高中数学单元测试——第三章排列、组合与二项式定理（适中版01）

**基本信息** 高中数学第三章排列、组合与二项式定理单元复习卷，知识覆盖全面，题型梯度分明，融合数学文化与实际应用，适配单元巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|组合应用（至少买两本）、二项式定理（展开式常数项）|基础计算与概念辨析，如“2位同学报5个小组”考排列| |多选题|3/18|排列概念辨析、小球入盒模型（相同与不同球）|选项分层，如“6个不同球入4盒恰1空盒”考分类讨论| |填空题|3/15|涂色问题（赵爽勾股图区域）、二项式系数和|结合数学文化，如7色涂5区域考相邻元素排列| |解答题|5/77|杨辉三角性质证明、排列组合实际应用（节目添入）|综合探究，如杨辉三角求和与证明体现推理思维|

高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（本题5分）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，则__________ 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 16．（本题15分）已知二项式的展开式中的系数为，常数项为，且. (1)求的值； (2)求展开式中系数最小的项. 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 18．（本题17分）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】根据分类，结合组合即可求解. 【详解】至少买其中两本，包括买两本和买三本两种情况. 买两本的方案数为种， 买三本的方案数为种，所以购买方案共有种. 故选：A 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 4．（本题5分）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列计数原理可求得结果. 【详解】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 5．（本题5分）在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 【答案】A 【分析】应用组合数求可作的平面数即可. 【详解】由题意不可能出现3点共线的情况，所以一共可以作个平面. 故选：A 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可. 【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得， 则展开式的通项公式为， 由，解得， 所以该展开式中的常数项为. 故选：A. 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空， 只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可， 所以不同的放法种数为，A错误； 对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为，B正确； 对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以不同的放法种数为，C正确； 对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有（种）情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以不同的放法种数为，D错误． 故选：BC. 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）已知，则__________ 【答案】 【分析】根据条件，利用组合数的性质，即可求解. 【详解】因为，则或，解得或， 又，所以，则， 故答案为：. 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 【答案】4410 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数公式求解； （2）根据组合数公式求解. 【详解】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 16．（本题15分）已知二项式的展开式中的系数为，常数项为，且. (1)求的值； (2)求展开式中系数最小的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，代入求解即可； （2）结合（1）中的值，先由不等式组解出展开式中系数绝对值最大的项，再结合通项判断系数的正负，即可求解. 【详解】（1）展开式的通项为 其中， 令得展开式中的系数为：， 令得展开式中的常数项为：， 又，，解得或或， 又，故. （2）由（1）知，故原二项式为， 展开式的通项为其中， 则展开式中第项、第项、第项的系数绝对值分别为、、， 若第项的系数绝对值最大，则有，解得， 又，，且展开式中系数的绝对值最大的项是第项， ，其系数为负数，此时该项的系数最小， 故展开式中系数最小的项为. 17．（本题15分）用二项式定理证明： (1)能被14整除； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）把转化成再经二项展开后提取14得证； （2）用二项式定理展开并放缩，从而证明不等式． 【详解】（1）证明：（1）原式 ， 上式是14的倍数，故原式能被14整除． （2）当时，左边=右边=2， 当时， ， ， 综上，，得证． 18．（本题17分）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 【答案】(1)81 (2)294 (3)90 【分析】（1）根据分步乘法计数原理判断； （2）分选中甲与不选中甲两类求解判断； （3）根据定序消去法判断. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理，有种； （2）①选的3人中无甲：种； ②选的3人中有甲：种， 总计种； （3）由定序问题消序法得共有种. 19．（本题17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 【答案】(1)256 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由杨辉三角的第八行结合组合数的性质求解即可； （2）由组合数公式证明即可； （3）由二项式定理结合组合数性质求解即可. 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 （2） ， （3）的展开式中，求含项的系数为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $