专题20 等腰三角形及直角三角形（3考点32题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦等腰与直角三角形3考点32题，融合文化创新（赵爽弦图、木工作图）、模型应用（三角板叠放、隐圆最值）及项目探究（勾股数规律），适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|32题|等腰三角形+菱形（四川攀枝花题）、直角三角形折叠（甘肃武威题）、勾股定理月洞门建模（江苏苏州题）|文化创新（李善兰出入相补）、模型创新（三角板叠放求角度）、探究创新（勾股数规律项目）|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题20等腰三角形及直角三角形(3考点32题) 中考命题规律 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 核心考查等边对等角、三线合 文化创新：木工作图、正六边形亭 、 等边三角形性质：选择填空 子、扇形圆锥联动；阅读探究：材 考点01等腰三角 形 为主，解答含尺规证明，常结合 料迁移式尺规作图；分类创新：等 菱形、正多边形、扇形综合。 腰顶角/底角双情况讨论。 围绕两锐角互余、斜边中线、折 模型创新：三角板叠放、墙角滑动 叠、旋转、网格命题，融合坐标 隐圆求最值：网格创新：仅直尺作 考点02直角三角 形 系、滑动模型，侧重线段最值、 角平分线：变换创新：矩形折叠、 网格无刻度作图。 坐标旋转求线段。 基础考边长计算，中档结合赵爽 文化创新：李善兰出入相补、赵爽 弦图、月洞门实物，压轴为项目 弦图；项目探究：勾股数规律、反 考点3勾股定理 及逆定理 式探究、四边形面积综合，渗透 例辨析：实际建模：园林月洞门、 数学史。 劳动空地面积计算。 真题考点精练。 1/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01等腰三角形 1.(2026四川攀枝花中考真题)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,MN分别是 BC、BO的中点，∠ABC=60°，AB=4,则MN的长为() D B.1 c. D.2 2.(2026天津中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,，∠BAC=100°，BD是△ABC的角平分线.按 以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E,F:②分别以点E,F为 圆心，大于2EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G;③作直线DG,与边BC相 交于点H.则∠CDH的大小为() B A.25° B.30° C.35 D.40° 3.(2026山东德州中考真题)如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的 距离记为d,把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h,下列关于d和h的大小关 系正确的是() A.d<h B.d=h C.d>h D.无法确定 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. (2026四川南充中考真题)如图，等边三角形ABC的顶点B,C分别在直线a,b上，且a‖b,若 ∠a=40°，∠B ,则大小为() Ba. a B b C A.95° B.100 C.105 D.110 1 5.(2026四川眉山~中考真题)如图，在。4BC中，分别以点A和点B为圆心，大于24B的长为半径画 弧，两弧交于点D,点E,作直线DE交BC于点F,连接AF,若∠B=50°，∠C=60°，则∠CAF的度 数为() D F A.10 B.20° C.30 D.40° 6.(2026江苏连云港中考真圈）如图，扇形01B,点C在丽上.若40B=60,则1C 的度数是 60° A.150° B.140 C.130° D.120° 7.(2026江苏连云港中考真题)如图，在ABCD中，AB=3,AD=2,∠BAD的平分线交CD于点E, 则CE=. 3/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 8. (2026上海中考真题)在等腰三角形ABC(∠A≠∠B)中，∠A=80°，则∠B的度数为， 9.(2026黑龙江绥化：中考真题)如图，有一个亭子，它的地基是边长为4的正六边形，则这个正六边 形地基的面积是 m(计算结果保留根号)· 10.(2026贵州中考真题)如图，在ABCD中，DE⊥AB,垂足为E,且∠A=45°，AE=2,则AB与 CD之间的距离为 0 A E B 11.(2026四川自贡中考真题)正五边形ABCDE与等腰RtCDF按如图摆放，则∠BCF=°. 12.(2026福建中考真题)如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC,CE⊥BC,BD=CE.求证： AD=AE. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026山西中考真题)阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务， 工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把 直尺在矩形木板上画特定度数的角. 【数学抽象】 图1 将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD中，以点A 为圆心， 8长为半径作弧，交D于点F:以点8为圆心，MB长为半径作弧，与配 交于点F;连接BE,BF,AF,即可得到特定度数的角，如∠ABE和∠EBF等. 【推广迁移】 D E 图2 受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角.如图3，已知 ∠MAN=&,作图步骤如下：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM,AN 于点B,C;②分别以点B,C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点 D:③连接CD,可得∠ACD=150°-1。 a B 结论“ ”成立的理由如下： W 图3 ∠ACD=150°-1。 连接BC. 由步骤①可知，AB=AC.… 5/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 任务： (I)图2中∠ABE=°，∠EBF=°； (2)补全“推广迁移”中的说理过程； 3)如图4，四边形ABCD表示一块木板，∠BAD=130°，∠ADC>85°.现要将此木板裁割成两部分，裁割 线为线段DE(点E在BC上)，使∠ADE=85°.请用尺规在木板上作出裁割线DE(要求：在木板上保 留作图痕迹，不写作法)， D 图4 14.(2026黑龙江绥化中考真题)尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点P. ·P ·P B 图1 图2 (I)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经 过点P,点M,点N分别在射线OA,射线OB上.（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕 迹) (2)【拓展探究】如图2，若∠AOB=58°，连接OP,OP=3,以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA, 射线OB于C,D两点，则劣弧CD的长度为 CD （本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含元 的代数式表示的结果) 15.(2026河北中考真题)按要求解答下列问题： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C B D 图1 图2 I)尺规作图：如图1，在△ABC中，作出AB边的垂直平分线！；（保留作图痕迹，不写作法） (②)如图2，在△ABC中，∠BAC=2LB,点D在BC边上，且DA=DB.若AC=6,BC=9,求线段CD 的长 考点02直角三角形 1.(2026安徽中考真题)两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠AEF=90°，∠AFE=60°， ∠ABC=45°，AE⊥BC,边BC分别与AE,AF相交于点M,N.若BC=12,则MN=() E M B A25 B.3V5 C.4V5 D.6V5 2.(2026湖南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O,连接 0C.已知01=0C,若点A的坐标为，0)，则点8的坐标为(） A.（-1,0) B.(0,-) c.(0, D.（2,j 3.(2026湖南中考真题)如图，在四边形ABCD中，连接BD.若∠A=∠BDC=90°，∠C=30°， 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AD,则下列说法正确的是() D A.BC=2AD ） B.∠ADC=135° C.ADI‖BC D.BD平分∠ABC 4.(2026四川自贡中考真题)如图，RtAOAB中，∠B=30°，OA=2,AB平行于x轴，将RtOAB:绕 原点O顺时针旋转18O°到△OCD位置，CD交y轴于点P,则点P的坐标为() A.(0,-v5 B.(O,5 c.(0,-) D.（5,0) 5.(2026陕西中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60,AB=6.BC的垂直平分线交BC 于点D,交AC于点E,则DE的长为() E D A,2 B.3 c.26 D.4V5 6.(2026甘肃武威中考真题)如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E,将纸片沿AE折叠，点B落在 点B'.若∠CEB'=60°，AB=3Cm,则点B'到AD的距离等于 cm B E D 7.(2026四川攀枝花中考真题)在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30°，则 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABD的面积为 A 30° B 8.(2026新疆中考真题)如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑 动，另一顶点C在地面上滑动，O,A,B,C在同一平面内，若AB=3,BC=4,则木块顶点A到墙角 O的距离的最大值为 777777777777777777 ○ 9.(2026江西中考真题)如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B,C均在格点上， ∠A=90°，∠C=30°，MN为△ABC的中位线. (I)请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN于点P;(保留作图痕迹) (2)若网格中小正方形的边长为1，则(1)中BP的长为 考点03勾股定理及逆定理 1. (2026四川自贡·中考真题)我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用 出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形8CD 的面积记作5，则，5与8的关系是（) 9/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C St S2 A S+S2<S3 B S+S=S; C S+S3>S3 2S1+S2=S3 2.(2026四川广元中考真题)如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算 经》时给出的.它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形.某数学兴趣小组在 进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3 中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是 图1 图2 图3 3.(2026江苏苏州中考真题)苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月 华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”，某月洞门示意图如图②所示，其内 廓由 AB ,线段CD,DE,EA四部分构成，AE,CD分别垂直于地面'.经测量，该月洞门的最高点B 到地面的距离为21分米，1E=CD=3分米，DE=12分米，则BC所在圆的半径为 分米. A wKgc D 图① 图② 4.(2026四川内江中考真题)如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为12，则该圆 锥母线AB的长为」 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10元 5. (2026四川南充中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=8.分别以点A,C 为圆心，大于21C长为半径作弧，两弧交于M,N两点，直线MN分别交AC,AB于点D,E,则DE 的长为 D E B 6.(2026安徽·中考真题)项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2=c的正整数a,b，c是勾股数， a,b,c) 记为 设m,n为正整数，且m>n,因为（m-m+2mm=(r+n,所m2-,2mnm+)为勾服数 m2-n2,2mn,m2+n2） 本项目只研究形如 的勾股数， 【规律探究】 分别对m,进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： m 勾股数 序号 11/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (m2-n2,2mn,m2+n2） 2 1 (3,4,5) 1 (8,6,10) 1 2 3 2 (5,12,13) 3 1 (15,8,17） 4 4 2 (12,16,20) 5 3 (7,24,25) 6 … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： )m=5,n=1对应的勾股数是（一，一，一），序号为一 (2)勾股数 35,12,37） 对应的m=,n= ； 3)序号为15的勾股数是（一，一，—）· 【项目拓展】 4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m2+n的值随着序号的增大 而增大.他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m+n的值也会随着序号的增大而增大.请问他 的猜想是否正确？若正确，说明理由：若不正确，举例说明 7.(2026四川达州中考真题)综合与实践 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种 植甲、乙两种蔬菜.如图，实践小组的同学沿着小路AC（忽略小 背景 路宽度)把空地分成两个区域，其中I区域（△ABC)种植甲种蔬 菜，Ⅱ区域（△ACD)种植乙种蔬菜。 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 用测量工具测得：AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26 素材一 米，∠ABC=90°； 用200元购进甲种菜苗，1080元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价 素材二 比甲种菜苗的单价多20%，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的4倍多 200株： 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为75%，乙种菜苗成活率为 素材三 95%」 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积： (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价： 购买某种菜苗的费用 G- 3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本 实际成活的菜苗株数， 比较大小：C甲 G2(填“>” “<”或“=”) 8.(2026新疆中考真题)解决问题： 32 1)解方程：2xx+3 (2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一，如图，已知正方形 ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，求BF的长. D H G 13/13 专题20 等腰三角形及直角三角形（3考点32题） 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01等腰三角形 核心考查等边对等角、三线合一、等边三角形性质；选择填空为主，解答含尺规证明，常结合菱形、正多边形、扇形综合。 文化创新：木工作图、正六边形亭子、扇形圆锥联动；阅读探究：材料迁移式尺规作图；分类创新：等腰顶角 / 底角双情况讨论。 考点 02 直角三角形 围绕两锐角互余、斜边中线、折叠、旋转、网格命题，融合坐标系、滑动模型，侧重线段最值、网格无刻度作图。 模型创新：三角板叠放、墙角滑动隐圆求最值；网格创新：仅直尺作角平分线；变换创新：矩形折叠、坐标旋转求线段。 考点03 勾股定理及逆定理 基础考边长计算，中档结合赵爽弦图、月洞门实物，压轴为项目式探究、四边形面积综合，渗透数学史。 文化创新：李善兰出入相补、赵爽弦图；项目探究：勾股数规律、反例辨析；实际建模：园林月洞门、劳动空地面积计算。 考点01 等腰三角形 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】因为，根据菱形的性质可知，而，由M、N分别是的中点，根据中位线的性质即可求得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴． 2．（2026·天津·中考真题）如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 3．（2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． 4．（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 6．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 7．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点E，则____． 【答案】1 【分析】利用平行四边形对边平行且相等结合角平分线定义即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 8．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 9．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 10．（2026·贵州·中考真题）如图，在中，，垂足为，且，，则与之间的距离为__________． 【答案】 2 【分析】根据平行四边形的性质，得到，进而得到即为与之间的距离，易得为等腰直角三角形，得到，即可. 【详解】解：∵中， ∴， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴与之间的距离为2. 11．（2026·四川自贡·中考真题）正五边形与等腰按如图摆放，则_____． 【答案】 【分析】先根据正多边形的性质求出，再根据等腰直角三角形的性质结合三角形内角和定理得到，由即可得出结果． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∵是等腰直角三角形且， ∴，， ∴， ∴． 12．（2026·福建·中考真题）如图，是等边三角形，，，．求证：． 【答案】证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证． 【详解】略 13．（2026·山西·中考真题）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角． 【数学抽象】 将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板 中，以点 为圆心，长为半径作弧，交于点；以点 为圆心，长为半径作弧，与交于点；连接，，，即可得到特定度数的角，如和等． 【推广迁移】 受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知，作图步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交， 于点，；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接，可得． 结论“”成立的理由如下： 连接． 由步骤①可知，．… 任务： (1)图2中_____，_____； (2)补全“推广迁移”中的说理过程； (3)如图4，四边形表示一块木板，，．现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段（点在上），使．请用尺规在木板上作出裁割线（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)45，15 (2)解：连接，，如图， 由步骤①可知，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 由步骤②可知，． ∴为等边三角形． ∴． ∴； (3)解：如图，线段即为所求作的裁割线． 【分析】（1）判断出为等腰直角三角形，由此可得的度数，判断出为等边三角形，由此可得的度数； （2）添加辅助线，连接，，先由等边对等角得到．再得到为等边三角形，由此可得到结论； （3）作图步骤如下：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接交于点，由“推广迁移”中的结论可得． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径作弧，与交于点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）略 14．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在的内部有一点． (1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） (2)【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 【答案】(1)解∶如图，即为所求， (2) 【分析】（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、射线分别交于点C、点D，连接，作射线，以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、线段分别交于点E、点F，以P为圆心，为半径画弧，弧与射线相交于G，以G为圆心，为半径画弧，两弧相交于H，作直线，与射线，射线分别相交于点M、点N，则即为所求； （2）直接根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：画图略， 理由：由作图知：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：由作图知：， ∴劣弧的长度为． 15．（2026·河北·中考真题）按要求解答下列问题： (1)尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)如图1，直线即为所求； (2) 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明，即可证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得． 考点02 直角三角形 1．（2026·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出的长，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，最后在中利用勾股定理和含角的直角三角形性质求解 ． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， 于点 ， 是斜边上的高，也是中线， ， 在中，， ， 即 ， 在中， ， ， 根据勾股定理得 ， ∴， 解得． 2．（2026·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得到，可证明，得到，则可证明，再根据点A的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 3．（2026·湖南·中考真题）如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】因为，，，可得，，，逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，故B选项正确； ∵，∴不平分，故D选项错误； ∵，∴与不平行，故C选项错误； ∵，故A选项错误． 4．（2026·四川自贡·中考真题）如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得，，，，，轴， ， ， 中，， 在轴的负半轴， 的坐标为． 5．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 6．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于________________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据折叠的性质和含的直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由折叠的性质知，，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 8．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 9．（2026·江西·中考真题）如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线． (1)请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹） (2)若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________． 【答案】(1)如图， 即为所求； (2) 【分析】（1）由题意分别求出 的长度，取格点P，由题意可知， ，则有 ，再利用 得到 则可证 ，则可知 即为所求角平分线； （2）取格点H，则有 ， ，由（1）可知 ，利用锐角三角形函数求 的长即可． 【详解】（1）解：取 与网格交点P，连接 并延长交 于点Q， 即为所求； 由网格可知， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 为 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则 即为所求； （2）解：取格点H，由网格可知， ， ， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴． 考点03 勾股定理及逆定理 1．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到． 【详解】解：如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 2．（2026·四川广元·中考真题）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是__________． 【答案】 4 【分析】设四个全等直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为.根据图2菱形的对角线和得出的值，根据图3中间正方形面积及勾股定理得出的值，最后利用完全平方公式求出图1中间小正方形的面积． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长分别为，()，斜边长为 由图2可知，菱形的两条对角线长分别为， ∵菱形对角线的和为12 ∴， 即 由图3可知，中间正方形的边长为 ∵中间正方形的面积为20 ∴ 在直角三角形中，由勾股定理得 图1中间小正方形的边长为，其面积为 ∵ ∴， 解得 ∴． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 4．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 5．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，由尺规作图可得是的垂直平分线，容易证明，则，因此． 【详解】解：在中，， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·安徽·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】(1)24，10，26，7 (2)6，1 (3)11，60，61 (4)不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； ∵，， ∴序号从10增加到11时，的值减小， ∴他的猜想不正确． 【分析】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可． 【详解】（1）解∶当，时，，，， ∴，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， ∴，即， 又， ∴， 把代入，得， 解得， ∴勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， ∴序号为15时，，， ∴，，， 序号为15的勾股数是； （4）略 7．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】(1)平方米 (2)甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理证明是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴米 ∵米，米， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∴平方米； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ∴乙菜苗的单价为元， 答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 （3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株） 乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株） ∵ ∴ 8．（2026·新疆·中考真题）解决问题： (1)解方程：； (2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形的面积为100，正方形的面积为4，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）根据正方形的面积求出边长，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 经检验，当时，， 分式方程的解为； （2）解：正方形的面积为100，正方形的面积为4， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：或（舍）， 即的长为6． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 专题20等腰三角形及直角三角形 答案版 考点01等腰三角形 1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.1 8.20°或50° 245 10. 11.63 12.证明：BD⊥BC,CE⊥BC, .∠CBD=∠BCE=90°」 :△ABC是等边三角形， ∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60° ∴.∠ABD=∠ACE=150° 在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠ABD=∠ACE, BD=CE, 1/4 让教与学更高效 (3考点32题) 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.△ABD≌△ACE(SAS) ..AD=AE 13.(1)45,15 (②)解：连接BC,BD,如图， M B D 图3 由步骤①可知，AB=AC .∠ACB=∠ABC 在△ABC中，∠A=∠MAN=a, .∠ACB+∠ABC=180°-∠A=180°-a :∠ACB=180-a=90-_g 2 2 由步骤②可知，BC=BD=CD .△BCD为等边三角形. .∠BCD=60° :.∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°-g+60°=150°- 2； (3)解：如图，线段DE即为所求作的裁割线 B D A 图4 14.(1)解：如图，△OMN即为所求， 学科网 29 (2)30元 15.1)如图1，直线1即为所求： B 图1 (2)4 考点02直角三角形 1.A 2.A 3.B 4.A 5.c 6.1.5 3 1.2 8.2+V13N+2 9.(1)如图，BQ即为所求： www.zxxk.com 让教与学更高效 3/4 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 M ②26 考点03勾股定理及逆定理 1.B 2.4 3.10 4.13 5.3 6.(1)24,10,26,7 (2)6,1 3)11,60,61 (4)不正确， 理由：当m=5”n=4时，心+心=行+华=41：序号为 -)x5-2）+4=10: 当m=6'n=1时，m+=6+=37序号 (6-1)×6-2+1=11: 2 .41>37,10<11, .序号从10增加到11时，m2+n的值减小， 他的猜想不正确。 7.(1)144平方米 (2)甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6元每株 3)> 8.(1)x=9 (2)6