高中数学单元测试——第四章概率与统计（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学概率与统计单元较难版测试，以珠算文化、环保绿化等真实情境为载体，覆盖随机变量、回归分析等核心知识，适配单元复习，提升数学思维与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|两点分布、回归方程均值、古典概型|结合珠算（题3）、奥运会旅客（题5）等情境，考查基础概念应用| |多选题|3题18分|事件独立性、独立性检验|养老院疾病调查（题10），强化逻辑推理与数据分析| |填空题|3题15分|正态分布、数学期望|《孙子算经》同余问题（题14），渗透文化传承与抽象能力| |解答题|5题77分|概率计算、回归分析、独立性检验|环保绿化与PM2.5浓度回归（题18）、产品满意度检验（题19），综合考查模型构建与数据解释能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．（本题5分）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（   ） A．2.5 B．3.5 C．3.5 D．2.5 5．（本题5分）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 6．（本题5分）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 7．（本题5分）已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 8．（本题5分）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．（本题6分）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示： 性别 是否患过某流行疾病 合计 患过该疾病 未患过该疾病 男 b 女 c 合计 80 110 下列说法正确的有（    ） 参考公式：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A． B． C．根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联 D．根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联 11．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量，随机变量，则________. 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 四、解答题 15．（本题13分）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 16．（本题15分）游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 17．（本题15分）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 18．（本题17分）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 2．（本题5分）根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】利用经验在归方程经过点,即可求出结果. 【详解】将代入方程，解得. 故选：B. 3．（本题5分）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据超几何分布的概率公式，可得答案，法二：根据正难则反的解题思想，可得答案. 【详解】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2， 则． 法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2， 则． 故选：A. 4．（本题5分）为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（   ） A．2.5 B．3.5 C．3.5 D．2.5 【答案】D 【分析】先求出对应的物理成绩的预测值，再根据残差的定义计算即可. 【详解】将代入得， 则样本点的残差为. 故选：D 5．（本题5分）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性及原则直接求解即可. 【详解】，，， ， ， . 故选：A. 6．（本题5分）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 7．（本题5分）已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 【答案】D 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 8．（本题5分）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定，即可表示出，列不等式组求最大时k的值，即可得答案. 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 10．（本题6分）某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示： 性别 是否患过某流行疾病 合计 患过该疾病 未患过该疾病 男 b 女 c 合计 80 110 下列说法正确的有（    ） 参考公式：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A． B． C．根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联 D．根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联 【答案】ABC 【分析】利用表格中提供数据可判断A正确，代入计算可判断B正确，结合附表参考数据可得C正确，D错误. 【详解】根据列联表中的数据可求得； 对于A，代入计算可得，正确； 对于B，经计算可得，可得B正确； 对于CD，结合附表数值以及独立性检验的实际意义，可认为根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，即C正确，D错误； 故选：ABC 11．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质、数学期望公式、方差公式计算可得答案. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知，故A正确； 由知，，，， 均值，C正确； 方差，故B错误，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量，随机变量，则________. 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 【答案】0.5/ 【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值. 【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称. 因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称. 已知3.5与关于对称，所以，可得：， 移项可得：. 故答案为：0.5. 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 【答案】/ 【分析】确定的可能取值，求得相应概率，由期望定义即可求解. 【详解】由题意，2，5，8模3同余，3，6，9模3同余，则取球次数的可能取值为3，4，5， ， ，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【分析】（1）先求解每个坑要补种的概率，进而求每个坑不需要补种的概率即可； （2）由题意知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且，再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率，从而可得分布列． 【详解】（1）由题意可知每个坑要补种的概率， 则每个坑不需要补种的概率为． （2）易知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且， 因此， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 16．（本题15分）游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列如下： . 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）第2次射箭的人是甲同学有以下两种情形： 情形一：第1次是甲同学，且射中； 情形二：第1次是乙同学，没射中， 所以第2次射箭的人是甲同学的概率为； （2）由题意可知， ，， ， 所以的分布列如下： 所以. 17．（本题15分）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得. 所以取到歌曲的概率为 18．（本题17分）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据公式求出可得答案； （2）根据已知求出线性回归方程，由解不等式可得答案 【详解】（1）因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为； （2）因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2) 0 1 2 3 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $