专题11 圆（5年汇编）（山西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 山西中考数学圆专题5年真题1年模拟汇编，覆盖圆心角、圆周角等4大核心考点，整合2022-2026年真题考情与命题规律，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题/24分|圆周角（直径90°模型）、切线性质（高铁转弯）|连续4年基础送分题，结合工程实景弱化纯几何题干| |填空|3题/9分|弧长与扇形面积（花窗/折叠模型）|整体减空白计算阴影，融合菱形、中点线段转化半径| |解答|4题/30分|圆心角（切线+扇形面积综合）|先证切线垂直半径，再用等弧转化角度，套公式求值，贴合山西中考命题逻辑|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 山西考情(2022 考点分类 命题规律 2026) 1.题型：解答大题，融合切线性质、等弧圆心角关系、扇形 面积综合计算2.解题逻辑：先利用切线垂直半径推导角度， 考点01圆心 2026山西卷 再通过等弧对等圆心角转化角度，最后套扇形面积公式求值 角 3.考法载体：直径+切线+阴影扇形，综合切线性质、圆心角 定理、扇形面积公式 2025山西卷 1.题型：3分选择题，连续四年必考基础送分题2.核心模 考点02圆周 2024山西卷 型：直径所对圆周角为90°、圆内接四边形、切线+直径组 角 2023山西卷 合、同弧圆周角相等3.解题思路：连接辅助线构造直角，结 2022山西卷 合圆周角等量代换、三角形内角和求角度 1.题型：3分选择题，结合生活实景（高铁转弯圆弧）命题 考点03切线 2023山西卷 2.考法：两条切线相交模型，切线垂直半径+四边形内角 的性质定理 和求圆心角，搭配弧长公式计算曲线长度3.情境特色：结合 工程、交通实景，弱化纯几何枯燥题干 1. 题型覆盖：选择填空、图形折叠综合大题，分值3分2. 2025山西卷 考点04弧长 常见模型：等腰直角三角形双扇形、扇形折叠、花窗大小扇 2024山西卷 与扇形面积 形作差3.计算逻辑：整体减空白求阴影面积，常结合等边三 2022山西卷 角形、菱形、中点线段转化半径，灵活套用扇形面积公式 五年真题分类园 品考点01圆心角 1. (2026山西中考真愿)如图，4是O0的直径，点C,D是O0上的两点，且D=BC,过点C作 1/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙O的切线与AB的延长线交于点E,连接AC,OD.若∠ACE=115°，OB=6,求扇形BOD(即阴影 部分)的面积（结果保留兀）· A D 考点02圆周角 1.(2025山西中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点CD是⊙0上位于AB异侧的两点，连接 D、CD.若C=BC,则∠D 度数为() B A.30° B.45° C.60° D.75 2.(2024山西中考真题)如图，已知△ABC,以AB为直径的⊙0交BC于点D,与AC相切于点A,连 接OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为() B A.30° B.40° C.45° D.50° 3.(2023山西中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD为对角线，BD经过圆心O.若 ∠BAC=40°，则∠DBC的度数为() 2/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.40° B.50 C.60° D.70° 4.(2022山西中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AD是⊙0的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数 是() C A 0 B A. 60° B.65 C.70° D.75 考点03切线的性质定理 1. (2023山西·中考真题)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在 转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条 切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角a为60°.若圆曲线的半径OA=1.5km,则这段圆曲 的长为(). 3/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交点C a转角 曲线起点A B曲线终点 曲线半径 曲线半径 圆心O km A.4 3死km C. 31km D.8 考点04弧长与扇形面积 1,(2025山西中考真题)如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,分别以点B、C为圆心、BC的长 为半径画弧，与BACA的延长线分别交于点D、E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为() A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.4π-8 2.(2022山西中考真题)如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落 AB上 的点C处，图中阴影部分的面积为() C B A.3m-3v5 B.3玩、9 2 C.2π-3V5 6m-93 D 2 3.(2024山西中考真题)如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图 (阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=lm,点C，D分别为OA,OB的中 4/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，则花窗的面积为 m2 A B C .D 0 图1 图2 一年模拟练测园 1.(2026山西长治三模)如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，O为对角线BD上一动点，以O为 圆心，2为半径画弧交正方形边MD于点B,交CD于点R,交BD于点M若∠EOF=150°，则EMF 的长 为() D E M π A.3 7π 7π5元 2π B.3 C.3或3 D.3 2.(2026山西长治三模)如图，△1BC内接于O0,D是C上一点，且0D11C于点5.若 ∠ADE=50°，则∠B的度数为() A.85 B.80° C.75° D.70° 3.(2026山西临汾·三模)如图， 40,C0是o0 的半径，B是4C AB,BC 的中点，连接 ,点D在BC的 延长线上.若∠0CD=130°，则∠A0C的度数为() 5/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.160° B.130 C.100° D.80° 4.(2026山西阳泉三模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB=AD,连接BD.若∠C=100°，则 ∠ABD的度数为() B 0 D A.55 B.50° C.45 D.40° 5.(2026山西吕梁·二模)城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径 AB=4,C,E是半圆上两点，且∠BAC=∠ABE=30°，连接CE.现分别以点A、点B为圆心，AC的长为 半径画弧交AB于点D、点F.施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为 () E D B A.5 B.3 3元 c D5-骨 6.(2026山西忻州二模)如图，BC为OO的直径，点A在圆上，口ABCD中边AD与OO交于点E,已 知8C=25,点E拾好为D的中点，则阴影部分的面积为() 6/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A骨 B 2π C.3 D.元 7.(2026山西长治三模)在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为4 的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系.那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 ( a S正十二边形=2S正方形 B.S=3S猫C.S=aE=45:D.无法确定 8.(2026山西阳泉三模)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点B为圆心，BA长为半径作弧，分别交 AC,BC边于点D,E.若CD=AB=4,则图中阴影部分的面积为() A D B A经+25B 8m+4W5 C. 9.(2026山西阳泉三模)如图，直线AC与⊙0相切于点D,F为⊙0上一点，连接DF,F0,延长FO 交直线AC于点A.若∠=27°，则∠A的度数为() 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.30° B.360 C.40° D.54 10.(2026山西太原·三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转45°得到 △DBE,点A、C的对应点分别为D、E,DE与AB交于点F,若AC=4,BC=3,图中阴影部分的面 积为() 25.75 B.4π-14 25.75 c.8π-7 5_75 D.4 1 11.(2026山西阳泉·三模)如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2 所示，A0=B0=45cm,C0=D0=20cm,∠A0B=72°，窗户能透光（阴影a部分）的面积为. cm2.(结果保留兀) B O 图1 图2 12.(2026山西运城·二模)如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮A和从动带轮B组成，皮带紧绷 且传动时无滑动.己知主动带轮半径为6cm,从动带轮半径为8cm,当主动带轮转动的圆心角为240°时， 从动带轮转动的圆心角为 B 8/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026山西长治三模)如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNP的顶点 恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC与BD相交于点O,正八 边形的另外四个顶点H,I,J,K分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI分别交PM和QN于点E,F, AB 则EF的值为 D C B 14.(2026-山西阳泉三模)如图，1B为半圆0的直径，C为 B AC,BC,OC 的中点，连接 者B4 则图中阴影部分的面积为 .(结果保留) 15.(2026山西临汾·三模)如图，点P是⊙0外一点，过P作⊙0的切线，切点分别为点A和点B,点C 为圆上一点.若∠P=50°，则∠ACB的度数为_°. 16.(2026山西晋中·二模)如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其 几何示意图，四边形ABCD是正方形，圆弧与边AD,BC相切，通过测量可得∠GOE=60°，GE=2m, 则阴影部分的面积为m2. 9/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G E 图① 图② 17.(2026山西阳泉·三模)如图，△ABC的顶点B,C在⊙0上，边AC经过圆心O,与⊙0交于点D, 边4B与o0相切于点B者4=30，CD=4,求D的长.（结果保留不) 4 18,(2026山西运城二模)如图，4B是O0的直径，C为o0上一点，AC=2BC 过点C与 ⊙0 相切 的直线交AB的延长线于点D,连接OC,AC.请判断△ACD的形状，并说明理由. B 19.(2026山西吕梁·二模)阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务， 弦心距【概念理解】弦心距是从圆心到圆内某条弦的垂线段的长度，即圆心到弦的最短 距离.如图1，AB是⊙0的一条弦，OE⊥AB,垂足为E,那么OE的长度即弦AB的 弦心距. 【性质探究】 在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等 如图2，AB,CD是OO的两条弦，OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F.如果OE=OF 10112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 那么AB=CD 证明思路：连接OA和OC,易证RtAAOES≌RtACOF,可得到AE=CF;再由圆的轴对称 性得AB=2AE,CD=2CF,因此AB=CD D O 【问题解 E B B E 图1 图2 图3 决】 如图3，AB是⊙O的一条弦，OE⊥AB,垂足为E,点P是圆内一点，且OP>OE.请 过点P作弦CD,使CD=AB」 如图4，具体作法： 第一步：以O为圆心，OP的长为半径画弧，与AB交于点Q;第二步：以P为圆心， OE 的长为半径面弧：以O为圆心，OE的长为半径画弧：两弧交于点F F 第三步：作直线PF,与⊙O交于点C和点D,弦CD即为所求. B 图4 任务： E 图5 11/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的也相等. (2)请推理说明图4中小宜作法的正确性， 3)如图5，AB是⊙O的一条弦，OE⊥AB,垂足为E,点P是圆外一点，请在图5中过点P作弦CD,使 CD=AB,(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)· 20。(2026山西朔州三模)如图，△18C为00的内接三角形，且8C为O0的直径，B为4C的中点， AC 连接EC,若∠ACB=30° E D (I)求∠ACE的度数： (2)若⊙O的切线DE交BC的延长线于点D,⊙O的半径为3，求线段ED的长度. 21,(2026山西太原三模)如图，AB是⊙0的直径，直线MN与⊙0相切于点A,△ACD是圆内接三角 形，小李发现∠DAN与∠C相等，他的思路是：连接BD…请按照小李的思路补充完善证明过程. B D M N 12112 专题11 圆 5年真题1年模拟 考点分类 山西考情（2022-2026） 命题规律 考点01圆心角 2026山西卷 1. 题型：解答大题，融合切线性质、等弧圆心角关系、扇形面积综合计算2. 解题逻辑：先利用切线垂直半径推导角度，再通过等弧对等圆心角转化角度，最后套扇形面积公式求值3. 考法载体：直径+切线+阴影扇形，综合切线性质、圆心角定理、扇形面积公式 考点02 圆周角 2025山西卷 2024山西卷 2023山西卷 2022山西卷 1. 题型：3分选择题，连续四年必考基础送分题2. 核心模型：直径所对圆周角为90°、圆内接四边形、切线 + 直径组合、同弧圆周角相等3. 解题思路：连接辅助线构造直角，结合圆周角等量代换、三角形内角和求角度 考点03 切线的性质定理 2023山西卷 1. 题型：3分选择题，结合生活实景（高铁转弯圆弧）命题2. 考法：两条切线相交模型，切线垂直半径 + 四边形内角和求圆心角，搭配弧长公式计算曲线长度3. 情境特色：结合工程、交通实景，弱化纯几何枯燥题干 考点04 弧长与扇形面积 2025山西卷 2024山西卷 2022山西卷 1. 题型覆盖：选择填空、图形折叠综合大题，分值 3 分2. 常见模型：等腰直角三角形双扇形、扇形折叠、花窗大小扇形作差3. 计算逻辑：整体减空白求阴影面积，常结合等边三角形、菱形、中点线段转化半径，灵活套用扇形面积公式 考点01 圆心角 1．（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ，． 考点02 圆周角 1．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴； 故选：B． 4．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】C 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 考点03 切线的性质定理 1．（2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 考点04 弧长与扇形面积 1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形OACB是菱形 ∴ 连接OC ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： 故选：B 3．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 1．（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 2．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 3．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 4．（2026·山西阳泉·三模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·山西吕梁·二模）城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设与相交于点，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理得，得，，得，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 6．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案． 【详解】解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 7．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 8．（2026·山西阳泉·三模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，分别交，边于点，．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，得到，，推出阴影部分的面积，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 9．（2026·山西阳泉·三模）如图，直线与相切于点，为上一点，连接，延长交直线于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由等腰三角形的性质得，由切线的性质得，据此计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴． 10．（2026·山西太原·三模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，与交于点，若，，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可得，由正切的定义可得，由旋转的性质可得，，，作于，则，从而可得为等腰直角三角形，，进而可得，，求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、， ∴，，， 如图，作于，则， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 11．（2026·山西阳泉·三模）如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2所示，，，，窗户能透光（阴影部分）的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据窗户能透光（阴影部分）的面积等于两扇形面积之差计算即可． 【详解】解：由图可知：窗户能透光（阴影部分）的面积为． 12．（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 13．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 14．（2026·山西阳泉·三模）如图，为半圆O的直径，C为的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据题意得，阴影部分面积即为扇形的面积，结合图形得出，，再由扇形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，阴影部分面积即为扇形的面积， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 15．（2026·山西临汾·三模）如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 【答案】65 【分析】连接，利用切线的性质求出的度数，再利用同弧所对圆周角是圆心角的一半求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵是切线， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴． 16．（2026·山西晋中·二模）如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其几何示意图，四边形是正方形，圆弧与边，相切，通过测量可得，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于正方形的面积减去扇形面积，再减去三角形面积，进行计算即可 【详解】解：∵为圆的半径 ∴为等边三角形 ∴圆的半径 ∵圆弧与边相切 ∴正方形的边长等于圆的直径 ∴正方形边长 ∵阴影部分由正方形减去一个大扇形和一个三角形构成 ∴大扇形的圆心角为 ∵是边长为的等边三角形 故阴影部分的面积为． 17．（2026·山西阳泉·三模）如图，的顶点B，C在上，边经过圆心O，与交于点D，边与相切于点B．若，，求的长．（结果保留） 【答案】 【分析】连接．根据切线的性质求得，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴的长为． 18．（2026·山西运城·二模）如图，是的直径，C为上一点，，过点C与相切的直线交的延长线于点D，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径，C为上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵，分别是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∵点D在的延长线上， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】根据弧与角的关系，平角的定义得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质、直角三角形两锐角互余得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】略 19．（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 弦心距【概念理解】弦心距是从圆心到圆内某条弦的垂线段的长度，即圆心到弦的最短距离．如图1，是的一条弦，，垂足为，那么的长度即弦的弦心距． 【性质探究】 在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等 如图2，，是的两条弦，于点，于点．如果，那么． 证明思路：连接和，易证，可得到；再由圆的轴对称性得，，因此．   【问题解决】 如图3，是的一条弦，，垂足为，点是圆内一点，且．请过点作弦，使． 如图4，具体作法： 第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧；两弧交于点； 第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求．      任务： (1)在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的 也相等． (2)请推理说明图4中小宜作法的正确性． (3)如图5，是的一条弦，，垂足为，点是圆外一点，请在图5中过点作弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)圆心角、弧 (2)证明：连接，， ∵， ∴，， 根据作图可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3)如图，弦即为所求． 【分析】（1）连接，，证明，得出，从而得出，根据弧长公式得出所对的弧也相等； （2）连接，，根据垂径定理得出，证明，得出，根据垂径定理得出，证明，得出，即可证明结论； （3）第一步：以为圆心，的长为半径画弧，与的延长线交于点；第二步：以为圆心，的长为半径画弧；以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点；第三步：作直线，与交于点和点，弦即为所求． 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角也相等； ∵同圆或等圆中，圆的半径相等， ∴根据弧长公式可得，相等的圆心角所对的弧也相等； 综上，在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角、弧也相等； （2）略 （3）证明：如图，连接，， ∵， ∴，， 根据作图可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（2026·山西朔州·三模）如图，为的内接三角形，且为的直径，E为的中点，连接，若． (1)求的度数； (2)若的切线交的延长线于点D，的半径为3，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，根据弧、圆心角的关系求出，最后根据圆周角定理求解即可； （2）根据切线的性质得出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的切线， ∴，即， 又，， ∴． 21．（2026·山西太原·三模）如图，是的直径，直线与相切于点，是圆内接三角形，小李发现与相等，他的思路是：连接……请按照小李的思路补充完善证明过程． 【答案】证明：连接， 直线与相切于点， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 又， ， ． 【分析】连接，根据圆的切线性质可得，根据圆周角定理可得，则，推出，根据圆周角定理得到，即可得证． 【详解】略 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11圆 5年真题1年模拟 五年真题分类园 考点01圆心角 1.解：连接OC. D 与 相切于点· E CE⊙O C .OC⊥CE .∠0CE=90°」 ∠ACE=115° .∠AC0=∠ACE-∠OCE=115°-90°=25°. .OA=OC. .∠A=∠AC0=25° ∴.∠COB=2∠A=50° BD=BC .∠BOD=∠COB=50° :0B=6’六S第形OD 50×π×62 =5元 360 考点02圆周角 1.B 2.D 117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.B 4.C 考点03切线的性质定理 1.B 考点04弧长与扇形面积 1.C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D 9.B 10.A 11.325π 12.180 13.2 14.π 15.65 16(16-1g-5 18.△ACD是等腰三角形，理由如下： :1B是0的直径，c为o0上-点，4C=28C .∠AOC=2∠BOC, 2/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AOC+∠BOC=180°， .∠B0C=60° :∠B1C,ZBOC分别是BC 所对的圆周角和圆心角， .∠BAC7∠BOC=30° :CD与⊙O相切于点C, CD⊥OC, ,点D在AB的延长线上， .△OCD是直角三角形， .∠D=90°-∠B0C=30°， .∠BAC=∠D, .AC=DC, .△ACD是等腰三角形 19.(1)解：连接OD,OB,如图所示： D B .OA=OB=OC=OD,OE⊥AB,OF⊥CD, .∠AOE=∠BOE,∠COF=∠DOF, .OA=OC,OE=OF. ,Rt△AOE≌RtACOF(HL) ∴.∠AOE=∠COF, .∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF, .∠AOB=∠COD, .在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角也相等； ,同圆或等圆中，圆的半径相等， 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 nπr :根据弧长公式=180可得，相等的圆心角所对的弧也相等： 综上，在同圆或等圆内，如果弦心距相等，那么它们所对的弦相等，弦所对的圆心角、弧也相等： (2)证明：连接OA,OC, B :OE⊥AB 六∠0B0=90,4E=40 根据作图可得：OP=O0,OE=OF,PF=QE, △OPF≌△OQE(SSS) ∠0FP=∠0E0=90°， .OF⊥CD, .CF-CD :OA=OC,OE=OF」 RIAOAE≌Rt△OCF(HL) .AE=CF, :'CD=AB: (3)证明：如图，连接OA,OC, D B 417 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OE⊥AB, ∠0E0-90,4E-40, 根据作图可得：OP=O0,OE=OF,PF=QE, △OPF≌aOQE(SSS) :.∠OFP=∠OEQ=90°， .OF⊥CD, CF-CD .OA=OC,OE=OF, RIAOAES≌Rt△OCF(HL) .AE=CF, .CD=AB 20.(1)解：连接OE,OA, A E 的 .OA=OC,∠ACB=30°. .∠0AC=∠AC0=30°， .∠A0C=120°， :B为1C的中点， E-CE .∠AOE=∠COE=60°， :∠ACE=)∠A0E=30 2 517 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：DE是⊙O的切线， .OE⊥DE,即∠OED=90°， 又∠E0C=60°，OE=3, ∴.DE=OE.tan∠EOD=3.tan60°=3V3. 21.证明：连接BD, :直线MN与⊙O相切于点A, .BA L MN, .∠BAN=90°， ∠DAB+∠DAN=90°， :AB是⊙O的直径， .∠BDA=90°， .∠DAB+∠B=90°， .∠DAN=∠B, 又：AD=D .∠C=∠B、 ∠DAN=∠C. to D M N 1.D 2.B V一年模孤练测园 617 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 717