高中数学单元测试——第三章排列、组合与二项式定理（较易版02）

**基本信息** 高中数学第三章排列、组合与二项式定理单元复习卷（较易版），覆盖基础概念与应用，融入文化情境（如六艺排课），适配单元巩固，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|真分数构成、集合元素取法、排列数计算|基础概念辨析，如坐标系矩形计数（数学眼光）| |多选题|3/18|排列与组合区别、小球放盒子问题|结合实际情境，如不同小球放盒（数学思维）| |填空题|3/15|二项式系数、区域涂色|创新应用，如风筝涂色方案设计（数学语言）| |解答题|5/67|方程不等式求解、二项式定理应用、整除证明、概率计算、三项式系数探究|分层设计，从基础运算到创新探究，如用二项式定理证明整除（数学思维）|

高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【分析】使用列举法表示即可. 【详解】由题可知：不同真分数有：，共10个. 故选：B 2．（本题5分）集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合的概念和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从集合A中取1个元素有种方法，从集合B中取1个元素有种方法， 所以从两个集合中各取1个元素有种方法. 故选：B. 3．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义和排列数公式判断即可. 【详解】， 故选：B. 4．（本题5分）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列计数原理可求得结果. 【详解】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 5．（本题5分）在平面直角坐标系xOy上，平行直线x＝m(m＝0，1，2，3，4)与平行直线y＝n(n＝0，1，2，3，4)组成的图形中，矩形共有（    ） A．25个 B．100个 C．36个 D．200个 【答案】B 【分析】分别在两组直线中任取两条，利用组合数即可求解. 【详解】解析：＝10×10＝100， 故选：B． 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 【答案】A 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】由，可得展开式的通项公式为， 因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以， 解得，所以. 故选：A. 7．（本题5分）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 8．（本题5分）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【分析】将系数相同的变量合并换元，即设， 讨论和时的取值，利用隔板法求出解的组数，最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组． 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空， 只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可， 所以不同的放法种数为，A错误； 对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为，B正确； 对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以不同的放法种数为，C正确； 对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有（种）情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以不同的放法种数为，D错误． 故选：BC. 11．（本题6分）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 三、填空题 12．（本题5分）________． 【答案】 【分析】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【详解】因为． 故答案为： 13．（本题5分）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 【答案】420 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：420. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数公式求解； （2）根据组合数公式求解. 【详解】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 16．（本题15分）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项． 【答案】(1) (2)第4项． 【分析】（1）直接利用展开式的次幂得到展开式的项数，进一步求出二项式系数的最大项； （2）利用展开式求出系数的绝对值的最大项． 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第6项， 所以． （2）（2）设第项的系数的绝对值最大， 故 整理得，，解得，所以． 故系数的绝对值最大的项为第4项． 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）把转化成再经二项展开后提取14得证； （2）用二项式定理展开并放缩，从而证明不等式． 【详解】（1）证明：（1）原式 ， 上式是14的倍数，故原式能被14整除． （2）当时，左边=右边=2， 当时， ， ， 综上，，得证． 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分个位是不是0讨论，结合古典概型概率计算公式求解. （2）先弄清能被9整除的数字组合，再求能被9整除的数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. （3）分情况讨论，先求比4510大的四位数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. 【详解】（1）组成的所有四位数共有（个）． 当这个四位数是偶数时： ①若个位数字是0，则有（个）； ②若个位数字不是0，则有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数为偶数的概率为． （2）能被9整除的数，其各个数位上的数字之和能被9整除. 数字组合为：，，，， 此时共有这样的四位数（个）． 故能组成被9整除的四位数的概率为． （3）对比4510大的四位数进行分类： ①当千位是4，百位是5时，有（个）； ②当千位是4，百位是6时，有（个）； ③当千位大于4时，有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数比4510大的概率为． 19．（本题17分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2) (3) 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 2．（本题5分）集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）在平面直角坐标系xOy上，平行直线x＝m(m＝0，1，2，3，4)与平行直线y＝n(n＝0，1，2，3，4)组成的图形中，矩形共有（    ） A．25个 B．100个 C．36个 D．200个 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 7．（本题5分）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 8．（本题5分）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 11．（本题6分）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）________． 13．（本题5分）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 16．（本题15分）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项． 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 19．（本题17分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $