5.4.2正弦、余弦函数的性质第二课时教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦正弦函数、余弦函数的单调性与最值，通过过山车情景导入，联系上节课的定义域、值域、周期性、奇偶性，搭建知识支架，引导学生从已有认知过渡到新性质探究。 特色在于以数形结合为主线，通过图像分析正弦函数单调性，再让学生类比推导余弦函数性质，培养数学推理与直观想象核心素养。典例变式与表格对比帮助巩固应用，既提升学生抽象概括能力，又为教师提供清晰教学流程与实用资源。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 《正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）》 教学目标 1、通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的单调性、最值。 2. 借助正弦函数、余弦函数图象研究性质，渗透类比、数形结合的思想方法，提升直观想象、数学推理的核心素养。 教学重难点 1、教学重点： 通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的单调性、最值。 2、教学难点： 利用正弦函数、余弦函数的性质求解相关问题。 教学过程 一、创设问题情景，提出问题 教师活动：上一节课我们已经学习了正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，那么本节课我们继续来学习正余弦函数的其它相关性质。首先我们来思考一个问题。 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径. 教师活动：提问：(1)函数y＝sin x与y＝cos x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？ (2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？y＝sin x，y＝cos x在什么位置取得最大(小)值？ 提示　(1)单调性.　(2)最值，波峰，波谷。 【设计意图】通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。 二、新知教学 知识点一：单调性 由于之前提到对于周期函数，如果把握了它的一个周期的情况，就掌握了整个函数的情况。正弦函数是周期函数，观察图像，先研究在[]上的单调性。观察右图正弦函数图象，可以看到：当 由 增大到时，曲线逐渐上升，的值由-1增大到1；当 由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到-1。 的值的变化情况如下表格： 即，正弦函数y=在区间[]上单调递增，在区间[]上单调递减。由于周期性得：正弦函数在每一个闭区间[+2k+2k](k)上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[+2k+2k](k)上都单调递减，其值从1减小到-1. 教师活动：类似地，请同学们观察余弦函数在一个周期区间(如)上函数值的变化规律,完成下表。 由此可得，y=,x∈[-π,π],在区间[-π,0]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[0,π]上单调递减，其值从1减小到-1。 由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)2k] (k)上都单调递增，其值从-1 增大到1；在每一个闭区间[2k,(2k+1)](k)上都单调递减，其值从1减小到-1. 典例练习1：求函数的单调区间。 解：令 所以单调递增区间为 令，得 所以单调递减区间为。 变式训练：求函数y=sin(3x+) ，x∈的单调减区间. 【类题通法】求单调区间的步骤 (1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间； 第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”； 第三步：解关于x的不等式． (2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略． 典例练习2：比较下列各组中函数值的大小： （1）；(2) 解：（1）∵， ，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增。 ∴由π＜＜＜2π，得cos＜cos，即 (2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增， ∴sin 14°＜sin 70°. 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. 知识点二：最值 函数名 单调增区间 单调减区间 y=,x∈R [+2k+2k](k) [+2k+2k](k) y=,x∈R [(2k-1) 2k](k) [2k,(2k+1)](k) 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中得到： 正弦函数当且仅当 x=+2k,(k)时取得最大值1，当且仅当x=-+2k,(k)时取得最小值-1。 余弦函数当且仅当 x=2k(k)时取得最大值1，当且仅当 x=(2k+1),(k)时取得最小值-1。 典例练习3：求 y=cosx+1,x的最大值，最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合。 【设计意图】 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 3、 课堂小结 1.正弦函数、余弦函数的单调区间，最大值、最小值，见下表： 【设计意图】 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点 四、课后作业 1、完成“作业练习（第二课时）”内容。 2、总结今日所学，并完整绘制正弦函数、余弦函数性质的对比表格，示例如下。 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在(k∈Z)上单调递增， 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增， 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 学科网（北京）股份有限公司 $