专题30 相似三角形压轴题综合（32题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦相似三角形中考压轴题，汇编32道综合题，融合正方形、矩形、圆等图形，通过折叠、旋转、动点变换考查模型识别与动态几何分析，适配中考核心重难点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5题|相似三角形与直角、等腰三角形结合|基础模型识别，选项区分度高| |填空题|10题|正方形折叠、圆与相似定点定值、双旋转变换|多结论辨析，强化分类讨论| |解答题|17题|旋转相似、面积比值、存在性与最值探究|多模型嵌套，需自主构造辅助线，贴合中考命题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题30相似三角形压轴题综合( 32题) 中考命题规律。 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 相似三角形压轴为中考核心重难点， 弱化机械公式套用，创新多模型嵌套 题型涵盖选填压轴与解答压轴。命题 考查，要求自主构造辅助线。新增折 以几何综合为核心，融合正方形、矩 叠动点分类讨论、圆与相似定点定值 相似三角形压轴题 形、圆等基础图形，结合折叠、旋 探究、双旋转变换、结论辨析题型， 综合 转、动点变换出题，重点考查相似模 融合勾股、位似、平移多知识点，强 型识别、线段比例运算、面积比值、 化动态几何分析与高阶综合探究能 存在性与最值问题，侧重几何推理、 力。 分类讨论与数形结合思想。 真题考点精练 一、 单选题 1,(2026四川泸州中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，若AD=BC=BD,则 S△BCD S△MBc的值为() 5-1 3-V5 4-v5 5-1 A.4 B.2 c.5 D.2 2.(2026四川攀枝花中考真题)如图，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120,AD⊥BC,垂足为D, 点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP=OC,给出下列结论：①点P、C、B在以点O 为圆心，OC为半径的圆上；②∠APO+∠DC0=30°；③△POC是等边三角形；④△POAACA0.其中 1/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 正确结论的个数为() O D A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026四川宜宾中考真题)如图，AB⊥BC,CD⊥BC,点E、F分别是BC上的点，连接AE、 DF交于点G.若BF=EF=2,CE=1,AB=4,CD=6,则BG的长是() D G B F E O 5 A. B. 4.(2026四川眉山中考真题)如图，矩形ABCD中，点F在线段BC上，连接AF,AE平分∠BAF交 BC于点E,过点E作EM⊥AF,垂足为点N,交AD于点M.若AB=6,BE=2,则△AMN的面积 为() A MD XN B E F A.12 B.24 C.36 D.48 5.(2026重庆中考真题)如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE=2BE,连接DE.过点A 作AF⊥DE,垂足为F,连接BF并延长交CD于点G,连接CF,则△BEF与△CFG的面积之比为 () 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C F E > A.9 B.4 D.3 二、填空题 6.(2026四川南充中考真题)如图，点P在正方形ABCD内，且AP=AB=1,将PB绕点B顺时针旋转 9O°得到PB,连接PC、P'C、PP,PP交BC于点M.下列结论：①CP=1;②PC的最小值为 2-5,®D,P,P三点共线：④当△MCP为等腰三角形时，BP的长为6-5 其中正确结论为 (填写序号) D M 7.(2026四川泸州中考真题)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F,G分别是边AB,BC, CD的中点，AF与DE交于点M,BD与AF,MG分别交于点N,P.则NP的长为 A D M 8.(2026四川成都中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为△ABC的一条中线，E为AC上 一点，∠ADE=∠B.若AE=5,CE=2,则AB=一 3/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 9.(2026四川自贡中考真题)如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作∠EBF=45°，交AD于点 F G,H分别在等腰 tADFO DO .点 的直角边和斜边 边F上，且 0=5FH,FG与DH交于点P.连接 BP,若AF=2,则BP的最小值为一 D D G E 10.(2026四川广安中考真题)如图，在矩形ABCD中，己知AB=3,BC=4,点E是射线BC(不与 点B重合)上的一个动点，连接AE并延长交直线CD于点F,将△ABE沿射线AE翻折，点B的对应点为 点B,延长AB交直线CD于点G.有下列结论： BE 3 O4G=GE:②∠DG4=2∠B4E:③若点B恰好落在对角线4C上时，则CE=；④若CE=2时，则 41或5：⑤BD的取值范围为1≤BD<5·其中正确的结论有一· (填序号) D 2 11.(2026四川遂宁·中考真题)如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，以点B为圆心，cm为半径 作弧，交BC于点M交AB的延长线于点N,再分别以点M、N为圆心，大于MN 的长为半径作弧， 两弧交于点K,作射线BK·点E在边AB上，且BE=2AE,连接EM并延长，交BK于点F,连结 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF,交BC于点G,则DG的长为 cm M B N 12.(2026四川眉山中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在AB边上，且BE=3, 点F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点B,连接AB'.点G在线段AB 上，若4G-号4B,连接DG,则DG的最小值为 3 13.(2026山西中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD‖川BC,∠B=90°，AB=10.点E是AB边上 的一点，且AE=3,连接DE,过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F,交CD边于点G.若 CF=CG=5,则线段BF的长为一· D G B 14.(2026河南中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,CD是角平分线.点E为边BC 上-点，连接E,交CD于点F,近接F.若=25 则BF的长为一 D 5/15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026湖北武汉中考真题)如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，连接EF.将四边 形ADFE沿EF翻折得到四边形GHFE,边GH经过点C.若AB=8,AD=6,DF=3,则CH的长是 EF的长是 A E B 三、解答题 16.(2026山西中考真题)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC中，AB=BC,BO是△ABC的中线.将△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, 其中点B,C的对应点分别为点D,E,线段DE分别与线段OA,AB交于点M,F,线段OE与AB交 于点N ○ D M AN B 图1 图2 备用图 (I)推理证明：求证：△AON≌aEOM; (②)拓展延伸：在旋转过程中，当OD∥AB时，探究下列问题. ①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由： ②已知OB=2,OA=3.在射线DO上取一点G,在射线BO上取一点H,使OH=OG.当以点A,G, H为项点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，请直接写出线段BH的长 17.(2026福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,E是DC延长线上的一点，EB的延长线 交OO于点F,AB=BD,∠CBE=∠ABD=60°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、● B (1)求∠E的度数： (②)求证：四边形AFEC是平行四边形： CG 2 BD B)设CF交BD于点G,且FG3,求AC的值. 18.(2026上海中考真题)在半圆AO0中，点O为圆心，线段A0为直径，B、C是半圆上两点，D是 AB上一点，连接AB、CD交于点P,且AB=CD B B 0 图1 图2 图3 (1)如图1，连接OP: ①求证：∠APO=∠CPO, ②如图2，连接OB交弦CD于点H,若AQ=4,PB=1,PO=H0,求PH的长； 2)如图3，连接P吧、AC交于点E,线段AP上有一点F使得PF=4AF,若PE=QE, PE ∠PEA=∠PFQ,求EA的值. 19.(2026四川成都·中考真题)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了 探究。 如图，△ABC≌△EAD,AB=AC=nBC(n>I),点D在AC边上，延长ED交AB于点F. 7/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A D D 图1 图2 (I)【初步感知】求证：AF2=FD.FE; (2)【深入探究】如图1，当n=2,AD=1时，求BF的长： ()【拓展延伸】如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA'D',若F, ,D'三点共线，且点A的对应点A满足AA上AB,求n的值， 20.(2026四川眉山中考真题)【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质. 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=10,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE，CE，DE与AC交于点F. 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由. (2)【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长. BD=k(k>)时，求DF的 MD 3)【拓展延伸】如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC=MF，当DC 值（用含k的式子表示）， 21.(2026:黑龙江绥化中考真题)综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究.在矩形ABCD中， 点E,F分别是边AD,BC上的动点. E D E D 图1 图2 图3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)【观察感知】如图1，当点E,F运动到AE=BF时，连接AF,BE.求证：△ABE≌△BAF (②)【探索发现】如图2，连接AC,点M是AC上的一点，CM:AM=1:2,连接AF,BE,AF与BE相 交于点G,连接GM.当BE平分∠ABC,AF平分∠BAC时，且AB+AC=2BC,试求出GM与FC的数 量关系，并说明你的理由. )【向恩拓展】如图3，当4B=25,BC=8时，作直线F,若直线F将矩形BCD 成周长相等的 两部分，过点D作DH⊥EF于点H,连接AH,当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写 出∠DAH的正切值.（自行完成作图并作答) 22.(2026湖北·中考真题)在Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转&(0°<a<90°)得 到△EDC,使得AD=AE. 图1 图2 I)如图1，若AD∥CE,DE与AC交于点F,作AM⊥DE,垂足为M. ①证明：△ADM∽△CED: EF ②求DF的值； ③若AC=3,直接写出AB的值， AB ②)如图2，若∠DAE=90°，直接写出AC的值. 23.(2026黑龙江齐齐哈尔·中考真题)综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动. BC BF 己知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG,BA-2,BE=1,BABE=k.先将矩形EBFG的边BE: BF分别落在矩形ABCD的边BA,BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为C,连接AE, CF. 9/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D E E p 图1 图2 图3 图4 (1)【问题初探】如图1，当k=1,0°<a<90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是_，AE与CF的数量关系 是_ ②【类比推理]知图2，当=5,0<口<90时，试探究4E与CF的数量关系，请写出结论，并说明 理由； )【深入探究1如图3，当=V5,0°<a<360° 时，点M为边BC的中点，直线BG交线段BC于点N, 若EN=MN,则CF的长为： ④【拓展延伸】如图4，当=50°<a<90 ，过点E作EQLB C,垂足为”，在线段BE上取点P, 使即Q,连接P:老。4Bp的面积为g,则s的取值范围是 24.(2026四川攀枝花中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点D是BC边上的一个动 点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE,使得∠DAE=∠BAC,连接CE、DE. B B 图1 备用图 图2 I)当AD=BD时，求BD的长： (②)当△ACD是等腰三角形时，求CD的长； 3)当AD1AC时，求DE的长（用图2）， 25.(2026江苏苏州中考真题)如图，P是以AB为直径的⊙0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0 的切线，BCI‖OP,D为OB的中点，连接DP交OC于E. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：PC是⊙O的切线： (2)若0A=2,PA=4. ①求BC的长； ②求tan∠PEC的值. 26.(2026内蒙古中考真题)综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD,将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶 点A重合放置，记该三角形为△AEF,顶点E,F分别在正方形的AB,AD边上，如图1.现将△AEF绕 点A按逆时针方向旋转Q角，其中O°<a<90°，得到△AEF',连接BE',DF',如图2. F D 图1 图2 图3 (I)初步探究：猜想线段BE与线段DF的数量关系，并说明理由： (2)深入探究：在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE'与BE'互相垂直时，AE'交EF边于点 M,E'F'交AD边于点N,如图3. ①求证NANF'=NDNE: ②求△AEM与△AFM面积的比值， 27.(2026陕西·中考真题)问题探究 图① 图② 图③ 11/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图①， AD是△MBC S.4D:S.4CD=3:2 AB:AC 角平分线，若 ,则 的值为 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D,E在边BC上.若BE.CD=AB2,求∠DAE的 度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路 将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物：为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄 水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道. 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，Ag,DP为小路，小路的出口P,Q分别在农田边界AB,BC 上，AQ与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道.根据种植需求， △ADP区域与△ABO区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短. 己知AD川BC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在满足种植需求 的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形 OCD m 区域的面积.（结果精确到 ·小路的宽，蓄水 池的大小均忽略不计) 28.(2026四川甘孜·中考真题)平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，两 对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE是平行四边形， CE AF -=k AE BE B 【初步感知】 I)如图1，连接BD,CD,则∠1+∠2+∠3=度： 图1 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变化探寻】 (2)如图2，AB=10,AC=15,固定点D,当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相 等 图2 【深入探究】 )如图3，固定点D,若移动点B到点B,则点C随之移动到点C'. ①判断线段CC'与BB的位置关系与数量关系，并说明理由： ②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角 形一描率时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积。《用合人的代数式表示)） 、B 图3 29.(2026贵州中考真题)小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： B E 图① 图② 图③ 【动手操作】如图①，在直线I的两侧有两点A,B,小红要在直线I上确定一点P,使AP+BP最短. (I)请帮小红确定点P的位置，并画出图形： (2)解决该问题的依据是 【问题探究】 )如图②，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一个动点，连接EF，CF, 13/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DBC=30°BC=2V3EF+CF ,当 的值最小时，求线段F 的长： 【拓展延伸】 ④)如图③，在四边形ABCD中，ADI‖BC,BD=CD,CE⊥BD,垂足为E,∠A=2∠ADB,AD=1, AB=3,若点P是线段BC垂直平分线上的一个动点，连接BP,EP.确定点P的位置使△BPE周长最小， 并求出该周长的最小值. 30.(2026云南中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径.点P在BA的延长线上， 且PC2=PAPB.点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与 ⊙O相交于点D,与线段BC相交于点N,DH⊥AB于点H,线段DH与线段BC相交于点F,连接OF 记△0FD S,△OFH的面积为· 的面积为， (1)求证：直线PC是⊙O的切线： 2若1B=2万.BE=66 求线段P4。 的长： (3)观察，探究，发现与证明： S<S2 S=S3 S>S2 以下三个结论： 你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论. 31.(2026湖北武汉·中考真题)下图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点， △ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超 过五条。 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 I)如图1，先在AB上画点D,使∠BCD=45°，再画点A关于点D的对称点E； (②)如图2，P是边AC与网格线的交点，先将AB平移到FP(P是点B的对应点)，再在FP上画点G, 使LBGP=∠APF」 32.(2026湖北武汉·中考真题)将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE,连接AE交边CD 于点F,DG平分∠CDE交AE于点G,连接CG、CE D D D 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ∠DAE=∠DEG=∠DCG). ②)如图2，连接BD交AE于点H,求证：AF·AE=2AH·AG. ⊙图，点K在线段AB上，K-CG,连接CK·若AB=4,直接写出CK的最小值 15/15函学科网 www.zxxk.com 专题30相似三角形压轴题综合 答案版 1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.①③ 8v2 7.9 733 8.3 9 4V5-2W2 10.①③⑤ 35 11.2 12. 4V10-2 13.14 10W2 14.2W2或3 15. 4 3v5 16.(I)证明：：AB=BC,B0O是△ABC的中线， ∴∠A=∠C,AO=CO,BO⊥AC, :△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, ∴.∠E=∠C,E0=C0, ∠A=∠E,AO=EO, 1/13 让教与学更高效 (32题) 函学科网 :∠AON=∠EOM, 在△AON和△EOM中， 「∠A=∠E AO=EO ∠AON=∠EOM' .∴△AON≌△EOM(ASA) 2)①解：DO=DF, 理由如下： :AB=BC,BO是△ABC的中线， .∠ABO=∠CBO :△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, ∴∠D=∠CBO,OD=OB .∠ABO=∠D OD∥AB, ∠D=∠AFD, ∴，∠AFD=∠ABO DF∥OB. ∴四边形DFBO是平行四边形， OD=OB, 口DFBO是菱形， :.DO=DF: ②线段BH的长为下或4-店 17.1)60° (2)证明：：∠ACD=∠ABD=60°， .∠ACD=∠E .AC∥EF ,四边形AFBD是⊙O的内接四边形， ∴.∠AFB+∠ADB=180° △ABD是等边三角形， ww zxxk .com 让教与学更高效 可学科网 .∠ADB=60°， .∠AFB=120° ∴.∠AFB+∠E=180° AF∥CE :.四边形AFEC是平行四边形. 万 3)3 18.(1)①证明：如图，作OG⊥AB于G G 图1 G CZ-CD AB=CD .AG=CZ, .OA=OC,∠AG0=∠CZ0=90° ,Rt△OAG≌RtAOCZ(HL) ∴.0G=0z. :∠PG0=∠PZ0=90°，OP=OP, ,Rt△OPG≌RIAOPZ(HL) .∠APO=∠CPO: ②PH=3 4； P№-2 (2)AQ3 19.(I)证明：：△ABC≌△EAD, .∠BAC=∠E,即∠FAD=∠E, 又，∠AFD=∠EFA, www.zxxk.com 让教与学更高效 OZ⊥CD于Z,连接OC, 3/13 学科网 ∴.△AFD∽△EFA, AF FD FE AF .AF2=FD·FE: 2 ②)3 6)2+1 20.I)CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE .∠BAC=90° .∠DAE=∠BAC ∴.∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD ∴.∠CAE=∠BAD AB=AC :△ABD≌aACE(SAS) ..CE=BD @而 1 3)k-1 21.①)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠BAE=∠ABF=90°， 在△ABE和△BAF中 AE=BF ∠BAE=∠ABF=90° AB=BA △ABE≌ABAF(SAS) .MG_2 (②)CF=3,理由如下： 如图，连接CG,过点G作GH⊥BC www.zxxk.com 让教与学更高效 于点H, 可学科网 E D M 平分 C,BE ∠ABC AF ∴点G是△ABC的内心， ∴点G到△ABC三边的距离相等 设GH=r, 1 B+AC+r-BC-BCAB (AB+AC+BC)=BC·AB 即 AB+AC=2BC .r.3BC=BC·AB ∴.AB=3 .'GH:AB=1:3 '∠FHG=∠FBA=90°，∠AFB=∠GFH ∴.△FGH∽△FAB ..GF:AF =1:3 ..AG:AF=2:3 .CM:AM=1:2 .AM:AC=2:3 .:∠GAM=∠FAC .∴.△GAM∽△FAC MG 2 CF3 6)am∠DAH=若5段 23 55 22.(1)①证明：CE∥AD, ∴.∠DEC=∠ADM, :AM⊥DE, ∴.∠AMD=90°. 由旋转得，∠EDC=∠B=90°， www zxxk.com 让教与学更高效 平分 ，且与 相交于点， ∠BAC AF BE G 5/13 函学科网 .∠AMD=∠EDC=90°， :.△ADMn△CED: B30 ②2：③ 4 2√5 (2)5 23.(I)∠AEB=∠CFB,AE=CF 2)解：CF=V3AE 证明如下： 四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， ∴.∠ABC=∠EBF=90° :.∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, ∴.∠ABE=∠CBF, BC-B距=5 BA BE ∴△CBF△ABE, :CF.BC-5】 AE BA .CF=V√3AE e)3或2 ④0<5写 5 24.0)8 25 2)5,8,8. (3)6 25.(1)证明：PA为⊙0的切线， .PA⊥OA, .∠PA0=90°， www zxxk.com 让教与学更高效 西学科网 .BC∥OP .∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB .OB=OC. .∠B=∠OCB, ∴.∠AOP=∠COP ,在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP :△MOP≌aCOP(S4S) .∠PC0=∠PA0=90° :OC是⊙0的半径， PC为⊙O的切线. o08c-5:gtm∠PEc 24 26.(I)BE=DF',理由如下： :四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90° AE=AF,∠EAF=90° ∴.由旋转可得，AE=AF,∠EAF'=90° .∠BAD=∠EAF'=90° .∠BAE'=∠DAF', △BAE'≌△DAF'(SAS) .'BE'=DF': (2)①证明：，AE⊥BE, .∠AE'B=90°」 由(I)可得，△BAE'≌△DAF', .∠AEB=∠AF'D=90°， www.zxxk.com 让教与学更高效 7/13 函学科网 .∠E'AF'=90° :.∠E'AF'+∠AF'D=180°， .AE'∥DF', NA NE' ·NDNF, .NA.NF'=ND.NE': e号 3 27.0)2 (2)50° 6)155077m2 28.(1)180 ®4-号 O0B∥CC,BB'=CC,理白如下 如图，连接BC,B'C, E\E 、B 图3 同(1)可得∠BDF+∠EDF+∠CDE=180° .B,C,D,B,D,C'三点共线， FD∥AC, .△B'F'D∽ABAC' B'D B'F'1 ·DC=AFk FD∥AC, www zxxk.com 让教与学更高效 函学科网 BD BF 1 ·DC AF k' BD B'D 1 'DC-DC=K 又∠BDB'=∠CDC', ∴.△BB'D∽ACCD. BB'BD 1 ∠DBB'=∠DCC',CC DC k, 1 ·BB∥CC, BB'=CC k ②2k2 29.(1)如图①，点P即为所求： P B 图① (2)两点之间线段最短 (3)1 4V5+4V6 (4)3 30.(1)证明：如图1，连接0C, 图 .PC2=PA-PB. PC PA ..PB PC www zxxk.com 让教与学更高效 9/13 函学科网 WWW.2 又∠P=∠P, .△PCBOAPAC, .∠PCA=∠PBC, :AB是⊙O的直径，OA=OC, .∠ACB=90°，∠OAC=∠OCA .∠PBC+∠OAC=∠PCA+∠OCA=∠OCP=90°. 又，OC是⊙0的半径， ∴.直线PC是OO的切线： 14V27 (2)11 8)9> 2,证明如下： 如图2，连接BD, 图2 :O为AB的中点，点M是BE的中点， .OM是△ABE的中位线， .OMI∥AE. .∠ACB=∠ONB=90°， DH⊥AB, .∠OHD=90°， .∠ODF+∠DOH=∠OBF+∠DOH=90°、 .∠ODF=∠OBF, .OD=OB. .∠ODB=∠OBD, xxk.com 让教与学更高效 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :.∠ODB-∠ODF=∠OBD-∠OBF,即∠BDF=∠DBF, ∴.DF=BF, 在Rt△BFH中，∠BHF=9O°，BF>BH, .DF =BF>FH, .DF-OH.S.om-FH-OH, DF0H>FH-OH,即S>S 31.(1)如图：点D、点E即为所求. 图1 (2)如图：点FP、点G即为所求. 图2 32.(I)证明：，DG平分∠CDE ∴∠CDG=∠EDG :正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE, .AD=CD=DE, DG=DG △DCG≌ADEG(SAS) ∴.CG=EG,∠DEG=∠DCG, AD=CD=DE, .∠DAE=∠DEG, 11/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.∠DAE=∠DCG. .∠AFD=∠CFG, .∠CGF=∠ADF=90°， .∠CGE=90°， .△CGE是等腰直角三角形 (2)证明：由(1)证得△DCG≌aDEG,∠CGE=90°， :.∠CGD=∠EGD=(360°-90)=1350， .∠AGD=180°-∠EGD=180°-135°=45°， .∠AGD=∠ADB=45°， 又，∠DAG=∠FAD, ∴.△ADH△AGD. AD AH AGAD,即AD2=AH·AG①， 如图：过D作DM⊥AE于M,则∠AMD=∠ADF=90°， D A HMF G E .∠DAM=∠FAD, .△ADM∽△AFD. AD AM AF=AD,即AD=AM·AF②， .AD=DE,DM⊥AE, :.AM-EM=TAE 2 1 .AD2=AM·AF=三AE,AF 2 由0②两武得，4HAG-4E~AF,即AF.AE=2A:AG 834-V2 函学科网 www.zxxk.com 13/13 让教与学更高效函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题30相似三角形压轴题综合( 32题) 中考命题规律。 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 相似三角形压轴为中考核心重难点， 弱化机械公式套用，创新多模型嵌套 题型涵盖选填压轴与解答压轴。命题 考查，要求自主构造辅助线。新增折 以几何综合为核心，融合正方形、矩 叠动点分类讨论、圆与相似定点定值 相似三角形压轴题 形、圆等基础图形，结合折叠、旋 探究、双旋转变换、结论辨析题型， 综合 转、动点变换出题，重点考查相似模 融合勾股、位似、平移多知识点，强 型识别、线段比例运算、面积比值、 化动态几何分析与高阶综合探究能 存在性与最值问题，侧重几何推理、 力。 分类讨论与数形结合思想。 真题考点精练。 一、 单选题 1,(2026四川泸州中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，若AD=BC=BD,则 S△BCD S△MBc的值为() V5-1 3-V5 4-5 5-1 A B. 2 C.5 D.2 【答案】B 【分析】设∠A=x,利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠C与∠A的关系，进而证得 △ABC~△BCD,利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解. 【详解】解：设∠A=x, 1/94 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD BD, ∠ABD=∠A=x, ∠BDC=∠A+∠ABD=2x, .BD=BC. ∠C=∠BDC=2x, AB=AC. .∠ABC=∠C=2x, 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， .x+2x+2x=180°， 解得r=36°、 ∠C=∠ABC=72°，∠BDC=72°， ∠C=∠C,∠ABC=∠BDC, △ABCn△BDC, BC CD AC BC, 设BC=a,CD=b,则AD=BD=BC=a,AC=a+b, ..a=b a+b a' a2=b(a+b)=ab+b2 即 等式两边同时除以b, 得：号8-1=0 a-1+V5 解得b2(负值舍去)， :△BCD与△ABC在AC边上的高相等， S.aCD=CDb 1 S.ABc AC a+b a+1, b 心2522B-5 72+13+√54■ 2 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选B 2.(2026四川攀枝花中考真题)如图，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD LBC,垂足为D, 点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP=OC,给出下列结论：①点P、C、B在以点O 为圆心，OC为半径的圆上；②∠AP0+∠DC0=30°；③△POC是等边三角形；④△POAACAC0.其中 正确结论的个数为() B D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形“三线合一”及垂直平分线性质得出OB=OC,结合已知OP=OC可得 OB=OC=OP,从而判断①：利用等边对等角及角度和差关系判断②：通过三角形内角和定理计算 ∠OPC的度数判断③；根据相似三角形的判定判断④. 【详解】解：连接OB D D C :AB=AC,AD⊥BC ∠BAC=120° :AD垂直平分BC,∠BD=∠C4D-∠BAC=60， ∴.OB=OC,∠ABC=∠ACB=30° .OP=OC ∴.OB=OC=OP ∴点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上，故①正确； .OB=OP ∴.∠APO=∠ABO OB=OC ∴.∠DCO=∠DBO 3/94 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠APO+∠DC0=∠AB0+∠DB0=∠ABC=30°，故②正确； 在△PBC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°， 即2MP0+∠OPC)+30°+（∠PC0+∠0CB)=180 :∠APO=∠ABO,∠OCB=∠OBC,∠OPC=∠PCO, ∴.（∠ABO+∠OBC)+30°+2∠OPC=180° .30°+30°+2∠0PC=180°. ∴.∠OPC=60° .OP=OC ∴△POC是等边三角形，故③正确： 根据已知条件无法证明△POA∽aCAO,故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个。 3.(2026四川宜宾中考真题)如图，AB⊥BC,CD⊥BC,点E、F分别是BC上的点，连接AE、 DF交于点G.若BF=EF=2,CE=1,AB=4,CD=6,则BG的长是() D EC c. D.5 【答案】D 【分析】过点G作GH⊥BC于点H,利用相似三角形的性质求出GH和BH的长，最后在Rt△BGH中利 用勾股定理求解， 【详解】解：过点G作GH⊥BC于点H, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B FH E C:AB⊥BCCD⊥BC AB∥GH∥CD, .∴AEGH∽aEAB,△FGH∽△FDC, .BF=EF=2,CE=1, .BE=BF+EF=4,FC=EF+CE=3 设GH=h, ,△EGH∽△EAB GH EH h EH AB=EB,即4=4， :.EH=h ,△FGH∽△FDC, GH FH hFH CD=FC,即6=3， 2.FH-Th 2 EF EH+FH=2 :h+号h=2 2 4 解得h 3 .GH=4 EH= 4 3, H=2 , BH-BF+FH=2+2-8 33 在Rt△BGH中， BG=BH2+GH2 5/94 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026四川眉山中考真题)如图，矩形ABCD中，点F在线段BC上，连接AF，AE平分∠BAF交 BC于点E,过点E作EM⊥AF,垂足为点N,交AD于点M.若AB=6,BE=2,则△AMN的面积 为() MD B E F A.12 B.24 C.36 D.48 【答案】B 【分析】由矩形的性质结合角平分线容易证明 MBE≌aMNE(1MS),则AB=AN=6,BE=NE=2.容易 EF NF NE 1 J 3 证明EFN6AFB,则F-BF-4R3,计算得K=2,从而得到F=2.由ADI BC可判定 △EFN∽aMAN,从而计算出MN=8,最后计算△AMN的面积即可， 【详解】解：设EF=x, :四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°，ADI‖BC, ,EM⊥AF, ∴.∠ANE=∠ANM=∠ENF=90°， ∴.∠ABC=∠ANE, ,AE平分∠BAF, .∠BAE=∠NAE, 在△ABE和△ANE中， ∠ABC=∠ANE ∠BAE=∠NAE AE=AE △ABE≌△ANE(AAS) ..AB=AN=6,BE=NE=2, .BF=BE+EF=x+2, :∠ENF=∠ABC=90°，∠EFN=∠AFB, ∴.△EFN∽△AFB. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF NF NE 2 1 .AF BF AB 6 3' AF=3EF=3x NF-3BF-*2 3 3 AF=AN+NF. :3r=6+x+2 解得 WF=+23 32 :ADI‖BC,∠ANM=∠FNE=90°， ∴.△EFN∽aMAW. MN 6 .MN AN 2 .MN=8, 1 2×6x8=24 5.(2026重庆中考真题)如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE=2BE,连接DE.过点A 作AF⊥DE,垂足为F,连接BF并延长交CD于点G,连接CF,则△BEF与△CFG的面积之比为 () A D 7 A.9 B.4 【答案】B 【分析】 BE=a(a>0),则CE=2a,AD=CD=BC=3a,DE=3a,先得出△MDF△DEC,则 可得DF的长，再过点F作FM L BC于点M,作FN⊥CD于点N,得出△DFN∽aDEC,△BCG∽aBMF, 7/94 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求出FN,FM,CG的长，进而求出△BEF与△CFG的面积即可. BE=a(a>0) 【详解】解：设 .CE=2BE, .CE=2a,BC=BE+CE=3BE=3a, :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD=BC=3a, :∠ADF+∠CDE=90°，DE=VCD2+CE2=VBa :AF⊥DE, .∠AFD=90°，∠ADF+∠FAD=90° ∴.∠FAD=∠CDE, 在△ADF和△DEC中， I∠FAD=∠CDE ∠AFD=∠DCE=90°， .△ADF∽△DEC, DF AD DF 3a ÷cEDE,即2a13a, DF=53a 解 13, 如图，过点F作FM⊥BC于点M,作FN⊥CD于点N, B M ,四边形CMFN是矩形， .FM=CN,FN=CM,FN∥BC,FM∥CD, ∴.aDFN∽aDEC, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6V13a .FN DN_DF,FN DN 13. CE CD DE 2a 3a 13a 解得FN=12a DN=18a 13， 13· :BM-BC-CM-BC-FN-27a FM-CN=CD-DN=2la 13， 13 又.FM∥CD .△BCG∽aBMF, CG 3a :CG-BC,即21a27a MF BM 1313 解得CG=7u 3 .oer =1 E-FM=1g.21e21a2 21=26,.cm 2CG-FW-IxJa.I2a_14a 2×313=13 21a2 263 与 的面积之比为14a=4. △BEF△CFG 13 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形 二、填空题 6.(2026四川南充中考真题)如图，点P在正方形ABCD内，且AP=AB=1,将PB绕点B顺时针旋转 90°得到P'B,连接PC、PC、PP',PP'交BC于点M.下列结论：①CP'=1;②PC的最小值为 2-5,®D,P,P三点共线：④当△MCT为等腰三角形时，BP的长为6-5 其中正确结论为_ (填写序号) D M 【答案】①③ 9/94 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABP≌ACBP'(SAS) 【分析】对于①，容易证明 则CP=4P=1:对于②，由PC≥AC-AP=2-1 可得，当A、P、C三点共线时，PC取得最小伯5-1 ；对于③，利用等腰三角形的性质可得 ∠BPD=135°，进而得到∠BPP'+∠DPB=180°，因此D,P,P'三点共线；对于④，设CM=x,容易 正明△0P△0P剥P=,0M=又-X,在，CDM中，利開勾服定理特遮方积，解得= 3 进而得到<CDM=30 容易证明△1DP是等边三角形，在DP=4D=l,进而计算出Pp=V3-1,在 Rt△BPP'中，利用三角函数计算出BP'即可 【详解】解：对于①，，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD=1, 由旋转的性质可得，∠PBP=90°，BP=BP', ,∠ABP+∠CBP=90°，∠CBP'+∠CBP=90°， ∴.∠ABP=∠CBP', 在△ABP和△CBP'中， AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP △ABP≌△CBP'(SAS) .CP=AP=1,故①正确； 对于②，如图，连接AC, D 在R△ABC中，AC=V√AB+BC=V反 PC≥AC-AP=V2-1 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当A、P、C PC 点共线时， √2-1 取得最小值 ,故②错误： 对于③，如图，连接DP,设∠BAP=a,则∠DAP=90°-a, ) M AB=AP, ∠APB=∠ABP=180-∠B4P =90-1 d, AB=AD, ..AD=AP, :∠APD=∠ADP=180°-∠DMP=45+& 2 2 .∠DPB=∠APD+∠APB=135°， ∠PBP'=90°，BP=BP', .∠BPP'=∠BP'P=45°， .∠BPP'+∠DPB=180°， D,P,P'三点共线，故③正确： 对于④，如图，设CM=x, .∠CP=∠DCM+∠CMD=90°+∠CD>90°， 又，△MCP'为等腰三角形， ..CM=MP'=x, .∠CPM=∠CP', :CP′=1=CD 11/94 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CDP'=∠CPM=∠CP', .△MCP'∽△CDP', MP'CP'x 1 ∴CP=DP,即1=DP, :p's1 :DM =DP -MP =x 在RtACDM中，CM2+CD2=DM2, 整理，得x2- 3 解得xs 3 (负值舍去)， :OM='=3 p=1=5 3, 在RIACDM中，tan∠DM= CM3 D 3, .∠CDM=30°， .∠ADP=∠ADC-∠CDM=60°， 又，AD=AP, ∴.△ADP是等边三角形， .DP=AD=1, ..PP-DP-O =3-1 在Rt△BPP'中， BP=PP.sin∠BPp'=(5-小sim45=6-2 2,故④错误： 综上，正确的结论为①③， 7.(2026四川泸州中考真题)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F,G分别是边AB，BC, CD的中点，AF与DE交于点M,BD与AF,MG分别交于点N,P.则NP的长为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E G 82 【答案】 【分析】根据正方形性质证明△ADE≌aBAF,得出AF⊥DE,等积法求出AM的长，勾股定理求出DM 的长，证明ANDAENR,推出DN=BD,连接BG,易得四边形DG为平行四边形，得到 SG/DE,BG=DE=2N5,证明DMPRGP:推能DP-号BD,进而得到 9 MP=DN-DP=D专5D号BD,勾股定理求出BD的长，即可符出结果 9 91 【详解】解四边形ABCD是正方形，边长为4， .AB=AD=BC=CD=4,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，ABIICD,ADIIBC, :E、F、G分别是AB、BC、CD的中点， .AE=EB=BF=FC=CG=GD=2. 在△ADE和△BAF中， AD=AB ∠DAE=∠ABF AE=BF .△ADE≌△BAF(SAS) ∴∠ADE=∠BAF,DE=AF, ∠ADE+∠DAF=90°， ∴.∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF)=90° ,即AF1DE, 在RtADE中，由勾股定理得DE=VAD+AE=V④+2=2V5 13194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM=AD:AE_4x2 45 DE 255, .DM=AD-AME85 , .ADllBC, .∠NAD=∠NFB,∠NDA=∠NBF, ∴.△AND∽AFNB 器识2 ..DN= 连接BG, M E G AB//CD,BE=DG=2, ∴四边形DEBG为平行四边形， .BGIIDE,BG=DE =25 .∠PDM=∠PBG,∠PMD=∠PGB, .ADMP∽aBGP, DP DM 4 BP BG 5 ∴.DP= 9 Np-DN-nr-号0号8n-gD, 3 在RiABD中，BD=VAB+AD=V军+4=4V2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P=2x4W2-8N2 9 9」 8.(2026四川成都中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为△ABC的一条中线，E为AC上 一点，∠ADE=∠B.若AE=5,CE=2,则AB=. 7V33 【答案】3 【分析】设CD=BD=a,则BC=2a,勾股定理求得AD,过点E作EH⊥AD于点H,证明 △EAH∽aDAC,根据相似三角形的性质求得EH,AH,，进而求得DH,根据∠ADE=∠B,得出 tan∠ADE=tan∠B AB 求得”，进而求得的长 【详解】解：：AD为△ABC的一条中线， .CD=BD. 设CD=BD=a,则BC=2a ,AE=5,CE=2」 .AC=AE+CE=5+2=7, AD=AC+CD=49+ .'tan B= AC 1 BC2a 过点E作EH⊥AD于点H, 15194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AHE=∠ACB=90° 又，∠EAH=∠DAC ∴.△EAHADAC .EHAEAH ·DC AD AC EH=AE·DC、 5a ADV49+a园 7x-5a ÷h=4C749+2 35 DC V49+a2 :.DH-AD-AH=49+a35 v49+a2 a2+14 V49+a2 .tan∠ADE=EH、5a DH a2+14 .∠ADE=∠B 75a .2aa2+14 解得：a2=8 3 AB=V49+4a=7V33 3 9.(2026四川自贡中考真题)如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作∠EBF=45°，交AD于点 点G,H分别在等腰 F tADFO 的直角边D0利边FD上，且6D=v5H,FG与DH交于点P.连接 BP,若AF=2,则BP的最小值为一 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F H E 45-22 【答案】 【分析】根据题意，四边形ABCD是正方形，设边长为a,如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转 90得到ACBK,点K在DC的延长线上，则EF=K=0+2,有句服定理列式求解得到a=6 再证明△DFH∽aFQG,结合角度的计算得到点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，设 圆心为半径为。之得到R=0D-D2W2,如图，建立平面直角坐标系，以，为原点。 2 所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形，设边长为a, :AB=BC=CD=AD=a,∠ABC=LBCD=∠CDA=∠DAB=90°， ,点E为CD的中点， DE-CE-CD, :AF=2,AD=a,且△DFO是等腰直角三角形， .DF=D0=AD-AF=a-2,∠DFQ=∠DQF=45° .∠EBF=45° ∴.∠CBE+∠ABF=∠ABC-LEBF=90°-45°=45°， 如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转9O°得到△CBK,点K在DC的延长线上， 17194 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F H .△ABF≌aCBK, :.BF=BK,AF=CK,∠ABF=∠CBK,则∠CBK+∠CBE=∠ABF+LCBE=45=∠EBF,且BE=BE, △EBF≌△EBK(SAS) 1 .EF=EK=EC+CK=EC+AF=a+2 在Rt△DEF中，EF2=DF2+DE2, 0*j-je-y 整理得，a2-6a=0, a1=6,a2=0 解得， (舍去)， .AB=BC=CD=AD=6, DF=D0=6-2=4,DE=3, Fo-Dr-4 2=瓦 :DF ..GO=FH G2=2, :FH FO_GO ·DF=FH,且∠DFH=∠FQG=45o, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..ADFHAFOG ∴∠FDH=∠QFG, 在△PDF中， ∠DPF=180°-（∠PDF+∠PFD) :∠PFD=∠QFD-∠QFG=45°-∠QFG=45°-∠FDH, .∠PDF+∠PFD=∠FDH+45°-∠FDH=45°， .∠DPF=180°-45°=135°， “.点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为O',半径为R, ,圆心角 ∠D0F=2x180°-135)=90°.DF=4, :△DOF是等腰直角三角形， ..R=O'D= DE =2W2 如图，建立平面直角坐标系，以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴， 一-一、 D B .B(0,0),A(0,6),D(6,6,F(2,6). ,DF在直线y=6上，且P在正方形内部(y<6), 题心0在Dr的上方，且O到Dr的距离为0I-DF=2。 :DF的中点坐标为(4,6) 19194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .圆心O的坐标为(4,8)，连接BO,交圆弧于点P,此时BP取得最小值 B0'=(4-0)2+(8-0)2=V16+64=√80=4V5 BPm=B0'-R=4V5-2√2 10.(2026四川广安中考真题)如图，在矩形ABCD中，己知AB=3,BC=4,点E是射线BC(不与 点B重合)上的一个动点，连接AE并延长交直线CD于点F,将△ABE沿射线AE翻折，点B的对应点为 点B,延长AB交直线CD于点G.有下列结论： ①AG=GF:②∠DG1=2∠BB:③若点B恰好落在对角线AC上时，则CE-:③若E-时，则 BE 3 18 ③。科文5：包的取值范围为1D<5·其中正确的结论有填序号 D B G 【答案】①③⑤ 【分析】①②分类讨论，当E在C的左侧和E在C的右侧（含点C),根据矩形性质和折叠的性质即可推 出结论：③先判断E在C的左侧，根据矩形的性质结合勾股定理求出AC的长，再根据折叠的性质结合勾 股定理求出CE的长，④分类讨论，当E在C的左侧和E在C的右侧（含点C),分别作过点D作 DM⊥AG交AG于点M,过点D作DN⊥AG交AG于点N,运用矩形的性质证明△ABE∽aFCE，,得出 FC的长，再结合①的结论算出DG的长，根据等面积法求出DM、DN,，最后运用三角形的面积求解即 可：⑤先判断B在以A为圆心，半径为3的圆上运动，即可求解. 【详解】解：关于①，如图，当E在C的左侧、， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△ABE关于AE折叠为△AB'E, LBAB', :∠BAE=∠BAE= 矩形ABCD, .ABII CD ∴.∠BAE=∠AFD, ∴.∠AFD=∠BAE, .AG=GF, 如图，E在C的右侧（含点C), G Bi B E 与当E在C的左侧同理， 综上，AG=GF, ∴①符合题意： 关于②，如图，当E在C的左侧， D G C ,△ABE关于AE折叠为△ABE, ∴.2∠BAE=2∠B'AE=∠BAB, :矩形ABCD, ..ABI CD, ∴、∠AGD=∠BAB'=2LBAE, 21194 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，E在C的右侧（含点C), G D B E :ABI‖ICD :∠AGD+∠BAB'=∠AGD+2∠BAE=180°，即∠AGD=180°-2∠BAE, ②不符合题意： 关于③，，点B恰好落在对角线AC上， ∴.如图，E在C的左侧， D 夕 ·矩形ABCD .∠B=90°， :在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, “根据勾股定理，AC=VAB2+BC=5 ,△ABE关于AE折叠为△AB'E, .BE=BE,AB=AB,∠B=∠AB'E=90°， .∠AB'E=∠CB'E=90°，B'C=AC-AB=2, :在Rt△CB'E中，B'C=2,B'E=BE=BC-CE=4-CE, 六根据勾股定理，CE=BE2+B'C,即CE=(4-CE)+4 解得CE-, .③符合题意： 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 关于④，如图，当E在C的左侧，过点D作DM⊥AG交AG于点M, G ,△ABE关于AE折叠为△AB'E, 4B=AB=3 ,矩形ABCD, ABI‖CD,∠ADC=90°，AB=CD=3,AD=BC=4, ∴.△ABEAFCE, AB BE 3 33 ·FCCE2,即FC2, 解得：F℃=2， ...GF =CD-DG+CF=5-DG. ,在RtAADG中，AD=4, ∴.根据勾股定理，AG=AD2+DG2=4+DG2, ,由①得AG=GF, 4G2=GF,即16+DG=(6-DG,解得：DG-号 10 4G=GF=41 10 :Sm=4GDM-4D-DG,即0 DM=4×9 2 2 10 :DM=36 41 AB'.DM=1x3x3 3654 2 4141· 如图，当E在C的右侧（含点C),过点D作DN⊥AG交AG于点N, 23/94 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B N B ,△ABE关于AE折叠为△AB'E, AB=AB=3 :矩形ABCD, ABIICD,∠ADC=90°，AB=CD=3,AD=BC=4, ∴.△ABEAFCE, AB BE 333 ·FCCE2,即FC2,解得：FC=2, .GF=CD-CF+DG=1+DG. ,在RtAADG中，AD=4, ∴根据勾股定理，AG=AD2+DG=4+DG2, :由①得AG=GF, 六4G2=GF,即16+DG2-1+DG,解得：DG=5 2 .4G=GF=17 2 5m方4oDN0-DG,即7 n17DN=4×15 :DW=60 17· 1 .S.ARD AB'.DN=×3× 6090 2 1717 综上，SAMB= 5490 41或17： ∴故④不符合题意： 关于⑤， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△ABE关于AE折叠为△AB'E, 4B=AB=3 如图，B在以A为圆心，半径为3的圆上运动， A K(BD :点E是射线BC(不与点B重合)上的一个动点， ∴.0°<∠BAE<90°，即0°<LBAB'<180°， 在 上运动， 当B在K点时，B'D有最小值，最小值为4-3=1， 当B接近T时停止，BD趋近于DT=V4+3=5 ∴.B'D的取值范围为1≤BD<5, 故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤. 2 11.(2026-四川遂宁中考真题)如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，以点B为圆心，Cm为半径 1 作弧，交BC于点M,交AB的延长线于点N,再分别以点M、N为圆心，大于2MN的长为半径作弧， 两弧交于点K,作射线BK,点E在边AB上，且BE=2AE,连接EM并延长，交BK于点F,连结 DF,交BC于点G,则DG的长为cm. G 25194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 3W5 2 【分析】根据题意可知BK是∠CBN的角平分线，结合正方形性质可得∠CBK=45°，过点F作BC 和AB延长线的垂线，利用角平分线性质和相似三角形△EBM∽aEPF求出F到BC的距离，再利用 △DCG∽aFHG求出CG的长，最后在RiADCG中利用勾股定理求解. 【详解】解：根据题意可知BK平分∠CBN, :四边形ABCD是正方形， ∠ABC=90°，AB=BC=CD=3,DC⊥BC, 点N在AB的延长线上， ∴.∠CBN=90° :∠CBK=∠CBN=45°， 过点F作FH⊥BC于点H,作FP⊥AB交AB的延长线于点P,则四边形BHFP为矩形， D G 平分 B NP.BK ∠CBN,FH⊥BC,FP⊥BN ..FH=FP 、四边形BHPF为正方形， 在RtBHF中，∠FBH=45°， :BH=FH :BE=2AE,AB=3, .BE=2, 设FH=x,则FP=BH=BP=FH=x,EP=EB+BP=2+x, :BM⊥AB,FP⊥AB, :BMIIFP, AEBM∽△EPF, BM EB FPEP· w-j. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 2 x 2+x 解得x=1, .FH=1,BH=1, .CH=BC-BH=3-1=2, DC⊥BC,FH⊥BC, :DCIIFH, .ADCG∽△FHG, %器. ∴.CG=3HG CG+HG=CH=2, .3HG+HG=2, .G .CG=3 2 在6中，00=c+--}-5 12.(2026四川眉山中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在AB边上，且BE=3 点F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点B,连接AB'.点G在线段AB 上，若4G-号B,连接DG,则DG的最小值为一 410-2 【答案】 【分行】根粗新的任频可知B:B-3即点公在以E为画心，3为羊轻的调上运动，由4G-号B。 27194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 联想到位似变换，在B上取点使得什一号4E,构适。4GA4Eg,从而确定点G的轨迹是以 3 为圆心，2为半径的圆，连接DH,当D,G,H三点共线时，DG取得最小值，利用勾股定理求出DH 的长即可求解. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .∠A=90°，AD=12,AB=9 ·点E在AB边上，BE=3, AE=AB-BE=9-3=6」 由翻折的性质可知，EB'=EB=3, 2 在AE上取一点H,使得4H=54E,连接HG 分4H=2×6=4 在△AHG和△AEB'中， AG AH 2 AB=AE3,∠HAG=∠EAB', ∴△AHG∽△AEB', HG AH 2 EB'AE 3 六HG=2EB 3 2x3=2 ~点H是定点，HG长为定值2， ∴.点G在以点H为圆心，2为半径的圆上运动， 连接DH,当点G在线段DH上时，DG的值最小，最小值为DH-HG, 在Rt△DAH中，AD=12,AH=4, 根据勾股定理得： DH=VAD2+AH2=V122+42=V144+16=V160=4V10 ∴.DG 4W10-2 的最小值为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026山西中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD川BC,∠B=90°，AB=10.点E是AB边上 的一点，且AE=3,连接DE,过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F,交CD边于点G.若 CF=CG=5,则线段BF的长为 D G B 【答案】14 【分析】过点E作EH∥BF,交CD于点H,通过等角对等边证明HG=EH=DH,过点G作GM⊥AB 于点M,作GN⊥BF于点N,证明ADI‖EH IMG,根据平行线分线段成比例求出EM=AE=3,进而得 出BM=4,证明四边形BNGM是矩形得到GN=MB=4,根据勾股定理求出NC,得到NF的长，从而可 得tanF的值，进而在Rt△BEF中解直角三角形即可求解. 【详解】过点E作EH∥BF,交CD于点H. A刀 Mh.. B .∠HEG=∠F CF=CG, .∠CGF=∠F, :∠CGF=∠HGE, ,∠HEG=∠HGE, .EH=HG DE⊥EF, ∴.∠DEG=90 .∠DEH+∠HEG=90°，∠EDG+∠DGE=90° :∠HEG=∠DGE, 29194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DEH=∠EDG. :EH=DH, :DH=HG. 过点G作GM⊥AB于点M,作GN⊥BF于点N,则∠AMG=90° ∠B=90°， .∠AMG=∠B, .MG∥BC, :ADI BC,EHI‖BC .ADIEH II MGII BC. g-=1, EM HG .EM=AE=3. .MB=AB-AE-EM=10-3-3=4 ∠B=90°，GM⊥AB,GN⊥BC, ∴四边形BMGN是矩形， .GN=BM=4. 在RIAGNC中，NC=VGC2-GW=3 ∴.NF=NC+CF=3+5=8 在aGWr中，tanF-GN-4_1 NF8-2· 在Rt△EBF中，BE=EM+MB=3+4=7, :BF=EB、7 tanF= =14 14.(2026河南中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,CD是角平分线.点E为边BC 上一点，连接4E,交CD于点F,连接F.若4E=25,则BF的长为 D 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10W2 【答案】22或3 【分析】过点4作I1BC于点'，先由等腰三角形的性质求出B1=I=3,则I=VAB-Br=4,然 后分点E在点I的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可， 【详解】解：过点A作AI⊥BC于点I, 013 D B E M NE2 ..AB=AC=5,BC=6, .B1=CI=3, .AI =AB2-BI=4 E 当点E在左侧时，记作点 .E=VAE-A=25-4=2 BE=BI-IE=3-2=1 CE =CI+IE=3+2=5=CA ,CD平分∠ACB AF=EF F,FM⊥B 过点作 于点M,则M/ △EEM∽△EAI EM_FM=EF=1 ·.EI AI EA2 FM=2,E,M=1 31194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BM=1+1=2 BR-1BM+FM=22 E, E2=2 当点E在右侧时，记作点，则同理 CE2=IC-IE2=3-2=1 过点1作10/BC交CD延长线于点0，则A=∠5，△1OrAE,C5 :CD平分∠ACB .∠1=∠2 ∴.∠2=∠3 ..AO=AC=5 .△A0F∽△E,CE A0=A5=5」 CE EF △E,F,N∽△E,AI 同理可得， EF EN FN 1 :EN-2g5N名4-号 6 3 .BN=BC-CE2-NE,=6-1- 114 3=3 BF-BN+EN-102 ￥ 10w2 综上：BF的长为2或3 15.(2026湖北武汉·中考真题)如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，连接EF.将四边 形ADFE沿EF翻折得到四边形GHFE,边GH经过点C.若AB=8,AD=6，,DF=3,则CH的长是 ,EF的长是 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B G 4 35 【答案】 【分析】作FV⊥AB于N,则四边形ADFN是矩形，则可得AN=DF=3,NF=AD=6.根据矩形的性 质和折叠的性质可得FC=5,FH=DF=3,根据勾股定理可得HC=4,进而可得GC=2.证明 FHCCGM,银起相似三角形对应边成比时可求相GM-号。CM-号 3·再证明AEBM≌ACGM,则可 得EB=CG=2,则可得E=3,再根据勾股定理可得 F=35 【详解】解：设GE与CB的交点为M, :四边形ABCD是矩形，且AB=8,AD=6, .∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD=6,DC=AB=8, 作FN⊥AB于N,则四边形ADFN是矩形， ∴.AW=DF=3,NF=AD=6, 根据折叠的性质可知FH=DF=3,GH=AD=6,EG=AE,∠H=∠D=90°，∠G=∠A=90°， .DC=8,DF=3, .FC=5. .HC=FC2-Fm=V53-32=4 .GC=HG-HC=6-4=2, 33194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠BCD=90°， .∠1+∠2=90°， ∠G=90°， .∠2+∠3=90°， .∠1=∠3， 又.∠H=∠G, .△FHC∽aCGM, FH HC FC 345 ·CGGMCM,即2GMCM' 8 解得GM-S CM=10 3· 3 .BM=CB-CM=6-10_8 33 .BM=GM, 又，∠B=∠G,∠4=∠3， △EBM≌ACGM(ASA) ∴EB=CG=2, 、NE=AB-AN-EB=8-3-2=3. :BF=VNE+F2=32+6=3V5 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定 和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键. 三、解答题 16.(2026山西中考真题)综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC中，AB=BC,BO是△ABC的中线.将△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, 其中点B,C的对应点分别为点D,E,线段DE分别与线段OA,AB交于点M,F,线段OE与AB交 于点N. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 (I)推理证明：求证：△AON≌aEOM: (②)拓展延伸：在旋转过程中，当OD∥AB时，探究下列问题. ①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由： ②已知OB=2,OA=3.在射线DO上取一点G,在射线B0上取一点H,使OH=OG.当以点A,G, H为顶点的三角形是直角三角形，且G为直角边时，请直接写出线段BH的长 【答案】(I)证明：：AB=BC,BO是△ABC的中线， ∠A=∠C,AO=CO,BO⊥AC, 'aBOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, ∴.∠E=∠C,EO=CO ∴∠A=∠E,AO=EO, .∠AON=∠EOM. 在△AON和△EOM中， ∠A=∠E AO=EO ∠AON=∠EOM' ∴.△AON≌AEOM(ASA) 2)①解：DO=DF, 理由如下： :AB=BC,BO是△ABC的中线， .∠ABO=∠CBO, :aBOC绕点O顺时针旋转得到△DOE, .∠D=∠CBO,OD=OB, ∴.∠ABO=∠D, :OD∥AB, 35/94 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠D=∠AFD, ∴.∠AFD=∠ABO, DF∥OB ∴四边形DFBO是平行四边形， .OD=OB .DFBO是菱形， :.DO=DF: ②线段8明的长为下或4-丽 或 【分析】(1)根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出∠A=∠E,A0=E0,结合图形得到 ∠AON=∠EOM,运用“角边角”即可求证： (2)①根据旋转得到∠D=∠ABO,由平行线的判定得到DF∥OB,可证四边形DFBO是菱形，由此即 可求解； ②证明G,H在以O为圆心，OH为半径的圆上，即图中的G,H,G,H',可得四边形GHG'H'为矩形，可得 当以点A,G,H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，当∠AGH'=90°，则AH'一定过点 ∠AGH=90°。∠AHG'=90°，A,G,H ,不符合题意：只有 或 ，此时 三点共线，再进一步求解即可 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：，OG=OH, :G,H在以O为圆心，OH为半径的圆上，即图中的G,H,G,H', .∠GH'G'=∠H'GH=∠GHG=∠HG'H'=90°， .四边形GHGH'为矩形， ∴当以点A,G,H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时， 当∠AGH'=90°，则AH′一定过点O,不符合题意： ∴.只有∠AGH=90°或∠AH'G=90°， 此时A,G,H'三点共线， 如图所示，当点H在线段BO上时，∠AGH=90°，且点G在线段DO上，过点H作HP⊥OP于点P, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .∴∠HPO=∠AOB=90° OD∥AB, ∴.∠HOP=∠ABO 0B=2,OA=3, AB=OP+OB=3,tan∠H0P=tan∠AB0=40=3_PH BO2 OP, 设OP-2x,HP=3x, 则OH=VOP2+hP=x ..OG=OH=OG'=OH'=13x :OD∥AB, .△H'GOaH'AB, OG H'O .ABHB· √13x13x .√3√13x+2, 解得： 3x=-2或=0（舍去）， 此时BH=B0-H0=2-1Bx=2-(5-2)=4-V BH'=OB+OH'=2+V13x=2+V13-2=V13 BH=134-13 综上所述， 或 17.(2026福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，E是DC延长线上的一点，EB的延长线 37194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交OO于点F,AB=BD,∠CBE=∠ABD=60°. A 1)求∠E的度数： (②)求证：四边形AFEC是平行四边形； CG_2 BD 3)设CF交BD于点G,且FG=3,求AC的值. 【答案】(1)60 (②)证明：∠ACD=∠ABD=60°， .∴.∠ACD=∠E AC∥EF ,四边形AFBD是⊙O的内接四边形， ∴.∠AFB+∠ADB=180° :△ABD是等边三角形， ∠ADB=60°， ∠AFB=120° .∠AFB+∠E=180° .AF∥CE “,四边形AFEC是平行四边形. 万 3)3 【分析】(1)先判定△ABD是等边三角形，得到∠BAD=∠BDA=60°，利用圆的内接四边形的性质，证 明∠BCE=∠BAD=60°，最后利用三角形内角和定理解答即可： (2)先利用∠ACD=∠E判定AC川EF,利用圆的内接四边形的性质求得∠AFB=120°，证明AF川CE: (3)过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a,先判定△BCE是等边三角形，证明 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △CFE≌△BDE(AAS) 得到EF=ED,再证明aDEF是等边三角形，证明BCIDF,BCGDFG △BCE∽aFDE,得到BE=2a,EF=3a,接着利用勾股定理表示出CH,CF,利用平行四边形的性质表示 出AC,进一步解答即可. 【详解】(1)解：AB=BD,∠ABD=60°， .△ABD是等边三角形 :.∠BAD=∠BDA=60° ,四边形ABCD是OO的内接四边形， ∴.∠BAD+∠BCD=180° 又∠BCE+∠BCD=180°， .∠BCE=∠BAD=60°. :∠CBE=60°， .∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60° (2)略 (3)解：过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a, A B H E:∠E=∠CBE=∠BCE=60° ∴.△BCE是等边三角形. ∴.BE=CE 又：∠CFB=∠CDB,∠E=∠E, .△CFE≌△BDE(AAS) ..EF ED. ∴.BF=CD=a ∠E=60°， ∴△DEF是等边三角形 ∴.∠FDE=∠BCE=60° 39/94 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BC∥DF ∴.△BCG∽△DFG BC CG 2 DFFG3· .BC//DF, ∴.△BCE∽△FDE. BE BC 2 FEFD3· .BE =2a,EF =3a. :四边形AFEC是平行四边形， ∴.AC=EF=3a. :△BCE是等边三角形，CH⊥BE, .BH=BE =a 2 在R△BCH中，an∠CBE CH=5, B .CH=√3BH=V5a FH=BF+BH =2a :.CF=FH+CH=(2a)+(a)=a △CFE≌△BDE, :BD=CF=7a BDV7a万 AC 3a 3. 18.(2026上海中考真题)在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上两点，D是 AB上一点，连接AB、CD交于点P,且AB=CD, B B E 图1 图2 图3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，连接OP; ①求证：∠APO=∠CPO: ②如图2，连接OB交弦CD于点H,若AQ=4,PB=1,PO=H0,求PH的长： (2)如图3，连接PO、AC交于点E,线段AP上有一点F使得PF=4AF,若PE=QE, PE ∠PEA=∠PFQ,求EA的值. 【答案】)①证明：如图，作OG⊥AB于G,OZ⊥CD于Z,连接OC, B 0 图1 ,AB=CD」 ∴.AG=CZ, ·0A=0C,∠AG0=∠CZ0=90°， RtAOAG≌RtAOCZ(HL) .0G=0z, :∠PG0=∠PZ0=90°，OP=OP, ,RtAOPG≌RIAOPZ(HL) ∴.∠APO=∠CPO, ②PH=3 4: P№V2 2)AQ3 【分析】(1)①作OG⊥AB于G,OZ⊥CD于Z,连接OC,利用垂径定理结合AB=CD,得出 41194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG=CZ,证明 t△OAG≌Rt△OCZ(HL) ,得出OG=02,再证明 t△OPG≌RIAOPZ(HL) 即可求证： BP BH PH ②先证明∠APO=∠OHP,得出∠BPO=∠BHP,可得△BPHABOP,则OB=BPOP，即可得出 gH分.PH=0P,再求出OH=0P 2,即可求解： PF PO 4m_2n (2)证明aFPQ∽aEPA,得出PE=AP,设PF=4AF=4m,PE=QE=n,可得AP=5m,n5m, 求出”=0，连接OP,交1C于点K,由（山可得1P=CP,乙4P0=∠CP0,得出OP14C,证明 K为△APO的重心，得出AK=2EK,设AK=2EK=2k,在RtAAPK和RtAEPK中，利用勾股定理列式求 出=5m,可符1K=2BK=25m,即可求解 【详解】(1)解：①略： ②.P0=HO, ∴.LOPH=LOHP, 由(1)可知，∠OPC=∠APO, ∴.∠APO=∠OHP :∠BPO=180°-∠APO,∠BHP=180°-∠OHP, .∠BPO=∠BHP. 在△BPH和△BOP中，∠BPO=∠BHP,∠PBH=∠OBP, .△BPH△BOP BP BH PH .OB BP OP· A0=4, .OB=2, ,BP=1, BP 1BH PH ·OB21OP, -2.PH-IOP .BH=1 1 2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OH=0P=2-1=3 22 .PH=3 4； (2)解：∠PFQ=∠PEA,∠FPQ=∠EPA, ∴.△FPQ∽aEPA, PF PO PE AP' PF=4AF,PE=OE 设PF=4AF=4m,PE=QE=n, 则AP=5m, 4m_2m .n5m .20m2=2n2, n=v10m 连接OP,交AC于点K, B 图3 由(I)①中RLAOPGS≌RtAOPZ可得PG=PZ(图1)， 又：AG=CZ(①已证)， ..AG+PG=PZ+CZ. ..AP=CP, 又：∠APO=∠CPO(①已证)， .OP⊥AC, .∠AKP=∠CKP=90°， :O为△APQ边AQ的中点，E为△APO边PQ的中点， 43194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .K为△APO的重心， .AK=2EK, 设EK=k,则AK=2EK=2k, :在R△APK和Rt△EPK中，PK2=AP2-AK2=PE2-EK2, :(5m-(2k=(iom-k. 化简得 k =5m (负值舍)， AK=2EK=2√5m PEPE i0m-2 ∴.EAAK+EK3V5m3. 19.(2026四川成都中考真题)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了 探究. 如图，△ABC≌△EAD,AB=AC=nBC(n>1),点D在AC边上，延长ED交AB于点F. A E E D D B C B 图1 图2 (I)【初步感知】求证：AF2=FD.FE; (2)【深入探究】如图1，当n=2,AD=1时，求BF的长： (③)【拓展延伸】如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA'D',若F,A ,D'三点共线，且点A的对应点满足A'A⊥A'B,求n的值. 【答案】(I)证明：：△ABC≌△EAD, ·∠BAC=∠E,即∠FAD=∠E, 又，∠AFD=∠EFA, ∴.△AFD∽△EFA, AF FD FE AF' ∴.AF2=FDFE; 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0@3 gV2+1 【分析】(I)根据全等三角形的性质得到∠FAD=∠E,结合∠AFD=∠EFA证明△AFD∽aEFA,再利用 相似三角形的性质即可证明： AF FD AD1 (2)根据题意得BC=AD=1:AB=AC=AB=DE=2:由AAFD∽AEFA得到FEAFAE2,则 FE=24,m-,再利用线段的和荣圳出关于A仁长的方配，求出F一号，即可求解BF的长： 21 (3)连接AF,设BC=AD=I,由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n,根据旋转的性质得 AE=AE,∠EA'D'=∠EAD,则∠EAA=∠EAA,设∠EAD'=∠EAD=a,导角可得 ∠EAF=∠EA'F=180°-a,则∠FAA=∠FAA,推出AF=AF,再结合AA⊥AB推出BF=A'F,则 4F=F-号B=,再南。HD,EF4得到PE=F-,D-4F-分，再利用线段的和差列 21 出关于n的方程，即可求解n的值， 【详解】(1)略 (2)解：，△ABC≌△EAD .BC=AD=1,AB=AE,AC=DE. .AB=AC=nBC,n=2, .'AB=AC=AE=DE=2, 由(I)得，△AFDP△EFA, AF FD AD 1 FE AF AE 2' FE=2AF.FD=AF :.DE-FE-FD-3AF-2. 21 解得AF=4 3 :BF=AB-AF=2-4_2 33 45194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、2 即BF的长为3： (3)解：如图，连接A'F, A E B 设BC=AD=1, 由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n, 由旋转的性质得，AE=AE,∠EAD'=∠EAD, ∴.∠EAAN=∠EAA, 设∠EA'D'=∠EAD=a, F,A,D三点共线， ∴∠EAF+∠EAD'=180°， .∠EAF=180°-a, AE=DE, .∠AED=180°-2a, ,△ABC≌△EAD .∠BAC=∠AED=180°-2a, ∴.∠EAF=∠BAC+∠EAD=180°-2a+u=180°-a, ∴.∠EAF=∠EAF, ∴.∠EAF-∠EAA'=∠EAF-∠EAA,即∠FAA=∠FAA, ..AF=A'F, .AA⊥AB, ∠AAB=90° .∠FAA'+∠FBA'=90°，∠FAA+∠FAB=90°， ∴.∠FBA=∠FAB, ∴BF=A'F, AF=BF= 2”, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(I)得，△AFD∽△EFA, AF FD AD 1 ·FEAF AE7: FE=nF=r,FD=A= n 2 :DE=FE-FD=In_1_ 2n, 解 n=V2+1 (负值已舍去)， 2+1 n的值为 20.(2026四川眉山中考真题)【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质. 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=10，,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE,CE,DE与AC交于点F. M 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由. (②)【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长. BD=k(k>1)时，求DF的 MD 3)【拓展延伸】如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC=MF，当DC 值（用含k的式子表示）· 【答案】(I)CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE .·∠BAC=90 .∠DAE=∠BAC ∴.∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD .∠CAE=∠BAD AB=AC :.△MBD2aACE(SAS) 47194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CE=BD ag丽 1 6)k- 【分析】1)证明△1BD≌aACE(SAS)】 即可得证： (2)先由勾股定理求解DE,然后根据等腰直角三角形求解AE,AB，再证明△AEF∽△ABD得到 EF AE BDAB即可： DM DCDC 1 DMDM 1 (3)证明MCDAMEC即可得到CM=CE=BDk,则FMCMk,从而得解. 【详解】(1)略 (2)解：BC=10,CD=4, ..BD=BC-CD=6, :1B=4C,∠B4C=90e ∴.∠B=∠ACB=45° .'△ABD≌AACE :.CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°， ∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° :DE=VDC2+CE2=V42+6=23 在Rt△ADE中，AD=AE, :DE=VAD+AE2=V2AD∠AED=∠ADE=45° ÷40=4E-号E-2w5=v 2 B=AC=2BC=2×10=55 同理可求 2 2 ,∠AEF=∠B=45°，∠EAF=∠BAD=90°-∠DAF 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,△AEFP△ABD EF AE BD AB EF 26 .65√2 解稻名西 (3)解：由(1)可得，△ABD≌△ACE ·∠ECA=∠B=459 .MC=MF, .∠MCF=∠MFC, ·.LFCD+∠MCD=∠ECF+∠FEC :∠DCF=∠ECF=45° ∴.∠MCD=∠MEC .∠M=∠M .△MCD∽AMEC DM DC DC CM CE BD BD DC =k(k>1) DM DCDC 1 ·CM CE BD k ..CM=FM. DM DM1 ·FMCMk DM 1 FDk-1 21,(2026黑龙江绥化中考真题)综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究.在矩形ABCD中， 点E,F分别是边AD,BC上的动点. 49194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D E D E A M 图1 图2 图3 (I)【观察感知】如图1，当点E,F运动到AE=BF时，连接AF,BE,求证：△ABE≌aBAF. ②)【探索发现】如图2，连接AC,点M是AC上的一点，CM:AM=1:2,连接AF,BE,AF与BE相 交于点G,连接GM.当BE平分∠ABC,AF平分∠BAC时，且AB+AC=2BC,试求出GM与FC的数 量关系，并说明你的理由. )【问题斩展1如图3，当1B=25,8C=8时，作直线F,若直线EF将矩形4BCD 成周长相等的 两部分，过点D作DH⊥EF于点H,连接AH.当矩形的边AD与直线EF的夹角成6O°时，请你直接写 出∠DAH的正切值.（自行完成作图并作答) 【答案】(I)证明：四边形ABCD是矩形， .∠BAE=∠ABF=90°， 在△ABE和△BAF中 「AE=BF ∠BAE=∠ABF=90° AB=BA △ABE≌△BAF(SAS) MG 2 (②)CF=3,理由如下： 如图，连接CG,过点G作GH⊥BC于点H, E D G M 平分 、平分 ,且与 相交于点， C.·BE ∠ABC AF ∠BAC BE G 点G是△ABC的内心 ∴.点G到△ABC三边的距离相等 设GH=r, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 r.AB+rAC+rBC=IBC.AB 1 1 2 2 即(MB+AC+BC)=BCAB .·AB+AC=2BC ∴.r.3BC=BC·AB .AB=3r ∴.GH:AB=3 ,∠FHG=∠FBA=90°，∠AFB=∠GFH .△FGH∽△FAB ∴.GF:AF=3 ∴.AG:AF=23 ..CM:AM=1:2 ∴.AM:AC=23 .∠GAM=∠FAC .∴.△GAM∽AFAC MG 2 CF 3 55 6m∠DH-35威 23 【分析】(1)根据矩形的性质可得∠BAE=∠ABF=90°，结合已知条件根据SAS,即可证明 △ABE≌△BAF: (2)连接CG,过点G作GH⊥BC于点H,根据己知可得点G是△ABC的内心，设GH=r,根据 三角形的面积关系结合已知条件得出AB=3r，,即GH:AB=13,证明△FGH∽△FAB,△GAM∽△FAC, 根据相似三角形的性质，即可得出结论： (3)矩形的边AD与直线EF的夹角成60°，分以下两种情况讨论，当点H在AD的上方，点H在AD的下 方时，分别画出图形，根据直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点H作H⊥AD,垂足为N, 过点F作FM⊥AD,交AD于点M,设EN=x,根据BC=AD,建立方程，解方程求得x的值，进而根 据正切的定义，即可求解， 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：理由如下：矩形的边AD与直线EF的夹角成60°， 51194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·分以下两种情况讨论 情况一：当∠HED=60°，且点H在AD的上方时，如图1， B 图1 过点H作HN上AD,垂足为N,连接HA,HD .∠HNE=90° ∴.∠EHN=30° 设EN=x .EH =2x HN=3x DH⊥EF,垂足为H ∴∠DHE=90° .∠HDE=30° ..ED=4x, :直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分 ∴.BF=ED=4x 过点F作FM⊥AD,交AD于点M .∠AMF=90° ∴.四边形ABFM是矩形 .BF=AM=4x AB=23 MF=25 在RtEFM中，∠EMF=90° .∠MEF=60°.∠MFE=30° ∴.ME=2 .AD=AM+ME+ED=4x+2+4x=8x+2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=8 ..AD=8 .8x+2=8 解得： m=x5 AN=AM+ME+EN=4x+2+x= 23 ∴.tan∠DAH= 袋名 情况二：当∠HED=60°，且点H在AD的下方时，如图2， NM D 图2 同情况一可得 AD=AM-ME+ED=4x-2+4x=8x-2 :BC=8 ..AD=8 .8x-2=8 解得5 4 ∴HN=5x=3V5 AN-AM-ME+EN-4x-2+x=17 :tan∠DAH=H-5V5 AN 17 综上所述，tan∠DAH= 575 22.(2026湖北中考真题)在Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转a(0°<a<90°)得 53194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 到△EDC,使得AD=AE. M D 图1 图2 (I)如图1，若AD∥CE,DE与AC交于点F,作AM⊥DE,垂足为M. ①证明：△ADM∽△CED: EF ②求DF的值： ③若AC=3,直接写出AB的值. AB (②)如图2，若∠DAE=90°，直接写出AC的值. 【答案】(I)①证明：CE∥AD, ∴.∠DEC=∠ADM, :AM⊥DE, .∠AMD=90°， 由旋转得，∠EDC=∠B=90°， .∠AMD=∠EDC=90°， ∴.△ADM∽△CED: B=310 ②2；③ 4 2N5 (2)5 【分析】(1)①由平行得∠DEC=∠ADM,由旋转得，∠EDC=∠B=90°，进而得 ∠AMD=∠EDC=90°，即可证明： ②油等暖三角形三线合一的性质得EM=DM=号DE,由△MDMn△CED得记的-方，再证明 AD DM 1 2 AD DF 1 △ADF∽△CEF,则CE=EF=2,即可得解： 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD DF AF 1 ③油旋转得，AC=CE=3,AB=DE,由②可得CE EFCF2,进而可得到CF=2,设DF=x, 则EF=2x,DE=3x,在RtACDF和Rt△CDE中，由勾股定理分别表示出CD,即可得关于x的方程，即 可求解； (2)过A作AM⊥CD交直线CD于M,由AD=AE,∠DAE=90°，得到∠ADE=∠AED=45°，则 ∠ADM=∠DAM=45°，AM=MD,设AM=MD=a,CD=b,则DE=2a,再在Rt△CDE和Rt△ACM AB 中根据AC=CE列方程整理得到a=b,则AC=√5a,代入AC计算即可. 【详解】(1)①略： 解：②：AD=AE,AM⊥DE, :EM=DM=1DE 由①得△ADM∽△CED, AD DM 1 CE ED2 ,AD∥CE, ·∠DAE=LECF,LADF=LCEF, .△ADF∽△CEF, AD DF 1 CE EF 2' EF DE -2 ③由旋转得，AC=CE=3,AB=DE, AD DF AF 1 由②可得CE=EF=CF2, .CF-24C 31 ,AC=3, :CF=4C=2, 3 设DF=x,则EF=2x,DE=DF+EF=3x, 在RtACDF中，CD2=CF2-DF2=4-x2, 在Rt△CDE中，CD2=CE2-DE2=9-9x2, 55194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4-x2=9-9x2, 解得xsO 4 (负值已舍去)， 3v10 AB=DE=3x= 4； (2)解：过A作AM⊥CD交直线CD于M, M 图2 :AD=AE,∠DAE=90°， ∠ADE=∠AED=45°， :∠ADM=45°， .∠ADM=∠DAM=45°， ∴AM=MD, 设AM=MD=a,CD=b, :AD=AE=JAM+MD-a CM=DM+CD=a+b DE-VAD+AR=2a 在Ri△CDE中，CE=CD+DE2=b2+(2a}. 在RtACM中，4C=CM2+AM2=(a+b}+a2 由旋转得，AC=CE,AB=DE=2a. .AC2=CE2, .b2+(2a)}=(a+b)2+a2 展开整理得a=b, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AC=V(a+b)'+a2=/(2a)+a2=5a AB 2a 25 ∴.ACV5a5. 23.(2026黑龙江齐齐哈尔·中考真题)综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动 己知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG,BA=2·BE=1'BABE BC-BE-k.先将矩形EBFG的边BE BF分别落在矩形ABCD的边BA,BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为C,连接AE, CF D A D A D G 图1 图2 图3 图4 )【问题初探】如图1，当k=1,0°<a<90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是，AE与CF的数量关系 是 ②【类比推理1如图2，当=5：0<“<90”时，试探究4B与CF的数量关系，请写出结论，并说明 理由； )【深入探究】如图3，当=5.0<a<360 时，点M为边BC的中点，直线EC交线段BC于点W, BC EG BC 若EN=MN,则CF的长为； ④【拓展延伸】如图4，当=V5,0°<a<90 时，过点E作B01BC,季足为O,在线段E上取点P, 货BP-号巴，连接AP·者。ABP的面积为s,则g的取值范固是-， 3 【答案】(I)∠AEB=∠CFB,AE=CF CF=3AE (2)解： ,证明如下： ',四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， 57194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABC=∠EBF=90° .∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, .∠ABE=∠CBF, BC BF= BA BE ∴ACBF△ABE, CF_BC AE BA ∴.CF=V3AE 63或团 用0<5写 【分折】)证明△1BE2aCBF(SS),即可得到∠AEB=∠CFB,ME=CF, CE_BC-5,则CF=3AE (2)证明ACBF∽AABE,得到AEBA (3)分两种情况：点E在BC上方和点E在BC下方，分别画出示意图，讨论求解即可； ④过点P作pM1AB于点AM,证明△MPB∽A△OBE,推出PM-号EQ-B0,根据(B0-ED≥0.推 3 出2B0-BQ≤B0+E0:由勾股定理得B0+E0=B6=P=1,则可证明E0-B0≤分，根据 S=BPM-号0：BQ可得答家 BC BF 【详解】(1)解：当k=1时，则BABE =k=1, .BC=BA,BF =BE ',四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， .∠ABC=∠EBF=90° ∴.∠ABC-LEBC=∠EBF-LEBC, .∠ABE=∠CBF, △ABE≌ACBF(SAS) 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠AEB=∠CFB,AE=CF; (2)略 (3)解：如图所示，当点E在BC上方时，连接AN,过点B作BT⊥AN于点T, E(T) B N\M G %器=5， BC-3BA=2 :点M为BC的中点， cw-c- ,四边形EBFG是矩形， LBEG=LEGF=90°： 设EN=MN=x,则 BN BM-MN=3-x 在Rt△EBN中，由勾股定理得BN2=EN2+BE2, （5-x=x2+2 .:.r= 3 :ON 3, W=3 3 ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， AN =AB+BN=43 3， :BT⊥AN, 59194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAAON ABBN=ANBT 2x25=1x45 1 BT .2 323 BT=1, IN-VBNP-BT:- 3, BN=BN,BE-BT-1EN-TN= 3 △BEN≌aBTN(SSS) .∠BNE=∠BNT, “.E、NT三点共线，即点E与点T重合： AE=AN-EN=√5 CF=3AE=3 由(2)得 如图所示，当点E在BC下方时， B NM G ,四边形EBFG是矩形， .∠BEG=∠EBF=90°， .∠BEN=180°-∠BEG=90°， 同理可得 w=3 3, :an∠EBN= N3 BE 3, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EBN=30°： 如图所示，过点E作ET⊥AB交AB的延长线于点T, ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， ∠EBT=180°-90°-30°=60° T=BEc∠EB7-号ET=BEsn∠Br= 2, AT=AB+BT=5 , :ME=VAr2+E7=V万 ∠ABC=∠EBF=90° ,∴.∠ABC+∠EBC=∠EBF+∠EBC, ∴.∠ABE=∠CBF BC BF 又：BABE =k=√5 .△ABE∽△CBF, CF_BC=3 ·AEBA CF-AE-2I 综上所述，CF的长为3或V21: (4)解：如图4所示，过点P作PM⊥AB于点M, D G F 图4 PM⊥AB,EQ⊥BC, :∠PMB=∠BQE=90°， 61194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠MBP+∠MPB=90°， ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， .∠MBP+∠QBE=90°， ∴.∠MPB=∠QBE. .△MPB∽△QBE, PM BP .BO BE' ÷PM=BP:Q=BP-B0, BE :PB=0, .PM- 3 :(B0-E0)}≥0 BQ2+EQ-2EQ·BQ20 ,2EQ·BQ≤BQ2+E0 Rt△EBQ 中，由勾股定理得 BO2+EO2=BE2=12=1 2EQ·BQ≤BQ+EQ=1 :090s S=)4BPM=×22E0-B0=E0-80. 2 3 3 :5s2x11 323 又，S>0, 08s 24.(2026四川攀枝花中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点D是BC边上的一个动 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE,使得LDAE=∠BAC,连接CE、DE B B 图1 备用图 图2 (I)当AD=BD时，求BD的长： (2)当△ACD是等腰三角形时，求CD的长： (3)当AD⊥AC时，求DE的长（用图2）. 25 【答案】0) 25 25,8,8. 3)6 【分析】(I)如图：过A作AF⊥BC于F,易得BF=FC=4,AF=3:设AD=BD=x,则DF=4-x, 在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求解即可： (2)分CD=AC、AD=CD、AC=AD三种情况求解即可： (3)如图：过A作AH⊥BC于G,由(1)可得：AC=5,AG=3,CH=3,设DH=z,则CD=4+z,利 用勾股定理列方程可求得DH三二，进而得到AD=再证明。MBC∽A4DE,最后利用相似三角形的性 求解即可. 【详解】(1)解：如图：过A作AF⊥BC于F, E B ..AB=AC=5,BC=8, .BF-FC-2BC-4.AFB-BF-3 设AD=BD=x,则DF=4-x, 在RIAADF中，AD=DF2+AF2, 63194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-+,解得：空。 :BD=25 8· (2)解：①当CD=AC时， AC=5, .CD=5: B D ②当AD=CD时，由(1)可知：AC=5,AG=3,CG=4, 设AD=DC=y,则GD=4-y, A 1 GD 在Rt△ADG中，AD2=DG+AG, 2=(4-+3,解得：y=25 8 CD=25 8; ③当AC=AD时，点D和点B重合，即CD=BC=8. 25 综上，CD的长5,8,8. (3)解：如图：过A作AH⊥BC于H,由(1)可得：AC=5,AH=3,CH=4, D H 设DH=z,则CD=4+z, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD:=DH+AH'CD2-AC2 +3=(4+小-5，解得：8=子，即DH= 9 4， ,线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE, ∴.AD=AE, ∠ADE=080-∠DaE). 同理： ∠ABC=180°-∠B1C), ∴∠ABC=∠ADE, .△ABCn△ADE, AB BC ·ADDE· 58 :15DE 4 解得：DE=6 25.(2026江苏苏州中考真题)如图，P是以AB为直径的⊙0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0 的切线，BCIIOP,D为OB的中点，连接DP交OC于E, (I)求证：PC是⊙O的切线： (②)若0A=2,PA=4」 ①求BC的长： 65194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②求tan∠PEC的值. 【答案】4)证明：~PA为⊙0的切线， .PA⊥OA, .∠PA0=90°， .BC∥OP, :.∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB ..OB=OC, ∴.∠B=∠OCB. .∠AOP=∠COP ,在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP △AOP≌ACOP(SAS) ∴.∠PC0=∠PA0=90° OC是⊙0的半径， PC为⊙O的切线， @0ac-号5：②m4PBc > 【分析】(1)由PA为⊙0的切线，得到∠PA0=90°.根据平行线的性质得到 ∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB,结合∠B=∠OCB,得到∠AOP=∠COP,从而证 △AOP≌ACOP(SAS) 因此∠PC0=∠PA0=90°，即可得证结论： (2)①连接AC,通过解直角三角形得到 os∠A0P=A0V5 OP5,因此 osB=c0s∠AOP=V5 ,由AB是 ⊙O的直径得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中解直角三角形即可求解： ②方法-：取OC的中点p:连接Dp,则0F=CF-0C=L,根折4OP2,COP得到PH=PC=4根 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF DF 1 据三角形中位线的性质得到DF∥BC, 5.证明△DEF∽△PEO,得出OEOP5,进 而可求出CE,从而在Rt△PCE中，根据正切的定义即可求解： 方法二：过点D作DG川OC,交PO的延长线于点G,证明△ODG∽aBOC,根据相似三角形的对应边成比 例求出OG,DG,进而求出PG.再证明△POE∽aPGD,求出OE,即可求出CE,从而在Rt△PCE中，根 据正切的定义即可求解 【详解】(1)略 (2)解：①连接AC。 D :在RtAAPO中，OA=2,PA=4, OP=VO+PA=2/5 cos∠AOP= A02V5 0P255. :∠B=∠AOP, :.cosB=cos∠A0P= 5 5 ·AB是⊙O的直径， .AB=2OA=4,∠ACB=90° √545 BC=AB·cosB=4× 55. ②方法=（取oc的中点p:连接DF,则0F=CF-0C-分21， 67194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AOP2aCOP .'PA=PC=4. :点D,F分别为OB,OC的中点， ∴DF是△OBC的中位线， .DF∥BC, c.25 DF=2 . :BC∥OP, ..DF IOP, ∴.△DEF∽aPEO, 25 ..EF DF =51 0Eop25-5 EF=1F0=1 6 6 CE=EF+CF=7 6 tan∠PEC=PC-4_24 在 IAPCE中， CE 77 6 方法二：过点D作DGI‖OC,交PO的延长线于点G, G D B .∠ODG=∠BOC :BC∥OP, .∠GOD=∠B. ..AODGABOC, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OG DG OD 1 ·BC OC B02 00=8c-5D0=0c=-l, PG=P0+0G=25+25_125 5 5 ..DGIOC ∴.aPOE∽aPGD, 25 OE :P0_0E,即25 1, PG DG 5 :06=3 6 :CE=0C-0E=2-5=7 66 ,△AOP≌ACOP .PA=PC=4. tan∠PEC= PC424 在 中， CE=7=7 Rt△PCE 6 26.(2026内蒙古中考真题)综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD,将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶 点A重合放置，记该三角形为△AEF.顶点E,F分别在正方形的AB,AD边上，如图I.现将△AEF绕 点A按逆时针方向旋转a角，其中0°<a<90°，得到△AE'F',连接BE,DF',如图2. D 图1 图2 图3 (I)初步探究：猜想线段BE'与线段DF的数量关系，并说明理由： (2)深入探究：在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE'与BE'互相垂直时，AE'交EF边于点 69194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M,E'F'交AD边于点N,如图3. ①求证NANF'=D.NE': ②求△AEM与△AFM面积的比值 【答案】I)BE'=DF',理由如下： ',四边形ABCD是正方形， :AB=AD,∠BAD=90° :AE=AF,∠EAF=90°， 由旋转可得，AE'=AF,∠E'AF'=90° .∠BAD=∠E'AF'=90°， .∠BAE=∠DAF', △BAE'≌△DAF'(SAS) .BE'=DF': (2)①证明：AE⊥BE', .∠AE'B=90°. 由(1)可得，△BAE'≌△DAF', :∠AE'B=∠AF'D=90, .∠EAF'=90°， .∠E'AF'+∠AF'D=180°. ∴.AE∥DF', NA NE' ND NF'' ∴NANF'=NDNE': 4 ② △BAE'≌△DAF'(SAS) 【分析】(1)证明 即可： (2)①证明AE'∥DF',再由平行线分线段成比例定理求解即可： ②过点F作FH11F交4E'的延长线于点H,先求出BE'=VAB-AE=12, 然后证明△AFH∽△BEA 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求出H=2 EM AE 4 再由△4EM∽△HFM,得到FMFH3,再由共高三角形面积比等于底之比求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：①略 ②过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H, M H B 图3 由题意得，AB=15,AE'=AE=9 .∠AEB=90 BE'-VAB-4E-12 :正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∠1=∠3=90°-∠2， :∠AFH=∠BE'A=90°， .△AFH∽△BEA, FH AF ·AEBE, FH 9 .912 FH=27 4 .∠HFD=∠BAD=90°， .FH∥AE, ∴.△AEM∽△HFM, EM AE 94 ·.FMFH273, 4 71194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAAEM EM 4 :SAAFM FM 3, 4 即△4EM与△AFM面积的比值为3. 27.(2026陕西中考真题)问题探究 图① 图② 图③ (1)如图①， AD是△MB 的角平分线，若5m识m=3:2 ,则B:4C 的值为 (②)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=8O°，点D,E在边BC上.若BE.CD=AB2,求∠DAE的 度数； 问题解决 (③)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路 将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物：为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄 水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道， 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ,DP为小路，小路的出口P,Q分别在农田边界AB,BC 上，A0与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道.根据种植需求， △ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短. 己知AD‖BC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m，BC=720m,请你帮助该村计算在满足种植需求 OCD 的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形 .1m 区域的面积.（结果精确到“·小路的宽，蓄水 池的大小均忽略不计) 【答案】4)2 (2)50° 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 155077m2 3 【分析】(I)过点D作DE上AB,DG⊥AC,垂足为点E,G,根据角平分线性质定理得到DE=DG,再 由三角形面积公式求解即可； (2)证明△ABE~△DCA,，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可： (3)先证明△D1∽△1B0:得到∠AMD=90,取AD的中点E·连接ME.BE,则4E=)AD,则点 M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM=AE,故当点B,M,E三点共线时，BM取得最小 值，过点M作MFLD交0，BC于点F,G,多 于点，然后由 △AEM∽△QBM.QBMF 求出， ，再证明四边形 AOCD 是平行四边形，最后由aeum=S4e心5.心求解 【详解】(I)解：过点D作DE⊥AB,DG⊥AC,垂足为点E,G, E D 图① :AD是△ABC的角平分线， .DE=DG, 1 S△42=2 ×AB×DE3 ∴.SAACD 1 ×ACxDG 2, AB 3 C2: (2)解：∠BAC=80,AB=AC, ∠B=∠C-180°-，∠B1C=50. ..BE.CD=AB2. BECD=AB·AC, 73194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE AB AC CD' .△ABE-△DCA, ∴.∠BEA=∠CAD :.LBEA-∠EAC=LCAD-∠EAC, ∴∠C=∠DAE=50°： (3)解：AB⊥BC, .∠ABC=90°， :ADI‖BC, .∠BAD=180°-∠ABC=90°， 1 S△MADP= DxAP 400AP25 :.SAABQ ABx BO 480BQ36, AP 5 ..BO 6' AD4005 AB4806 AP AD BO AB' :∠DAP=∠ABQ=90°， △DAP∽△ABQ .∠ADP=∠BAQ, ∠ADP+∠MAD=∠BAQ+∠MAD=∠BAD=90°， ∴.∠AMD=90°. 取AD的中点E,连接ME.BE,则4E-4D=200(m). ,点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM=AE=200m, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D Q :BM+ME≥BE, ∴.BM≥BE-ME, ∴.当点B,M,E三点共线时(M在线段BE上)，BM取得最小值，如图： D 过点M作MF⊥AD交AD,BC于点F,G, .∠BAD=90°， :BE=√AE2+AB=V202+4802=520(m) BM=BE-EM=520-200=320(m) 此 :AD‖BC,MF⊥AD, .MG⊥BQ, ·四边形ABGF是矩形， FG=AB=480(m) AD川BC, △AEM∽△QBM AE EM MF OB MB MG' 200_200 MF ·QB320 480-MF: 75/94 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·QB=320, MF=2400 13· CQ=BC-QB=720-320=400(m)=AD ADI BC. .四边形AQCD是平行四边形， S四边形MeCD=S,A0CD-S.AWD =400×480-1X 400×2400_2016000≈155077(m2) 13 13 答：当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积为155077m2. 28.(2026四川甘孜中考真题)平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，两 对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE是平行四边形， CE AF =k AE BF 【初步感知】 1)如图1，连接BD,CD,则∠1+∠2+∠3=_度： B133 方 图1 【变化探寻】 (2)如图2，AB=10,AC=15,固定点D,当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相 等 图2 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【深入探究】 )如图3，固定点D,若移动点B到点B',则点C随之移动到点C'. ①判断线段CC与BB的位置关系与数量关系，并说明理由： ②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角 形一描率时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积。《用合人的代数式表示） 、B 图3 【答案】(1)180 回*-号 80BgCC,s-cC,理由如下： 1 k 如图，连接BC,B'C, 图3 同(I)可得∠BDF+∠EDF+∠CDE=180° .B,C,D,B,D,C三点共线， F'D∥AC, .△B'F'D∽aB'A'C', B'D B'F 1 DC AF' 77194 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :FD∥AC, BD BF 1 DC AF k BD B'D 1 DC DCk 又：∠BDB'=∠CDC', ∴aBB'DACC'D. BB'BD 1 六∠DBB=∠DCC',CC=DC=R, 1 BB'//CC, BB'=-CC ②2k2. CE AF 【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AE=DF,AF=DE,∠AED=∠AFD:根据AEBF k可得 CE ED DF FB =k,进而证△CED∽△DFB:可得∠I=∠C,又∠2=∠CED,可得∠I+∠2+∠3=180°： C)②设AE=DF=xBF=y,则CE=a,AF=DE=,证明sEDCAEF,得出- v. 证明 x=3 △BFD∽ABAC得出y2,即可求解： 3)①连接BC,B'C',证明△B'FD∽aBAC',△BB'D∽aCC'D,根据相似三角形的性质，即可得出结论： ②依题意，L,与L,是关于点D的位似图形，且位似比为，则面积比为2，求得L,的面积，即可求解. 【详解】(1)解：，四边形AFDE是平行四边形， .AE=DF,AF=DE,∠AED=∠AFD,AE∥FD, :∠AED+∠CED=180°，∠AFD+∠DFB=180° .∠CED=∠DFB CE AF =k :AE BF 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE ED DF FB k .△CED∽△DFB, .∠1=∠C, :AE∥DF, .∠2=∠CED」 ,∠C+∠CED+∠3=180°， .∠1+∠2+∠3=180°： (2)解：，四边形AFDE是平行四边形， .AE=DF,AF=DE,FD∥AC, 设AE=DF=x,BF=y,则CE=G,AF=DE=y, ,∠A=∠A,∠AEF=∠B, 、.∠AEF∽AABC. :DE∥AF, .∠EDC=∠B,∠DEC=∠A .∠EDC=∠AEF, .△EDC∽△AEF, AE AF DE EC' x ky 即’ :FD∥AC, .△BFDABAC, AC DF .ABBF· :AB=10,AC=15. 79194 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .x_153 ÷y102' 2 := 9 y 4 9 :当k=4时，在移动点B的过程中，始终有∠ABF与∠B相等。 (3)①略 B'D 1 ②由①可得DCk: 1 依题意，L,与L,是关于点D的位似图形，且位似比为，则面积比为2， ,等腰直角三角形L,的边长为2，面积为2 ×2×2=2 k2 ∴.图形的面积为 29.(2026贵州中考真题)小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： A D B E 图① 图② 图③ 【动手操作】如图①，在直线I的两侧有两点A,B,小红要在直线I上确定一点P,使AP+BP最短. (1)请帮小红确定点P的位置，并画出图形： (2)解决该问题的依据是 【问题探究】 )如图②，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一个动点，连接EF,CF, ∠DBC=30°，BC=25,当EF+CF的值最小时，求线段EF的长： 【拓展延伸】 4)如图③，在四边形ABCD中，ADI‖BC,BD=CD,CE⊥BD,垂足为E,∠A=2∠ADB,AD=1, AB=3,若点P是线段BC垂直平分线上的一个动点，连接BP,EP.确定点P的位置使aBPE周长最小， 并求出该周长的最小值. 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】)如图①，点P即为所求； B 图① (2)两点之间线段最短 3)1 4V3+4v6 4)3 【分析】(1)连接AB与直线I的交点即为点P; (2)依据为两点之间线段最短： (3)过点C作BD的对称点T,CT交BD于点S,连接FT,ET,ET交BD于点O,则 EF+CF=TF+EF≥TE,故当点F与点O重合时，EF+CF取得最小值，如图，连接ES,然后证明 FE⊥BC,再解RtABEF即可； (4)过点D作DF⊥BC于点F,过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,先判断点P在直线DF上， 连接PE,PB,PC,确定ABPE周长的最小值为BE+CE,先证明△MCD∽△DCB,再利用△DBF∽aCBE 求解即可， 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点C作BD的对称点T,CT交BD于点S,连接FT,ET,ET交BD于点O, .CS⊥BD,FT=FC, .EF+CF=TF+EF≥TE」 81194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .当点F与点Q重合时，EF+CF取得最小值，如图，连接ES, T D F B :CS⊥BD,点E为BC中点，∠DBC=30°， =ES=EC=-BC-23=3RCS-906-DBC-6082 .△ESC为等边三角形， .SE=SC=ST, :.∠SEC=∠SCE=∠ESC=60°， :C,T关于BD对称， ..CS=TS, .ST=ES, .∠T=∠SET, .∠T+∠SET=∠ESC, ∴.∠SET=∠T=30°， .∠TEC=∠SET+∠SEC=90°. .FE⊥BC, EF=BExtan∠DBC=V5x5-L 3: (4)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A M ..DB=DC, .BF=CF,∠DBC=∠DCB .DF垂直平分BC, ∴.点P在直线DF上， 连接PE,PB,PC, .PB=PC, .PE+PB=PE+PC≥CE, .当点P在CE上时，PE+PB取得最小值即为CE, CAnE=BE+PE+PB,BE不变， ∴.△BPE周长的最小值为BE+CE, :AD∥BC,CM∥AB ∴.四边形ABCM是平行四边形， .CM=AB=3,∠A=∠BCM,BC=AM, :AD‖BC, :∠ADB=∠DBC,∠MDC=∠DCB .∠ADB=∠DBC=∠MDC=∠DCB, 设∠ADB=∠DBC=∠MDC=∠DCB=a, ,∠A=2∠ADB, .∠A=∠BCM=2a, ∴.∠DCM=∠BCM-∠DCB=a, .∠MDC=∠MCD=∠DCB=∠DBC, 83194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .MD=MC=3,△MCD∽△DCB .BC=AM=AD+DM=1+3=4. MC DC DC CB 3 CD .CD4· CD=23 解得 (舍负)， :D=2V5 BF=CF=IBC=1x ×4=2, 2 DF=VCD-CFE-2 :CE⊥BD 、.∠DFB=∠CEB=90°， ,∠DBF=∠CBE, .△DBF∽aCBE, DB DF BF CB CE BE 25_22_2-3 ∴4CEBE2, 2√2+2√5 ∴.CE+BE2, :CE+BE=43+4v6 3, 4V3+4V6 .△BPE周长的最小值3. 30.(2026云南中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是O0的直径.点P在BA的延长线上， 且PC2=PAPB.点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙O相交于点D,与线段BC相交于点N,DH⊥AB于点H,线段DH与线段BC相交于点F,连接OF 记△OPD S,aOFH的面积为 2 的面积为 1)求证：直线PC是OO的切线： 2)若1B=2W2.BE=6N6 求线段P以的长 (3)观察，探究，发现与证明： 以下三个结论： S<S,S=,了>S,你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论. 【答案】1)证明：如图1，连接OC, 图 PC2=PA.PB, PC PA PB PC' 又：∠P=∠P, .△CBOAPAC, ∴∠PCA=∠PBC, :AB是⊙0的直径，OA=OC, .∠ACB=90°，∠OAC=∠OCA. 85/94 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠PBC+∠0AC=∠PCA+LOCA=LOCP=90, 又：OC是⊙0的半径， ,直线PC是⊙O的切线： 1421 (2)11 >5, 证明如下： 如图2，连接BD, H 图2 :O为AB的中点，点M是BE的中点， .OM是△ABE的中位线， .OM∥AE. .∠ACB=∠ONB=90°， ,DH⊥AB, .∠OHD=90°， :∠ODF+∠D0H=LOBF+∠D0H=90°， .∠ODF=∠OBF, .OD=OB ∴.∠ODB=∠OBD .∠ODB-∠ODF=∠OBD-∠OBF,即∠BDF=∠DBF, .DF=BF, 在Rt△BFH中，∠BHF=90°，BF>BH, ∴，DF=BF>FH, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.op-S,-DF.OH,S.om=S3-1FH-OH 2 0F0H>FH-0H,即S>s 【分析】(1)连接OC,根据题意证得△PCB∽aPAC,得∠PCA=∠PBC,再由AB是⊙O的直径， OA=OC,证得∠OCP=90°即可证得结论： Co_PC 21 14 (2)首先证得∠ABE=90°，然后，证得△PCO∽△PBM,得BMPB3V66,，再由(1)知 PC_PA14 PBPC6,设PA=V14x,则PC=6x,由PC2=PAPB,得 B=18/14 X,再由PB-PA=AB, 7√6 得=T,最后代入x值可求得PA的长， (3)连接BD,首先证得OM是△ABE的中位线，得OMI‖AE,进而得∠ACB=∠ONB=90°，然后由 DH⊥AB得∠OHD=90°，证得LODF=LOBF,再由OD=OB得LODB=∠OBD,得∠BDF=∠DBF, 进而得DF=Br>F,最后由Som=S=号DF-0H,Sm==FH-0H可证得结论. 【详解】(1)略 (2)解：0为4 的中点，4B=2V2 AO=B0=√21 :AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠BCE=90°， .∠PCA+∠BCM=90°， 又“点“是线段BE的中点，BE=66 CM-BM-EM=316 87194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠CBM=∠BCM, 由(I)知∠PCA=∠PBC, :.∠PCA+∠BCM=∠PBC+∠CBM=∠ABE=90°， .∠OCP=∠PBM=90°， 又∠P=∠P, .△PCOAPBM, CO PC 21 14 .BM PB 36 6. PC PA 14 由(1)知PBPC6, 设PA=4r,则PC=6 :PC=PAPB,即(6=i4xPB :PB=184 7 PB-P4=4B.B74x-4x=21 -7V6 ,解得=， PA=14x76_142i 11 11 (3)略 31.(2026湖北武汉·中考真题)下图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点， △ABC的项点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超 过五条 图1 图2 I)如图1，先在AB上画点D,使∠BCD=45°，再画点A关于点D的对称点E; 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，P是边AC与网格线的交点，先将AB平移到FP(P是点B的对应点)，再在FP上画点G, 使∠BGP=∠APF 【答案】（①）如图：点D、点E即为所求 图1 (2)如图：点FP、点G即为所求. B 图2 【分析】(1)如图1：取格点F使得BF=BC,∠FBC=90°，连接CF与AB相交于点D:利用等腰直角三 角形可知∠BCD=45°，即点D即为所求；取格点H,使得GH∥CF且AF=FG,利用相似三角形可知 AD=DE,则点A、点E关于点D对称，即点E即为所求： (2)设每个小正方形边长为1，如图：2先将点A向右平移2.5，再向上平移1得到点F,连接FP即为所 求：先作AB的垂直平分线交AC于H,则AH=BH,即∠BAH=∠ABH;又AB∥PF,则 ∠BAH=∠APF,∠APF=∠BGP,∠APF=∠BGP ,则 ,即点G即为所求 【详解】(1)解：：BF=BC,∠FBC=90°， ∴，△BCF是等腰直角三角形， .∠BCD=45°，即点D即为所求： 如图：由作图过程以及网格可得：AF=FG,GH∥CF, .△AFDAAGE. 89/94 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD AF 1 AE AG 2 ∴.AD=DE, ∴.点A、点E关于点D对称，即点E即为所求： (2)解：设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B向右平 移2.5，再向上平移1得到点P, ∴同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A向右平移2.5，再向上平移1得到点F,连接 PF即为所求： AB∥PF, 如图2：过D作DI垂直于格线，则四边形DIOL是矩形 B 图2 由格点图知，L为AP中点， 则由平行线分线段成比例定理可知D为AB中点， DOI-DL-. 同理J为NK中点，E为NM中点， 1 :E=2KM=2 E=3+3分4=AP,01=DL=2》 22 :DI=BP,∠APB=∠DIE=90° :△ABP≌FDI(SAS) .∠DEI=∠PAB, .∠ALD=∠OLE. .∠ADL=∠LOE=90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD=BD, .DE是AB的垂直平分线，且交AC于H, .AH BH, .∠BAH=∠ABH, ,AB∥PF, .∠BAH=∠APF,∠ABH=∠BGP ·.∠APF=∠BGP,即点G即为所求。 32.(2026湖北武汉中考真题)将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE,连接AE交边CD 于点F,DG平分∠CDE交AE于点G,连接CG、CE, 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ∠DAE=∠DEG=∠DCG). (Q)如图2，连接BD交AE于点H,求证：AF·AE=2AH,AG. ®吻图3，点K在线段1E上，K-CG,连接CK·石4B4直接写出CK的最小值。 【答案】I)证明：：DG平分∠CDE, .∠CDG=∠EDG, ,正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE, .AD=CD=DE, .DG=DG, △DCG≌△DEG(SAS) .CG=EG,∠DEG=∠DCG, AD=CD=DE, .∠DAE=∠DEG. .∠DAE=∠DCG, 91194 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AFD=∠CFG, .∠CGF=∠ADF=90°， .∠CGE=90°， ,:.△CGE是等腰直角三角形， (2)证明：由(I)证得△DCG≌aDEG,∠CGE=90°， ∴∠CGD=ZEGD=2660°-90)=135°， ∴.∠AGD=180°-∠EGD=180°-135°=45°， .∠AGD=∠ADB=45°， 又：∠DAG=∠FAD, ∴.△ADH∽△AGD, AD AH ∴AGAD,即AD=4H:AG①， 如图：过D作DM⊥AE于M,则∠AMD=∠ADF=90°， D HMF B .∠DAM=∠FAD, ∴.△ADM∽△AFD, AD AM ·AF=AD,即AD=AMAF②， :AD=DE,DM⊥AE, 太AM=EM=AE 4AD=AMA=号4EAF 由O@两武得，4H4G=4E~4F,即A-AE=2H:AG g)v54-v2 【分析】(1)先利用正方形的性质证明 DCG≌DEG(SAS)可得CG=EG,∠DEG=∠DCG,再证明 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CGE=90°，即可证明结论： AD AH (2)由(1)证得ADCG≌ADEG,∠CGE=90,证明。4DH∽aAGD可得AG=AD,即 0广=M.c0:图：过D作M1E于M.月2D=∠0F= ,证明41 DMAFD 可得D,即AD=AM:4F②：利用等腰三角形的性质可每AM=EM-)证，即 ADAM AD=AM,AF-,AP,最后结合①②即可证明结论： AM 1 (3)如图：取AD中点M,连接KM·即AD2,可证△AKM∽aEGD得 ∠AKM=∠EGD=135°：再说明K点在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，当K点运动到OC 上时，即O、K、C三点共线时， CK CKmnin =OC-OK 取得最小值 【详解】(1)略 (2)略 AM 1 (3)解：如图：取AD中点M,连接KM:即AD2,由(I)可得CG=EG: D 1 .AK=CG AK=IEG 2 AK 1 .EG2' 93194 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM_AK_1 ADEG2· AD=DE, AM AK 1 ·∠K4M=∠GED,DE=EG2 ∴.△AKM∽aEGD, ∴∠AKM=∠EGD=135°， :K点在以O圆心，OA为半径的圆上运动， 当K点运动到OC上时，即O、K、C三点共线时， CK取得最小值 CKmnlin =OC-OK 如图：过O作OH⊥BC于H,交AD于P,在圆O上取一点N,连接AN,MN,则四边形 MKAW是圆O的内接四边形， .∠AKM+∠AWM=180°， .∠AKM=135°， .∠ANM=180°-∠AKM=45°， .∠AOM=2∠AWM=90°， P=0p-4M=1, :OK =04=AP+OP=OH=OP+PH=1+4=5 CH-BC-BH=4-1-3 0C=V52+32=V34 CKmin=OC-OK=√34-√2 .C 的最小值为V3网-V2