专题24 圆的有关位置关系（4考点36题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题24圆的有关位置关系试题汇编，覆盖切线判定与性质、三角形内切圆、位置关系4考点共36题，精选2026年多地区中考真题，突出作图融合、生活建模等创新考法。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|23题|切线判定结合直径、等腰、菱形背景；切线性质关联双切线模型；内切圆涉及内心角平分线性质|分层设问（证明+计算），多路径证明，阴影面积与相似综合| |选填题|13题|位置关系含动态平移、坐标建模；内切圆半径计算；圆内接四边形角度转化|生活情境（团扇、剪刀），尺规作图生成背景，动态分类讨论|

西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题24圆的有关位置关系(4考点36题) 中考命题规律 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 解答必考核心，依托直径、等 作图融合：尺规作图生成切线背 腰、菱形、圆内接四边形等背景 景：情境创新：团扇、等边圆内接 考点01切线判定 证切线；常规思路连半径证垂 模型：开放设问：补充条件证切 定理 直，搭配勾股、全等导角，分层 线，多路径证明；综合联动：阴影 设问（证明+线段面积计算）。 面积、相似线段求值。 选填基础、解答过渡工具，核心 生活建模：剪刀、团扇实物抽象切 “切线⊥半径”，结合切线长相 线：割补创新：切线与正方形组合 考点02切线性质 等、切线角导角度，常搭配矩 定理 求阴影；双切线模型：全等+等腰 形、扇形、双切线模型求弧长、 综合，三角函数求值。 线段。 侧重内心角平分线性质、内切圆 模型融合：内心+外接圆双圆组 半径计算，结合直径直角、圆周 合；计算创新：面积法求内切半 考点03三角形内 切圆 角综合，多与切线判定大题嵌套 径；规律探究：内心衍生等腰线段 设问。 等量关系。 考点04点直线 基础选择判断距离与半径大小， 动态创新：直线平移判断交点个 /圆位置关系 1/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数：坐标建模：平面直角坐标系定 中档结合动点、坐标系，压轴融 点定圆：分类创新：分相交相切 入线段最值分类讨论。 相离多情况求值。 真题考点精练· 品 考点01切线的判定定理 1.(2026广东·中考真题)如图，直线AB经过⊙0上的点C,且AC=BC,∠0AB=40°，∠AOB=100° 求证：直线AB是⊙O的切线。 2.(2026山东德州中考直题)如图，在O0中，点4为O0上一点，点D是1C的中点，BC是O0金 °是 的直 径.过点A作OO的切线交BC的延长线于点E,连接OD并延长交AE于点F,连接CF. (1)求证：CF与⊙O相切； (②)若AF:EF=1:2,CF=2,求阴影部分的面积. 3.(2026四川眉山中考真题)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，对角线AC 平分∠BAD交BD于点E,点F在AB的延长线上，且满足∠BCF=∠BAC. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B F 0 (I)求证：CF是⊙O的切线： ②)若CE=3,BE=5,求⊙0的半径. 4.(2026江西·中考真题)如图，AD为⊙O的直径，AD=4,B,C是⊙O上的点，四边形OABC为菱 形. B D Q)求4C的长， (2)延长AD到点P,使得DP=2,求证：PC是OO的切线. 5.(2026湖南中考真题)如图，在等腰△OAB中，OA=OB.在OA上取一点E,以O为圆心，OE的长 为半径画弧，交OB于点F:分别以E:F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，在∠4OB内两弧交于点P: 作射线OP交AB于点C;以O为圆心，OC的长为半径作⊙O, (1)求证：AB与⊙O相切： (2)已知OA=10,AB=12,求⊙0的半径. 3/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026江苏扬州中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠BAC.以AB边上的点O为 圆心，OA长为半径的O0与AC边的另一交点为D,BD为O0的切线. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)； (②)若AC=4: tanZBAC= ,求⊙0的半径. E 作法：(1)作 ,边交于点： ∠DBC=∠A BD AC D (2)作AD的垂直平分线EF,交AB于点O: (3)连接OD,则OA=OD;(4)以OA为半径作⊙0 7.(2026四川广安·中考真题)如图，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径，过点A作射线AE交BC的 延长线于点E,使∠EAB=∠ECA, D B A Q)求证：AE是⊙O的切线； (②)过点C作CFI‖AE交AB于点F,若AF=2,AB=9,求AC的长. 8.(2026广东深圳中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接OC并延长至点D,使 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得∠CBD=∠ACO D (1)求证：BD是⊙O的切线： ②)若CD=4,BD=6,求BC的长： 3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C关于直线AB的对称点P(保留作图痕迹，不要求写出作法)· 9.(2026甘肃天水中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D,点E在 AB的延长线上，CB平分∠ECD (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)当AD=8, sin/BCE= 5时， ①填空：tan/BCE的值等于 ②求BC的长. 10.(2026四川南充中考真题)如图，在⊙0中，AB为直径，AC为切线，点D在⊙0上， ∠C+2∠B=180° A 0 D 5/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：CD是⊙O的切线 3 (2)若AC=10· cosC=5,求4B的长. 11.(2026四川自贡·中考真题)如图1，等边△ABC内接于⊙0，D为BC中点，连接OD并延长交⊙0 于点E,作EM II BC 4 A D D M E M E 图1 图2 (I)求证：EM是⊙O的切线. Q)如图2，点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与O0 的优弧 C交于点P(与点B,C不重合)， BA 连接PA,PC ①在点F运动过程中，请探究线段PA,PB,PC的数量关系并说明理由： PA+BF ②连接CE,若AB=2√3，当点P到CE的距离最大时，请直接写出PB的值. 12.(2026黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC为⊙0的直径，点E在AC 的延长线上，且∠CDE+∠ABD=90°， D (I)求证：DE是⊙O的切线： ②)若cE=8:DE=12,si☑B1C=2,求阴影部分的面积. 1 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P,连接BD,过点C 作BD的垂线，垂足为E,交直径AB于点F,交过点B的直线于点M,连接AC并延长，交MB于点N, 且CN=CM, F B O (I)求证：BM是⊙O的切线： 回活PD=2万，0F=4,求线段CE的长 14.(2026四川广元中考真题)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆O交AC于点E, F为半圆O上一点，连接BF交AC于点G,连接CF,且CF=CB, F E (I)求证：CF为半圆O的切线： 2)连接EE:若m∠AEF=2:4B=10,求4G的长 15.(2026四川凉山中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，BD是⊙0的直径，连接AC交BD于 点F,且AC=BC,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E, 7/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B I)求证：DC平分∠BDE: 2)求证：CE是⊙0的切线： 3)若⊙O的半径为5，CE=4,求DF的长， 16.(2026新疆中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AD平分∠BAC交⊙0于点D,连接BD,CD,经 过点D的直线与B的延长线相交于点B,且∠BDE=∠BAC. D I)求证：DE是OO的切线： ②)如果点I是AABC的内心，am∠B4C=12 ,BC=24,求DI的值. 17.(2026江苏苏州中考真题)如图，P是以AB为直径的⊙0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0 的切线，BCI‖OP,D为OB的中点，连接DP交OC于E. O E D 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)求证：PC是⊙0的切线； (2)若0A=2,PA=4」 ①求BC的长： ②求tan/PEC的值. 18.(2026四川巴中中考真题)如图，B是O0的直径，点C、D在圆上，D是4C 的中点，DE⊥AB 于点E,交AC于点F,AC、DB交于点G,H在AB延长线上且∠BCH=∠CAB. G I)求证：CH为⊙O的切线； (2)求证：AF=DF: 3)若DG=2,GB=3,求AD的长. 19.(2026云南中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径.点P在BA的延长线上， 且PC2=PA·PB.点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与 OO相交于点D,与线段BC相交于点N.DH⊥AB于点H,线段DH与线段BC相交于点F,连接OF. 记△0FD S AOFH S2 的面积为， 的面积为。 (I)求证：直线PC是⊙O的切线： 2)若1B=2W2ī、BE=6 6,求线段P4的长 9/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)观察，探究，发现与证明： 以下三个结论： S<S2 S=S,S1>S2 你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论 考点02切线的性质定理 1. (2026安徽中考真题)如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD的各边与 HNM 所在的圆分别相切于点E,M,H,N丽，BN所在圆的圆心分别是E,F.则图中阴影部分的 面积为() D M B. c7- D.7-5π 4 2.(2026河南中考真题)团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”.劳动课上，小红想在自己制作 的团扇边缘选一段弧进行装饰.如图，已知扇面边缘为⊙O,扇柄所在直线经过圆心O,她过扇柄端点P 作P1,PB分别与0相切于点，B,得到仍.若O0的半径为 ⊙0 cm∠APB=60° ,则小红想要装饰 的 的长为() B A.3πcm B.6πcm C.9πcm D.27πcm 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026湖北中考真题)如图，PA与O0相切于点A,连接P0并延长交⊙0于点B,连接AB.若 ∠B=24°，则∠P的度数是() B A.42° B.48o C.56° D.66° 4.(2026江西·中考真题)生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄 和指圈.当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切.已知AC与BD相 交于点O,CE为半圆的直径，OC=9,CE=6,则此时张角∠AOB的大小为 剪 指圈 剪柄 图1 图2 5.(2026四川甘孜中考真题)如图，AB,BC,CD分别与⊙0相切于E,F,G三点，且ABI‖CD (1)判断OB与OC的位置关系，并说明理由： 2)若B0=3,tan∠0CD=3 4,求⊙0的半径. 6.(2026陕西中考真题)如图，点A在O0上，连接OA并延长至点B,过点B作⊙0的切线，切点为C, 作弦CD⊥OA,垂足为H,作弦DE∥BC,连接CE. 11/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 H D (I)求证：CE=CD: (②)若AB=2,BC=4,求DE的长. 7.(2026广西中考真题)如图1，⊙0是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC=45°，BC=2,BD⊥AC 于点D A O。D B 图1 图2 (I)求证：OD平分∠ADB; (2)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E,求AC的长及∠CBD的度数 8.(2026四川泸州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，点C,E在⊙0上，过点C作⊙0的切线交AB 的延长线于点D,CE交AB于点F,连接AC,AE,BC. B D E I)求证：∠CAD=∠BCD: ②者AE/CD:BD=3,smD-子 3,求EF的长. 9.(2026山东烟台中考真题)如图，△ABC中，∠C=90°，0是边AB上一点，以0B为半径作O0,分 别与BC,AB交于D,E两点，与AC相切于点F,连接EF,BF. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F E (1)求证： EF=FD (②)试用等式表示线段BE,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论 10.(2026北京中考真题)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,AC为⊙0的直径，过 点B作AC的垂线，垂足为E,交OO于点D,连接OP,CD B (I)求证：∠ACD=∠POA: (2)连 PC交BD于点R,若CE=2.am∠1CD=5,求BF的长. 考点3三角形的内切圆 1.(2026四川广元中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，点E为△ABC的内心，CE的延 长线交o0于点P,连接，若4C=5,护-1B9 2,则CE的长为() 13116 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C ⊙ F 3v2 A.2 B.25 C.5-V2 D.1+√2 2. (2026四川泸州中考真题)若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2-6x+2=0的两个 实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为() -2 2-2 A.3-2√2 B.2 C.6-4V2 D.2 3.(2026四川宜宾中考真题)如图，已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,点P在BC边上运动， 连接AP,当△ABP和△APC的内切圆半径相等时，设BP=t,则AP=一（用含t的代数式表示）· 考点04圆内接四边形 1.(2026河北中考真题)如图，在00 中， ACB 所对的圆心角为150，点D在C 上.若∠CB0=0 则∠ADC=() B A.90°+n° B.180°-n° C.195°-n° D.2n° 2.（2026江苏扬州中考真题)如图，C是以1B为直径的00上一点，点D在8C上. ∠ABC=20° 则 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CDB= D B 3.(2026天津中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C在网 格线上，以AC为直径的半圆经过点B. B (I)线段AB的长为 (II)点M在线段BC上，点N在线段AM上，满足∠BNM=∠CNM=∠ACB.请用无刻度的直尺，在 如图所示的网格中，画出点M，N,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明） 4.(2026福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于OO,E是DC延长线上的一点，EB的延长线 交⊙O于点F,AB=BD,∠CBE=∠ABD=60°. D F B E (1)求∠E的度数： 15116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q)求证：四边形AFEC是平行四边形： CG 2 BD B)设CF交BD于点G,且FG3,求AC的值.西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题24圆的有关位置关系(4考点36题) 中考命题规律 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 解答必考核心，依托直径、等 作图融合：尺规作图生成切线背 腰、菱形、圆内接四边形等背景 景：情境创新：团扇、等边圆内接 考点01切线判定 证切线；常规思路连半径证垂 模型：开放设问：补充条件证切 定理 直，搭配勾股、全等导角，分层 线，多路径证明；综合联动：阴影 设问（证明+线段面积计算）。 面积、相似线段求值。 选填基础、解答过渡工具，核心 生活建模：剪刀、团扇实物抽象切 “切线⊥半径”，结合切线长相 线：割补创新：切线与正方形组合 考点02切线性质 等、切线角导角度，常搭配矩 定理 求阴影；双切线模型：全等+等腰 形、扇形、双切线模型求弧长、 综合，三角函数求值。 线段。 侧重内心角平分线性质、内切圆 模型融合：内心+外接圆双圆组 半径计算，结合直径直角、圆周 合；计算创新：面积法求内切半 考点03三角形内 切圆 角综合，多与切线判定大题嵌套 径；规律探究：内心衍生等腰线段 设问。 等量关系。 考点04点直线 基础选择判断距离与半径大小， 动态创新：直线平移判断交点个 /圆位置关系 1/76 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数：坐标建模：平面直角坐标系定 中档结合动点、坐标系，压轴融 点定圆：分类创新：分相交相切 入线段最值分类讨论。 相离多情况求值。 真题考点精练· 考点01切线的判定定理 1.(2026广东中考真题)如图，直线AB经过⊙0上的点C,且AC=BC,∠OAB=40°，∠AOB=100°， 求证：直线AB是⊙O的切线。 【答案】证明：连接OC :∠AOB=100°，∠OAB=40° ∴.∠OBA=180°-∠AOB-∠OAB=40° ·.∠OAB=∠OBA ..OA=OB AC=BC .OC⊥AB :点C在⊙0上， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC为半径， “直线AB是⊙0的切线， 【分析】连接OC,先由三角形内角和定理求出∠OBA的度数，再证明△OAB为等腰三角形，则由三线合 得到OC⊥AB,即可证明. 【详解】略 2.(2026山东德州中考直题)如图，在o0中，点A为00上一点，点D是4C的中点，BC是O0 的直 径.过点A作OO的切线交BC的延长线于点E,连接OD并延长交AE于点F,连接CF. (1)求证：CF与⊙0相切： (2)若AF:EF=1:2,CF=2,求阴影部分的面积. 【答案】1)证明：连接OA, 是 直径，点在上， .BC⊙O ∴.C⊙0 D是 C 的中点， .∠AOF=∠COF, OA=OC ∠AOF=∠COF 在 和 中， △AOF △COF OF=OF ∴.△AOF≌△COF(S,A,S) :∠0CF=∠0AF=90°， ∴.OC⊥FC, :0OC是⊙0的半径， .CF与⊙O相切. 3/76 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2v5-2z 【分析】(I)连接OA,通过aAOF≌aCOF证OC⊥FC,再结合点C在⊙O上，即可得证； (2)阴影部分的面积 S边形0c-S影oC,通过线段转化即可求解。 【详解】(1)略 (2)解：：AF,CF是⊙0的切线， :AF=CF, AF:EF=1:2,CF=2, AF=2,EF=4, :∠FCE=90°， ∴sin∠E=FC_21 EF42, ∠E=30°， .∠CFE=90°-∠E=60° ∠0FC=∠0FA=180°-∠CFE=60° ,.∠F0C=90°-∠0FC=30°， :OF=2FC=4, 0C=25 由勾股定理得， ..roc ×2V3×2=2V5 21 S四边形0cF4=2S,0rc=4V5 60°π(25 S扇形Oc 360° ·阴影部分的面积为 四边形0cH-S偏形oc一4V5-2元 3.(2026四川眉山中考真题)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB是⊙0的直径，对角线AC 平分∠BAD交BD于点E,点F在AB的延长线上，且满足∠BCF=∠BAC. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B F 0 (I)求证：CF是⊙O的切线： (②)若CE=3,BE=5,求⊙0的半径. 【答案】1)证明：连接OC, ○ 0A=OC .∠OAC=∠OCA ∠BCF=∠BAC ∴.∠BCF=∠OCA AB是⊙O的直径 ∴.∠ACB=90° ∴.∠OCA+∠0CB=90° ∴.∠BCF+∠OCB=∠OCF=90° 又，点C在⊙0上 :.CF是⊙O的切线： .10 ②)3 【分析】(1)连接OC,由OA=OC,得到∠OAC=∠OCA,然后由圆周角定理得到∠ACB=90°，再结 合已知条件进行等量代换证明∠BCF+∠OCB=∠OCF=90°即可： 5/76 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)先由勾股定理求解BC,然后根据圆周角定理得到CD=CB=4,再由△DEC∽aAEB求出AB,即可 求解半径 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得∠ACB=90°， .CE=3,BE=5 BC=BE2-CE2=4 .AC平分∠BAD ..∠CAD=∠CAB CD-CB ∴.CD=CB=4 ,∠BAC=∠BDC,∠ABD=∠ACD ∴.△DEC∽△AEB DC CE ·ABBE 43 .AB 5 ..4B=20 3 ÷0A=4B= 12010 233 0 “⊙0的半径为3 4.(2026江西中考真题)如图，AD为⊙0的直径，AD=4,B,C是⊙0上的点，四边形0ABC为菱 形. B D )求4C 的长： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)延长AD到点P,使得DP-2,求证：PC是⊙0的切线. π 【答案】)3 (2)证明：如图2，连接CD, B 图2 由(1)可得AB/OC,∠A=60°， .∠A=∠COD=60°， .OC =OD :△COD是等边三角形， ∴.CD=OD=2,∠OCD=∠ODC=60° DP=2, :DP=CD, ∠DCP=∠P=∠0DC=30° :∠0CP=∠0CD+LDCP=90°， 又：OC是⊙0的半径， PC是⊙O的切线. 【分析】(1)连接OB.首先，证得△A0B是等边三角形，得∠A=60°，∠A0C=120°，然后，求得 04=4D=2,最后，再代入弧长公式计算即可 (2)连接CD.先证得△COD是等边三角形，得CD=OD=2,∠OCD=∠ODC=60°，再由DP=2,得 DP=CD,进而得∠DCP=30°，∠OCP=90°，即可证得结论. 【详解】(1)解：如图1，连接OB 7/76 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 ,四边形OABC为菱形， ..OA=AB,ABl/OC 又：OA=OB :△AOB是等边三角形。 ∴.∠A=60°， .∠A0C=180°-∠A=120° .AD=4, 1 ∴.OA=。AD=2 120×π×2_4π AC的长为 180 3； (2)略 5.(2026湖南中考真题)如图，在等腰△OAB中，OA=OB.在OA上取一点E,以O为圆心，OE的长 为半径画弧，交OB于点F:分别以E,F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，在∠4OB内两弧交于点p; 作射线OP交AB于点C;以O为圆心，OC的长为半径作⊙O. (1)求证：AB与⊙O相切： (2)已知OA=10,AB=12,求⊙O的半径 【答案】()证明：由尺规作图的作法可知，射线OP是∠AOB的角平分线。 ·OA=OB, ∴.△OAB是等腰三角形， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴OC⊥AB, 又：OC是⊙O的半径，且点C在AB上， ∴.AB与⊙0相切： ⊙0 (2)的半径为 【分析】(I)由尺规作图作法可知，射线OP平分∠AOB,又OA=OB,△OAB为等腰三角形，根据等腰 三角形“三线合一”性质，可得OC⊥AB,因OC是OO的半径，且点C在直线AB上，即可证AB与⊙O 相切： (2)由OA=OB、OC⊥AB,根据三线合一可知OC是底边AB的中线，则可得AC=6.在Rt△OAC中， 运用勾股定理即可求出⊙O的半径. 【详解】(1)略 (2)解：，△OAB是等腰三角形，且OC⊥AB, .OC是底边AB的中线， 4C=4812=6, 在Rt△0AC中，0C=VON-AC=10-6=8 .⊙0的半径为8 6.(2026江苏扬州中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠BAC.以AB边上的点O为 圆心，OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D,BD为⊙O的切线. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙0（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②)若AC=4, tanZBAC= ,求⊙0的半径. 【答案】I)解：⊙0如下图所示。 9/76 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 作法：(1)作 ,边交于点： ∠DBC=∠A BD AC D (2)作AD的垂直平分线EF,交AB于点O: (3)连接OD,则OA=OD:(4)以OA为半径作⊙0 35 (2)4 【分析】(1)先作∠DBC=∠A交AC于点D,再作AD的垂直平分线，交AB于点O,以OA为半径作 ⊙0即可 (2)由已知条件先求BC,进一步可求DC长度，AD长度，AF,OF均可求，最后借助勾股定理可求半径 OA长度. 【详解】(1)作图见答案， 证明：∠ACB=90°， ∴∠DBC+∠BDC=90°， :EF为AD垂直平分线， ∴.OA=OD ∴，∠OAD=∠ODA, ·∠DBC=∠A, .∠ODA=∠DBC, ∠ODA+∠BDC=90°， .∠ODB=90°， .OD⊥BD, :OD为⊙0O半径，点D在圆上， ∴BD为⊙O切线 (2)AC=4,tan∠BAC= 2 ∴.tan∠BAC= BCBC 1 AC=4=2, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=2, ∠DBC=∠A, tan∠DBC=tanLBAC= 2, DC_1 BC 2 .DC=1, AD=3, ·AF=DF=3 , tan∠OaF=OF、1 AF 2 0F=3 ∴OA= 99 4535 4 3V5 即⊙0半径为4： 7.(2026四川广安中考真题)如图，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径，过点A作射线AE交BC的 延长线于点E,使∠EAB=∠ECA, A E (Q)求证：AE是⊙O的切线； (②)过点C作CF‖AE交AB于点F,若AF=2,AB=9,求AC的长. 【答案】1)证明：连接DC, 11/76 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ， A E .∠ECA=∠B+∠BAC ∠EAB=∠CAE+∠BAC ,∠ECA=∠EAB. :∠B+∠BAC=∠CAE+LBAC, ∴.∠B=∠CAE :AD是⊙O的直径， ·∠ACD=90°， .∠D+∠DAC=90°， ∠B=∠D .∠CAE=∠D. LCAE+LDAC=90°， .DA⊥AE, ∴AE是OO的切线 g32 【分析】(1)连接DC,由题意易得∠B=∠CAE,∠ACD=90°，则有∠D+∠DAC=90°，然后可得 DA⊥AE,进而问题可求证： (2)由题意易得∠FCA=∠CAE,则有∠FCA=∠B,然后可得△ACF∽△ABC,进而可得AC2=AB·AF, 则问题可求解。 【详解】(1)略 (2)解：CF‖AE, ∴.∠FCA=∠CAE、 :∠CAE=∠B, ∠FCA=LB, 在△ACF和△ABC中， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠FCA=∠B ∠CAF=∠BAC, :△ACFn△ABC, :4C、AF AB AC, AC2=AB·AF, AB=9,AF=2, AC2=9×2=18, AC=3√2 8.(2026广东深圳中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接OC并延长至点D,使 得∠CBD=∠ACO B (I)求证：BD是⊙O的切线： 2)若CD=4,BD=6,求BC的长： (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C关于直线AB的对称点P(保留作图痕迹，不要求写出作法)· 【答案】(1) 证明：OA=OC .∠ACO=∠OAC .∠CBD=∠ACO .∠CBD=∠OAC ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴.∠OAC+∠ABC=90° ∴.∠CBD+∠ABC=90° 13/76 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABD=90°， .OB为半径， .BD是⊙O的切线： 10W13 (2)13 3)如图，点P即为所求 B 【分析】(1)由OA=OC结合己知条件得到∠CBD=∠OAC,然后根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再 由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可： (2)设OB=OC=r,则OD=r+4,先对Rt△OBD运用勾股定理求解半径r,然后利用△BOT∽△DOB 以及对Rt△BTC运用勾股定理求解即可. (3)以点A为圆心，AC为半径画弧与⊙0交点即为点P. 【详解】(1)略 (2)解：过点B作BT⊥OC于点T,则∠OTB=90° D 设OB=OC=r,则OD=r+4 :∠ABD=90°， OB2+BD2=OD2 产+6=6+4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得r 2 ..OB=OC=5 0D=13 ， 2 ,∠OTB=∠OBD=90°，∠BOT=∠DOB △BOT∽△DOB BOOD BD ·OT OB BT 513 2= 2 6 6,BT=30 07=2 13 ∴.CT=0C-0T= 525_20 22613 BC=BT2+CT2 30 2 0) 10W13 13 13 13. (3)解：连接AP,PC, D 由作图可得AP=AC, 则aP-C 再由垂径定理的推论可得AB垂直平分CP, 即可得到点P,C关于AB对称。 9.(2026甘肃天水中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD1AB于点D,点E在 15176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB的延长线上，CB平分∠ECD E (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)当AD=8, sinBCE= 5时， ①填空：tan/BCE的值等于 ②求BC的长. 【答案】1)证明：如图，连接OC, .OC=OB, ∴.∠OBC=∠OCB .CB平分∠ECD, .∠BCE=∠DCB. CD⊥AB, .∠OBC+∠DCB=90°， .∠OCB+LBCE=90°， .OC⊥CE 0C为⊙0的半径， “CE是⊙0的切线： 2)0tan∠BCE= 2:②25 【分析】(I)连接OC,由OC=OB得∠OBC=∠OCB,由CB平分∠ECD得∠BCE=∠DCB.结合 CD⊥AB,可知RtoBCD中∠OBC+∠DCB=90°，等量代换得∠OCB+∠BCE=90°，即OC⊥CE,进而即 可证明； 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①由CB平分∠ECD得∠BCE=∠DCB,在RtABCD中， sin∠DCB=BD-V5 BC=5.可得 D=5BC 5 庙约股定理得CDC,进而即可求出mBC②造接AC电4B是直径得之AC0B=90p结验 CDAR:由同角的余角相等得∠DC8=∠C4B:则可得∠C4B=∠BCE,即am∠CAB 2:在RtACD中， AD=8,由tan∠CAB=CD1 4D2得CD=4:在RtABCD中，由an∠DCB=CD=2得BD=),最终由 定理求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：①：∠BCE=∠DCB, sin∠BCE=BD-V5 BC 5, BD=/5BC 5, :BD2+CD2=BC2, .CD=2/5BC 5 5BC :an∠BCE=tan∠BCD=BD_ 5 1 CD 25BC 2: 5 ②如图，连接AC, 为的直径， :AB⊙O .∠ACB=90°， ∴.∠OBC+∠CAB=90° 由(1)可知，∠OBC+∠DCB=90°， .∠DCB=∠CAB 由(I)可知，∠DCB=∠BCE, 17176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DCB=∠CAB=∠BCE 1 ∴.tan∠DCB=tan∠CAB=tan∠BCE= 2 在Rt4CD中，：tan∠CAMB=CD-1 AD-2 AD=8 ∴.CD=4 在RtABCD中，tan∠DCB=BD-I CD 2 CD=4, .BD=2, BC=BDP+CD=2+=25 10.(2026四川南充中考真题)如图，在O0中，AB为直径，AC为切线，点D在⊙0上， ∠C+2∠B=180° A D 1)求证：CD是⊙O的切线. 2)若4C=10: cosC=3 ,求AB的长. 【答案】1)证明：连接OD, 与 分别是弧 所对的圆心角和圆周角， D C∠AOD∠B AD 、∠A0D=2∠B, 又：∠C+2∠B=180°， :.∠A0D+∠C=180°， 在四边形OACD中，∠OAC+∠C+∠ODC+∠AOD=360°， ∴.∠0AC+∠0DC=360°-180°=180°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ~AC为⊙O的切线，AB为直径， .OA⊥AC,即∠OAC=90°， ∴∠ODC=180°-∠0AC=90°，即OD⊥CD, 又：OD为⊙0的半径， ∴CD是⊙O的切线. (2)10 【分析】(1)连接OD,由同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得∠AOD=2∠B,结合己知 ∠C+2∠B=180°，推出∠A0D+∠C=180°，再利用四边形0ACD的内角和为360°，得到 ∠0AC+∠0DC=180°，而AC为切线，∠0AC=90°，于是∠ODC=90°，从而CD为切线. (2)连接OC、AD,OC交AD于点E,作AH⊥CD于点H,利用余弦的定义求CH,进而求出 AH,HD AD CE AEC≌ABDA(ASA) 可得AC等于直径4B. AC 和，利用面积法求出，再证明 【详解】(1)略 (2)解：连接OC、AD,OC交AD于点E, 由(I)知CA、CD是⊙O的两条切线， ..CA=CD .OA=OD ∴OC是AD的垂直平分线， 0C⊥AD,即∠AEC=90,且AE=ED=)AD 2 作AH⊥CD于点H, 在aMHc中，∠AiC=90e,AC=10:cos∠ACD- :.CH-AC-cosZACD=10x3-6. 5 ..AH=AC2-CH2=8 CD=CA=10. .HD=CD-CH=10-6=4, 在Rt△AHD中，AD=VAH+HD2=V⑧2+4=45 19176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.4E-4D-25. 2 又5mcE,4D=号4hcD .CE·AD=AH.CD=8×10=80, CE=80 =45 AD :AB为⊙O的直径， ∠ADB=90°， .∠AEC=∠BDA=90°， ∠EAC+∠BAD=90°，∠EAC+∠ACE=90°， ∴.∠BAD=∠ACE, AD=CE=45 、AAEC≌ABDA(ASA). :AC=BA. :AC=10 .AB=10 D 11.(2026四川自贡·中考真题)如图1，等边△ABC内接于⊙0，D为BC中点，连接0D并延长交⊙0 于点E,作EM II BC A 1o B B D M E M E 图1 图2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)求证：EM是⊙O的切线， ②如图2，点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与O0的优孤BMC交于点P(与点B,C不重合)， 连接PA,PC」 ①在点F运动过程中，请探究线段PA,PB,PC的数量关系并说明理由： PA+BF ②连接CE,若AB=2√3，当点P到CE的距离最大时，请直接写出PB的值. 【答案】I)证明：，D为BC中点，E在OD的延长线上， .OE⊥BC, ..EM II BC, .OE⊥EM, .EM是⊙O的切线： (②)PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下： 当点P在B上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA A MF :△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, c- ∴.∠APC=∠ABC=60°， .△APT是等边三角形， .AT=AP,∠PTA=60°， .∠ATC=120°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， :.∠APB+∠ACB=180°， 21176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠APB=120°， .∠APB=∠ATC, 又：AP=P .∠ABP=∠ACT, △ABP≌△ACT(AAS) ..PB=TC. ·.PC=PT+TC=PA+PB;即PC=PA+PB, 当点P在1C上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA S 1o B D MF E 同理可得∠APB=∠ACB=60°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°. .∠APB=120°， .∠APS=60°， ∴.△APS是等边三角形， .∠S=∠APB」 又，AB=AC,∠ABP=∠ACP, △SAC≌△PAB(AAS) ∴.PB=SC=PC+PS=PC+PA,即PC=PB-PA; 【分析】(1)根据垂径定理可得OE⊥BC,根据EM I BC得出OE⊥EM,即可得证； (2)分情况讨论，当点P在MB上时，在PC上取点T使得，PT=PA,证明△MBP2△ACT(MMS) 得出 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PB=TC .Cp 进而根据线段的和差关系，即可得出结论：当点P在4C上时，如图所示，在C 的延长线上取 PS=PA,证明 MC≌aPB(MS),进而根据线段的和差关系，即可得出结论： ②根据题意得出当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE,设PO,CE的交点为M,连接OC,OB,解直角 三角形，分别求得PA,BF,PB的长，再求比值，即可求解 【详解】(1)略 (2)①略 ②：点P在优 BAC上 当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE,如图所示，设PO,CE的交点为M,连接OC,OB, M M F E 图2 ..ABC AB=23 是等边三角形， :8C=AB=2W5 ∠BAC=60° .∠BOC=2∠BAC=120°， :OE⊥BC, :DC=)BC=5,∠E0C=}∠B0C=60°， 又.0E=0C, “.△OCE是等边三角形， :∠0CD=)∠0cE=30, :0D-0c,Dc=0C-0D=50D ..OD=1,OC=2,EC=OC=2, 23176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OM⊥EC,CD⊥OE. OM=CD=sin60°×2=V5 ..CM-EC-1, 2 PM-OP+OM=2+ 在RtAPCM中，PC=VPM+CM=2+V5'+1P=V2+6, ,∠B0C=120°，OB=OC, .∠OBC=OCB=30°， .∠OBC=∠BCE=30° .OB∥EC, PO⊥EC, .PO⊥OB, 又OB=OP, :∠P80=∠BP0=45°，PB=V2P0=2V5 由（可得P在MB上，PC=PA+PB :PA=PC-PB=V2+6-22=6-2 如图，过点P,B分别作BC,EF的垂线，垂足分别为G,H,则四边形BHED是矩形， BH=DE=OE-OD=2-1=1, B G DM M FH 图2 ,∠BPC=∠BAC=60°，OP=OC, ∴.∠OPC=∠BPC-∠BPO=60°-45°=15°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠PCE=90°-∠OPC=75°， .∠PCB=∠PCE-∠BCE=75°-30°=45°， PG=PCsin∠PCB= -xPC=1+3 2 sm∠PBG=PG_1+V52+v6 PB 22 4, .BC∥ME, .∠BFH=∠PBG, BF= BH BH 1 sin /BFH sin∠PBGV2+V6 =√6-√2 4 PA+B即6-2+6-2=5-1 PB 22 12.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC为⊙0的直径，点E在AC 的延长线上，且∠CDE+∠ABD=90°. E B L)求证：DE是O0的切线： (2)若cE=8,DE=12' sin∠BAC= 2,求阴影部分的面积. 【答案】I)证明：连接OD D 25176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OC=OD .∠ODC=∠OCD ∠ABD=∠OCD」 ∴.∠ODC=∠ABD :∠CDE+∠ABD=90° ∴∠CDE+∠ODC=90°，即∠ODE=90° ∴.OD⊥DE OD为⊙0的半径， DE是OO的切线： 空6 2)3π- 【分析】(1)先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODC=∠ABD,结合己知条件得到 ∠ODE=9O°，即OD⊥DE,根据切线的判定可证得结论： (2)连接OB,设OO的半径为x,则OD=OC=x,OE=OC+CE=x+8.在RtAODE中，利用勾股定 理求得x=5,则AC=2x=10.利用特殊角的三角函数值求得∠BAC=30°.根据圆周角定理求得 ∠B0C=2∠BAC=60°，∠ABC=90°，则∠AOB=120°，根据含30度角的直角三角形的性质求得 1 S.ou-.c 255,然后利用扇形面积公式及S=Sa0-5.m求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：连接OB, D E B 设⊙O的半径为x,则OD=OC=x,OE=OC+CE=x+8. 在RtAODE中，OD2+DE2=OE2, .x2+122=(x+8) x=5 ，解得 .AC=2x=10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 rsin∠BAC 2, ∴.∠BAC=30° ∴.∠BOC=2∠BAC=60° .∠A0B=180°-∠B0C=120°， :AC是⊙0的直径， .∠ABC=90°， BCC-5 AB=AC2-BC2 =10-5=53 ∴SAc=号AB:BC=x5N5x5=255 1 2 0A=1 5 . 2 4 .S阴影=S扇形OAB-S△OAB 120x5_255-25元-255 3604 3 4 13.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB,垂足为P,连接BD,过点C 作BD的垂线，垂足为E,交直径AB于点F,交过点B的直线于点M,连接AC并延长，交MB于点N, 且CN=CM. B D M 1)求证：BM是⊙O的切线： 27176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE (2)若 D=2万，OF=4,求线段C的长. 【答案】(I)连接BC, D M :AB是⊙0的直径， .∠ACB=∠BCN=90°， 在△BNC中，∠CNB+∠NBC=90°， :CM⊥BD,垂足为E, ∴.∠CED=∠BEM=90°， 在△BME中，∠EMB+∠MBE=90°， ...CN=CM, '、∠CNB=∠EMB ∴.∠NBC=∠MBE, ,CD⊥AB,垂足为P, ..CP=DP, .BC=BD, “.△BCD是等腰三角形， .∠CBP=∠DBP, .∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE=180°， .2∠NBC+2∠CBP=180°， .∠NBC+∠CBP=90°， .∠ABN=90°， .OB为⊙0的半径， ,∴.BM是⊙O的切线： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q)CE-3 【分析】(1)连接BC,证明△BCD是等腰三角形，推出∠ABN=90°，即可证明BM是OO的切线： (②证明△1CPe△FCP(ASA）,得到PA=PF,设O0的半径为，证明△4C△DP,利用相似三角 16 形的性质列式计算求得'=3，再证明△ACP∽△DCE,据此计算即可求解。 【详解】(1)证明：略 (2)解：：AB是⊙O的直径，CD1AB,垂足为P, ∴.PC=PD,∠APC=∠FPC=90°， .PD=27 PC=2V DC-4 .BC=BC .∠A=∠D, ∴.∠APC=∠CED=90° .∠ACP=90°-∠A=90°-∠D=∠DCE, ..PC=PC. ,△ACP≌△FCP(ASA) .PA=PF, 设⊙0的半径为r, 0F=4, 、FA=OA+OF=r+4, :.PA-PF=1EA-14.PB=AB-PA=2r-5+4-3r-4 1 2 2 2 2 ∠A=∠CDB,∠ACP=∠DBP ∴.△ACP∽△DBP, 29176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CP AP ∴.BPDP, r+4 27 2 :3r-42万， 2 解得516 ,5=-8(舍去)， :r16 3 PA=+414 23 3 .∠ACP=∠DCE,∠A=∠CDB, ∴.△ACP∽△DCE. AC CP ·.CDCE· 87 3-2√万 47 CE 解得 E=37 14.(2026四川广元中考真题)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆0交AC于点E, F为半圆O上一点，连接BF交AC于点G,连接CF,且CF=CB. E B (1)求证：CF为半圆O的切线： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②)连接EF, 若tan<AEF= 2，AB=10,求AG的长. 【答案】(I)证明：如图，连接OC,OF, 在△BOC和△FOC中， ..OC=OC,OB=OF,BC=FC. △BOC≌aFOC(SSS) .∠OFC=∠OBC, :∠ABC=90° .∠0FC=90°， .OF为半径， ,∴.CF为半圆O的切线； 10W2 2)3 【分析】4连接OC,0F,证明 B0C≌aF0C(SS),可得∠0FC=90°，即可求证： (2)连接OC,交BF于点K,过点G作GH⊥AB于点H,根据切线长定理可得BC=CF,从而得到OC 垂直平分BF, 进而得到m∠BC0=m∠0BF=an∠F-分，设GH=x,则H=2x,再证明。ABC 为等腰直角三角形，可得1GH AH=GH=x AG=2x 为等腰直角三角形，从而得到 ，进而得到 AB=AH+BH=3x=10,即可求解. 31176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OC,交BF于点K,过点G作GH⊥AB于点H, :∠ABC=90°，AB为半圆O的直径， :BC为半圆O的切线，∠AFB=90°，∠B0C+∠BC0=90°， ,CF为半圆O的切线， ..BC=CF, ..OB=OF, ÷0C垂直平分r,即∠OB=90,K-号8即。 .∠OBF+∠BOC=90°， .∠OBF=LBCO. “∠OBr=∠ABF,am∠AEF= 2 :tanZBCO=tan∠OBF=tan∠AEF= 2, ∴.tan∠OBF= GH 1 BH2· 设GH=x,则BH=2x, ,AB=10 1 ..OB=AB=5 、BC= OB an∠Bco-l0, .△ABC为等腰直角三角形， .∠BAC=45° ∴.△AGH为等腰直角三角形， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AH=GH=x AG=2x ∴.AB=AH+BH=3x=10, 0 3 :1G-V2x=10w5 3… 15.(2026四川凉山中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，连接AC交BD于 点P,且AC=BC,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E. E D B (I)求证：DC平分∠BDE: (②)求证：CE是O0的切线： 3)若⊙0的半径为5，CE=4,求DF的长. 【答案】I)证明：：四边形ABCD内接于⊙O, .∠ADC+∠ABC=180° :∠ADC+∠EDC=180°， .∠EDC=∠ABC, ..AC=BC, .∠BAC=∠ABC, ∠BDC=∠BAC, ∴.LBDC=LEDC, .DC平分∠BDE. (2)证明：连接OC, 33176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D .OC=OD, ∴.∠ODC=∠OCD, 由(I)可知，∠ODC=∠EDC, .∠OCD=∠EDC .OCI DE」 CE⊥DE. .OC⊥CE, .OC是⊙0的半径， :.CE是⊙O的切线。 8)DF=30 1 【分析】(I)由四边形ABCD内接于⊙O,可得∠EDC=∠ABC,再由AC=BC与圆周角的性质可得 LBDC=∠EDC,则DC平分∠BDE. (2)先证明OC DE,由CE⊥DE,可得OC⊥CE,即可证明CE是OO的切线： (3)过点O作OG L AD于点G,可求得AD=6,再证明△COF∽△ADF,即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，过点O作OG⊥AD于点G, D 4 "Q B 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)可知，OC⊥CE .CE⊥AD,OG⊥AD, ∴.四边形OCEG是矩形， .0G=CE=4, :BD是⊙O的直径， .BD=2OD,∠BAD=90°，即BA⊥AD, OGI‖BA, .△DGO∽△DAB OG DODO 1 BA DB 2DO 2' .BA=20G=2×4=8, ,⊙0的半径为5，即OD=OC=OB=5, BD=2OD=10. 在RtABD中，AD=VBD2-AB2=V102-82=6 由(2)可知，OC∥AD. .aCOF∽aADF, OC OF DA DF' .OF=OD-DF=5-DF, 55-DF 6=DF, DF=30 11· 16.(2026新疆中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AD平分∠BAC交⊙0于点D,连接BD,CD,经 过点D的直线与MB的延长线相交于点E,且∠BDE=)∠BAC 35176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证：DE是⊙O的切线： ②)如果点I是AABC的内心，tan∠BAC= 5BC=24,求DI的值. 【答案】(I)证明：连接DO并延长交⊙O于点F,连接BF, B ·BD=BD .∠1=∠3 DF是直径， ∴.∠FBD=90° ∴.∠1+∠2=90° :AD平分∠BAC 3=∠BAC 2 ∠BDE=)∠BAC .∠3=∠BDE ∴.∠I=∠BDE ∴.∠BDE+∠2=∠EDF=90° .OD是半径， .DE是⊙O的切线： @4v3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)连接D0并延长交⊙0于点F,连接BF,由圆周角定理得到∠I=∠3，∠FBD=90°，则 ∠1+∠290°，由角平分线得到3=，∠BAC,结合已知条件可得∠3=∠BDE,继而等量代换证明即可： 21 (2)连接BL,CL,OB,OC,OD,OD交BC于点M,先由圆周角定理得到证明∠4=∠5，根据垂径定理的推 论可得OD1BC,BM=CM-AC,再证明∠BOM=∠BAC,解R△BOM求HOM:O8,即可求解 DM,BD,再由内心的性质导角证明DI=DB. 【详解】(1)略 (2)解：连接BL,CL,OB,OC,OD,OD交BC于点M, B D ,AD平分∠BAC .∠BAD=∠CAD, BD=CD ∴.∠4=∠5， :DO是半径， 1 OD⊥BC, BM=CM= ×24=12, 2 OB=OC ∴.∠BOC=2∠BOM :∠BOC=2LBAC, .∠BOM=∠BAC Ftan∠BAC=12 ∴.tan∠BOM= BM_12_12 OMOM 5 37176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OM=5 ..OB=VOM2+BM=13 ∴.0D=13 .DM=OD-OM=8 .BD-BM+DM-28=413 :点I是△ABC的内心， .∠ABI=∠CBI .BD=BD ∴.∠5=∠BAD ∴.∠4=∠BAD ∠DBI=∠4+∠CBL,∠6=∠BAD+∠ABI .∠DBI=∠6 DI=DB=4V13 17.(2026江苏苏州中考真题)如图，P是以AB为直径的⊙0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0 的切线，BCI‖OP,D为OB的中点，连接DP交OC于E. C (1)求证：PC是OO的切线： (2)若0A=2,PA=4」 ①求BC的长： ②求tan/PEC的值. 【答案】I)证明：~PA为⊙O的切线， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PA⊥OA, ∠PA0=90°， :BC∥OP, :∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB .OB=OC, .∠B=∠OCB, ∴.∠AOP=∠COP 在△AOP和aCOP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP △AOP≌ACOP(SAS) .∠PC0=∠PA0=90° :OC是⊙0的半径， ∴PC为⊙O的切线。 o①ac-5:gm∠Pec- 7 【分析】(1)由PA为⊙0的切线，得到∠PA0=90°.根据平行线的性质得到 ∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB,结合∠B=∠OCB,得到∠AOP=∠COP,从而证明 AOP≌△COP(SAS) 因此∠PC0=∠PAO=90°，即可得证结论： (2)①连接AC,通过解直角三角形得到 os∠A0P=A0-V5 OP5,因此osB=cos∠A0p=5 ,由AB是 ⊙0的直径得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中解直角三角形即可求解： ②方法-：取OC的中点F:选接DF则0F=CF-0C=l,根据10r2COP得到p4=PC-4限 据三角形中位线的性质得到DF∥C。DF=8C=25 EF DF 1 2 5.证明△DEF∽aPEO,得出OEOP5,进 39176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 而可求出CE,从而在Rt△PCE中，根据正切的定义即可求解： 方法二：过点D作DG‖OC,交PO的延长线于点G.证明△ODG∽aBOC,根据相似三角形的对应边成比 例求出OG,DG,进而求出PG.再证明△POE∽aPGD,求出OE,即可求出CE,从而在Rt△PCE中，根 据正切的定义即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：①连接AC B ,在RtAAPO中，OA=2,PA=4, OP=VO+PA=25 cos∠A0P=40=2V5 0p-255. :∠B=∠AOP, cosB=cos∠A0P=5 5 :AB是⊙O的直径， .AB=2OA=4,∠ACB=90° .BC=AB-cosB=4x545 55. ②方法-：收oc的中点p:连接0e,则0r=cr-0c-2-1 2 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .:AAOP≌△COP ∴.PA=PC=4 :点D,F分别为OB,OC的中点， ∴DF是△OBC的中位线， 1, DF∥BC, DF=BC= 2 5. .BC∥OP, .DFOP, .△DEF∽△PEO, 25 :EF_ 0E0P25-5 ER=F0=1 6 6 7 ∴.CE=EF+CF= 6 tan∠PEC=PC=424 在 中， CE=7=7 t△PCE 6 方法二：过点D作DG‖OC,交PO的延长线于点G. B C ∴.∠ODG=∠BOC :BC∥OP, ∴.∠GOD=∠B 41176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△ODG∽△BOC OG、DGOD1 ·BC OC B02 .0G= c-. 1 PG=P0+0G=2V5+25_125 5. .DGIOC .△POE△PGD 2V50E :P0_0E,即25 1, PG DG 5 :0E 6, :CE=0C-0E=2-5-2 66 ,△AOP≌ACOP .PA=PC=4. PC424 tan∠PEC- .在 中， 7 Rt△PCE 6 18.(2026四川巴中中考真题)如图，1B是0的直径，点C、D在圆上，D是C的中点， DE⊥AB 于点E,交AC于点F,AC、DB交于点G,H在AB延长线上且∠BCH=∠CAB. D (1)求证：CH为OO的切线： (②)求证：AF=DF; 3)若DG=2,GB=3,求AD的长. 【答案】(I)证明：连接OC,如图所示： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G H E :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° :∠CAB+∠ABC=90°， ∠BCH=∠CAB, ∴.∠BCH+∠ABC=90°， ..OC=OB. .ZOCB=ZOBC. .∠BCH+∠OCB=90°，即∠OCH=90°， .OC⊥CH, :OC是⊙0的半径， .CH为⊙O的切线。 ②证明：D是4C 的中点， 4D=CD .∠ABD=∠DAC, :DE⊥AB,AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠AED=90° ·.∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°， .∠ADE=∠ABD=∠DAC, .AF =DF 6)D=v0 【分析】(1)连接OC,由题意易得∠ACB=90°，则有∠BCH+∠ABC=90°，然后可得 ∠BCH+∠OCB=90°，进而问题可求证： (2)由题意易得∠DAC=∠ABD,然后可得∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°，则有 ∠ADE=∠ABD=∠DAC,进而问题可求证： 43176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD DB (3)由题意易得AABD∽aGAD,然后可得GDDA,进而问题可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：DG=2,GB=3, .DB=DG+BG=5. :∠ABD=∠GAD,∠ADB=∠GDA, .△ABD∽aGAD AD DB ∴GDDA' .AD2=DG·DB=10, AD=10 19.(2026·云南中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径.点P在BA的延长线上， 且PC2=PA·PB.点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与 OO相交于点D,与线段BC相交于点N.DH⊥AB于点H,线段DH与线段BC相交于点F,连接OF, 记△OFD S OFH的面积为 S2 的面积为， (I)求证：直线PC是⊙O的切线： ②若1B=2√2īBE=6N6 求线段P的长 (3)观察，探究，发现与证明： 以下三个纺论：8<5，了=乐，8>8，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个纺论， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】)证明：如图1，连接OC, 图 .PC2=PA-PB, PCPA PB PC' 又∠P=∠P, .△PCBAPAC, .∠PCA=∠PBC, :AB是⊙O的直径，OA=OC, .∠ACB=90°，∠OAC=∠OCA. .∠PBC+∠OAC=∠PCA+∠OCA=∠OCP=90°， 又，OC是⊙0的半径， ,∴.直线PC是OO的切线： 1421 (2)11 ®)>5，证明如下 如图2，连接BD, 45176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2 ,O为AB的中点，点M是BE的中点， .OM是△ABE的中位线， ..OMIIAE. .∠ACB=∠ONB=90°， DH⊥AB, .∠OHD=90° ∴∠ODF+∠DOH=∠OBF+∠DOH=90°， .∠ODF=∠OBF, .OD=OB」 、∠ODB=∠OBD, .∠ODB-∠ODF=∠OBD-∠OBF,即∠BDF=∠DBF, .DF BF, 在Rt△BFH中，∠BHF=9O°，BF>BH, ∴.DF=BF>FH, -DF-OH,S.m-.-FH-OH 0F-0H>FHoH.即s> 【分析】(1)连接OC,根据题意证得△PCB∽aPAC,得∠PCA=∠PBC,再由AB是⊙O的直径， OA=OC,证得∠OCP=90°即可证得结论： C0_PCV21√14 (2)首先证得∠ABE=90°，然后，证得△PCO∽aPBM,得BMPB3V66,再由(1)知 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PC PA 14 PBPC6,设PA=V14x,则PC=6x,由PC2=PA:PB, PB=18v14 x,再由PB-PA=AB 有6，最后代入值求得 (3)连接BD,首先证得OM是△ABE的中位线，得OM‖AE,进而得∠ACB=∠ONB=90°，然后由 DH⊥AB得∠OHD=90°，证得∠ODF=∠OBF,再由OD=OB得∠ODB=∠OBD,得∠BDF=∠DBF, 进而得DF=8r>FH段后由San=S-DF0H,Sm=SH-OH可证得结论 【详解】(1)略 (2②)解：0为4B AB=2V21 的中点， :40=80=2 :AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠BCE=90°， :.∠PCA+∠BCM=90°， 又点M是线段BE的中点， BE=66 .CM=BM-EM-3/6 ∴.∠CBM=∠BCM, 由(I)知∠PCA=∠PBC, ∴.∠PCA+∠BCM=LPBC+∠CBM=LABE=90°， .∠OCP=∠PBM=90°， 又，∠P=∠P, .△PCO∽aPBM, CO PC 21 14 .BM PB 36 6. 47176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PC PA 14 由(1)知PBPC6, 设P1=4r,则PC=6r PC=PA.PB,即(6'=i4PB :PB=18f4 7 184x-4x=22 7√6 X= :PB-PA=AB,即7 ,解得11 ÷PA=4×76l4i 1111 (3)略 考点02切线的性质定理 1. (2026安徽中考真题)如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD的各边与 HNM 所在的圆分别相切于点， 点E,M,H,N丽，BM所在圆的圆心分别是E,F.则图中阴影部分的 面积为() D M 51 B.4 c.7- D.7-5 4 【答案】A 【分析】设EH与MN交于点O,先得出HNM所在的圆为以点O为圆心、OE长为半径的⊙O,再根据图 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中阴影部分的面积等于S羊oo+[Sa-S影av-(S方0ev-Soau小求解即可。 【详解】解：如图，设EH与MN交于点O, 0 由题意得：OE=ON=OH=OM=BF=FM=EF=1,∠BFM=∠BEH=90°， OE⊥AB,ON⊥AD,OH⊥CD,OM⊥FG, ∴.BE=EH=2, :正方形AFGD的各边与HNM所在的圆分别相切于点E,M,H,N, ∴.HNM所在的圆为以点O为圆心、OE长为半径的⊙O, .图中阴影部分的面积 S半o0+S扇形EBH-S扇形FBM-(S正方形OEFW-S偏形OEM)】 2x1P+ 90π×2290元×12 90π×12 360 360 360 =一π+π- 2 -1+1 4 4 1 2π+元】 3r1 2 2.(2026河南中考真题)团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”.劳动课上，小红想在自己制作 的团扇边缘选一段弧进行装饰.如图，已知扇面边缘为⊙O,扇柄所在直线经过圆心O,她过扇柄端点P 作P1,PB分别与O0相切于点4，B,得到B.若O0 ⊙0 的半径为 9cm∠APB=60° 则小红想要装饰 的MB的长为《) 49176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.3πcm B.6πcm C.9zcm D.27πcm 【答案】B 【分析】连接OA、OB,根据全等三角形的判定和性质得出RtAOAP≌RtOBP(HL), ∠OPA=∠OPB,∠AOP=∠BOP ∠AOP=∠BOP=60° ∠AOB=120° ，确定 得出 ,利用弧长公式求解即可 【详解】解：连接OAOB,如图所示： B ,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B, .∠OAP=∠OBP=90° [OA=OB ..OP=OP, .RtAOAPS≌RtsOBP(HL), ∠OPA=∠OPB,∠AOP=∠BOP, .∠APB=60° .∠OPA=∠OPB=30°， .∠AOP=∠BOP=60°， .∠A0B=120°， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :⊙0的半径为9cm, 120π×9 ·B的长为： =6πcm 180 3.(2026湖北中考真题)如图，PA与⊙0相切于点A,连接P0并延长交⊙0于点B,连接AB.若 ∠B=24°，则∠P的度数是() A.42° B.48° C.56 D.66 【答案】A 【分析】连接OA,根据切线的性质可得OA1PA,根据圆周角定理求出∠AOP的度数，最后在Rt△OAP 中利用直角三角形两锐角互余求解即可. 【详解】解：连接OA, 是 的切线， :PA⊙O .OA⊥PA, .∠0AP=90°， ∠B=24°， .∠AOP=2∠B=48°. .∠P=90°-∠AOP=42° 4.(2026江西中考真题)生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄 和指圈.当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切.已知AC与BD相 交于点O,CE为半圆的直径，OC=9,CE=6,则此时张角∠A0B的大小为 51176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 剪 刃 指圈 剪柄 图1 图2 【答案】150 【分析】设右半圆的圆心为M,BD与⊙M相切于点N,连接MN,分别求得MN,OM,根据 sin∠MON= 2,得出∠MON=30°，进而根据邻补角的定义，即可求解. 【详解】解：如图，设右半圆的圆心为M,BD与OM相切于点N,连接MN, N 一B D .∠MW0=90°， .0C=9,CE=6, .MN-MC-EC-3.OM-0C-MC=9-3-6 :sin∠MON=MW-3_1 0M62, .∠M0N=30°， ∴.∠A0B=180°-∠M0N=180°-30°=150° 5.(2026四川甘孜中考真题)如图，AB,BC,CD分别与⊙0相切于E,F,G三点，且ABIICD (1)判断OB与OC的位置关系，并说明理由： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②)若B0=3, tan∠0cD=3 4,求⊙0的半径. 【答案】I)解：OB⊥OC,理由如下： 如图所示，连接OE,OF,OG, :AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点， .∠0EB=∠OFC=∠OGC=90°， OE=OF 在Rt△OBE和Rt△OBF中，OB=OB, RtaOBE≌RtAOBF(HL) 、∠EOB=∠FOB, 同理可证RtAOFC≌RtAOGC, .∠FOC=∠G0C, '.∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=2∠FOB+2∠FOC=2∠BOC=180°， .∠B0C=90°， 即OB⊥OC. 2)o0的半径为5 【分析】(I)利用圆的切点的性质证得RtOBES≌RtaOBF和RtAOFCS≌RtAOGC,得出∠EOB=∠FOB, ∠FOC=∠GOC,再根据这四个角相加为180°求解： 3 (2)由(I)可得∠B0C=90°，∠0CD=∠0CB,利用tan∠0CD=tan∠0CB= 4求出0C的长度，再根据 勾股定理求出BC的长度：再根据已知条件证明△BOC∽aBFO,利用相似求解. 【详解】(1)解：OB⊥OC,理由见答案 (2)解：由(1)知，OB⊥OC,RtAOFCS≌RtaOGC, 53176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠B0C=90°，∠0CD=∠0CB」 :an∠0cD=3 4’ ∴.tan∠OCB= BO 3 0C4, BO=3, .0C=4. 在RtOCB中， BC=VOB2+0C2=V32+42=5 ,∠BOC=∠OFB=90°，∠OBF=∠CBO. ..ABOCABFO. 六8C0C,即4，解得Or=2 OB OF 3 OF 12 ⊙0的半径为5： 6.(2026陕西中考真题)如图，点A在⊙0上，连接0A并延长至点B,过点B作⊙0的切线，切点为C, 作弦CD⊥OA,垂足为H,作弦DE∥BC,连接CE B D (I)求证：CE=CD. (②)若AB=2,BC=4,求DE的长. 【答案】I)证明：连接OE,OD,C0,并延长CO交DE于点G, G ,BC为⊙O的切线，CO为半径， .,∠OCB=90° 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DE∥BC :∠CGE=L0CB=90°，即CG⊥DE .OE =OD ∴.CG垂直平分DE ..CE=CD: 144 2)25 【分析】(1)连接OE,OD,C0,并延长CO交DE于点G,根据圆的切线的性质以及平行线的性质可得 CG⊥DE,再由三线合一得到CG垂直平分DE,即可得到CE=CD: (2)设OC=OA=r,先对RtAOCB运用勾股定理求解半径，然后用面积法求解CH,即可求解CD,再证 明LOCD=∠B,则由sin ZOCD=sin∠B求解DG,最后由垂径定理求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：设0C=OA=r,则OB=OA+AB=r+2, .∠0CB=90°， OC2+CB2=OB2 r2+42=(r+2) 解得r=3, .0C=3,0B=3+2=5, .CD⊥OA, OCxCB-ORxCH. :CH=3x4_12 55, OC=OD,CD⊥OA, ·CD=2CH=24 , :∠0CB=90°， .∠OCD=∠B=90°-∠COB. ∴.sin∠OCD=sin∠B」 d又∠CDG=90°， 55176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DG OC DC OB' DG_3 245, 5 解得DG=72 5, :CG⊥DE,CG经过圆心， :DE=2DG=14 25· 7.(2026广西中考真题)如图1，⊙0是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC=45°，BC=2,BD1AC 于点D. A O。D 图1 图2 I)求证：OD平分∠ADB: (2)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E,求AC的长及∠CBD的度数. 【答案】(I)证明：连接OA,OB, A CBD⊥AC∠BAC=45° .∠ABD=90°-∠BAC=45°=∠BAC, .DA=DB OA=OB,DO=DO,DA=DB, ∴.△DOA≌△DOB(SSS) ∴.∠ADO=∠BDO. ·.OD平分∠ADB: 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)1C=V6 ∠CBD=15° 【分析】(1)连接OA,OB,证 △DOA≌△DOB(SSS) 即可： (2)连接OB,OC,OE,过点O作OF⊥AC于点F,根据圆周角定理先确定△BOC为等腰直角三角形， ∠OCB=∠OBC=45°，然后解Rt△BOC求出OC,再由圆的切线的性质求解OD=OE,再解Rt△ODF求 出OF,解RtAOCF求出∠OCF,CF最后根据垂径定理以及角度和差计算即可 【详解】(1)略 (2)解：连接OB,OC,OE,过点O作OF⊥AC于点F, ·.·∠BAC=45° .∠BOC=2∠BAC=90° :OB=OC, ∴△BOC为等腰直角三角形，∠OCB=∠OBC=45°， :0C=0B=BC×in45°=2x5-V2 2 :以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E, .OE⊥BC, ,△OEB,△OEC均为等腰直角三角形， .OE-EC-BE-2BC-1. ..OD=OE=1, :BD⊥AC,OD平分∠ADB, .∠ODF=∠ODB=45°， :OF⊥AC, ,∴△ODF为等腰直角三角形， ∴.OF=OD×sin45°=1x 2-2 22, 57176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 岭 sin∠OcF= 22 ∠0CF=30°， OF⊥AC, .AC=2CF=6 :∠0CF=30°，∠0CB=45°， ∠ACB=∠0CF+L0CB=30°+45°=75°， :BD⊥AC, ∴.∠CBD=90°-∠ACB=15 8.(2026四川泸州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，点C,E在⊙0上，过点C作⊙0的切线交AB 的延长线于点D,CE交AB于点F,连接AC,AE,BC, B D E (I)求证：∠CAD=∠BCD: ②活AE∥CD:BD=3,smD 3,求EF的长。 【答案】1)证明：连接OC,则OC=OB, B D ÷∠OCB=LOBC, :过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D, .OC⊥CD, .∠BCD+∠OCB=90° :AB是⊙O的直径， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ACB=90°， .∠CAD+∠ABC=90° :∠OCB=∠OBC,即：∠OCB=∠ABC, .∠CAD=∠BCD: 8V30 2)7 【分析】(1)连接OC,切线的性质得到∠OCD=90°，圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等边对等角， 以及等角的余角相等，即可得出结论： OC 2 (2)设O0的半径为，在RisOCD中，根据sinD=OB+BD3,求出，的值，进而求出OD,CD的长， 延长C0交仁于点G:根斯平行线的作质。垂径定理，推出4G=BG-4,C4=CE:正明 2 △10GADOC AG,OG AE,CG AC ,求出 的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，再证明 ACFDEFA-CE,即可程出结架 7 【详解】(1)略 (2)解：设⊙0的半径为r,则OB=OC=r, 在RtAOCD中，sinD= 0C2 OB+BD 3' :BD=3. 2 +33 .r=6 ..OD=OB+BD=9. :CD=V0D2-0C=35 如图，连接CO并延长交AE于点G, 59176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O/F B D :AEIICD,OC⊥CD, .OG⊥AE, AG-EG=IAE 2 .CG垂直平分AE, .CA=CE, AElICD, .△AOGn△DOC, AG OG OA 6 2 .CD OC OD 9 3' 4G=cD=25,0G-0c=4, 3 :4E=24G=45.CG=0C+0G=10 CE-AC=AG+CG=230 AEI/CD. .△CFDP△EFA, EF AE4 CF CD 3' :EF-CE=×2w50=8v6 4 7 7 9.(2026山东烟台中考真题)如图，△ABC中，∠C=90°，0是边AB上一点，以OB为半径作⊙0，分 别与BC,AB交于D,E两点，与AC相切于点F,连接EF,BF. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F E (1)求证： EF=FD (②)试用等式表示线段BE,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论 【答案】(1)证明：如图，连接OF, F D A B E :AC是⊙O的切线， .∠1+∠2=90° ∠C=90°， .∠4+∠2=90° ∴.∠1=∠4 又：OF=OB .∠1=∠3 .∠3=∠4 :脉=D (2)BE=BD+2CD 证明：如图，连接FD,过点F作FG⊥BE于点G, 61176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠FGB=∠C=90° 由(I)可得∠FBC=∠FBE 又，FB=FB △FBC≌△FBG(AAS) .FC=FG,BC=BG EF=FD ∴.FD=FE, Rt△EFG≌Rt△DFC(HL) ∴CD=EG .BE=BG+EG=BC+CD=BD+2CD,BE=BD+2CD 【分析】(1)根据切线的性质可得∠1+∠2=90°，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠4+∠2=90°， 则∠1=∠4，根据OF=0B得出1=∠公3，等量代换可得3=4，即可得出 F=FD (2)连接FD,过点F作FGLRE于点G,证明△FBCFBG(HS)得出FC=FG,BC=BG,进而证明 Rt△EFG≌RIADFC(HL) 得出CD=EG,根据线段的和差关系，即可得证. 【详解】(1)略 (2)略 10.(2026北京中考真题)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,AC为⊙0的直径，过 点B作AC的垂线，垂足为E,交OO于点D,连接OP,CD B E A (I)求证：∠ACD=∠POA: 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2连接PC交BD 于点R,若CE=2.an∠ACD=V2 BF 求的长 【答案】()证明：连接OB,OD, B D ,C,D是 上的点， A ⊙0 ·∠ACD=1∠AOD 2 :PA,PB是OO的两条切线， PA=PB,PA⊥OA,PB⊥OB, ∴·点P在∠AOB的平分线上， ∴.OP平分∠AOB ∠POA= :BD⊥AC,AC为⊙O的直径， :AB=AD .∠AOB=∠AOD, .∠ACD=∠POA Q)BF=V2 【分析】4)连接OB,OD,根帮切线性质可知点P在∠10B的平分线上，根据垂径定理可知 B=AD 再根据圆周角，圆心角的关系即可得证； (2)先由垂径定理求出⊙O的半径，再解直角三角形POA,可得PA,根据相似三角形的性质可求EF, 由DE=BE即可求解. 【详解】(1)略。 (2)解：：BD⊥AC,AC为⊙O的直径， 63176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BA .∠CED=90°DE=BE Rt△CED CE=2tan∠ACD=V2 中， :DE =22 设⊙O的半径为T,则OD=r,OE=r-2, 在Rt△OED中，由OE2+DE2=OD2, 得r-2+(22矿=2， 解得r=3」 在Rt△PO1中，O1=3,tam∠P01=ia∠4CD=2 .PA=32 :∠CEB=∠CAP=90°， :BDI PA, .△CFE∽△CPA, FE CE PA CA' EF 2 即326' .FE=√2 ∴.BF=BE-FE=DE-FE=√2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03三角形的内切圆 1.(2026四川广元中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙0上，点E为△ABC的内心，CE的延 长线交⊙O于点F,连接AF,若AC=5,AF=I3V2 2,则CE的长为() C 0 32 A.2 B.2V2 C.5-2 D.1+V2 【答案】B 【分析】连接AE,BE,BF,则∠ACB=90,∠AFB=90°，由内心的定义可得CF平分∠ACB,可得 ∠ACF=∠BCF=45°，进一步可证明AF=BF,利用勾股定理可得AB=13,BC=12,设△ABC的内切圆 半径为’，根据 c=5+5.+.c,可求出=2，过点E作BGL4C于点G,则EG=2,解 直角三角形即可求出CE的长， 【详解】解：如图所示，连接AE,BE,BF :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°，∠AFB=90°， :点E为△ABC的内心， ∴CF平分∠ACB .∠ACF=∠BCF=45°， 弧AF=弧BF, :AF =BF, 65176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B=√AF+BF=2Ar=2×13W5-13 在Rt△AFB中，由勾股定理得 2 在R1a1BC中，由勾股定理得BC=VAB-AC=V132-了=12 设△ABC的内切圆半径为r, :点E为△ABC的内心， .点E到△ABC的三边的距离都等于r, S.ABC=S.4CE+S.4BE+S.CBE 40r+r+8cr- 2 AC.BC. 1 ×5r+二×13r+-×12r=二×5×12 2 2 2 2 r=2: 如图所示，过点E作EG⊥AC于点G, C B 则EG=2, 在RIACGE中，∠GCE=45°， :·△CGE是等腰直角三角形， ∴CE= EG in∠GCEsin45=2v2 2.(2026四川泸州中考真题)若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2-6x+2=0的两个 实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为() 2-√2 A.3-22 C.6-4V2 D.2 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果 【详解】设该直角三角形的两直角边长为a、b,斜边长为C, :a,b是一元二次方程x2-6x+2=0的两个实数根， ∴.a+b=6,ab=2,由勾股定理得： c=Va2+b2=V(a+b)2-2ab=V62-2x2=V32=42 ·三角形的面积S=)。 1 z5￥ 2 2c, 2 。直角三角形的内切圆半径公式为r=一心 a+b+c,代入得：r= 6+4V2 =3-2V2 3.(2026四川宜宾中考真题)如图，己知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,点P在BC边上运动， 连接AP.当△ABP和△APC的内切圆半径相等时，设BP=t,则AP= (用含t的代数式表示) 21-8t 【答案】2t-7 【分析】设左边圆的圆心为O,过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BP,OF⊥AP,垂足分别为点D,E,F,则 可设AP=x”OD=0E=0F=r,根据S.4=Sp+S0e+So得到Sa=2+x+3r,同理可得 S△MBE= +x+3r t+x+3 S=2-1+ 则SacP 02-+2-1+,而郎7是即可得到 S△ACP CP7-t t+x+3 t 12-t+x7-i,即可求解. 【详解】解：设左边圆的圆心为O,过点O分别作OD上AB,OE⊥BP,OF⊥AP,垂足分别为点D,E,F 67176 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :⊙O为△ABP的内切圆， .'.OD=OE=OF 设AP=x,OD=OE=OF=r .S.4=S.mOP+S0+408 AB=3,BP=t,AC=5,BC=7, .PC=7-t 1 8P×r+二APxT+ABxr=BP+AP+AB)r 2 2 ,△ABP和△APC的内切圆半径相等 同理可得，Sag(4C+PC+P)r5+7-+02-1+) SAABP 2+x+3) t+x+3 SAACP 2(02-1+x)r 12-t+x SAABE=BP=1 又：S△4cpCP7-t t+x+3 t …12-t+x7-t 21-8t 解得r= 2t-7,即AP= 21-8t 2t-7· 考点04圆内接四边形 ⊙0. ACB ∠CBO=n° 1.(2026河北中考真题)如图，在 中， 所对的圆心角为l150,点D在4C上.若 则∠ADC=() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.90°+n° B.180°-n° C.195°-n° D.2n 【答案】C 【分析】如图，连接CO并延长交⊙O于点E,连接AE,首先利用等边对等角得到∠OCB=∠CB0=n°， 然后利用三角形内角和定理求出∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-2n°，然后结合圆周角定理和圆内接四 边形对角互补求解即可. 【详解】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E,连接AE B E .OB=OC ∴.∠OCB=∠CB0=n° .∠B0C=180°-∠B-∠0CB=180°-2n° ÷∠A0C=∠A0B-∠B0C=150°-(180°-2m）=2m°-30 .∠E=5∠4OC=n°-15o ∠ADC=180°-∠E=180°-(n°-15)=195°-n° 2.(2026江苏扬州中考真题)如图，C是以4B为直径的O0上一点，点D在C上.∠ABC=2 °，则 ∠CDB=° 69176 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 【答案】110 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB=90°，利用三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再 根据圆内接四边形对角互补，即可求解。 【详解】解：AB是⊙O的直径， ∠ACB=90° ∠ABC=20°， ∴.∠CAB=90°-∠ABC=70°. :四边形ACDB内接于⊙O, ∠CDB+∠CAB=180°， .∠CDB=180°-70°=110° 3.(2026天津中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C在网 格线上，以AC为直径的半圆经过点B. (I)线段AB的长为 (Ⅱ)点M在线段BC上，点N在线段AM上，满足∠BNM=∠CWM=∠ACB.请用无刻度的直尺，在 如图所示的网格中，画出点M,N,并简要说明点M,的位置是如何找到的（不要求证明） √3 【答案】 解法一：如图，取格点D,连接CD,与网格线交于点E,连接E,与BC 交于 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点M,与半圆相交于点F,连接BF,与网格线相交于G,取BC与网格线的交点H,连接GH并延长， 与网格线相交于I,连接CI并延长，与AM相交于点N,则点M,N即为所求 解法二：如图， 设AC,BC分别与格线交于点O,点D,连接OD并延长交格线于点E,连接AE交BC于点M,交格线于点 F,设AB交格线于点G,连接FG并延长交格线于点H,连接BH交半圆于点K,连接KG交AB于点N, 则点M,点N即为所求 【分析】(I)利用勾股定理求解即可： ()解法一：连接BD,BN,BE,由网格线的特点可得：E为CD中点，H为GL,BC的中点，可得 △GC(SAS),进一步可证明BF∥CN,可得∠BFN=∠CM,结合∠BFN=∠4CB,可得 ∠ACB=∠CNM,由AC为直径可得∠ABC=90°，而AB=BD,可得AC=DC, ∠ACB=∠DCB=∠CNM,BE是中位线，可得BE∥AC,可得BE=CE,∠EBM=∠ACB,可得 ∠CME=∠CNM+∠NCM=∠DCB+∠NCM=∠ECN ,可得△ECM&ENC E2=CE2=EM·EN ,可得 结合∠BEM=∠BEN,可得△EBM∽aENB,可得∠EBM=∠BNE=∠ACB: 71176 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解法二：可证明点O为AC的中点，点D为BC的中点，点D为OE的中点，点G为AB的中点，点G为 FH的中点，则可证明四边形OCEB是菱形，得到∠CBE=∠BCE=∠ACB,证明四边形AHBF是平行四边 形，进而可证明四边形AKBN是平行四边形，得到∠AKB=∠ANB；由圆内接四边形对角互补可得 ∠AKB+∠ACB=18O°，则可证明∠BNM=∠ACB,得到∠BNM=∠BCE,据此可证明B、N、C、E四点共 圆，得到∠CNM=∠BCE=∠ACB,则∠BNM=∠CNM=∠ACB 【详解】解：(I)由网格的特点和勾股定理可得B=2+3= (Ⅱ)解法一：如图，取格点D,连接CD,与网格线交于点E,连接AE,与BC交于点M,与半圆相交 于点F,连接BF,与网格线相交于G,取BC与网格线的交点H,连接GH并延长，与网格线相交于I, 连接CI并延长，与AM相交于点N,则点M,N即为所求 解法二：如图所示，连接BE,CE,BN,CN,AK,取格点P、Q, OA AP 1 可证明△AOPAAC0,得到ACA02,则点O为AC的中点，即点O为半圆的圆心， 同理可得点D为BC的中点，点D为OE的中点，点G为AB的中点，点G为FH的中点， ,∴.四边形OCEB是平行四边形， 又.OB=OC, .四边形OCEB是菱形， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠ACB=∠BCE,BE=CE, ∴.∠CBE=LBCE=∠ACB: 同理可证明四边形AHBF是平行四边形， .BHII AF :.∠GKB=∠GNA,∠GBK=∠GAWN, 又：AG=BG, △GBK≌AGAN(AAS) ..BK AN, .四边形AKBN是平行四边形， .∠AKB=∠ANB: ,四边形ACBK是圆内接四边形， :.∠AKB+∠ACB=180°， 又：∠ANB+∠BNM=180°. .LBNM=∠ACB, ∴.∠BNM=∠BCE ∴.B、N、C、E四点共圆， ∴.∠CNM=LCBE=∠ACB, ∴.∠BNM=∠CNM=∠ACB 4.(2026福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于OO,E是DC延长线上的一点，EB的延长线 交⊙O于点F,AB=BD,∠CBE=∠ABD=60° B (1)求∠E的度数： (②)求证：四边形AFEC是平行四边形： 73176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CG 2 BD B)设CF交BD于点G,且FG3,求AC的值. 【答案】(1)60° (2)证明：∠ACD=∠ABD=60°， ∴.∠ACD=∠E .AC∥EF. ,四边形AFBD是⊙O的内接四边形， ∴.∠AFB+∠ADB=180° :△ABD是等边三角形， ∠ADB=60°， ∴.∠AFB=120° ∴.∠AFB+∠E=180° ∴.AF∥CE “.四边形AFEC是平行四边形 √万 3)3 【分析】(1)先判定△ABD是等边三角形，得到∠BAD=∠BDA=60°，利用圆的内接四边形的性质，证 明∠BCE=∠BAD=60°，最后利用三角形内角和定理解答即可： (2)先利用∠ACD=∠E判定ACII EF,利用圆的内接四边形的性质求得LAFB=120°，证明AF IICE: (3)过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a,先判定△BCE是等边三角形，证明 aCFE≌aBDE(MS）,得到EF=ED,再证明aDEF是等边三角，形证明BCDF,△BCGDFG. △BCE∽aFDE,得到BE=2a,EF=3a,接着利用勾股定理表示出CH,CF,利用平行四边形的性质表示 出AC,进一步解答即可. 【详解】(I)解：AB=BD,∠ABD=60°， .△ABD是等边三角形. ∴，∠BAD=∠BDA=60° ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BAD+∠BCD=180° 又：∠BCE+∠BCD=180° 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BCE=∠BAD=60° ∠CBE=60°， ∴.∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60° (2)略 (3)解：过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a. A B H E∠E=∠CBE=∠BCE=60° △BCE是等边三角形 ∴.BE=CE 又：∠CFB=∠CDB,∠E=∠E, .△CFE≌△BDE(AAS) ∴EF=ED. ..BF=CD=a. ∠E=60°， ∴△DEF是等边三角形. ∴.∠FDE=∠BCE=60° ∴.BC∥DF ∴.△BCG∽△DFG BC _CG_2 DFFG3· BC∥DF, ∴.△BCE∽△FDE 。 BEBC2 FEFD3· ∴BE=2a,EF=3a」 ,四边形AFEC是平行四边形， 75176 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AC=EF=3a :△BCE是等边三角形，CH⊥BE, M5=a 在R△BCH中，m∠CBE=CHV5】 BH .CH=3BH=3a FH=BF+BH=2a. :.CF=JFH2+CH=(2a)+(a)=a. △CFE≌△BDE, ∴BD=CF=V7a BD_a AC 3a 3.可学科网 www .zxxk.com 专题24圆的有关位置关系 答案版 考点01切线的判定定理 1.证明：连接OC .∠AOB=100°，∠OAB=40° ∴.∠OBA=180°-∠AOB-∠OAB=40° ∴.∠OAB=∠OBA ..OA=OB AC=BC ∴.OC⊥AB :点C在⊙0上， .OC为半径， 直线AB是⊙0的切线 2.(1)证明：连接OA, 是直径，点在 上， .BC⊙O .C⊙0 :D是AC的中点， ∴.∠AOF=∠COF. 1/21 让教与学更高效 (4考点36题) 函学科网 OA=OC ∠AOF=∠COF 在 和 中， △AOF'ACOF OF=OF :.△AOF≌△COF(S,A,S) .∠OCF=∠OAF=90°， .OC⊥FC, :0C是⊙0的半径， .CF与⊙O相切. 245-2m 3.(1)证明：连接OC, .0A=OC ∴.∠OAC=∠OCA .:∠BCF=∠BAC .∠BCF=∠OCA ,AB是⊙O的直径 .∠ACB=90° ∴.∠OCA+∠OCB=90° ∴.∠BCF+∠OCB=∠OCF=90° 又，点C在⊙0上 .CF是OO的切线： .10 ②3 π 4.(①)3 www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (2)证明：如图2，连接CD B D 图2 由(1)可得AB/OC,∠A=60° .∠A=∠C0D=60°， ..OC=OD, :△COD是等边三角形， ∴.CD=OD=2,∠OCD=∠ODC=60° DP=2, .DP=CD, :.∠DCP=∠P=1∠0DC=30 .∠OCP=∠OCD+∠DCP=90°， 又，OC是⊙0的半径， PC是⊙O的切线. 5.(①)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP是∠AOB的角平分线， .OA=OB .△OAB是等腰三角形， ∴.OC⊥AB 又：OC是⊙O的半径，且点C在AB上， .AB与⊙O相切： a00的半径为 ⊙0 8 6.(1)解：⊙0如下图所示. 3/21 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 E B 作法：(1)作 ,边交于点； ∠DBC=∠A BD AC D (2)作AD的垂直平分线EF,交AB于点O: (3)连接OD,则OA=OD;(4)以OA为半径作⊙O 35 (2)4 7.(1)证明：连接DC, D A E '∠ECA=∠B+∠BAC∠E.AB=LCAE+∠BAC ,∠ECA=∠EAB .∠B+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∠B=LCAE, :AD是⊙O的直径， ·.∠ACD=90°， .∠D+∠DAC=90°， :∠B=∠D, ∠CAE=∠D, ∠CAE+LDAC=90°， .DA⊥AE, AE是⊙O的切线. a35 8.(1) 可学科网 证明：，OA=OC .∠ACO=∠OAC .∠CBD=∠ACO ∴.∠CBD=∠OAC ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=909 ∴.∠OAC+∠ABC=90° ∴.∠CBD+∠ABC=90° .∠ABD=90°， :OB为半径， BD是⊙O的切线： 10W13 (2)13 3)如图，点P即为所求 D 9.(1)证明：如图，连接OC, E ..OC=OB, .∠OBC=∠OCB .CB平分∠ECD, .∠BCE=∠DCB CD⊥AB, .∠OBC+∠DCB=90°， .∠OCB+∠BCE=90°. www.zxxk.com 让教与学更高效 5/21 可学科网 www zxxk.com .OC⊥CE】 ,OC为⊙0的半径， .CE是OO的切线： 20tan∠BCE=2:②25 10.1)证明：连接OD, A 分别是弧 所对的圆心 C·∠AOD ∠B AD ∠AOD=2∠B 又：∠C+2∠B=180°， .∠AOD+∠C=180°， 在四边形OACD中，∠OAC+∠C+∠ODC+∠AOD=360°， .∠0AC+∠ODC=360°-180°=180°. AC为⊙O的切线，AB为直径， ∴.OA⊥AC,即∠OAC=90°， ∴.∠ODC=180°-∠OAC=90°，即OD⊥CD, 又：OD为⊙0的半径， ∴CD是⊙O的切线. (2)10 11.(1)证明：：D为BC中点，E在OD的延长线上， .OE⊥BC, .EM IBC, .OE⊥EM, .EM是OO的切线； 2)PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下： 当点P在B上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA 让教与学更高效 角和圆周角， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MF E ,△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, 4C-AC .∠APC=∠ABC=60°， “△APT是等边三角形， .AT=AP,∠PTA=60°， .∠ATC=120°， :四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APB=∠ATC, 又：AP=P .∠ABP=∠ACT, △ABP≌△ACT(AAS) .PB=TC. .PC=PT+TC=PA+PB PC=PA+PB, 当点P在1C上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PM S B D MF E 7/21 可学科网 WWW.Z) 同理可得∠APB=∠ACB=60°、 ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APS=60° .△APS是等边三角形， ∴.∠S=∠APB 又，AB=AC,∠ABP=∠ACP. :△SMC≌aPAB(AAS) .PB=SC=PC+PS=PC+PA,PC=PB-PA 12.1)证明：连接OD D E .OC=OD .∠ODC=∠OCD ∠ABD=∠OCD ..∠ODC=∠ABD :'∠CDE+∠ABD=90° .∠CDE+∠ODC=90°，即∠ODE=90°」 .OD⊥DE OD为⊙0的半径， .DE是⊙O的切线： 25255 2)31 4 13.(1)连接BC, xk.com 让教与学更高效 学科网 B E D M .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠BCN=90°， 在△BNC中，∠CNB+∠NBC=90°」 :CM⊥BD,垂足为E, .∠CED=∠BEM=90°， 在△BME中，∠EMB+∠MBE=90°， ..CN=CM, .∠CNB=∠EMB. ∠NBC=∠MBE, CD⊥AB,垂足为P, :.CP=DP, .BC=BD. .△BCD是等腰三角形， .∠CBP=∠DBP, :∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE=18O° .2∠NBC+2∠CBP=180°， .∠NBC+∠CBP=90°， .∠ABN=90°， .OB为⊙0的半径， .BM是⊙O的切线； 2CE=3V万 www.zxxk.com 让教与学更高效 9/21 学科网 14.(1)证明：如图，连接OC,OF B 在△BOC和△FOC中， .OC=OC,OB=OF,BC=FC. △BOC≌△FOC(SSS) ∴.∠OFC=LOBC, .∠ABC=90°， .∠0FC=90°， OF为半径， .CF为半圆O的切线； 10W2 (2)3 15.(1)证明：，四边形ABCD内接于⊙0 .∠ADC+∠ABC=180°， .∠ADC+∠EDC=180°. ∴.∠EDC=∠ABC, .AC=BC, ∴.∠BAC=∠ABC, ∠BDC=∠BAC, ∠BDC=∠EDC. .DC平分∠BDE. (2)证明：连接0C, www.zxxk.com 让教与学更高效 函学科网 OC =OD. ∴.∠ODC=LOCD, 由(1)可知，∠ODC=∠EDC, .∠OCD=∠EDC, .OCII DE CE⊥DE, .OC⊥CE, .OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线. 6)DF=30 11 16.(1)证明：连接D0并延长交⊙0于点F B E D ..BD=BD .∠1=∠3 DF是直径， .∠FBD=90° ∴.∠1+∠2=90° :AD平分∠BAC www zxxk.com 让教与学更高效 连接BF, 11/21 函学科网 :3=∠BAC 2 ·BDE=5∠BAC ∴.∠3=∠BDE ∴.∠I=∠BDE ∴.∠BDE+∠2=∠EDF=90° OD是半径， DE是⊙O的切线： ti3 17.(1)证明：PA为⊙0的切线， .PA⊥OA, .∠PA0=90°， BC∥OP. :.∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB ..OB=OC. ∴.∠B=∠OCB, .∠AOP=∠COP :在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP :△AOP2.COP(SMS）) .∠PC0=∠PA0=90° :OC是⊙0的半径， PC为⊙O的切线. a0ac-g5:②m∠Pic= 24 18.(1)证明：连接OC,如图所示： www .zxxk.com 让教与学更高效 学科网 .AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠CAB+∠ABC=90°， .'∠BCH=∠CAB .∠BCH+∠ABC=90° .OC=OB .∠OCB=LOBC, .∠BCH+∠OCB=90°，即∠OCH=90° .OC⊥CH, .OC是⊙0的半径， CH为⊙O的切线。 (Q)证明：：D是4C 的中点， .AD=CD .∠ABD=∠DAC ,DE⊥AB,AB是OO的直径， .∠ADB=∠AED=90° ∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°、 .∠ADE=∠ABD=∠DAC, .AF=DF B)D=10 19.(1)证明：如图1，连接OC, www.zxxk.com 让教与学更高效 13/21 可学科网 图1 PC2=PA.PB. PC_PA PB PC 又∠P=∠P, .△PCB∽aPAC, .∠PCA=∠PBC, ,AB是⊙O的直径，OA=OC, .∠ACB=90°，∠OAC=∠OCA .∠PBC+∠OAC=∠PCA+∠OCA=∠OCP 又.OC是⊙0的半径， .直线PC是⊙O的切线； 14v21 (2)11 g9> 2,证明如下： 如图2，连接BD, D 图2 www.zxxk.com 让教与学更高效 90°， 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 O为AB的中点，点M是BE的中点， .OM是△ABE的中位线， .OM∥AE, .∠ACB=∠ONB=90°， DH⊥AB, .∠OHD=90°， .∠ODF+∠DOH=∠OBF+∠DOH=90°， .∠ODF=∠OBF, .OD=OB .∠ODB=∠OBD. .∠ODB-∠ODF=∠OBD-∠OBF,即∠BDF=∠DBF, .DF BF, 在Rt△BFH中，∠BHF=9O°，BF>BH, .DF BF>FH, Sw--DFOML,S.m--FH-OH 2 DF:OH>FH.OH,即S>S, 考点02切线的性质定理 1.A 2.B 3.A 4.150 5.(1)解：OB⊥OC,理由如下： 如图所示，连接OE,OF,OG】 15/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E :AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点， ∴.∠OEB=∠OFC=∠OGC=90° OE=OF 在Rt△OBE和Rt△OBF中，OB=OB, ,RtOBES≌RtAOBF(HL) .∠EOB=∠FOB、 同理可证RtAOFC≌RtAOGC, ∴.∠FOC=∠G0C, ,∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC-2∠FOB+2∠FOC-2LBOC=180°， .∠B0C=90° 即OB⊥OC. 2 ②)o0的半径为5 6.(I)证明：连接OE,OD,C0,并延长C0交DE于点G, B .BC为⊙O的切线，CO为半径， ∴.∠0OCB=90° .DE∥BC :∠CGE=LOCB=90°，即CG⊥DE .OE=OD ∴.CG垂直平分DE 函学科网 WWW ..CE =CD: 、144 (2)25 7.(1)证明：连接OA,OB, A C.·BD⊥AC ∠BAC=45° .∠ABD=90°-∠BAC=45°=∠BAC. :DA=DB .OA=OB,DO=DO,DA=DB, ∴.ADOA≌△DOB(SSS) .∠ADO=∠BDO. .OD平分∠ADB: 2)1C=V6∠CBD=15° 8.(1)证明：连接OC,则OC=OB, B D .∠OCB=LOBC, :过点C作OO的切线交AB的延长线于点D, .OC⊥CD. .∠BCD+∠OCB=90°. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° .∠CAD+∠ABC=90° .∠OCB=∠OBC,即：∠OCB=∠ABC, zxxk.com 让教与学更高效 17/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CAD=∠BCD: 8v30 (2)7 9.(1)证明：如图，连接OF, 2 :AC是⊙O的切线， ∴.∠1+∠2=90° .∠C=90°， ∴.∠4+∠2=90° ∴.∠1=∠4 又.OF=OB .∠1=∠3 ∴.∠3=∠4 :F=而 (2)BE=BD+2CD」 证明：如图，连接FD,过点F作FG⊥BE于点G, B ∴.∠FGB=∠C=90° 由(1)可得∠FBC=∠FBE 又，FB=FB .△FBC≌△FBG(AAS) .FC=FG,BC=BG 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ..EF=FD ∴.FD=FE, :RIAEFG≌RtsDFC(HL) ∴.CD=EG .'BE=BG+EG=BC+CD=BD+2CD,BE=BD+2CD 10.(1)证明：连接OB,OD, D C,D是 上的点， A ⊙0 ∠ACD= :PA,PB是⊙O的两条切线， PA=PB,PA⊥OA,PB⊥OB, ∴点P在∠AOB的平分线上， ∴OP平分∠AOB, :∠POA=∠AOB 2 :BD⊥AC,AC为⊙O的直径， .AB=AD ∴.∠AOB=∠AOD. ∴.∠ACD=∠POA. @2)BF=V2 19/21 函学科网 www zxxk.com 品 考点03三角形的内切圆 1.B 2.A 21-8t 3.21-7 品 考点04圆内接四边形 1.C 2.110 √13 解法一：如图，取格点D,连接CD,与网格线交于点E, 与半圆相交于点F,连接BF,与网格线相交于G,取BC与网格线的交点H 相交于I,连接CI并延长，与AM相交于点N,则点M,N即为所求 A 解法二：如图， B M A 让教与学更高效 连接4E,与BC交于点M, 连接GH并延长，与网格线 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 设AC,BC分别与格线交于点O,点D,连接OD并延长交格线于点E,连接AE交BC于点M,交格线于点 F,设AB交格线于点G,连接FG并延长交格线于点H,连接BH交半圆于点K,连接KG交AB于点N, 则点M,点N即为所求。 4.(1)60° (2)证明：：∠ACD=∠ABD=60°， .∴.∠ACD=∠E .AC∥EF. ,四边形AFBD是⊙O的内接四边形， .∠AFB+∠ADB=180°」 ,△ABD是等边三角形， .∠ADB=60° .∠AFB=120° .∠AFB+∠E=180° .AF∥CE」 ∴.四边形AFEC是平行四边形. 万 3)3 21/21