高中数学单元测试——第三章排列、组合与二项式定理（较难版01）

**基本信息** 高中数学排列、组合与二项式定理单元复习较难卷，覆盖基础应用到综合探究，结合北斗七星、影城选电影等情境，体现数学眼光、思维与语言，适配单元巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合基本原理、有限制排列|影城选电影等生活情境，基础巩固| |多选题|3/18|排列概念、小球入盒问题|辨析排列与组合，能力提升| |填空题|3/15|组合选法、染色问题、二项式常数项|7区域染色，创新应用| |解答题|5/77|方程求解、二项式证明、竞赛报名、二项式系数性质|函数角度分析二项式系数，综合探究|

高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 2．（本题5分）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理可得. 【详解】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 3．（本题5分）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数的定义可得出结果. 【详解】. 故选：A. 4．（本题5分）从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 【答案】C 【分析】根据题设千位可选7,8，个位可选1,5,7，其它两个数在余下的数字任选2个，应用分类分步计数原理及排列数求四位数的个数. 【详解】因为组成的四位数大于7000，所以千位上的数字只能是7或8． 因为组成的四位数是奇数，所以个位上的数字只能是1，5或7． 若千位上的数字是7，则个位上的数字只能是1或5， 故符合题意的四位数有； 若千位数字是8，则个位上的数字是1，5成7，故符合题意的四位数有（个）． 综上，符合题意的四位数共有（个）． 故选：C． 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果. 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 6．（本题5分）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 【答案】B 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得展开式中含项的系数 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，所以， 故的展开式中含有项的系数为-10. 故选：B 7．（本题5分）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【答案】C 【分析】利用插空法结合排列组合的知识即可求解. 【详解】先排乙班和丙班的学生，有（种）， 又甲班的2名同学不相邻，利用插空法得（种）， 综上，共有（种）. 故选：C. 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 【答案】BCD 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A：不存在顺序问题，不是排列问题； 对于B：存在顺序问题，是排列问题； 对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； 对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． 故选：BCD 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空， 只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可， 所以不同的放法种数为，A错误； 对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为，B正确； 对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以不同的放法种数为，C正确； 对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有（种）情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以不同的放法种数为，D错误． 故选：BC. 11．（本题6分）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法求解. 【详解】对于A：令得，A错误； 对于B：令得①， 令得②， ①+②得， 所以，B正确； 对于C：①-②得， 所以，C错误； 对于D：令得， 又，所以，D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 【答案】52 【分析】用总的选法种数减去1位女生都不入选的选法种数，即可得至少1位女生入选的选法种数. 【详解】从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，总的选法种数为种， 1位女生都不入选，即4位男生中3位男生入选的选法种数为种， 因此至少1位女生入选的选法种数为种. 故答案为：52. 13．（本题5分）在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有______种. 【答案】3660 【分析】先分区域同色和区域异色两种情况，再根据的颜色结合分步计数原理列式计算求解； 【详解】解法1：  若区域同色，则有种填色方法，此时有4种，有3种，有2种.由对称性可知，有3种，有2种，共有种. 若区域异色，则有种填色方法，有3种． 此时的颜色可再分两类，即同色时，有3种；异色时，有2种，有2种．与对称，共有种． 综上可得，，故不同的染色方法有3660种． 解法2 ：根据题意可得，故不同的染色方法有3660种． 故答案为：. 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可； （2）根据组合数的性质与排列数公式解方程. 【详解】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式，令的次数为0，即可解得常数项. （2）根据通项公式，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数最大项. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，解得，则展开式的常数项为. （2）设第项的系数最大，则， 解得， 由于为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为． 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）把转化成再经二项展开后提取14得证； （2）用二项式定理展开并放缩，从而证明不等式． 【详解】（1）证明：（1）原式 ， 上式是14的倍数，故原式能被14整除． （2）当时，左边=右边=2， 当时， ， ， 综上，，得证． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 19．（本题17分）从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析﹒ 【分析】(1)借助于杨辉三角可以画出图象； (2)借助于组合数公式，，利用组合数公式的阶乘式化简即可； (3)结合函数单调性的判断方法：满足时对应的是递增，时对应递减．由此再结合的奇偶性下结论． 【详解】（1） （2）证明：， ． （3）证明：由（2）得． 令得． 为正整数，此时，中间两项的二项式系数最大； ②若是偶数，则当时，是递增的，故最大，所以中间一项的二项式系数最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 2．（本题5分）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．（本题5分）可表示为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 6．（本题5分）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 7．（本题5分）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 二、多选题 9．（本题6分）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 11．（本题6分）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 13．（本题5分）在如图的7块区域中，用5种颜色填充，且相邻区域不同色，不同的染色方法有______种. 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 19．（本题17分）从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $