随机变量及其分布单元创新卷-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

演练篮做争校名师细新指中学生教理化 高二数学2026年4月 随机变量及其分布单元创新卷 ■福建省德化第一中学 吴志鹏（正高级教师） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分， 表2 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 X 1 2 3456 一项是符合题目要求的) 1.某地的小学生中有40%的同学爱好 ①P(X≥4)=1一P(X3): 书法，30%的同学爱好画画，50%的同学爱好 ②随机变量X的数学期望E(X)可以等 书法或画画。在该地的小学生中随机调查一 于3.5： 位同学，若该同学爱好书法，则该同学也爱好 1 画画的概率为()。 ③若力.=2(m=1,2,34,5),则p= A.0.8B.0.6 C.0.5 D.0.4 2.已知随机变量X服从正态分布N(, 2分 。2),若P(X≥-2)十P(X≥4)=1，则= ④数列{p。}的通项公式可以表示为p。= ()。 A.-1 B.1C.-2D.2 n(n+1)（n=1,2,3,4,5,6)。 3.已知某离散型随机变量X的分布列 则上述说法中正确的个数是()。 如表1所示。 A.1 B.2C.3D.4 表1 6.已知随机变量X,Y均服从两点分布， 0 2 且P(X=1)=名，P(Y=1)=号，若P(X- 1.Y=D=号，则pY=1X=0)=( )。 若E(X)= 4,P(X≥1)= 12,则D(X) A号号 C指 D.i =()。 7.甲、乙两人玩掷骰于游戏，每局两人各 A1授B号 c18n. 随机掷一次骰于，当两人的点数之差为偶数 时，视为平局，当两人的点数之差为奇数时， 4.已知A、B为两个随机事件，1> 谁的骰于点数大该局谁胜。重复上面的步 P(A),P(B)>0,则“A、B相互独立”是 骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平 “P(A|B)=P(A|B)”的()。 局4次时停止，记游戏停止时局数为X,则 A.充分不必要条件 P(X=4)=()。 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 AB是 c景品 D.既不充分也不必要条件 8.已知数轴上有一质点，从原点开始每 5.设随机变量X的分布列如表2所示。 隔1秒向左或向右移动一个单位长度，设它 13 中学生表理化离链皱学名放条华创新整 向左移动的候率为子，向有移动的概率为 1 后，健于传到乙的概率为P,前n次踢建于 的过程中，传到乙的次数为X。,则( )。 已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负 数，则2秒后该质点在x=0处的概率为 A.P:=16 )。 63 B.D(X:)= 256 A 1 . c号 D.g 1 C.P.=41-P.-)n≥2) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 D.P。= ()+号 1 20 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分， 选对的得部分分，有选错的得0分) 共15分) 9.在一次随机试验中，定义两个随机事件 12.小明同学住所周围有A,B两家图书 A和B,若PA)=石PB)= ,则( )。 馆，小明同学第1天下午随机地选择一家图 书馆去看书。如果第1天下午去A图书馆， A.P(A)= 6 那么第2天下午去A图书馆的概率为0.6： 如果第1天下午去B图书馆，那么第2天下 B.若A与B互斥，则P(AB)= 24 午去A图书馆的概率为0.8。小明同学第2 C}≤P(A+B) 5 天下午去A图书馆看书的概率为 13.在一次无人机搜索目标演习中，n架 D.若A与B相互独立，则A和B至少 无人机组成一个搜索小队，每架无人机独立 有一个发生的概率为品 发现目标的概率均为了，且互不影响。若搜 10.下列结论正确的是( )。 索小队中至少有一架无人机发现目标，则搜 A.随机变量X服从二项分布B(3,), 索任务成功。要使搜索任务成功的概率超过 90%,则n的最小值是 Y=2X+1,则D(Y)=3 B.这组数据：0,7,5,1,6,11,12的第70 14.设随机变量发满足P(=)=子（其 百分位数为6 中i=1,2,3,4),直线y=x一2与抛物线T: C.一箱苹果有一级苹果和二级苹果共 y=ax(a>0)的公共点个数为随机变量X, 10个，其中有n(0<n<10且n∈N")个二级 若X的数学期望E(X)-子则抛物线r的 苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个 焦点坐标为一。 二级苹果的概率为是，则1=4 四、解答题（本题共5小题，共77分。解 D.随机变量X服从正态分布N(5,a), 答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤) 15,(本小题13分)某中学举办“铭记历 且P(2<X<5)=a,则P(X>8)= 2-a 史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”问答比赛 11.踢建于源于汉朝，是中国民间传统运 活动。某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时 动项目之一。某学校高三年级为了增强学生 回答一道有关航空航天知识的问题。已知甲 身体素质，缓解学生备考压力，开展踢建于活 3 同学回答正确这道题的概率是4，甲、丙两位 动。已知某踢建于小组由5人组成（包含甲， 乙)，每个人踢出的建于都等可能地传给其他 同学都回答错误的概率是12，乙、丙两位同学 4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢 出的建于都能被接住。记第n次踢出键于 都回答正确的概率是日。若各位同学回答是 14 演练数室较名师卸新誊中学生数理化 高二数学2026年4月 否正确互不影响 立，则该学生至少通过一个项目的概率是行。 (1)求乙、丙两位同学各自回答正确这道 题的概率； 求该学生体能测试合格的可能性。 (2)求甲、乙、丙三位同学中不少于两位 (3)规定日均锻炼时长不少于40分钟为 同学回答正确这道题的概率。 运动积极型学生。现从样本中有放回地抽取 16.(本小题15分)为科普卫生防疫知识， n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运 某学校举办了一次卫生防疫知识竞赛，此次竞 动积极型学生的概率不低于95%，则至少需 赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前 抽取多少次？（参考数据：1g2≈0.3010） 90名的学生可以参加决赛。已知全校共有 18.(本小题17分)某种量于加密技术所 4000名学生参加了初赛，初赛成绩Z服从正 用光于有两种指向：“0指向”和“1指向”。光 态分布N(μ，o),其中4=72，o2=64。 于的发送和接收模式相同时，接收器测量到的 (1)已知学生甲的初赛成绩为87分，利用 光于指向信息与发送信息一致，否则测量出相 该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛。 异的指向信息。现发射器从两个“1指向”、两 (2)决赛规则如下：每位学生的初赛成绩 个“0指向”的光于中随机选择两个依次发送， 直接计入决赛成绩；每位学生需解答10道决 每次发送相互独立。每次光于的接收和发送 赛题，每题5分：每答对一道题，决赛成绩加5 模式相同的概率为分，不同的概率为子，每次 分，答错时既不加分也不减分。已知参加决 接收相互独立。 赛的学生乙的初赛成绩为90分，他答对每道 (1)求发射器第一次发送“0指向”光于 题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互 的条件下，第二次发送“1指向”光于的概率； 独立，求他决赛成绩的数学期望和方差。 (2)记发射器共发送“0指向”光于个数 附：若Z一N(u,σ“)，则P(4一oZ 为X,求X的分布列： μ+o)≈0.6827，P(h-2o≤Z≤u+2。)≈ (3)已知接收器测量到两个“1指向”光 0.9545,P(h-3o≤Z≤+3o)≈0.9973。 于，求发送器正好也是发送两个“1指向”光 17.(本小题15分)体育锻炼有助于学生 于的概率。 全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随 19.(本小题17分)甲、乙两队进行乒乓 机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率 球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得 分布直方图，如图1所示。 三场比赛的队伍获胜。已知每场比赛甲队获 ◆频率组距 0.035… 0.030 胜的概率为（侵≤力<]）小，乙队获胜的概率 为1一p,且每场比赛的结果相互独立。 0.015 0.010 当p=号时： 0V203040506070日均时K分钟 ()求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进 图1 行了四场的概率； (1)估计这100名学生日均体育锻炼时 (ii)记比赛结束时的场数为X,求X的 长的平均数。 分布列和数学期望E(X)。 (2)学校决定从体育锻炼时长50分钟到 (2)若比赛结果为3：0或者3：1，则胜 方的成长值记3分，负方记0分：若比赛结果 60分钟的学生中任意抽出1名学生参加体 能测试，共设三个项目，通过两个项目即表示 为3：2，则胜方的成长值记2分，负方记1 分。求甲队本次比赛的成长值得分的期望 该学生体能测试合格。若该学生项目通过率 E(Y),并求E(Y)的取值范围。 分别为2·号。，备项目的测试结果相互独 (责任编辑赵倩) 15黄修情名整密卷脑资室提香中学生款理化 随机变量及其分布单元创新卷参考答案 一、单选题 7.D 提示：甲、乙每次掷骰于1次，若两 1.C2.B3.C4.C 人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，故平 5.C提示：易知P(X≥4)=p:+p+ 局的概率p1= 2×3×3_1 p,P(X≤3)=p1十p:十p,且p1+p2+ 6×6=2:若甲胜，则结果 p:+p:十p,十p6=1,所以P(X≥4)=1 有(2,1)，(3,2)，(4,1)，(4,3)，(5,2)，(5,4)， P(X3),①正确。 (6,1),(6,3),(6,5),共9种，故甲胜的概率 91 当p1=p:=p=p:=p=p6=6时，随 力一6又6子。同理，乙胜的概率也为 机变量X的数学期望E(X)=3.5,②正确。 游戏停止时局数为4，若4次全平局，则 若=（m=12,845):结合十 概率为（分）》=6：若平局2次，则最后1次 p2十p,十p:十p,十p:=1可知，p=1一 不能是平局，且有2次甲全胜或乙全胜，故概 1 率为心（兮）×子××2=品若平局0次， 3 ++++)=1- ×1-是) 1、1 则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次 2 2,③正确。 中故概率为×子×()×2= 所以P(X=4)= 131_11 1 若数列(p.}的通项公式为p.一n(n+1) 16+32T6464 8.B提示：根据题意，质点2秒内移动 m=12,3,4,5,6,则p.=1-1 nn+1,此时 了2次，设向右移动的次数为X,A=“质点2 秒后所在位置对应的实数为非负数”，B=“2 111 p1十p:+p,+p:+p+p:=1-2+2 秒后该质点在x=0处”。 若质点2秒后所在位置对应的实数为非 6一7=7≠1，不满足分布列的性 3+…+11=6 负数，则X≥1，P(A)=P(X≥1)=1-P(X 质，④错误。 6.D提示：因为X服从两点分布，且 =0=1-()=8 若2秒后该质点在x=0处，则X=1, P(水=1)三号，所以P(X=0)=1-P(X 0=1-3-3 P(B)-P(AB)-P(X-D-CXx 枚所求概率为P(BA)=PX P(X=1) 由全概率公式得P(Y=1)=P(X=0, Y=1D+P(X=1Y=1D,即子=P(X=0,Y 9 2。 号故PX=0Y=1D= =1)+ 9 由条件概率公式得P(Y=1|X=0)= 二、多选题 4 9.AC P(X=0,Y=1)15_4 提示：P(A)=1-P(A)=1- 6 P(X=0) 2 6,选项A正确。 45 中学生款理化离皱学名故务操新参答案与提示 由A与B互斥，得事件A与B不能同 时发生，即P(AB)=0,选项B错误。 -d-P.),选项C正确 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 由P。= 1-P,),得P.-= 1 当A三B时，P(AB)=P(A),此时P(A+ B)取得最小值P(B)=,当A与B互斤 时，P(AB)=0,此时P(A+B)取得最大值 所以数列{P.一号}是以品为首项，一千为公 PA)+P(B)=行+}最选项C正确。 15 比的等比数列，卫.-吉=品×(》，即 A与B相互独立，则P(AB)=P(A)· P.= ×()+ ,选项D正确。 1 P(B)=24,故P(A+B)=P(A)+P(B)- 三、填空题 P(AB)= 113 6+4一24=8，进项D错误。 12.0.7 13.6提示：由题意知，每架无人机不能 10.AD 提示：D(X)=3×号 × 发现目标的概率为1一日-号，所以搜索小 (1-)=,DY)=D(2X+1D=4D(X) 队中至少有一架无人机发现目标的概率为 =4X子-3，墟项A正确。 1- 层）。令1-（号广>90%，则（层）< 数据从小到大排列为0,1,5,6,7,11， 品而()-器>品>()-所以 12,共7个数，可知7×70%=4.9，则第70百 n≥6，故n的最小值是6。 分位数是第5个数7，选项B错误。 14.(0,2)提示：设分别取1,2,3,4 易知”(10-n) 8 5,解得”=4或6，选 时，对应的直线与抛物线下的公共点个数分 Cio 别是m1,m2,m3,m4,则m:∈{0,1,2}，其中 项C错误。 i=1,2,3,4。 X服从正态分布N(5,。2),则P(2< X<5)=P(5<X<8)=a,所以P(X>8)= 从而P(X=m,)=P(=)=子，所以 1 一a,选项D正确。 E(X)= 又=m+m:十m+m,故m,十m 4 4 11.BCD 提示：由题意知P,=子，P: 十m3+m:=7。因为m:∈{0,1,2}，所以必 有三个m:取值为2，一个m,取值为1，i,j∈ 子1-P,)=是准项A错误。 (1,2,3,4},i≠j。 设直线y=jx一2与抛物线y=a.x相 由题意知X:的可能取值为0,1，P(X。 =0)= ()=P(X:=1D-是×1+是× 切，由=x-2, 得ax2-jx+2=0。由 ly=ax2, 9 7 7 △=j-8a=0,得8a=j。 4=16,所以E(X:)=0×16+1×16=6 对于其余i≠j的三个值，直线y=ix一 Dx)=0-6)广×是+1-6)'×g 2均与抛物线有两个交点，则△=i一8a>0, 所以i>j。在i,方∈(1,2,3,4}中，只有当 63 256,选项B正确。 j=1,i∈{2,3,4}时，满足>j。 因此直线y=x一2与抛物线y=a.x2相 由题意知第n-1(n≥2)次踢出建于后， 建子没有传到乙的概率为1一P。-1,所以P 切，即m1=1,a= 8。所以抛物线方程为 1 46 演练篇名校名师创新卷答案与提示 高二数学2026年4月 中学生数理化 x=8y,焦点坐标为(0,2)。 3 四、解答题 25,其中0≤力≤1，解得力=亏。 15.(1)记A=“甲同学答对这道题”， 则该学生体能测试合格的概率P=× B=“乙同学答对这道题”，C=“丙同学答对 3 这道题”，则p(A)三年·P(A)·P(C)=2 兰×-)+安×1-)×是 1 P(B)·P(C)= (1-)×号×是+2×号×g=号 251 52 6 (3)由频率分布直方图可得日均锻炼时 解得P(B)=子，PC)=号 30 长不少于40分钟的学生占的比例为1一10× (2)有两位同学回答正确的概率P:= (0.01十0.015)=0.75，则每次抽到1名运动 PABC+ABC+ABC)-子×子×号+ 积极型学生的概率为0.75。 故1-(1一0.75)"≥0.95，即0.25”≤ ××号+子×是×号-器 0.05,两边取对数可得1g0.25”1g0.05,即 1 有三位同学回答正确的概率P,= n1g0.25≤1g0.05,解得n≥1g0.05 1g20 P(ABC)=P(A)·P(B)·p(C)=3X 1g0.25 1 4 1g4 ×2=1 =-1g20-1+1g2≈1+0.3010 K3=8 -1g421g22×0.3010 ≈2.16，故 故不少于两位同学回答正确的概率P= 至少需抽取3次。 P:+P,器+日器 18.(1)设事件M=“发射器第一次发送 ‘0指向'的光于”，事件N=“第二次发送‘1 16.(1)由题意得P(Z≥88)=P(Z≥ 指向’的光于”。 u+2a)=2[1-P(r-2a≤Z≤+2a)]= 第一次发送“0指向”光于后，还剩下一 个“0指向”光于和两个“1指向”光于，共三个 2×1-0.9545)=0.02275. 光于，从这三个光于中选一个“1指向”光于 作为第二次发送的光子，共有两种情况，则 则全校4000名参加初赛的学生中成绩 不低于88分的人数为4000×0.02275= PN1M)=号- 91>90,所以甲没有资格参加决赛。 (2)由题意知，X=0,1,2。 (2)设决赛中学生乙答对的题数为X,其 决赛成绩为Y,则Y=5X+90。 P(X=0)=A=1 A ,P(X=1)= 由题意得X~B(10,0.8),则E(X)= CCA 2 10×0.8=8,D(X)=10×0.8×0.2=1.6。 A P(X=2)-A-日 所以E(Y)=5E(X)+90=130,D(Y) 所以X的分布列如表1所示。 =25D(X)=40. 表1 17.(1)由题意知，这100名学生日均体 0 2 育锻炼时长的平均数为直方图中每个矩形的 P 底边中点乘以每个矩形面积的和，即25×10 6 3 6 ×0.01+35×10×0.015+45×10×0.035+ (3)设事件A=“接收器测量到两个‘1 55×10×0.03+65×10×0.01=46.5。 指向'光于”，事件B:=“发射器发送了i个1 (2)该学生至少通过一个项目的概率是 指向'光于”，i=0,1,2。 器则1-1-2)×1-)×1-p) 由(2)与等价性可知P(B)= 6,P(B1) 47 中学生数理化 演练篇名校名师创新卷答案与提示 高二数学2026年4月 1 3P(B)= +c(哈)×（合）》×是 由题意知，P(AB,)=号×号=台 2. 所以X的分布列如表2所示。 表2 3 5 P 9 4 由全概率公式得P(A)=之P(B)· 1 3 E(X)=3×+4 8+5X - P(A|B:)= 日×号+号×号+×品 1 (2)甲队本次比赛的成长值得分Y的可 能取值为3,2,1,0。 P(B,A) 所以P(B,|A)= P(A) P(Y=3)=p3+Cp×(1-p)×p= 1..1 p3(4-3p); P(B:)P(AB2) 6×91 P(Y=2)=C号p2×(1-p)2×p=6p3(1 P(A) 13 13 一p): 54 19.(1)(1)设事件A表示“比赛恰好进行 P(Y=1)=Cp×(1-p)2×(1-p)= 四场”，事件B表示“甲队获胜”。 6p(1-p)3; 甲队获胜包含三种情况：比赛三场甲队 P(Y=0)=(1-p)3+Cp×(1-p)2× (1-p)=(1-p)3(1+3p)。 获胜，共概率为（分）广-日：比赛四场甲队 故E(Y)=3×p3(4一3p)+2×6p(1 获胜，即前三场甲队胜两场，第四场甲队胜， p)2+1×6p(1-p)3+0×(1-p)3(1+3p) 其概率为 心（）厂×号×号=比赛五场 3 =6p-15p+6p3+6p2。 令h(p)=6p-15b+6p+6p 甲队获胜，即前四场甲队胜两场，第五场甲队 (2≤p.则A(p)=6p6r-10p+3动+2 胜，其概率为 (合)×（合）×名- 令f(p)=5p-10p2+3p+2,则 综上，甲队获胜的概率P(B)= 3 8+16 f'(p)=15p-20p+3,判别式△=(-20)2 +3 -4×15×3=220>0。 Γ162。 故f'(p)=0的两根为D1=10二55 15 甲队获胜且比赛恰好进行四场的概率 P(AB)= c()'××- 1 10+√55>1。 15 故在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行 所以了()在[日1)上单调递减，(p 了四场的概率P(A|B)= P(AB) 163 >f1)=0.则M'(p)>0,h(p)在[径1)上 P(B) 1 单调递增。 (i)X 的可能取值为3,4,5。 当p=时h(p)=: P(X=3)= c(3)+c()= 当p1时，h(p)>3。 p(x=)=c(分)》x×2×2+c(2)》×号 所以号≤A()<3,故E(Y)的取值范国 是[) (责任编辑赵倩) 48