高中数学单元测试——第三章排列、组合与二项式定理（较易版01）

**基本信息** 高中数学第三章排列、组合与二项式定理单元复习卷（较易版），以生活情境为载体，覆盖核心知识点，梯度设计适配单元巩固，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分类分步计数原理、排列组合应用|电影选片（题1）、节目安排（题7）等情境，基础巩固| |多选题|3/18|排列概念、小球放盒问题|辨析排列与组合（题9），培养推理意识| |填空题|3/15|涂色问题、二项式定理|四棱锥顶点涂色（题13），体现空间观念| |解答题|5/87|方程求解、二项式证明、综合应用|结合函数证明二项式系数性质（题19），发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 3．（本题5分）计算（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 4．（本题5分）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 5．（本题5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 10．（本题6分）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 11．（本题6分）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）________． 13．（本题5分）如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有___________种. 14．（本题5分）的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 18．（本题17分）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 19．（本题17分）从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 3．（本题5分）计算（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】利用排列数公式计算得解. 【详解】. 故选：B 4．（本题5分）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 【答案】C 【分析】特殊讨论能被5整除末位为0或5，且0不能在首位. 【详解】被5整除则末位为0或5，若末位为0，则， 若末位为5，则，故共有220个， 故选:C. 5．（本题5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解. 【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种， 正方体表面四点共面不能构成四面体有种， 正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种， 所以可得到的四面体的个数为种， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键. 6．（本题5分）的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，即可求出结果. 【详解】因为第8项的二项式系数为，由组合数的对称性知， 所以第项的二项式系数与第8项的二项式系数相等， 故选：B. 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 10．（本题6分）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【分析】先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果验证A；确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果验证B；只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证C；问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证D. 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 11．（本题6分）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 三、填空题 12．（本题5分）________． 【答案】 【分析】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【详解】因为． 故答案为： 13．（本题5分）如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有___________种. 【答案】6 【分析】先涂点，再涂点、，此时分颜色相同和颜色不同两种情况，即可得出四点的涂色情况，再利用分步乘法计数原理即可. 【详解】先给点涂色，因为有红、黄、蓝3种颜色可供选择，所以点有3种涂色方法； 再给点、涂色，若颜色相同，则需与点不同，有种，则点、只有1种； 若颜色不同，则点、无法保证同一条棱的两个顶点不同色， 则共有种 故答案为： 14．（本题5分）的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 【答案】85 【分析】写出的二项展开式的通项公式，再由为整数，求出有理项的二项式系数即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为，. 所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项， 其对应的二项式系数分别为：，，， 故所有有理项的二项式系数和为. 故答案为：85. 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可； （2）根据组合数的性质与排列数公式解方程. 【详解】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式，令的次数为0，即可解得常数项. （2）根据通项公式，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数最大项. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，解得，则展开式的常数项为. （2）设第项的系数最大，则， 解得， 由于为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为． 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）把转化成再经二项展开后提取14得证； （2）用二项式定理展开并放缩，从而证明不等式． 【详解】（1）证明：（1）原式 ， 上式是14的倍数，故原式能被14整除． （2）当时，左边=右边=2， 当时， ， ， 综上，，得证． 18．（本题17分）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 【答案】(1)20； (2)360； (3)216. 【分析】（1）根据题意利用组合数计算即可； （2）根据题意利用排列数计算即可； （3）先利用组合数求出从6个学生中选2名男生和2名女生的选法，再利用排列数计算出将4人安排到四个不同活动的方法数，再由分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）由题意，从6人中选出3人参加一项活动，共有种选法. （2）从6人中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有种选法. （3）由题意，先从中3名男生和3名女生中选出男生2人，女生2人，有种选法； 再将4人安排参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加，有种方法， 所以，总共有种选法. 19．（本题17分）从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析﹒ 【分析】(1)借助于杨辉三角可以画出图象； (2)借助于组合数公式，，利用组合数公式的阶乘式化简即可； (3)结合函数单调性的判断方法：满足时对应的是递增，时对应递减．由此再结合的奇偶性下结论． 【详解】（1） （2）证明：， ． （3）证明：由（2）得． 令得． 为正整数，此时，中间两项的二项式系数最大； ②若是偶数，则当时，是递增的，故最大，所以中间一项的二项式系数最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $