专题08 填空小压轴17或18题（旋转、翻折、新定义等）（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 上海中考数学填空压轴题汇编，聚焦旋转、翻折、新定义三大核心考点，收录2022-2026年5年真题及模拟题，针对性强。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|27道|旋转（等边三角形旋转性质与全等）、翻折（矩形翻折与菱形判定）、新定义（等弦圆概念迁移）|以动态图形为载体，结合分类讨论与多解意识，适配上海中考2022-2026年命题趋势，注重阅读理解与知识转化能力|

专题08 填空小压轴17或18题 （旋转、翻折、新定义等） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 考点 01 旋转 2026 年、2023 年 以等边 / 等腰三角形为载体，考查旋转的性质（对应边、对应角相等）与全等，结合角平分线、三角形内角和及相似求线段比或角度；图形动态感强，属中高难度。 考点 02 翻折 2025 年、2024 年 以矩形、平行四边形为背景，利用轴对称性质设未知数，综合菱形判定、勾股定理与锐角三角比求线段比或余弦值；2024 年含分类讨论，注重多解意识。 考点 03 新定义问题 2022 年 给出全新概念（如 "等弦圆"），需先读懂定义再迁移，结合圆的弦弧关系、勾股定理与一元二次方程建模求解，考查阅读理解与转化能力。 考点01 旋转 1．（2026·上海·中考真题）如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质得出，，结合求出，利用旋转的性质得到，，判定为等边三角形，从而得出，最后在中求出与的数量关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，是的中点， ，，， ， 在（设交于点）中， 由旋转的性质可知， ，， 在中，，， 是等边三角形 ， 在中，， ， ． 2．（2023·上海·中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________．    【答案】 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为：    【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 考点02 翻折 1．（2025·上海·中考真题）在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得，设，则，由菱形的性质得到，证明，利用勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解；∵关于直线的对称点为， ∴， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 考点03 新定义问题 1．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可． 【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， 过圆心O，， 设的半径为 ∴ 整理得： 解得： 不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键． 一、填空题 1．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 【答案】或1 【分析】①当时，如图，过P作于E，过C作于F，则可得，证明，则，，由勾股定理可得，则可得，，根据正切的定义即可求出的正切值． ②当时，可证四边形是正方形，则，进而可得的正切值． 【详解】解：①当时，如图，过P作于E，过C作于F， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的正切值是或1． 2．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 【答案】15 【分析】根据矩形的性质得到，，，由旋转的性质得到，从而，，，结合点在的延长线上可得，进而证明，求出的长，最后利用计算即可． 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，，， ∵点在的延长线上， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∴， 在和中 ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上，点在上， ∴， ∵，， ∴． 3．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 【答案】 【分析】如图，过点F作于点G，设，，得到，利用勾股定理表示出，设，证明出，得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G ∵ ∴设， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，， 根据题意得，， ∴ ∴ 设 ∵，平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的正切值是． 4．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在平行四边形中，，，为中点，将线段顺时针旋转度至，若点恰在直线上，则___________． 【答案】 【分析】先判定四边形为矩形，再建立如图所示平面直角坐标系，利用旋转变换的性质及全等三角形的性质得到点的坐标，再根据相似三角形的性质得到点的坐标，最后结合点在直线上的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵，为中点， ∴， 如图，以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，过点作于点，过点作轴于点，交于点，设，，则，，，，，直线的解析式为， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 即，， ∵将线段顺时针旋转度至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∵点恰在直线上，且直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴． 5．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 6．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知在中，点、、分别在边、、边上，将沿着直线翻折，点A恰好落在了点处，如果四边形是菱形，那么一定是的________．（选填“中线”、“角平分线”、“高”） 【答案】角平分线 【分析】本题利用翻折的性质和菱形的性质进行判断，用到菱形对角线平分一组对角的性质，即可推导出结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形． ∴ 平分， ∴一定是的角平分线． 7．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据相似可知三角形重心满足，再根据菱形对角线性质，，进而可知，再根据相似三角形即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接与交于点，则点G为重心， 在菱形中，连接， ∴为的中点， ∴点在的线段上， ∴，, ∴,，， ∴，是的中点， ， ∴， ∴， ∵关于的对称点是, ∴， ∴， ∵菱形的面积为18， ∴， ∵， ∴,， ∴， ， ． 8．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）在中，，，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________． 【答案】或 【分析】本题考查翻折和三角形重心性质，三角形高的计算；要分类讨论，在线段上或在延长线上，且由对称性知到直线的距离就是到直线的距离，已知重心在上，且的重心在射线上，故第一种可能的情况就是与射线重合，此时在线段上，通过勾股定理和三角形面积求出到直线的距离；第二种可能的情况是与射线垂直，此时在，在延长线上，再次通过勾股定理求解即可． 【详解】解：有两种情况： ①：与射线重合，如图所示： 此时和重合，两三角形重心也重合且在线段上，过作于， 由对称性知到直线的距离就是到直线的距离， 由勾股定理知， 是的中点， ， ， ，即到直线的距离为； ②与射线垂直，如图所示，过作于， 此时的重心在射线延长线上， 易证得四边形为矩形， ， 中，由勾股定理得， 由对称性知到直线的距离就是到直线的距离， 综上所述，到直线的距离为或． 9．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】先根据等腰三角形的性质求出各内角的度数，再结合“等对角四边形”的定义分两种情况进行解答即可． 【详解】解：在中，， ， 设过点的直线与相交于点P，连接， 由翻折的性质可知 当四边形是“等对角四边形”时，有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴和点重合，如图所示， 此时， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴， 整理得到， 解得， 即（不合题意，舍去）， ∴时，， 即 ②当时，如图所示， 同理可得， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 由①可知， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 综上可知，的值为或． 10．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 【答案】 【分析】连接交于点M，设，根据平行线性质得，得，根据矩形性质，得，由折叠性质，得垂直平分,证明点G在上，得，得，可得，得，解得，得,又得，得，得，即得． 【详解】解：连接交于点M， 设， ∵点是的中点， ∴， ∵过点作交于点， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设的边上的高为h， 则， ∴， ∴， ∴点G在上， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，面积法求三角形的高，是解题的关键． 11．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如图，在中，，，，、是边、上的点，且，将沿翻折至，与交于点．如果的面积是面积的，那么线段的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，由沿翻折至，得，，，证明，由的面积是面积的，即，故有，即，设，则，由，得，解得：，所以，再证明，得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿翻折至， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 由，得，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 13．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为、腰长为的等腰梯形存在各边截得弦长均为的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是__________． 【答案】 【分析】根据“等截圆”定义，由弦长相等可得圆心到四边形各边的距离相等，结合等腰梯形的对称性，可知圆心在等腰梯形的对称轴上，利用全等三角形的判定求得，，根据可知，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解： 由“等截圆”定义，画出对应的等腰梯形和，并且作、、、，连接、，，过点，作于点,如图所示： 设该“等截圆”半径为，设为圆心到边的距离，各边截得弦长均为，则弦长的一半为，根据圆的弦长公式可得，， 圆心到等腰梯形四边的距离相等， ，，为半径，， 等腰梯形是轴对称图形， 圆心在等腰梯形的对称轴上； ，， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， 同理可得 ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 半径为. 14．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 【答案】矩形，矩形 【分析】由折叠可得四边形为正方形，，设，则，由勾股定理可得，第三次折叠可得，从而，进而可得，故可得答案． 【详解】解：由第一次沿折叠可知四边形为正方形， 则， 再将纸片沿对折，则可知， 设，则， 连接，则， 再将纸片第三次沿折叠，落在长方形纸片的边上且点落在点处， ， ， ，， 即图中的“黄金矩形”为矩形，矩形． 故答案为：矩形，矩形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，黄金分割，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． 15．（2026·上海宝山·二模）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______． 【答案】75° 【分析】根据“等腰四边形”定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，所以△ABD中分两种情形进行讨论即可； 【详解】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”， ∴△CBD和△ABD为等腰三角形． 由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD． 当①AB＝BD时，如下图： ∵AB＝BC＝CD，AB＝BD． ∴BC＝CD＝BD． ∴△BDC为等边三角形． ∴∠DBC＝60°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝30°． ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°． 当②AD＝BD时，如下图， 过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F， ∵AD＝BD，DE⊥AB， ∴BE＝AB． ∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD为矩形． ∴DF＝BE＝AB． ∵AB＝CD， ∴DF＝CD． 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝， ∴∠DCF＝30°． ∵BC＝CD， ∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝75°． ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝75°． 综上，∠BAD＝75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形、矩形的性质求解是解题的关键． 16．（上海市闵行区2025-2026学年第二学期九年级第三次质量检测数学学科试卷）定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 【答案】轴（或直线） 【分析】根据题意可得这个二次函数经过点和，根据抛物线的对称性，即可求解． 【详解】解：∵一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数 ∴满足， ∴这个二次函数的图像经过点和 ∴这个二次函数图像的对称轴为轴． 17．（2026·上海杨浦·二模）如图，在矩形中，，点为边的中点，点关于的对称点为点，连接交边于点，连接、，若，设，请列出一个可解出的值的方程___________． 【答案】 【分析】设交于点，交于点，作于点，设，，由轴对称的性质可得，．容易证明，从而计算出，利用勾股定理计算出．通过和，可计算出，，．由可计算出，．利用，可证明，则，结合，化简得到关于的方程． 【详解】解：如图，设交于点，交于点，作于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 化简，得， 解得，符合题意， ∴关于的方程为． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质的综合问题，具有扎实的代数计算功底是关键． 18．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在矩形中，，，为射线上一点，将沿翻折，得到（点的对应点为）．联结，当为等腰三角形时，长是___________． 【答案】，，， 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，利用翻折性质得到，；分三种情况讨论为等腰三角形的条件，分别求解的长度． 【详解】解：以点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则，，，设（）， ∵沿翻折得到， ∴，， ①如图，当时，则在的垂直平分线上， ∴设， ∵，， ∴， ∴或， ∵， ∴ ∴当时，；当时，； ②如图，当时， 设 ∵且，， ∴， 解得，， ∴ ∵，， ∴， 解得； ③如图，当时，设， ∵且，，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、等腰三角形的判定与性质、平面直角坐标系的应用及勾股定理，熟练掌握翻折的性质并分情况讨论等腰三角形的存在性是解题的关键． 19．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况，画出图形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等， 当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，是等腰的外接圆， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 当为钝角时，如图，连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 综上：的面积与的面积比为或． 20．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 21．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 22．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据抛物线和，得出开口方向和对称轴，再求出这两个抛物线的交点的横坐标，分别是，再根据点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的 ∴开口方向向下，对称轴为， 把代入，得， 即的最大值为； ∵的 ∴开口方向向上，对称轴为， 抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大， 依题意，得， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴抛物线和有两个交点，且它们的横坐标分别是， 把代入，得， ∵抛物线的对称轴为，最大值为，抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大，且，点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点， ∴， 故答案为：． 23．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 24．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先计算出点的坐标，由对称性计算出点的坐标，根据题意，使用待定系数法求出符合要求的二次函数的表达式． 【详解】解：在抛物线中，顶点坐标为，对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 设以点为顶点的二次函数的表达式为， 将，代入，得， 解得，， ∴以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 填空小压轴17或18题 （旋转、翻折、新定义等） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 考点 01 旋转 2026 年、2023 年 以等边 / 等腰三角形为载体，考查旋转的性质（对应边、对应角相等）与全等，结合角平分线、三角形内角和及相似求线段比或角度；图形动态感强，属中高难度。 考点 02 翻折 2025 年、2024 年 以矩形、平行四边形为背景，利用轴对称性质设未知数，综合菱形判定、勾股定理与锐角三角比求线段比或余弦值；2024 年含分类讨论，注重多解意识。 考点 03 新定义问题 2022 年 给出全新概念（如 "等弦圆"），需先读懂定义再迁移，结合圆的弦弧关系、勾股定理与一元二次方程建模求解，考查阅读理解与转化能力。 考点01 旋转 1．（2026·上海·中考真题）如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 2．（2023·上海·中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________．    考点02 翻折 1．（2025·上海·中考真题）在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________． 2．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 考点03 新定义问题 1．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 一、填空题 1．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 2．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 3．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 4．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在平行四边形中，，，为中点，将线段顺时针旋转度至，若点恰在直线上，则___________． 5．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 6．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知在中，点、、分别在边、、边上，将沿着直线翻折，点A恰好落在了点处，如果四边形是菱形，那么一定是的________．（选填“中线”、“角平分线”、“高”） 7．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 8．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）在中，，，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________． 9．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 10．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，矩形中，连接，点是的中点，过点作交于点，将沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是___________． 11．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如图，在中，，，，、是边、上的点，且，将沿翻折至，与交于点．如果的面积是面积的，那么线段的长是______． 12．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 13．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为、腰长为的等腰梯形存在各边截得弦长均为的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是__________． 14．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 15．（2026·上海宝山·二模）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______． 16．（上海市闵行区2025-2026学年第二学期九年级第三次质量检测数学学科试卷）定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 17．（2026·上海杨浦·二模）如图，在矩形中，，点为边的中点，点关于的对称点为点，连接交边于点，连接、，若，设，请列出一个可解出的值的方程___________． 18．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在矩形中，，，为射线上一点，将沿翻折，得到（点的对应点为）．联结，当为等腰三角形时，长是___________． 19．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 20．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 21．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 22．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是________． 23．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 24．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08填空小压轴17或18题 (旋转、翻折、 新定义等) 5年真题1年模拟 五年真题分类园 考点01旋转 1. V3-1,-1+V3 考点02翻折 19 2442 2. 7或77或7 考点03新定义问题 1.2-9V2-2+2 一年模拟练测园 1.2-5 或1 2.15 10 3.23 4.12W2-12 113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 5.8或V10-2 6.角平分线 7.4 247 8.5或5 5-1 9.2或5-2 25 10.9 11.4 12.35 √19 13.2 14.矩形BCDE,矩形MNDE 15.75 16.y轴（或直线x=0) 17.3M+227-8=0 515 18.3,4,6’15 2-V52+V5 19.4π或4π 20.k=3或k=2 21.3 2.-1<yw<3 23.(2,-2) 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.y=-2(x-2)}2+4 3/3