第二章 平面解析几何 章末培优测试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第二章 平面解析几何 章末培优测试卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 2．已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（    ） A．17 B．19 C．2 D．1 4．已知某圆的圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知一条光线从点发出后被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，，垂足为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．记直线的斜率为，可得 D．记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为 10．已知双曲线，点在渐近线上，满足．则下列说法正确的是（    ） A．虚轴长为 B．离心率为 C．双曲线的渐近线方程是 D．的面积是 11．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 13．已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是 ． 14．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，使得，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 16．已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 17．设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 18．已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 19．已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 平面解析几何 章末培优测试卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，由椭圆焦点位置列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D 2．已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】根据椭圆的定义可知， 所以. 故选：C 3．已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（    ） A．17 B．19 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据双曲线第一定义求解即可. 【详解】由题意知，根据双曲线第一定义可知（分别为左､右焦点）， 已知，则. 故选：A 4．已知某圆的圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出线段的中垂线方程，联立直线方程，求出交点坐标即为圆心坐标，再求出圆的半径，即可得解. 【详解】因为该圆经过原点和点，所以圆心在线段的中垂线上， 又，的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 由，解得，所以圆心坐标为， 又圆的半径，所以该圆的方程为. 故选：D 5．已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 6．已知一条光线从点发出后被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点关于直线的对称点与点的直线方程即为所求. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则， 解得， 因此反射光线所在直线过点， 方程为， 即. 故选：B. 7．已知为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，，垂足为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：利用特值法可得解；方法二：联立直线方程与椭圆方程，可得，结合可得解. 【详解】方法一：当点在轴正半轴上时， 由，，结合椭圆的对称性可知为等腰直角三角形， 则点，且点在椭圆上，所以，所以； 方法二：ⅰ）当存在时，设直线为，，， 联立直线与椭圆，得到， 则， 根据韦达定理可得：，， 由，即，即， ，， ， ，即，， 即， 等式两边同时除以， 可得，即. ⅱ）当不存在时，如方法一； 故选：C. 8．双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得，计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故选：D.    二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．记直线的斜率为，可得 D．记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据短轴长直接求解判断A；设，，结合点P在椭圆上，利用斜率公式化简求值即可判断BC；记为椭圆的左焦点，连接，，由椭圆的对称性及的周长的取值范围判断D. 【详解】由方程可知：， 对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由，，两点关于原点对称， 设，，有，可得，有，， 有，故B选项错误； 对于C选项，由，，有，故选项正确； 对于D选项，记为椭圆的左焦点，连接，， 由椭圆的对称性，有， 又由，可得的周长的取值范围为，故D选项正确. 故选：ACD 10．已知双曲线，点在渐近线上，满足．则下列说法正确的是（    ） A．虚轴长为 B．离心率为 C．双曲线的渐近线方程是 D．的面积是 【答案】BC 【分析】求出、、的值，利用双曲线的几何性质可判断ABC选项；不妨设点在第一象限，设点，由题意得出，求出的值，可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】在双曲线中，，，， 对于A选项，双曲线的虚轴长为，A错； 对于B选项，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，双曲线的渐近线方程是，C对； 对于D选项，不妨设点在第一象限，设点， 易知点、，，， 由题意可得， 因为，解得，即点， 故，D错. 故选：BC. 11．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直线与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果. 【详解】已知椭圆的离心率为， ，为的左、右焦点且，故， 所以，， 故椭圆方程为：，故C正确； 对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为， 如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点， 易知点，且点在蒙日圆上， 所以故蒙日圆的面积为，故A正确； 对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程， 由得， 则， 所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误； 对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2， 连接，设，则， ， 设，， 所以， 又（当且仅当时取等号）， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出点关于轴的对称点，然后利用两点求出斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为即，即. 故答案为： 13．已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用圆的切点的性质得出圆心到点的距离，利用椭圆的性质得出点到点距离的取值范围，根据已知条件列不等式得出的范围，最后利用离心率公式求出离心率的取值范围． 【详解】   为圆的切线，， ，， ， ， 点到原点的距离为， 若存在满足条件，则，即， ， ， ，又，． 故答案为：． 14．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，使得，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】首先判断直线与圆相离，结合图形得到当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值，即可得到答案. 【详解】圆， 得到，圆心，. 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 如图所示， 直线上总存在不同两点，使得， 当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值. 所以. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. 【详解】（1）如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． （2）因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 16．已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 17．设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）依题意求出与的斜率，写出并化简曲线的轨迹方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，分别写出直线与直线的斜率，化简并计算斜率之积即得结论. 【详解】（1）设，则，， 由题意有， 化简得点的轨迹的方程为：； （2）当直线的斜率不存在时，交点为的上､下顶点，不妨设， 则； 当直线的斜率存在时，设，与的方程联立､化简得， 不妨设， 则， 综上所述，直线与直线的斜率之积为定值.    18．已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； （ⅱ）由（i）知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为.    19．已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． （2）①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $