP OD DS ∴.PcCD, 由(3)知：AP=DS, AR AP :PC CD' 又∠RAP=∠DCP, △ARP∽aCPD. AR AP PR :PC DC PD' 设PD=x,则AP=4-x, 4-x PR .3x 解得PR=4r-x2 3， PR+PD= 4x-x2 3+x 31 9 “当x=2时，PR+PD取最大值为12 18,(2026四川甘孜·中考真题)平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，两 对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE是平行四边形， 张 57/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【初步感知】 Q)如图1，连接BD,CD,则∠1+∠2+∠3=_度： 图1 【变化探寻】 (②)如图2，AB=10,AC=15,固定点D,当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相 等 图2 【深入探究】 ()如图3，固定点D,若移动点B到点B,则点C随之移动到点C. ①判断线段CC与BB的位置关系与数量关系，并说明理由： ②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角 形措辜时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积。《用合：的代数式表示) 、B 图3 【答案】(1)180 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 B)0BB'∥CC', BB'=-CC' k ,理由如下： 如图，连接BC,B'C, E 图3 同(I)可得∠BDF+∠EDF+∠CDE=180° “B,C,D,B,D,C'三点共线， FD∥AC, .△B'F'DnaB'A'C', B'D B'F'1 DC4Fk ,FD∥AC, BD BF 1 DC AFk BD B'D 1 DC DCk 又：∠BDB'=∠CDC', ∴.△BB'D∽aCC'D BB'BD 1 ∠DBB=∠DCC',CC-DC=k, 1 BB∥CC, BB'=CC': k ②2k2. CE AF 【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AE=DF,AF=DE,∠AED=∠AFD:根据AEB =k可得 CE ED DF FB =k,进而证△CED∽△DFB,可得∠1=∠C,又∠2=∠CED,可得∠I+∠2+∠3=180： 59/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设E=DFx时=y:则CE=·4P=DE=女，证AFDCAFF,得出-气月，明 △BFDABAC得出y2,即可求解： (3)①连接BC,B'C,证明△B'FD∽△B'AC',△BB'D∽aCC'D,根据相似三角形的性质，即可得出结论： ②依题意，L,与L2是关于点D的位似图形，且位似比为，则面积比为2，求得L,的面积，即可求解. 【详解】(I)解：，四边形AFDE是平行四边形， :.AE=DF,AF=DE,∠AED=∠AFD,AE∥FD, :∠AED+∠CED=180°，∠AFD+∠DFB=180° ∴.∠CED=∠DFB, CEAF=k, AE BF CE ED :.DE FB =k, ∴.△CED∽△DFB. .∠1=∠C, ,AE∥DF, .∠2=∠CED. ,∠C+∠CED+∠3=180°， .∠1+∠2+∠3=180°： (2)解：四边形AFDE是平行四边形， .AE=DF,AF=DE,FD∥AC, 设AE=DF=x,BF=y,则CE=,AF=DE=, ,∠A=∠A,∠AEF=∠B, 、∠AEF∽△ABC, ,DE∥AF, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EDC=∠B,∠DEC=∠A ∴.∠EDC=∠AEF, .△EDCr△AEF, AE AF DE EC' 即ya’ FD∥AC, .△BFD∽aBAC, AC DF .AB BF :AB=10,AC=15, x153 y102 x29 (y 4 六当-号时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等。 (3)①略 B'D 1 ②由①可得DCk, 1 依题意，L,与L,是关于点D的位似图形，且位似比为，则面积比为2， :等腰直角三角形L,的边长为2，面积为2×2×2=2， 2k2 .图形的面积为. 19.(2026广东深圳中考真题)综合与探究 定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为 61/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k(k≥1) 则称该四边形为“人倍四边形”· (I)①如图1，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E为OB中点.若四边形AECD为k倍四边形， 则k的值为 S△ACD= ②如图2，在k倍四边形ABCD中，若对角线AC被BD平分，则S△ACB (用含k的代数式 表示) D 4 A 图1 图2 (②)如图3，四边形ABCD为k倍四边形，其对角线BD平分对角线AC,且满足∠BDC=2∠ABD, BD=4CD,求k的值： 图3 3)如图4，已知定点A,B,且AB⊥BM,点C为射线BM上一动点，点D为平面内一点，连接A,B, C,D构成四边形ABCD.若BD平分AC,∠BAC=∠DAC,四边形ABCD为2倍四边形，求tan∠ACD 的值. A ◇ M M 图4 备用图 【答案】I)①2：②k 5 5 3)5或V15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)①根据平行四边形的性质可得A0=CO,B0=D0,根据点E为OB中点，得出D0=2E0, 结合k倍四边形的定义，即可求解： ②过点BD分别作4C的垂线，垂足分别为E,F,证明ABOE∽ADOF得出BEBO,进而根据三角 形的面积比，即可求解： (2)过点A作1G∥CD交BD于点G,证明 APG≌aCPD(AAS) 得出1G=CD,设CD=a,进而表示出 BP.PD 的长，即可求解： BE (3)设AC,BD交于点E,过点B,D分别作AC的垂线，垂足分别为H,G:分两种情况讨论，当DE =2 EH 时，设BE=2,DE=1,证明ADGE∽ABHE得出EG =2,设EH=2m,则EG=m,证明△ABHn△ADG BE 1 得出4H=2AG,进而求得m的值，勾股定理求得GD,进而根据正切的定义，即可求解；当DE2时， 同理可得结论 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是平行四边形， ..AO=CO,BO=DO. :E是OB的中点， :BE=E0=)B0=D0 2 21 :四边形AECD为k倍四边形， EO =2: ②如图，过点B,D分别作AC的垂线，垂足分别为E,F, D E F B 图2 63/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD为k倍四边形，对角线AC被BD平分， DO .B0 =k, '∠EOB=∠DOF,∠BEO=∠DFO=90° .△BOEADOF, DF DO ·BEBO =k, 1 S△4cp= ACx DF 2 -=k :.SAACB -ACx BE 2 (2)解：如图，过点A作AG∥CD交BD于点G, D 3 G 图3 ∴.∠3=∠BDC, ∠BDC=2∠ABD, .∠3=2∠2， 又，∠1+∠2=∠3， .1=∠2， .AG=BG :四边形ABCD为k倍四边形，其对角线BD平分对角线AC, .AP=PC 又：∠APG=∠CPD, △APG≌aCPD(AAS) .AG=CD,GP=DP. 设CD=a, ∴，AG=CD=a ..BG=a, ..BD=4CD=4a, .GD=BD-BG=4a-a=3a, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 3 ·GP=PD=GD=3a 2 3 BP-BG+GP=a+2 20, 2a5 3: (3)解：设AC,BD交于点E,过点B,D分别作AC的垂线，垂足分别为H,G BE ①当DE=2时，设BE=2,DE=1,如图4， B M 图4 :∠ABC=90°，BD平分AC, .BE=AE=EC=2. ·∠BEH=∠DEG,∠DGE=∠BHE=90°， ∴.△DGE△BHE, BE_BH-EH-2. ·DE GD EG 设EH=2m,则EG=m, :'AH=AE+EH=2+2m,AG=AE-GE=2-m, .∠BAC=∠DAC,∠AGD=∠AHB=90°， ∴.△ABH∽△ADG, AH BH .AG GD =2 :AH=2AG,即 +2m=2(2-m) 解得：m=2 65/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CG=CE+GE=2+}-5 22: 在RtADEG中， GD=DE2-GE 5 :tan∠ACD=tan/GCD= GD 23 CG 5 5: 2 BE 1 ②当DE2时，设BE=1,DE=2,如图4， D H G C M 图4 同①可得BE=AE=EC=1,△ABH∽△ADG, AH_BH1 ·AGGD2 同①可得△DGE∽△BHE, BE BH EH 1 ·DE GD EG2· 设EH=m,则EG=2m, .AH=AE-HE=1-m,AG=AE+EG=1+2m, 2AH=AG,即21-m)=1+2m 1 解得：m=4, :BG=2m= 2,CG=CE-EG=1-2m=1-2x2-} 42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 √15 :tan∠ACD=tan∠GCD= GD =2=5 CG 1 2 综上所述， an∠ACD的值为S或5 20.(2026四川攀枝花中考真题)综合探究与应用 图1 图2 图3 【阅读材料】 如图1，两定点A、B在直线I异侧，点P是直线I上任意一点，当点P为线段AB与直线I的交点时， PM+PB的值最小，最小值为线段1B的长.理由：在直线1上另取一点，连结MP ，因为三角形的 两边之和大于第三边，所以 A+PB>AB,即PA+PB最小值为MB的长. 【类比应用】 (1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题： 如图2，两定点A、B在直线I同侧，点P是直线1上任意一点，当点P为线段AB延长线与直线I的交点时， PA-PB的值最大，最大值为线段AB的长，请说明理由， 【拓展提升】 2)如图3，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,O为对角线AC的中点，点H在AD边上，且AH=1,点E 在BC边上，连结HE,OE,求HE-OE的最大值. 【答案】()解：理由如下： 如图，在直线上另取-点月，连结A, PA PB B ,三角形的两边之差小于第三边， 67/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 卫A-PB<AB 当点P为线段AB延长线与直线I的交点时，PA-PB=AB, ∴.对于直线I上的任意一点P,都有PA-PB≤AB, ∴.当点P为线段AB延长线与直线I的交点时，PA-PB的值最大，最大值为线段AB的长 5 2)2 【分析】(1)根据三角形的三边关系定理解答即可： (2)取AD的中点F,连接OF,OH,先求出FH,OF的长，再利用勾股定理求出H0的长，然后利用 (1)的结论解答即可. 【详解】(1)解：略. (2)解：如图，取AD的中点F,连接OF,OH, ·在矩形ABCD中，AB=2,AD=3 .CD=AB=2.AF= D=3 2 ∠D=90° .AH=1, “FH=AF-AH= 2 :点F为AD的中点，点O为对角线AC的中点， ∴.OF是△ACD的中位线， OFICD.OF-CD-1 .∠AFO=∠D=90°， 在RtHOF中，OH=OF'+FH=5 由(1)可知，当点E为BC与HO延长线的交点时，HE-OE的值最大，最大值为线段HO的长，即为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 2 21.(2026陕西中考真题)问题探究 图① 图② 图③ )如图O,1D是△1BC的角平分线，若S.m:S.m=3:2 则AB:AC 的值为 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D,E在边BC上.若BE.CD=AB2,求∠DAE的 度数； 问题解决 3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路 将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄 水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道， 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ,DP为小路，小路的出口P,Q分别在农田边界AB,BC 上，AQ与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道.根据种植需求， △ADP区域与△AB吧区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短. 己知AD‖BC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在满足种植需求 的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形 OCD 1m2 区域的面积.（结果精确到.小路的宽，蓄水 池的大小均忽略不计) 3 【答案】) (2)50° 155077m 3 69/132 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)过点D作DE⊥AB,DG⊥AC,垂足为点E,G,根据角平分线性质定理得到DE=DG,再 由三角形面积公式求解即可： (2)证明△ABE一△DCA,结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可： (3)先证明△D1△1B0,得到∠AMD=90,取AD的中点E,连接ME.BE,则4E=方4D,则点 M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM=AE,故当点B,M,E三点共线时，BM取得最小 值，过点M作MF L AD.交1D,BCFF,G △AEMC∽△OBM 交 QB MF 于点，然后由 ,求出，，再证明四边形 AOCD 是平行四边形，最后由 四边形MOcD=SAQCD-SAMD 求解 【详解】(I)解：过点D作DE⊥AB,DG⊥AC,垂足为点E,G, 图① :AD是△ABC的角平分线， .DE =DG, 1 -x ABX DE SAABD=2 ∴.S△AcD 2XACXDG 1 2, AB 3 AC2 (2)解：∠BAC=80°，AB=AC, ÷∠B=C-180°-，B1C-50, 2 ..BE.CD=AB2, .BECD=AB·AC, BE AB ..AC CD .△ABE-△DCA, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,.∠BEA=∠CAD, 、.∠BEA-∠EAC=LCAD-∠EAC, ∴∠C=∠DAE=50°： (3)解：AB⊥BC .∠ABC=90°， AD‖BC, .∠BAD=180°-∠ABC=90°. 二ADX AP S△MDP=2 400AP_25 :SAABO ABx BO 480BQ36, AP 5 B06’ AD4005 :AB4806? AP AD BO AB' :∠DAP=∠ABQ=90°， △DAPP△ABQ .∠ADP=∠BAQ, .∠ADP+∠MAD=∠BA0+∠MAD=∠BAD=90°， .∠AMD=90°， 取4D的中点E,连接ME,BE,则4E=4D=200(m), ,.点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM=AE=20Om, B 71/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BM+ME≥BE, ∴.BM≥BE-ME, ∴当点B,M,E三点共线时(M在线段BE上)，BM取得最小值，如图： D G 过点M作MF⊥AD交AD,BC于点F,G, ·∠BAD=90°， :BE=VAE+AB=V202+480=520(m) M=BE-EM=520-200=320(m) 此时 :AD‖BC,MF⊥AD, ∴.MG⊥BQ, .四边形ABGF是矩形， FG=AB=480(m) :AD‖BC, △AEM∽△QBM AE EM MF ·OB MB MG' 200200MF QB320480-MF, QB=320, MF=2400 13￥ ÷C0=8C-08=720-320=40(m)）=AD AD lI BC. 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形AQCD是平行四边形， S四边形MQcD=S4OCD-S。AMD =400×480- 400x2400_2016000≈155077(m2）. 2 13 13 答：当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积为155077m2. 22 (2026江苏连云港·中考真题)【生活观察】 HG⊙ --2 FE 图1 图2 图3 5m D 1四 3m B 2m 图4 图5 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆， 车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心 的距离)AB=1.5m,前轮转向角0即∠CBD=30°，则旋转半径OB=m. 【类比探究】 (②)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶. 与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方 向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）， 如图3，某款家用汽车宽AB约为2m,轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角8即 ∠ECF=20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH的度数. 73/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (参考数据：am20.60≈3.an26.6°≈ 9 ,sin20.6°≈ 8 2 25’ tan33.6°≈2 tan18.5°≈3) 1 3 【综合实践】 3)如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C,D与直角拐点 Q 5m PO 共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为“，车辆左侧与实线 的离为 “.现右前轮欲以 固定转向角日转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sn8的范围。 【答案】(1)3 (②)此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6° 3 3)8 <sin0<3158 58 【分析】(1)根据题求得∠AOB=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解： (2)先求得OB≈8m,进而解RIAOAD得出∠AOD≈26.6°，根据等角的余角相等得出 ∠GDH=∠AOD≈26.6°，即可求解： (3)分两种情况讨论，分别求得日的最小值和最大值，再求正弦，即可求解。 【详解】(1)解：依题意，OB⊥BD,∠CBD=30° ∴.∠AB0=90°-∠CBD=90°-30°=60° .OA⊥AB ∴.∠AOB=90°-∠AB0=90°-60°=30° .AB =1.5 m ..OB=3m (2)解：由题意得OC⊥CF,OB⊥BC,OA⊥AD,OD⊥DH .∠ECF+∠OCB=90°，∠COB+∠OCB=90°， ∴.∠COB=∠ECF=20.6° CB 在RtAOCB中，tan∠COB= OB 3 .∴.tan20.6°= OB 33 8≈OB 解得：OB≈8m ∴.OA=OB-AB≈8-2=6m 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RiOAD中，ian∠AOD=A A 31 ∴.tan∠AOD=二= 62 .∠A0D≈26.6 :∠AOD+∠AD0=90°，∠GDH+∠AD0=90°， ∴.∠GDH=∠AOD≈26.6°. 答：此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6°. (3)解：如图，连接OQ,设OA,PO交于点M, 当B最大时，A点经过卫点，此时D0=AM=1 图3 依题意，∠ECF=∠COB=O, 设OA=r,则OM=r-1,MQ=AD=3 RtAOOM 0Q2=OM2+0M2 在 中， 2=(-0+3 解得：r=5 ∴.0B=OA+AB=5+2=7,BC=3, 在RiAOBC中，OC=VBC2+OB=V32+7=V58 :.sinB=sin∠ECF=sin∠CoB=CB_3W58 0c58 当B最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点O作ON垂直于道路右侧 75/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠∠4L∠I∠∠∠∠∠∠LLL FE D 图3 设道路宽为1，依题意，1=5 .OC=ON=1+AD=5+3=8 .'.sine=sin/ECF=sinLCOB=CB=3 OC 8 3 综上所述， <sin0<3/58 58 23.(2026~湖北武汉·中考真题)将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE,连接AE交边CD 于点F,DG平分∠CDE交AE于点G,连接CG、CE. D H G 图1 图2 图3 (Q)如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ∠DAE=∠DEG=LDCG). (2)如图2，连接BD交AE于点H,求证：AF·AE=2AH·AG ⊙)如图3.点K在线段仁上，K-CG,连接CK·若B4:直接写出CK的最小值。 【答案】(I)证明：，DG平分∠CDE, ∴.∠CDG=∠EDG, ,正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE, .AD=CD=DE. .DG=DG. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △DCG≌△DEG(SAS) ∴.CG=EG,∠DEG=∠DCG, .AD=CD=DE, ∴.∠DAE=∠DEG, ∠DAE=LDCG, ,∠AFD=∠CFG, .∠CGF=∠ADF=90°， ∴.∠CGE=90°， .△CGE是等腰直角三角形， 2)证明：由(1)证得aDCG≌aDEG,∠CGE=90°， 2CGD=∠BGD-360-90°）=133. :.∠AGD=180°-∠EGD=180°-135°=45°， .∠AGD=∠ADB=45°， 又：∠DAG=∠FAD. .△ADH∽△AGD, ADAH AGAD,即AD=AH·AG①， 如图：过D作DM⊥AE于M,则∠AMD=∠ADF=90°， D HMF B ∠DAM=∠FAD, ∴.△ADM∽△AFD, AD AM AF=AD,即AD=AMAF②， :AD=DE,DM⊥AE, AM=M号4E, 77/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD'AM.AF=IAE:AF 由①②两式得， AH.AG-TAEAF.AF.AE=2AH.AG a)v34-v5 【分析】(1)先利用正方形的性质证明 DCG≌aDBG(SAS)可得CG=EG,∠DEG=∠DCG,再证明 ∠CGE=90°，即可证明结论： AD AH (2)由(1)证得ADCG≌ADEG,∠CGE=90°，证明△ADH∽△AGD可得AG=AD,即 AD2=AH·AG O:如图：过D作DM1E于M,则 ∠AMD=∠ADF=90 ADMC∽AAFD ,证明 可符护D,即4D=AM4P@:利用等腰三角形的性质可得M=EM-4,即 AD AM AD=AMAF=)AE,AF,最后结合①2即可证明结论： AM 1 (3)如图：取AD中点M,连接KM:即AD2,可证。AKM∽AEGD得 ∠AKM=∠EGD=135°：再说明K点在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，当K点运动到OC 上时，即O、K、C 三点共线时， CK CKnin =OC-OK 取得最小值 【详解】(1)略 (2)略 AM 1 (3)解：如图：取AD中点M,连接KM·即AD2,由(1)可得CG=EG H 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 AK=-CG 2 AK=EG AK 1 EG2· AM AK 1 ADEG2' AD=DE, AMAK1 ∠KAM=LGED' DE EG 2 ∴.△AKM∽△EGD, :.∠AKM=∠EGD=135°， :K点在以O圆心，OA为半径的圆上运动， 当K点运动到 C上时，即0、K.C三点共线时， CK取得最小值 CKmin =OC-OK 如图：过O作OH⊥BC于H,交AD于P,在圆O上取一点N,连接AN,MN,则四边形 MKAN是圆O的内接四边形， ∴.∠AKM+∠ANM=180°， .∠AKM=135°， .∠AWM=180°-∠AKM=45°， .∠AOM=2∠AWM=90°， :w-号4DB=2, 2 -0p-号4w=1, :.OK-0A=AP+OP OH-OP+PH=1+4=5 CH=BC-BH-4-1=3 0C=V52+32=√34 CKmin =OC-OK=34-2 79/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CK 34-2 的最小值为 24.(2026湖北武汉·中考真题)下图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点， △ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超 过五条。 B 图1 图2 I)如图1，先在AB上画点D,使LBCD=45°，再画点A关于点D的对称点E; (2)如图2，P是边AC与网格线的交点，先将AB平移到FP(P是点B的对应点)，再在FP上画点G, 使∠BGP=∠APF 【答案】(I)如图：点D、点E即为所求 图1 (2)如图：点FP、点G即为所求. 图2 【分析】(1)如图1：取格点F使得BF=BC,∠FBC=9O°，连接CF与AB相交于点D:利用等腰直角三 角形可知∠BCD=45°，即点D即为所求：取格点H,使得GH∥CF且AF=FG,利用相似三角形可知 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=DE,则点A、点E关于点D对称，即点E即为所求； (2)设每个小正方形边长为1，如图：2先将点A向右平移2.5，再向上平移1得到点F,连接FP即为所 求；先作AB的垂直平分线交AC于H,则AH=BH,即∠BAH=∠ABH;又AB∥PF,则 ∠BAH=∠APF,∠APF=∠BGP∠APF=∠BGP ，则 ,即点G即为所求。 【详解】(I)解：：BF=BC,∠FBC=90° ,∴.△BCF是等腰直角三角形， :.∠BCD=45°，即点D即为所求： 如图：由作图过程以及网格可得：AF=FG,GH∥CF, ∴.△AFD△AGE, AD AF 1 .AEAG 2' ∴.AD=DE 点A、点E关于点D对称，即点E即为所求： (2)解：设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B向右平 移2.5，再向上平移1得到点P, ∴.同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A向右平移2.5，再向上平移1得到点F,连接 PF即为所求： ∴.AB∥PF, 如图2：过D作D1垂直于格线，则四边形DOL是矩形 -P -R 图2 由格点图知，L为AP中点， 则由平行线分线段成比例定理可知D为AB中点， 81/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DL=IBP=1 0I=DL= 2 2, 2, 同理J为NK中点，E为NM中点， :JE-KM-2. 1 2 .1E=3 ++=4=AP,01=DL= 22 2 DI=BP,∠APB=∠DIE=90°， :△ABPFDI(SAS) ∴.∠DEI=∠PAB, ,∠ALD=∠OLE, .∠ADL=∠LOE=90°， AD=BD, .DE是AB的垂直平分线，且交AC于H, ∴.AH=BH, ∴.∠BAH=∠ABH, ,AB∥PF, .∠BAH=∠APF,LABH=∠BGP, :.∠APF=∠BGP,即点G即为所求. 25.(2026云南中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径.点P在BA的延长线上， 且PC=PAPB.点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与 ⊙O相交于点D,与线段BC相交于点N.DH LAB于点H,线段DH与线段BC相交于点F,连接OF. 记△0FD. S△OFH的面积为 ,S2 的面积为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：直线PC是⊙O的切线： 2)若1B=2W2ī.BE=6N6 求线段PA的长； (3)观察，探究，发现与证明： 以下三个结论： S<,S=5,了>S,你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论. 【答案】(1)证明：如图1，连接OC, 图1 PC2=PA-PB, PC PA ·PBPC' 又，∠P=∠P, △PCBOAPAC, .∠PCA=∠PBC. :AB是⊙O的直径，OA=OC, .∠ACB=90°，∠OAC=∠OCA. ,∴.∠PBC+∠OAC=∠PCA+∠OCA=LOCP=90°， 又.OC是⊙0的半径， .直线PC是OO的切线： 83/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 142i (2)11 9>3 ,证明如下： 如图2，连接BD, 图2 O为AB的中点，点M是BE的中点， ∴OM是△ABE的中位线， .OMIIAE, :.∠ACB=∠ONB=90°， ,DH⊥AB, .∠OHD=90°. .∠ODF+∠DOH=∠OBF+∠DOH=90°， .∠ODF=∠OBF, .OD=OB, ∴.∠ODB=∠OBD ∴LODB-∠ODF=∠OBD-LOBF,即∠BDF=∠DBF, ∴.DF=BF, 在RItBFH中，∠BHF=90°，BF>BH, .'DF BF>FH, S.wo-S-DFOB.S.am-S.-FH.OH DF.0H>FH-0A,即3>S 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)连接OC,根据题意证得△PCB∽aPAC,得∠PCA=∠PBC,再由AB是⊙O的直径， OA=OC,证得∠OCP=90°即可证得结论： C0PC√21V14 (2)首先证得∠ABE=90°，然后，证得aPCO∽△PBM,得BMPB3√66，再由(1)知 PC PA 14 PBPC6,设PA=V14x,则PC=6x,由PC2=PAPB,得 PB=18V14 =7X,再由PB-PA=AB, 76 得 11,最后代入x值可求得PA的长： (3)连接BD,首先证得OM是△ABE的中位线，得OM‖AE,进而得LACB=∠ONB=90°，然后由 DH⊥AB得∠OHD=90°，证得∠ODF=LOBF,再由OD=OB得LODB=LOBD,得∠BDF=∠DBF, 进而得DF=Br>FH,最后由Sm=S=号DF.O1,Sm=S=FH-01可证得结论. 【详解】(1)略 (2)解：：0为1B的中点，B=2V2T :10=B0=V2i :AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠BCE=90°， .∠PCA+∠BCM=90°， 又：点M是线段BE的中点， BE=6√6 CM-BM-EM=316 ∴.∠CBM=∠BCM, 由(1)知∠PCA=∠PBC, .∠PCA+∠BCM=∠PBC+∠CBM=∠ABE=90°， .∠OCP=∠PBM=90°， 85/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：∠P=∠P, .△PCOAPBM, C0PC√21√14 .BMPB3√66· PC PA 14 由(1)知PBPC6, 设PH=r,则PC=6r PC=PA-PB,即6x)'=i④xPB .PB=181 7t, 7√6 x= PB-PA=AB,即7 184x-4x=2 ,解得 11, “PA=4x76142 1111: (3)略 26.(2026江苏扬州中考真题)如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点（不与点 A,D重合)，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE.过点F作FM⊥BE,FN⊥BC,垂足分别为M,N. D M 图1 I)如图2，若FM=FN,求FM+FN的值： D B 图2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图3，若E为AD中点，则FM的长为一， FN的长为 图3 )求点E运动过程中FM+FN的最大值， 【答案】1)1 53 2)5,5 9 ③)8 【分析】(I)根据翻折可得∠ABE=∠EBF,根据角平分线定理可得BF平分∠EBC,可得 ∠1BE=∠EBF=∠FBC=30,进而可得FPN=)BF= 2 =2,即可求出FM+FN的值： (2)根据翻折可得△AEB≌△FEB，,计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法 Sm-EBFM-EF,FB计算即可，再证得四边形HNCD为矩形，EFHFBN,得到 21 2 EFFHEH FB BNFN,即可解出FN的长： HF AF (3)如图，延长NF交AD于H,连接AM,证明HFAP6MAB,得到AMAB,设FM=x, FN=y,表示出M,F,F,然后代入求出'=-2+1 然后表示出FM+FW 后利用二次函数的 性质求解。 【详解】(I)解：：FM⊥BE,FN⊥BC,且FM=FN, ∴.BF平分∠EBC, .∠EBF=∠FBC. ,△ABE沿BE翻折得到△FBE, ∴.∠ABE=∠EBF, 87/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :LABE=LEBF=∠FBC, .∠ABE+∠EBF+∠FBC=∠ABC=90°， 3∠ABE=90°， .∠ABE=∠FBC=30°， 在Rt△BFN中，BF=1, 1 ·FW=2BF=3 2 又：FM=FN, 1.1 .FM+FN-22-1: (2)解：延长NF交AD于H, D F H--- E M B :正方形ABCD的边长为1，且E为AD中点， AD=1) AE=AD=),AD1‖BC,∠A=∠D=∠C=90°， :△ABE沿BE翻折得到△FBE, ∴.△AEB≌△FEB, 1 :AE=EF=2,AB=BF=1∠EFB=∠EAB=90P· .FM⊥BE, 1 S.FEn=EB-FM=EF-FB x1-5 :122 ×FM 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FM= 5, :FN⊥BC,ADI‖BC, ∴.FH⊥AD, 、.∠FHA=∠FNB=∠EFB=90°. :∠D=∠C=90°， .四边形HNCD为矩形， ..CN=DH,DC=HN=1. ∴∠EFH+∠NFB=90°，∠NBF+∠NFB=90°， ∴.∠EFH=∠FBN, ∴.△EFHAFBN, EF FH EH ·FB BN FN' 设N…则Cv=1-xH=0-)=x 1 2 1 x FN m-w=2=2 .FH+FN =HN=1. 2x-1+5x=1 2 、4 解得 5, 4 3 .FN=2x4-1=3 5 5: (3)解：如图，延长NF交AD于H,连接AM 89/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 由翻转得，点A,M,F三点共线， .∠AMB=90° 由(2)得，FH⊥AD .∠AHF=90°=∠AMB .∠HAF+∠HFA=90° .·∠DAB=90 ∴.∠HAF+∠MAB=90° .∴.∠HFA=∠MAB .∴.△HFA∽△MAB HF AF ·AMAB 设FM=x,FN=y .AM =FM=x,HF=HN-FN=1-y, .AF=AM+FM=2x .1-y-2x .x1 整理得，少=-2x2+1 12.9 :FM+FN=x+y=x-2x2+1=-2x- -4+8 -2<0 9 当x=4时，FM+FN取得最大值8· 27.(2026四川乐山中考真题)如图，在矩形BCD中，B=5、AD=1,点P在线段CD上（点P不 与点D重合)，连结AP,将△ADP沿AP翻折得到、点D的对应点为D'. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求AD'的长度： (2)求证：当DP=1时，四边形AD'PD为正方形： 3)若点卫在线段AB上，且 0=DP=a0<a≤)， 连接CO、将△BCO沿CO翻折得到△B'CQ、点B的 对应点为B,设点B'与点D'之间的距离为d,求d的取值范围. 【答案】)1 (2)证明：法一：·△ADP沿AP翻折得到△AD'P, D D .AD'=AD=1,D'P=DP=1 .AD'=AD=D'P=DP ∴四边形AD'PD是菱形， 又，四边形ABCD是矩形， .∠D=90°， 四边形AD'PD是正方形： 法二： ,四边形ABCD是矩形， D B ∴.∠D=90° 又，△ADP沿AP翻折得到△ADP, 91/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AD'P=∠D=90°，∠DAP=∠DAP, .DP=AD=1, .∠DAP=45°， .∠DAP=∠D'AP=45°， .∠DAD'=2∠DAP=90°. ∴四边形AD'PD是矩形， 又，DP=AD, 四边形ADPD是正方形： 3)0≤d≤2 【分析】(1)根据翻折得到AD'=AD=1: (2)根据翻折得到AD'=AD=1,D'P=DP=1,则AD'=AD=D'P=DP推出四边形AD'PD是菱形，最 后根据∠D=90°得到四边形AD'PD是正方形： (3)①当B'与D'重合时，此时(=0最小.②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时，根据折叠证明 四边形AB'CD是矩形，得到d=BD'=AC=2,此时最大，即可得到点B与点D'之间的距离为d的取值 范围0≤d≤2 【详解】(I)解：△ADP沿AP翻折得到△ADP, .AD'=AD, 又，AD=1, .AD'=1: (2)略 (3)解：①当B'与D'重合时， D B (D） B 此时d=0 ②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D C(P) A(2) D :四边形1BC 是矩形，B=5、4D=1 ∠ADC=∠ABC=90°CD=AB=V3AD=BC=1 4C-+BC()+=2. 由折叠可得 AD'=AD=1AB=AB'=V3CD'=CD=5CB=CB'=1∠ADC=∠ADC=90° ∠AB'C=∠ABC=90°， CB'-AD=1 AB'=CD= .四边形AB'CD'是平行四边形， ∠AD'C=∠ADC=90°， ∴平行四边形AB'CD是矩形， .B'D'=AC, .d=B'D'=AC=2. ∴.0≤d≤2 28.(2026江苏苏州中考真题)如图，P是以AB为直径的⊙0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0 的切线，BCI‖OP,D为OB的中点，连接DP交OC于E. 93/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B C (I)求证：PC是⊙O的切线： (②)若0A=2,PA=4. ①求BC的长； ②求tan∠PEC的值. 【答案】(I)证明：PA为⊙0的切线， .PA⊥OA, .∠PA0=90°， .BC∥OP, ∴∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB .OB=OC, ∠B=∠OCB ∴.∠AOP=∠COP ,在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP △AOP≌ACOP(SAS) ∠PCO=∠PA0=90° :OC是⊙0的半径， PC为⊙O的切线。 a0ac-5:@m∠Pec- 7 【分析】(1)由PA为⊙O的切线，得到∠PAO=90°.根据平行线的性质得到 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB,结合∠B=∠0CB,得到∠10P=∠COP,从而证明 AOP≌△COP(SAS) 因此∠PC0=∠PA0=90°，即可得证结论： 2)①连接AC,通过解直角三角形得到cos乙AOP=4CV因 0P5,因此osB=c0s∠A0P=5 ,由AB是 ⊙O的直径得到∠ACB=9O°，在Rt△ABC中解直角三角形即可求解： 三：取OC的中点E,连接DE,则OF=CF=)OC=L,根据AA0P2oCOP得到P4=PO 据三角形中位线的性质得到DP∥BC,DF=BC=2,5 EF DF 1 5,证明△DEFAPEO,得出OEOP5,进 而可求出CE,从而在Rt△PCE中，根据正切的定义即可求解： 方法二：过点D作DG‖OC,交PO的延长线于点G.证明△ODG∽aBOC,根据相似三角形的对应边成比 例求出OG,DG,进而求出PG.再证明POEAPGD,求出OE,即可求出CE,从而在Rt△PCE中，根 据正切的定义即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：①连接AC. ,在RtAAPO中，OA=2,PA=4, .OP=VO+P=25 cos∠A0P=40=2V5 0P25=5. .∠B=∠AOP, 95/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cosB=c0s∠A0P=V 5 AB是⊙O的直径， .AB=2OA=4,∠ACB=90° BC-AB-cosB-4x545 55. ②方法-取Oc的中点p:连接pe:则0F=cF-0c=方2=1 .'△AOP≌△COP ∴.PA=PC=4」 :点D,F分别为OB,OC的中点， ∴.DF是△OBC的中位线， DF∥BC, DF=BC=25 2 5. ,BC∥OP, ..DF OP. .△DEFAPEO, 25 ·EF=DFS1 0E0p25-5 &EF=F0=} 6 6 CE=EF+CF=] 6 an∠PEC=-PC-4_24 .在 中， CE=7=7 Rt△PCE 6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方法二：过点D作DG川OC,交PO的延长线于点G. ,.∠ODG=∠BOC .BC∥OP, .∠GOD=∠B .△ODGn△BOC, OG DG OD 1 BC OC BO 2 0G=)BC=25,DG=10C=1 PG=P0+0G=25+25=125 5 5 .DGIIOC .△POE△PGD 2V50E :P0_0E,即125 1, PG DG :0E=s 6 ÷CE=0C-0E=2-5=7 66 :△AOP≌ACOP, .PA=PC=4 tan∠PEC=PC-4-24 在 中， Rt△PCE 6 29.(2026四川攀枝花中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点D是BC边上的一个动 点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE,使得∠DAE=∠BAC,连接CE、DE. 97/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B C B 图1 备用图 图2 (I)当AD=BD时，求BD的长： (2)当△ACD是等腰三角形时，求CD的长： 3)当AD⊥AC时，求DE的长（用图2）. 5 【答案】)8 25 2)5,8,8. 3)6 【分析】(I)如图：过A作AF⊥BC于F,易得BF=FC=4,AF=3:设AD=BD=x,则DF=4-x, 在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求解即可： (2)分CD=AC、AD=CD、AC=AD三种情况求解即可： (3)如图：过A作AH1BC于G,由(1)可得：AC=5,AG=3,CH=3,设DH=2,则CD=4+z,利 用勾股定理列方程可求得DH=子，进而得到D=5 =4再证明。ABC∽AADE,最后利用相似三角形的性质 求解即可， 【详解】(I)解：如图：过A作AF⊥BC于F, B DF .AB=AC=5,BC=8. :8F=F=8c=4,A-8-F-3 设AD=BD=x,则DF=4-x, 在RtAADF中，AD2=DF2+AF2, =25 .x2=(4-x+32,解得：x=8, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=25 8· (2)解：①当CD=AC时， :AC=5, .CD=5: A B D ②当AD=CD时，由(1)可知：AC=5,AG=3,CG=4, 设AD=DC=y,则GD=4-y, A B GD 在Rt△ADG中，AD=DG+AG, 少-4-旷+3.解特：=总 :CD=2 8； ③当AC=AD时，点D和点B重合，即CD=BC=8. 25 综上，CD的长5,8,8. (3)解：如图：过A作AH1BC于H,由(1)可得：AC=5,AH=3,CH=4, 设DH=z,则CD=4+z, 99/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AD=DH+AHP=CD:-AC +-+-,解得：=，即0H- 4 AD=AH+DH ',线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE, .AD=AE, ÷∠4DE=5080°-D4E). 同理：∠ABC=180°-∠BAC), ∴.∠ABC=∠ADE, .△ABC△ADE, AB BC .ADDE· 58 :15DE 4 解得：DE=6」 30.(2026湖北中考真题)在Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转(0°<a<90°)得 到△EDC,使得AD=AE. 图1 图2 I)如图1，若AD∥CE,DE与AC交于点F,作AM⊥DE,垂足为M. ①证明：△ADM∽△CED; EF ②求DF的值：可学科网 www.zxxk.com 专题38综合与实践-几何综合压轴题 答案版 1.(1)CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE ∠BAC=90° .∠DAE=∠BAC ∴.∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD .∴∠CAE=∠BAD AB=AC :.△ABD≌△ACE(SAS) ..CE=BD a；丽 1 3)k-1 2.(I)BE=DF',理由如下： ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， :AE=AF,∠EAF=90° ∴.由旋转可得，AE'=AF,∠EAF'=90°， .∠BAD=∠E'AF'=90°， .∠BAE'=∠DAF', △BAE'≌△DAF'(SAS) .BE'=DF': (2)①证明：：AE'⊥BE, .∠AE'B=90°、 由(I)可得，△BAE'≌△DAF', .∠AE'B=∠AFD=90°， 1/27 让教与学更高效 (37题) 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠EAF'=90° .∠E'AF'+∠AF'D=180°， AE'∥DF', NA NE' ND NE'' :NA.NF'=ND-NE': ®号 3.(1)AP=2 (2)解：CD=QE,理由如下： 如图1，连接AQ」 B 四边形 为矩形， D 图1 AEBD .BE∥AD, .∠PAC=∠QBA :AC=BA,∠PAC=∠QBA,AP=BQ, :aPAC≌AOBA(SAS) ∠CPA=∠AQB .180°-∠CPA=180°-∠A0B. 即∠BPC=∠AQE :∠BPC=∠BCD ∠BCD=∠AOE 四边形AEBD为矩形， ∴BD=AE,∠BDC=∠BDA=∠AEQ=90° .∴ABDC≌△AEQ(AAS) 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.CD=QE B)解：BP=2QE,理由如下： 如图2，延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF. D 图2 .AF=AB ∠DFB=∠ABF=80-∠DAP)=90-∠DAP, :∠EA0=2DMP, ∠DFB=90°-∠EAQ=∠EQA △DFB≌△EQA(AAS) 由(2)同理可得， .FD=OE AB=AF, .AP+BP=AD+FD, .AP+BP=AD+OE :四边形AEBD为矩形， .AD=BE, .AP+BP=BE+QE .AP+BP=BQ+2QE」 AP=BO .BP=20E 4.(I)∠AEB=∠CFB,AE=CF Q)解：CF=V3AE 证明如下： 3/27 西学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， .∠ABC=∠EBF=90°， .∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, .∠ABE=∠CBF, BC-B距=5 BA BE .ACBF∽AABE, CF_BC=3 AE BA .CF=3AE 63或2 4④0<Ss 5.(1)30° ②v分 6)4W5-25成26+2 或 6.(I)证明：：△ABC≌△EAD, .∠BAC=∠E,即∠FAD=∠E, 又，∠AFD=∠EFA, .△AFDP△EFA, AF FD .FE AF' ∴.AF2=FD·FE; 2 23 8)2+1 7.(I)证明：AB=BC,BO是△ABC的中线， ,∠A=∠C,AO=CO,BO⊥AC, :△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, 函学科网 .∠E=∠C.EO=C0 ∠A=∠E,AO=EO :∠AON=∠EOM, 在△AON和△EOM中， ∠A=∠E AO=EO ∠AON=∠EOM' ∴.△AON≌△EOM(ASA) (2)①解：D0=DF, 理由如下： :AB=BC,BO是△ABC的中线， ∴.∠ABO=∠CBO :△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, ∠D=∠CBO,OD=OB」 .∠ABO=∠D :OD∥AB, .∠D=∠AFD, ∴.∠AFD=∠ABO, DF∥OB, ∴四边形DFBO是平行四边形， .OD=OB .DFBO是菱形， .DO=DF: ②线段BH的长为 134-√13 或 8.(1)如图①，点P即为所求： B 图① www.zxxk.com 让教与学更高效 5/27 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)两点之间线段最短 (3)1 4v5+4v6 (4)3 9.(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) B 图2 点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A), 证明：连接OD, ,O是AB中点，D是AC的中点， .OD是△ABC的中位线 .ODI BC 又，AB是直径 .∠ACB=90°， .∠ADO=∠ACB=90°. .点D在以OA为直径的圆上 又，点A、C不重合，故点D不与点A重合， ∴点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A)· 3)8 10.1)61°：1.8 (2)8.3m 11.(1)解：作图如下： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B (2)证明：由作图知，BE是∠ABC的平分线， .∠ABE=∠CBE ,四边形ABCD是平行四边形， ADIl BC,AD=BC, .∠AEB=∠CBE、 .∠AEB=∠ABE, :AB=AE, DE AD-AE, ∴.DE=BC-AB. 12.1)解：如图，△OMN即为所求， 29 2)307 13.(1)5 a=20r>0) DP 5-1 (3)DC2 14.1)60°：4 (2)两个结论仍然成立.证明如下： 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, ∴.AB=AD=BC=4,AD∥BC, 7/27 学科网 www.zxxk.com .∠ABC=180°-∠BAD=60° AB=AE, .AD=AE=AB. :∠BAE=a,则∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-a, ∠4EB-s0P-∠B1E)=90-g,AED280P-∠E1D)-80 ∠BH=180w-∠4B8-ZAD=1s0-0-号}-30+号)-60 BE=BH, AE 1为等边三角形， ∴∠EBH=60°， ·∠ABC=∠EBH,则∠ABC-∠CBE=LEBH-∠CBE, ∴.∠ABE=∠CBH. BE=BH,AB=CB ∴.△ABE≌△CBH(SAS) :AE=CH, .CH=4. 3)15°或105°. 15.1)证明：连接CD,如图所示： A D 根据旋转可得：∠CAD=60°，AC=AD, .△ACD为等边三角形， .CD=AD,∠ACD=60°， .∠EAD=∠BAC-∠CAD=120°-60°=60° ∴.∠EAD=∠ACD, ‘g+0e=[(o-0i0 ě皇重东与谁 函学科网 .AE=CF, :△1BD≌aCFD(SAS) .DE=DF Q2)EF=HE ;理由如下： .AH⊥AC, .∠HAF=90°， ∴.∠BAH=∠BAC-∠HAF=30° :.sinC=sin30°= 1 AH 2 HC .AB=AC, 2A=2c=x0s0-120）=30 .∠BAH=∠C, ..CF =2AE, AE 1 .CF2' AE AH ·CFHC .△AEH∽△CFH. HE AH1 HFHC2,∠AHE=∠CHF, .∠AHE+∠AHF=∠AHF+∠CHF. 即∠EHF=∠AHC, .HE、AH ·HFHC, HE HF ·AHHC' ∴.△EFH∽△ACH, .∠EFH=∠C=30°，∠HEF=∠HAC .∠EHF=90°-30°=60°， www.zxxk.com 让教与学更高效 90°， 9/27 函学科网 :tan∠EHf=tan60°=V5- HF· EF=3HE 3)1或2 2 16.1) 2 2①3： ②∠BAC=∠BFC,证明如下： 连接AF, 图2 由①得△BAD∽ACAE .∠ABD=∠ACE,即∠ABF=∠ACF 点A、B、C、F四点共圆， .LBAC=∠BFC: 6 3)05;②13 17.(1)100 (②)解：选择①△ASQ∽aBAP 证明：，QS‖AB」 .∠ASO=∠BAP, 又∠QAS=∠ABP, .△ASOABAP: 选择②△DSOACDP 证明：四边形ABCD是平行四边形， www.zxxk.com 让教与学更高效 函学科网 .AB∥CD,AB=CD. 又QS II AB .OS CD .∠QSD=∠PDC 又∠QDS=∠DCP DSOACDP: 3)解：AP=DS, 理由：，△ASOABAP,△DSQ∽aCDP, SO AS SO DS APAB①，DPCD, AB=CD. SO DS ·DPAB②， 由①得AB.SQ=AP.AS 由②得AB·SQ=DP·DS, .AP.AS=DP.DS」 AP-(AD-SD)=(AD-AP)-DS .AP.AD-AP.SD=AD.DS-AP.DS, AP·AD=ADDS, .AP=DS 49 4)12 18.(1)180 9 2②)k=4 e0BBcC,B8cc,理由如下. 如图，连接BC,B'C', www zxxk.com 让教与学更高效 11/27 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 图3 同(1)可得∠BDF+∠EDF+∠CDE=180° B,C,D,B,D,C'三点共线， :FD∥AC, .△B'F'DABA'C', B'D B'F 1 ·DCA'Fk :FD∥AC, BD BF 1 小DC=AF=k, BD B'D 1 DC DC'k 又：∠BDB'=∠CDC', ∴△BB'D∽aCC'D. BB'BD 1 ∴∠DBB'=∠DCC',CC=DC-k, 1 ·BB∥CC, BB'=CC" k ②2k2. 19.1)①2；②k 5 ②)3 √5 3)5或V15 20.(1)解：理由如下： 如图，在直线上另取一点2，连结 PA PB 函学科网 www.zxxk.com B P ,三角形的两边之差小于第三边， PA-PB<AB 当点P为线段AB延长线与直线I的交点时，PA-PB=AB, ,对于直线I上的任意一点P,都有PA-PB≤AB, ∴.当点P为线段AB延长线与直线I的交点时，PA-PB的值最大， 5 (2)2 21.1) (2)50° 6)155077m3 22.(1)3 (②)此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6° (3)8sin 3 3V58 58 23.(I)证明：，DG平分∠CDE, ∴.∠CDG=∠EDG ,正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE, .AD=CD=DE, .DG=DG. ,△DCG≌△DEG(SAS) .CG=EG,∠DEG=∠DCG. AD=CD=DE, .∠DAE=∠DEG, .∠DAE=∠DCG. 13/27 让教与学更高效 最大值为线段AB的长 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AFD=∠CFG, .∠CGF=∠ADF=90°， ∴.∠CGE=90°. :.△CGE是等腰直角三角形. (2)证明：由(1)证得△DCG≌aDEG,∠CGE=90°， ∠CGD=∠EGD=2（360°-90)=135°， .∠AGD=180°-∠EGD=180°-135°=45°， .∠AGD=∠ADB=45°， 又∠DAG=∠FAD, .△ADHP△AGD, AD AH AGAD,即AD=AH·AG①， 如图：过D作DM⊥AE于M,则∠AMD=∠ADF=90°， D HME G .∠DAM=∠FAD, ∴△ADM∽△AFD, AD AM ·AF=AD,即AD=AMAF②， ,AD=DE,DM⊥AE, AM -EM=14E .AD-MAF-EAF O@两式得，4HAG=号4EF,即Ar-AE=2HAG 2 6)34-v2 24.(I)如图：点D、点E即为所求 函学科网 图1 (2)如图：点FP、点G即为所求. 图2 25.(1)证明：如图1，连接0C, 图1 .PC2 PA.PB. PC PA PB PC 又，∠P=∠P, .△PCBn△PAC, .∠PCA=∠PBC, :AB是⊙O的直径，OA=OC, :.∠ACB=90°，∠OAC=∠OCA, .∠PBC+∠OAC=∠PCA+∠OCA= 又，OC是⊙0的半径， www.zxxk com 让教与学更高效 ∠OCP=90°， 15/27 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.直线PC是OO的切线： 14v21 (2)11 )9> 2,证明如下： 如图2，连接BD, H 图2 O为AB的中点，点M是BE的中点， .OM是△ABE的中位线， .OMI∥AE. .∠ACB=∠ONB=90°， ,DH⊥AB, .∠OHD=90°. .∠ODF+∠DOH=∠OBF+∠DOH=90°， .∠ODF=∠OBF, .OD=OB」 .∠ODB=∠OBD, .∠ODB-∠ODF=∠OBD-∠OBF,即∠BDF=∠DBF, :DF =BF, 在Rt△BFH中，∠BHF=90°，BF>BH, .DF=BF FH, S.om-S-DF.OH.S.om-S:-1FH.OH 2 ÷oF.0H>fH0H,即S> 函学科网 26.1)1 53 (2)5,5 9 6)8 27.(1)1 (2)证明：法一：△ADP沿AP翻折得到 D B .'AD'=AD=1,D'P=DP=1 .'AD'=AD=D'P=DP ∴.四边形AD'PD是菱形， 又：四边形ABCD是矩形， .∠D=90°， 四边形AD'PD是正方形： 法二： .四边形ABCD是矩形， 0 D .∠D=90° 又，△ADP沿AP翻折得到△AD'P, .∠AD'P=∠D=90°，∠DAP=∠DAP, .DP=AD=1, .∠DAP=45°， .∠DAP=∠D'AP=45, .∠DAD'=2∠DAP=90°， www zxxk.com 让教与学更高效 AD'P. 17/27 函学科网 ∴.四边形AD'PD是矩形， 又DP=AD, ∴四边形AD'PD是正方形： 3)0≤d≤2 28.4)证明：~PA为⊙0的切线， .PA⊥OA, .∠PA0=90°， BC∥OP」 .∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB .OB=OC. .∠B=∠OCB .∠AOP=∠COP :在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP .△AOP≌aCOP(SAS) ∴.∠PC0=∠PAO=90° :OC是⊙0的半径， .PC为⊙O的切线. 24 a①BC=t5,②am∠PEC- 5 5 29.1)8 25 2)5,8,8 3)6 30.I)①证明：CE∥AD, .∠DEC=∠ADM, .·AM⊥DE .∠AMD=90°， www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 www.zxxk.com 由旋转得，∠EDC=∠B=90°. .∠AMD=∠EDC=90°， △ADM∽△CED: ②2，③B=310 4 25 (2)5 31.1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠BAE=∠ABF=90°， 在△ABE和△BAF中 AE=BF ∠BAE=∠ABF=90° AB=BA △ABE≌△BAF(SAS) MG 2 (②)CF=3,理由如下： 如图，连接CG,过点G作GH⊥BC于点H, G M 平分 平分 ,且 B HF C..BE ∠ABC AF ∠BAC AF 点G是△ABC的内心， ∴点G到△ABC三边的距离相等 设GH=r, 即(MB+AC+BC)=BCAB AB+AC=2BC 19/27 让教与学更高效 相交于点， BE G 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.r.3BC=BCAB ∴.AB=3r .GH:AB=1:3 :∠FHG=∠FBA=90°，∠AFB=∠GFH ∴.△FGH∽△FAB ..GF:AF =13 .AG:AF =2:3 ..CM:AM=1:2 ∴.AM:AC=23 .'∠GAM=∠FAC .AGAM∽AFAC MG 2 .CF39 om∠D=名5欧75 23 32.Q)证明：：D为BC中点，E在OD的延长线上， .OE⊥BC, ..EMIBC, ∴OE⊥EM, .EM是⊙O的切线； (②)PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下： 当点P在MB上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA A MF :△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, ..AC- 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠APC=∠ABC=60° “△APT是等边三角形， .AT=AP,∠PTA=60°， .∠ATC=120°， :四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APB=∠ATC」 又：AP=AP .∠ABP=∠ACT, :△ABP≌&ACT(LAS) .PB=TC, ∴.PC=PT+TC=PA+PB;即PC=PA+PB, 当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=P1 S 10 D MF 同理可得∠APB=∠ACB=60°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APS=60°， .△APS是等边三角形， .∠S=∠APB, 又：AB=AC,∠ABP=∠ACP, 21/27 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 △SAC≌△PAB(AAS) .PB=SC=PC+PS=PC+PA,PC=PB-PA: 33.1)60° (2)证明：：∠ACD=∠ABD=60°， .∠ACD=∠E .AC∥EF. ,四边形AFBD是⊙O的内接四边形， ∴.∠AFB+∠ADB=180° :△ABD是等边三角形， ∴.∠ADB=60°， ∴，∠AFB=120° ∴.∠AFB+∠E=180° ∴.AF∥CE .四边形AFEC是平行四边形. 万 3)3 34.(1)①证明：如图，作OG⊥AB于G,OZ⊥CD于Z,连接OC, D P G 图1 AB=CD. ..AG=CZ. .OA=OC,∠AG0=∠CZ0=90°. ,RtAOAGS≌RtAOCZ(HL) .0G=0Z .∠PG0=∠PZ0=90°，OP=OP, 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 Rt△OPG≌Rt△OPZ(HL) .∠APO=∠CPO: ②PH 4: P№2 (2)AQ3 35.1)①∠ACD;②两点之间线段最短 (②)作法：如图，连接AB,在AB上方作等边三角形ABD,再作△ABD的外接圆，过点D作DM⊥I,垂足 为M,DM交AB于N,交圆于点P,点P即为要作的点. D E M 3V3+4 点P到点A、点B、直线I的距离之和最小值为 b+3a (3)管道路线总长度最短为 设计方案：如图所示，分别以边AB和边CD向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形CDN,再作 △ABM 和4CDN PP 、AP BP CP 的外接圆.连接M,N,分别交两圆于点和点，其中铺设路线为， DP PP D M P P B 360v6 (②)证明：如图所示，连接DH, 23/27 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B ,线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE, :.DA=DE,∠ADE=∠ADF=90° .∠CDB=90° .∠ADE+∠ADC=∠ADC+∠CDE,即∠CDE=∠BDA, DE=DA ∠CDE=∠BDA 在 和 △CDE ABDA 中， CD=BD △CDE≌△BDA(SAS) .CE=BA, :点G,H分别是AB,CE的中点， .DH=DG,∠EDH=∠ADG, :∠EDH+∠HDA=90° .∠ADG+∠HDA=90°，即∠HDG=90°， “.△HDG是等腰直角三角形， :sin∠DGhH=sim45°=D DH= GH G,解得 2 ,∠ADF=∠CDB=90°. .∠ADF-∠CDF=∠CDB-∠CDF,即∠ADC=∠FDB, ,△BDC是等腰直角三角形 .DC=DB,∠DCB=∠DBC=45」 又∠ACB=90°， .∠ACD=∠DBC=45°， 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∠ADC=∠FDB DC=DB 和 中， △ADC△FDB ∠ACD=∠DBC' △ADC≌△FDB(ASA) .AC=BF,AD=DF, AD=DE, .DE=DF, ∴点D是线段EF的中点， 又点H是线段EC的中点， :.DH-1CF 2 .on-5.on 2 1 5cP=Y2Gm,即cp=2Gm 2 ..CF =BC-BF=BC-AC, ∴.BC-AC=V2GH. 13√37+42 3)2 37.(I)证明：在AB上截取AH=EC, D H 四边形 是正方形， B E C 图1 ABCD ,AB=BC.∠B=∠BCD=90°， .AH=EC AB-AH=BC-EC,即HB=EB, 25127 学科网 ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴.∠BHE=45°， .∠AHE=135°， :CF是正方形ABCD的外角平分线， ∠DCF=45°， .∠ECF=135° ∠AHE=∠ECF=135°， :∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEC=90°， ∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FEC, 在△AHE和△ECF中， I∠AHE=∠ECF AH=EC ∠HAE=∠CEF ∴△AHE≌ECF(ASA) .AE=EF (②)四边形DMEF是平行四边形. 理由如下： 四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC,∠DAB=∠B=90°， :M,E分别为AB,BC的中点 .AM=BE, 在△DAM和△ABE中， AD=AB .·∠DAB=∠B AM=BE ∴，△DAM≌△ABE(SAS) ∠ADM=∠BAE,DM=AE, :∠BAE+∠DAE=90°， www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∠ADM+∠DAE=90°， .∠AGD=90° ∠AEF=90°， ∠AGD=∠AEF, .MD∥EF, 由(1)得AE=EF, .MD =EF, ∴.四边形DMEF是平行四边形. (3)当BM+BE=CD时，四边形DMEF是平行四边形 27/27函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题38综合与实践-几何综合压轴题(37题) 中考命题规律. 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 几何压轴三大变化：一是变换综合 化，旋转、折叠、对称叠加考查， 分层设问梯度明显，多解分类成为 区分难点；二是模型生活化，行车 核心考查三角形基础线段与角、垂 转弯、古测量工具、农田规划、手 考点综合与实 直平分线与全等三角形、图形旋转、 践几何综合压轴 工实物入题，弱化纯几何模型；三 折叠综合压轴、最短路径与定角定圆 题 模型、新定义几何与尺规网格作图 是素养导向强化，新增新定义探 等考点 究、网格限尺作图、隐圆最值，侧 重现场建模、逻辑说理，不再单纯 考证明，融合代数计算、分类讨 论、实际方案分析。 真题考点精练 一、解答题 1.(2026四川眉山中考真题)【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质. 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=10,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE,CE,DE与AC交于点F, 1/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由. (2)【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长， BD=k(k>)时，求DF的 MD B)【拓展延伸】如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC=MF，当DC 值（用含k的式子表示）， 2.(2026内蒙古中考真题)综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD,将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶 点A重合放置，记该三角形为△AEF.顶点E,F分别在正方形的AB,AD边上，如图1，现将△AEF绕 点A按逆时针方向旋转a角，其中0°<a<90°，得到△AE'F',连接BE',DF',如图2 F D E B 图1 图2 图3 (I)初步探究：猜想线段BE'与线段DF的数量关系，并说明理由： (2)深入探究：在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE'与BE′互相垂直时，AE'交EF边于点 M,E'F交AD边于点N,如图3 ①求证NANF'=NDNE'; ②求△AEM与△AFM面积的比值， 3.(2026甘肃天水·中考真题)在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部 分探究内容，请你思考并解答。 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ B B 图1 图2 图3 【初步尝试】 (I)如图1，在△ABC中，AB=AC,过点B作B0∥AC,B=2,连接A0.点P在线段AB上，满足 ∠BPC=∠CAQ AP ,求“的长 【类比探究】 (②)如图2，在△ABC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P,D分别是线段 .E上的动点（不合端点），-D.当BPC=∠8CD,用等式表示击CD利OC 和的数量关系， 并说明理由. 【拓展迁移】 B)如图3，在矩形AEBD中，P,分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BO.当 ∠BA0=)∠DAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由. 2 4.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动. 己知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG,BA=2'BE=1'BABE BC-BE-k.先将矩形EBFG的边BE BF分别落在矩形ABCD的边BA,BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为C,连接AE, CF. 3/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D D D E G p H 图1 图2 图3 图4 (1)【问题初探】如图1，当k=1,0°<a<90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是_，AE与CF的数量关系 是_ ②【类比推理]如图2，当=5,0<口<90时，试探究4E与CF的数量关系，请写出结论，并说明 理由； )【深入探究1如图3，当=5,0°<a<360 时，点M为边BC的中点，直线BC交线段BC于点N, 若EN=MN,则CF的长为_； ④【拓展延伸】如图4，当=50°<a<90 ，过点E作E0LBC 垂足为”，在线段BE上取点P, 使P号0，益接A若。AB的置积为s,列g的取值袍园是 5.(2026四川广元中考真题)在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后 将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律. 在△AOB与△COD中，∠AB0=∠CD0=90°，∠A0B=∠COD=30°，OA=6,OC=4,将△COD绕点 0顺时针旋转，旋转角 a(0<a<180）,直线BD与直线1C相交于点E, C B D B E 图1 图2 备用图 【初步探究】 (I)如图2，∠AEB的度数为 【尝试应用】 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2②)如图2，若BE∥OA,求CE的长； 【创新提升】 3)若C,D,E三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC的长 6.(2026四川成都中考真题)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探 究. 如图，△ABC≌△EAD,AB=AC=nBC(n>1),点D在AC边上，延长ED交AB于点F. E D D B C B 图1 图2 (I)【初步感知】求证：AF2=FD.FE; (2)【深入探究】如图1，当n=2,AD=1时，求BF的长： (3)【拓展延伸】如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于9O°）得到△EA'D',若F,A ,D'三点共线，且点A的对应点A满足AA⊥AB,求n的值. 7.(2026山西中考真题)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC中，AB=BC,BO是△ABC的中线.将△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, 其中点B,C的对应点分别为点D,E,线段DE分别与线段OA,AB交于点M,F,线段OE与AB交 于点N, D D M N B B B 图1 图2 备用图 (I)推理证明：求证：△AON≌aEOM: (②)拓展延伸：在旋转过程中，当OD∥AB时，探究下列问题. ①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由： ②已知OB=2,OA=3.在射线D0上取一点G,在射线BO上取一点H,使OH=OG.当以点A,G, H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，请直接写出线段BH的长. 5/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026贵州中考真题)小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： A D A B E 图① 图② 图③ 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点A,B,小红要在直线I上确定一点P,使AP+BP最短. (1)请帮小红确定点P的位置，并画出图形： (2)解决该问题的依据是 【问题探究】 B)如图②，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一个动点，连接EF,CF, ∠DBC=30°，BC=2W5,当EF+CF的值最小时，求线段EF的长： 【拓展延伸】 4)如图③，在四边形ABCD中，AD‖BC,BD=CD,CE⊥BD,垂足为E,∠A=2∠ADB,AD=1, AB=3,若点P是线段BC垂直平分线上的一个动点，连接BP,EP.确定点P的位置使△BPE周长最小， 并求出该周长的最小值。 9.(2026四川达州中考真题)综合与探究 F D A B ND 图1 图2 图3 【方法探究】 Q)如图1，直线，A,B两点在直线上，G,C,C三点在直线上，连接1C, 1 AC AC2 AC3 BC BC2 BCs ,我们发现 △ABC1△ABC2△ABC 面积的数量关系是 一，理由是 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，AB是⊙0的直径，C是⊙O上的动点(C不与A重合)、D是AC的中点，用圆规和无刻度直 尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由： (3)【问题解决】如图3，直 线1B/CD,M是B上-点，N1CD,垂足为N,N=4、E 射线C 上的动点，连接EM,过点M在4B上方作射线MF LME,G是MF上的一点，连接E EGS△EwG=12 求线段VG的最大值 10.(2026山东·中考真题)我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其 正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为 左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的 弧组成角度盘. A 左矩 角度盘 200 60°50401' 矩尺盘 一铅垂线 重物●G 图1 图 图3 图4 图5 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、 矩尺盘的交点的刻度为读数. (I)如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE=31°），矩尺盘读数为6(DE=6),可 知仰角∠P=∠DAE=31°，an∠P=tan∠DAE=DE=6 AD10=0.6.如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数 为29°（∠DAE=29°），矩尺盘读数为5.5(DE=5.5),则仰角∠P= tan∠P≈ (结果 精确到0.1)· 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4)的顶端E到地面的距离(EB的长度)，如图5，某同学站在 城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到 7/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°.已知4C=20m,该同学眼 睛到地面的高度是l.6m,求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0.lm). 11.(2026重庆中考真题)综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究. B 【动手操作】 如图，在口ABCD中，AB<BC.用尺规完成基本作图：作出∠ABC的平分线，交AD于点E. 【问题提出】 他们猜想DE,BC,AB之间存在以下数量关系：DE=BC-AB. 【问题解决】 任务： (I)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明， 12.(2026黑龙江绥化中考真题)尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P. B 图1 图2 (I)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN,并使等腰三角形的底边MN经 过点P,点M,点N分别在射线OA,射线OB上.（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕 迹) (2)【拓展探究】如图2，若∠AOB=58°，连接OP,OP=3.以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA, 射线OB于C,D两点，则劣弧C 的长度为. （本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含” 的代数式表示的结果) 13.(2026四川南充中考真题)在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AP=AB, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 I)【初步感知】如图1，点P在线段AC上，若OP=2CP,AC=6,求AB的长. ②)【深入探究】如图2，点P在线段CD上，若CP=DP,设AB长为x,AC长为y,求y与x之间的函数 关系式 DP ③)【拓展运用】如图3，点P在线段CD上，将。ADP沿直线4P折叠，若点D落在BC边上，求DC的值. 14.(2026河南中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE, 记旋转角为C.作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH. A D D B 图1 图2 ()【观察猜想】 当a=30°时，如图1，∠BEH的度数为 CH的长为 (2)【探究证明】 当0°<α<120°时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立， 请说明理由。 (3)【拓展延伸】 °<a<120° 当 时，者aDCH .4V2 面积为，请直接写出此时旋转角的度数， 15.(2026山东·中考真题)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°. 9/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 备用图 【观察与发现】 (I)如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD,点D与点C是对应点.点E,F分别在边AB, AC上，AE=CF,连接DE,DF.求证：DE=DF. 【思考与探究】 Q)如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H.点E,F分别在边AB,AC上，CF=2AE,连接EF, HE,HF,猜想线段EF与HE的数量关系，并说明理由. 【拓展与延伸】 6)如图3，在(2)的条件下，延长FE至点6，使BG=E,还接G1.GH.若4B=6,4G=2 .若 ,求线 段AE的长度， 16.(2026山东烟台中考真题)【尝试发现】 AB 2 BD (I)如图1，△ABCr△ADE,AC=3,当点D，E分别在边B和AC上时，CE的值是 D E 图1 【变式探究】 (②)如图2，将(I)中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE,BD, AC与BD交于点O,CE与BD的延长线交于点F. 图2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD ①求CE的值； ②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明： 【联系拓广】 3)如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=6,点E在边BC上且BE=2,连接AE,F是直线BC上 的动点，作△AFG∽△ABE,连接CG,EG ①当点F在线段CB的延长线上，且EG=EA时，求EF的长： ②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长， G 图3 备用图 17.(2026湖南中考真题)【问题背景】 如图1，给定平行四边形ABCD,点P是AD边上不与A,D重合的一动点.如图2，作△XYZ,使得 XY=AD,且当点P运动时，保持∠X=∠ABP,∠Y=∠DCP」 图1 图2 R 图3 图4 【动手操作】 将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方： 操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为，作S‖AB交AD于点S: 操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R,连接RP, 【问题解决】 (I)如图1，当∠BPC=80°时，∠APB+∠DPC= (2)如图3，从结论①，②中选一个给出证明： 11/24 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①△ASOABAP,②DSOPACDP; )如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由； 4)如图4，设AD=4,AB=3,当点P运动时，求PR+PD的最大值. 18.(2026四川甘孜·中考真题)平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，两 对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE是平行四边形， CE_AF=k AE BF 【初步感知】 (1)如图1，连接BD,CD,则∠1+∠2+∠3=度： D 图1 【变化探寻】 (②)如图2，AB=10,AC=15,固定点D,当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相 等 图2 【深入探究】 )如图3，固定点D,若移动点B到点B,则点C随之移动到点C', ①判断线段CC与BB的位置关系与数量关系，并说明理由： ②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角 形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形：，求图形的面积。（用含的代数式表示） 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图3 19.(2026广东深圳中考真题)综合与探究 定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为 k(k≥)，则称该四边形为“k倍四边形”。 I)①如图1，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E为OB中点.若四边形AECD为k倍四边形， 则k的值为 S△ACD= ②如图2，在k倍四边形ABCD中，若对角线AC被BD平分，则S△4cB (用含k的代数式 表示) D D B 图1 图2 (2)如图3，四边形ABCD为k倍四边形，其对角线BD平分对角线AC,且满足∠BDC=2∠ABD, BD=4CD,求k的值： 图3 (3)如图4，已知定点A,B,且AB⊥BM,点C为射线BM上一动点，点D为平面内一点，连接A,B, C,D构成四边形ABCD.若BD平分AC,∠BAC=∠DAC,四边形ABCD为2倍四边形，求tan∠ACD 的值. 13124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B M 图4 备用图 20.(2026四川攀枝花中考真题)综合探究与应用 H 图1 图2 图3 【阅读材料】 如图1，两定点A、B在直线I异侧，点P是直线1上任意一点，当点P为线段AB与直线I的交点时， P1+PB的值最小，最小值为线段48的长.理由：在直线1上月取一点，连结 PA PB ，因为三角形的 A+PB>AB 两边之和大于第三边，所以 ,即PA+PB最小值为AB的长， 【类比应用】 (1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题： 如图2，两定点A、B在直线I同侧，点P是直线I上任意一点，当点P为线段AB延长线与直线I的交点时， PA-PB的值最大，最大值为线段AB的长.请说明理由 【拓展提升】 2)如图3，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,O为对角线AC的中点，点H在AD边上，且AH=1,点E 在BC边上，连结HE,OE,求HE-OE的最大值， 21.(2026·陕西中考真题)问题探究 图① 图② 图③ (I)如图O,AD是△MB 的角平分线，若mo=3:2 则AB:AC 值为」 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=8O°，点D,E在边BC上.若BE·CD=AB2,求∠DAE的 度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路 将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物：为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄 水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道. 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ,DP为小路，小路的出口P,O分别在农田边界AB,BC 上，AQ与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道.根据种植需求， △ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短. 己知AD川BC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在满足种植需求 的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形 OCD 1m 区域的面积.（结果精确到“.小路的宽，蓄水 池的大小均忽略不计) 22.(2026江苏连云港·中考真题)【生活观察】 FE -5555 图1 图2 图3 5m D 77777777 3m A B P f 2m 图4 图5 15124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆， 车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心 的距离)AB=1.5m,前轮转向角0即∠CBD=30°，则旋转半径OB=m. 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶. 与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方 向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）， 如图3，某款家用汽车宽AB约为2m,轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角8即 ∠ECF=20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH的度数. (参考数据：tam20.6°≈3 an26.6° 1 8 2,sim20.6° 25,tan3.6°≈2 ，tam18.5°*写) 【综合实践】 3)如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C,D与直角拐点 0 5m PO Im 共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为 ”.现右前轮欲以 固定转向角8转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sn8的范围 23.(2026·湖北武汉·中考真题)将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE,连接AE交边CD 于点F,DG平分∠CDE交AE于点G,连接CG、CE D D D G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ∠DAE=∠DEG=∠DCG). (②)如图2，连接BD交AE于点H,求证：AF,AE=2AH·AG B)如图3，点K在线段4E上，4K=2CG,连接CK,若AB=4,直接写出CK的最小值. 24.(2026湖北武汉·中考真题)下图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点， △ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超 过五条。 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 I)如图1，先在AB上画点D,使∠BCD=45°，再画点A关于点D的对称点E； (2)如图2，P是边AC与网格线的交点，先将AB平移到FP(P是点B的对应点)，再在FP上画点G, 使LBGP=∠APF」 25.(2026云南中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径.点P在BA的延长线上， 且PC2=PAPB.点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与 OO相交于点D,与线段BC相交于点N.DH L AB于点H,线段DH与线段BC相交于点F,连接OF 记△0FD S,△OFH 面积为， 的面积为 (1)求证：直线PC是⊙O的切线； ②)若4B=2N2.BE=66 求线段P1的长， (3)观察，探究，发现与证明： 以下三个结论： S<S2 S=S:S>S2 你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论， 26.(2026江苏扬州中考真题)如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点（不与点 A,D重合).将△ABE沿BE翻折，得到△FBE.过点F作FM⊥BE,FN⊥BC,垂足分别为M,N, 17124 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E M B 图1 (I)如图2，若FM=FN,求FM+FN的值； D ⊙ 图2 (2)如图3，若E为AD中点，则FM的长为一， FN的长为一 B 图3 )求点E运动过程中FM+FN的最大值. 27,(2026四川乐中考瓦题)如图，在矩形4BCD中，4B=5、4D=1,点P在线段CD上（点P不 与点D重合)，连结AP,将△ADP沿AP翻折得到、点D的对应点为D'. D D B (I)求AD'的长度； (2)求证：当DP=1时，四边形AD'PD为正方形： B)若点2在线段AB上，且B0=DP=a0<a≤V),连接Cg、将△BCQ沿CQ翻折得到△BCQ、点B的 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对应点为B',设点B'与点D'之间的距离为d,求d的取值范围. 28.(2026江苏苏州：中考真题)如图，P是以AB为直径的O0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0 的切线，BCI‖OP,D为OB的中点，连接DP交OC于E. (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若OA=2,PA=4. ①求BC的长： ②求tan∠PEC的值. 29.(2026四川攀枝花中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点D是BC边上的一个动 点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE,使得∠DAE=∠BAC,连接CE、DE. B∠ 图1 备用图 图2 (I)当AD=BD时，求BD的长； (2)当△ACD是等腰三角形时，求CD的长： 3)当AD⊥AC时，求DE的长（用图2）. 30.(2026·湖北中考真题)在Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转(0°<a<90°)得 到△EDC,使得AD=AE. 19124 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 I)如图1，若AD∥CE,DE与AC交于点F,作AM⊥DE,垂足为M. ①证明：△ADM∽△CED: EF ②求DF的值； ③若AC=3,直接写出AB的值. AB (2)如图2，若∠DAE=90°，直接写出AC的值. 31.(2026黑龙江绥化中考真题)综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究.在矩形ABCD中， 点E,F分别是边AD，,BC上的动点.。 4 E D B F B 图1 图2 图3 (I)【观察感知】如图1，当点E,F运动到AE=BF时，连接AF,BE.求证：△ABE≌aBAF (②)【探索发现】如图2，连接AC,点M是AC上的一点，CM:AM=1:2,连接AF,BE,AF与BE相 交于点G,连接GM.当BE平分∠ABC,AF平分∠BAC时，且AB+AC=2BC,试求出GM与FC的数 量关系，并说明你的理由， 6)【问题拓展]如图3，当1B=25,BC=8时，作直线EF,若直线F将矩形4BCD 成周长相等的 两部分，过点D作DH⊥EF于点H,连接AH.当矩形的边AD与直线EF的夹角成6O°时，请你直接写 出∠DAH的正切值，（自行完成作图并作答） 32.(2026四川自贡中考真题)如图1，等边△ABC内接于⊙0，D为BC中点，连接OD并延长交⊙0 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于点E,作EMI‖BC A A B D M M E 图1 图2 (1)求证：EM是⊙O的切线， ②如图2，点F为射线BM上的动点，连接FB并延长与O0的优弧B1C交于点P(与点8，C不重合》， 连接PA,PC」 ①在点F运动过程中，请探究线段PA,PB,PC的数量关系并说明理由： PA+BF ②连接CE,若AB=2√3，当点P到CE的距离最大时，请直接写出PB的值. 33.(2026福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于OO,E是DC延长线上的一点，EB的延长线 交⊙O于点F,AB=BD,∠CBE=∠ABD=60°. B (1)求∠E的度数： (2)求证：四边形AFEC是平行四边形： CG 2 BD B)设CF交BD于点G,且FG=3,求AC的值. 34.(2026上海中考真题)在半圆400中，点0为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上两点，D是 AB上一点，连接AB、CD交于点P,且AB=CD 21124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B B D O 0 图1 图2 图3 (1)如图1，连接OP: ①求证：∠APO=∠CPO: ②如图2，连接OB交弦CD于点H,若A0=4,PB=1,PO=HO,求PH的长： ②)如图3，连接PO、AC交于点E,线段AP上有一点F使得PF=4AF,若PE=QE, PE ∠PEA=∠PFQ,求EA的值. 35,(2026江苏连云港中考真题)【问题情境】 D A: B ..O 图1 图2 (I)在锐角△ABC中，求作一点P,使PA+PB+PC的值最小. 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理。 如图1，以AC为边向外作等边三角形ACD,再作△ACD的外接圆⊙O,连接BD, 与⊙O交于点P.则点P即为求作的点. 在PD上取一点P',使PP=AP,连接AP,在⊙O中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得∠APP'=①=60°，故△APP是等边三角形.所以AP=PP' 进而可证得△ADP'≌△ACP.所以CP=DP'. 所以PB+PA+PC=BP+PP+P'D=BD 由②（从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， BD的长即为PA+PB+PC的最小值. 【方法迁移】 (2)如图2，已知点A,B到直线1的距离AE=BF=4,EF=6.在图中找一点P,使点P到点A、点B、直 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值. 【拓展应用】 3)如图3，若村庄A,B,C,D的连线构成一个矩形，且B=a,BC=b(a<b<V5a) . 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来.请你设计管道路线总长最短的铺设方 案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a,b的代数式表示）· A D B 图3 36.(2026重庆中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC,以BC为斜边在BC上方作 等腰直角三角形BCD M 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABC=30°，BD=3,求AC的长度： (②)如图2，连接AD,将线段DA绕点D顺时针旋转9O°得到线段DE,延长ED交BC于点F,连接CE】 点G,H分别是AB,CE的中点，连接DG,GH.求证：BC-AC=V2GH: 3)如图3，BC=12,AC=3,点P在直线BC上，连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段 ,连接10，点M在直线4B上，连接DM,,将△D DO ”沿直线 翻折至△ABC DM 所在平面内得 到△DMWN,连接CN.当Ag+DQ取得最小值时，连接CO,N№，请直接写出△CQN面积的最大值. 37.(2026四川广安中考真题)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC(不与点B,点C重合)上 的一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. 23124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A D G B E E 图1 图2 (I)如图1，求证：AE=EF: ②)如图2，M,E分别为AB,BC的中点，连接DM和AE相交于点G,，连接ME,DF.试判断四边形 DMEF的形状，并说明理由； B)若点M是边AB(不与点A,点B重合)上的一点，直接写出BM,BE,CD三边满足什么数量关系时， 四边形DMEF是平行四边形.