第8章 3.等腰三角形-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

28 ∴ △HAE≌△GEF.∴ HE=GF.∵ 在正方形ABCD 中,∠BDC=45°,∴ ∠FDG=∠BDC=45°.∴ ∠DFG= 45°.∴ △DFG 是等腰直角三角形.∴ GF= 22DF. ∴ HE=GF= 22DF.∵ ∠ADB=45°,AH⊥HD, ∴ △ADH 是等腰直角三角形.∴ HD=22AD.∴ DE= HD-HE= 22AD- 2 2DF.∴ BD-BE=DE= 2 2AD- 2 2DF.∵ 易得BD=2AD,∴ 2AD-BE= 2 2AD- 2 2DF.∴ AD=2BE-DF. 第24题 3. 等腰三角形 一、 1. C 2. C 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 二、 8. 100° 9. 6 10. 2 11. 5 12. 2 13. 20 21 14. 60 三、 15. (1) ∵ DE∥BC,∴ ∠C=∠AED.∵ ∠EDF= ∠C,∴ ∠AED=∠EDF.∴ DF∥AC.∴ ∠BDF=∠A (2) △ABC 是等腰直角三角形 解析:∵ ∠A=45°, ∴ ∠BDF=45°.∵ DF 平分∠BDE,∴ ∠BDE= 2∠BDF=90°.∵ DE∥BC,∴ ∠B+∠BDE=180°,即 ∠B=90°.∴ △ABC是等腰直角三角形. 16. (1) △BDE 是等腰三角形 理由:∵ BD 平分 ∠ABC,∴ ∠ABD=∠CBD.∵ BC∥ED,∴ ∠EDB= ∠CBD.∴ ∠EDB=∠ABD.∴ EB=ED.∴ △BDE 是等腰三角形. (2) ① B 解析:题图②中共有4个等腰三角形,分别是 △ABE、△ABG、△AFD、△CGF. ② ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ BC∥AD,AB∥DC. 与(1)同理,可得∠ABE=∠EBG=∠AEB.∴ AB= AE=3.∵ AF⊥BE,∴ ∠BAF=∠EAF.∵ BC∥AD, ∴ ∠EAG=∠AGB.∴ ∠BAF=∠AGB.∴ AB= BG=3.∵ AB∥FD,∴ ∠BAF=∠CFG.∵ ∠AGB= ∠CGF,∴ ∠CGF=∠CFG.∴ CG=CF.∵ CG= BC-BG=5-3=2,∴ CF=2 17. (1) ∵ AB=AE,∴ ∠B=∠E.在△ABC 和 △AED 中, AB=AE, ∠B=∠E, BC=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △AED. ∴ ∠BAC=∠EAD (2) 如图①,点D、E 即为所求作 (作法不唯一) (3) 如图②,点D、E 即为所求作(作法 不唯一) 第17题 18. (1) 在△ABC和△DFE 中, AB=DF, AC=DE, BC=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DFE.∴ ∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC.∴ GE= GC.∴ △GEC是等腰三角形 (2) AD∥l 解析:如图,过点A 作AM⊥直线l于点M, 过点D 作DN⊥直线l于点N,则∠AMB=∠DNF, AM∥DN.由(1)可知,△ABC≌△DFE,∴ ∠ABM= ∠DFN.在△ABM 和△DFN 中, ∠AMB=∠DNF, ∠ABM=∠DFN, AB=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△DFN.∴ AM=DN.∴ 四边形AMND 为平行四边形.∴ AD∥l. 第18题 4. 直角三角形与勾股定理 一、 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C 9. A 10. C 11. D 二、 12. 40 3 13. 2 65 3 14. k2+1 (k-1)2 15. 6或12 三、 16. (1) ∵ x2-4x+3=0,∴ (x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3 (2) 当3是直角三角形的斜边长 时,第三边的长为 32-12=22;当1和3是直角三角 形的两条直角边的长时,第三边的长为 12+32 = 10.综上所述,第三边的长为22或 10 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 106 3. 等腰三角形 ▶ 相应“答案与解析”见P28 一、 选择题 1. (2024· 凉 山)如 图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,DE 垂直平分AB 交BC 于点 D,连接AD.若△ACD 的周长为50cm,则 AC+BC 等于 ( ) A. 25cm B. 45cm C. 50cm D. 55cm 第1题 第3题 2. (2024·云南)已知AF 是等腰三角形ABC 底边BC 上的高,若点F 到直线AB 的距离 为3,则点F 到直线AC 的距离为 ( ) A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 7 2 3. (2024·自贡)如图,等边三角形钢架ABC 的立柱CD⊥AB 于点D,AB 长12m.现将 钢架的立柱缩短成DE,∠BED=60°,则新 钢架减少用钢 ( ) A. (24-123)m B. (24-83)m C. (24-63)m D. (24-43)m 4. (2024·眉山)如图,在△ABC 中,AB= AC=6,BC=4,分别以点A、B 为圆心,大 于1 2AB 的长为半径画弧,两弧交于点E、 F,过点E、F 作直线交AC 于点D,连接 BD,则△BCD 的周长为 ( ) 第4题 A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 5. (2024· 临夏)如图,在△ABC 中,AB= AC=5,sinB=45 ,则BC 的长为 ( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 第5题 第6题 第7题 6. (2024·青海)如图,在Rt△ABC 中,D 是 AC 的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC 的 长为 ( ) A. 3 B. 6 C. 3 D. 33 7. (2024·兰州)如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB 的度 数为 ( ) A. 100° B. 115° C. 130° D. 145° 二、 填空题 8. (2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的 度数为40°,则它的顶角的度数为 . 9. (2024·镇江)已知等腰三角形的两边长分 别为6和2,则第三边的长为 . 10. (2024·兰州)如图,四边形ABCD 为正方 形,△ADE 为等边三角形,EF⊥AB 于点 F.若AD=4,则EF= . 第10题 第11题 11. (2024·贵州)如图,在△ABC 中,以点A 为圆心,线段AB 的长为半径画弧,交BC 于点D,连接AD.若AB=5,则AD 的长 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 107 12. (2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB= AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC 交AC 于 点D.若BC=2,则AD 的长为 . 第12题 第13题 13. (2024·深圳)如图,在△ABC 中,AB= BC,tanB=512 ,D 为BC 上一点,且满足 BD CD= 8 5 ,过点D 作DE⊥AD,交AC 的延 长线于点E,则CEAC= . 第14题 14. (2024· 陕 西)如 图,在 △ABC 中,AB=AC,E 是边 AB 上 一 点,连 接 CE,在BC 的右侧作BF∥ AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13, BC=10,则 四 边 形 EBFC 的 面 积 为 . 三、 解答题 15. (2024·自贡)如图,在△ABC 中,DE∥ BC,∠EDF=∠C. (1) 求证:∠BDF=∠A; (2) 若∠A=45°,DF 平分∠BDE,请直接 写出△ABC 的形状. 第15题 16. (2024·江西)(1) 如图①,在△ABC 中, BD 平分∠ABC,交AC 于点D,过点D 作 BC 的 平 行 线,交 AB 于 点 E,请 判 断 △BDE 的形状,并说明理由. (2) 如 图 ②,在 ▱ABCD 中,BE 平 分 ∠ABC,交边AD 于点E,过点A 作AF⊥ BE,交DC的延长线于点F,交BC于点G. ① 图②中一定是等腰三角形的有 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 ② 已知AB=3,BC=5,求CF 的长. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　三 角 形　　　　 108 17. (2024·威海)(1) 如图①,在△ABE 中,点 C、D 在边BE 上,AB=AE,BC=ED.求 证:∠BAC=∠EAD. (2) 如图②,用直尺和圆规在直线BC 上取 点D、E(点 D 在 点E 的 左 侧),使 得 ∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法, 保留作图痕迹). (3) 如图③,用直尺和圆规在直线AC 上取 一点D,在直线 BC 上取一点E,使得 ∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法, 保留作图痕迹). 第17题 18. (2024·常州)如图,B、E、C、F 是直线l上 的四点,AC 与DE 相交于点G,AB=DF, AC=DE,BC=EF. (1) 求证:△GEC 是等腰三角形; (2) 连接AD,则AD 与l的位置关系是 . 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学