高中数学单元测试——第二章平面解析几何（适中版01）

**基本信息** 聚焦高中数学平面解析几何单元，通过基础题与情境应用题，考查直线、圆、圆锥曲线等核心知识，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、双曲线渐近线、椭圆离心率|结合卫星接收天线抛物线情境，考查数学眼光| |多选题|3/18|圆锥曲线定义辨析、圆的性质|通过双纽线新情境，提升批判性思维| |填空题|3/15|平行线距离、圆与抛物线距离最值|设计动态最值问题，培养数学思维| |解答题|5/77|两圆相交证明、抛物线弦长与面积、椭圆综合|设置轨迹方程推导等综合题，体现模型观念与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10．（本题6分）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点在圆A外 D．圆A上的点到直线的最小距离为3 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）若直线与之间的距离为，则实数__________. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 14．（本题5分）已知点在直线上运动，点,.使的值最小的点坐标是________. 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 3．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 4．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 5．（本题5分）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】先验证曲线关于对称且在斜椭圆上，求出直线与椭圆的交点，化简得到 ，当位于点时，最大为. 【详解】因为关于直线的对称点分别为， 易知点都在曲线上， 所以曲线关于对称， 因为满足曲线方程，所以在斜椭圆上， 设的中点为，则，    联立，得或，所以， ， 当位于点时，最大，此时. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【分析】对于A,举反例，定点在直线上判断即可；对于B，根据判断即可；对于C，根据双曲线的定义判断即可；对于D，设所求点为，再根据条件化简判断即可. 【详解】对于A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对于B，平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是线段，故B错误； 对于C，平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对于D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 10．（本题6分）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点在圆A外 D．圆A上的点到直线的最小距离为3 【答案】BC 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C. 【详解】由圆得， 所以圆心，半径， 对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误； 对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确； 对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确； 对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误． 故选:BC． 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）若直线与之间的距离为，则实数__________. 【答案】4或/或4 【分析】根据两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，直线，可变形为， 所以两平行线与之间的距离为 ，解得或4. 故答案为：或4 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆的圆心，， 设， 则， 故答案为： 14．（本题5分）已知点在直线上运动，点,.使的值最小的点坐标是________. 【答案】 【分析】通过找出点关于直线的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点的坐标; 【详解】设关于直线的对称点为，则， 解得，故， 又因为为直线上的一点，则， 当且仅当三点共线时等号成立，此时取得最小值， 点即是直线与直线的交点． 因为，，所以直线的方程为， 由，解得，故所求的点的坐标为．    故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用两点式可得答案； （2）求出BC边的斜率，即可得BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案． 【详解】（1）由两点式可得：， 化简得AC边所在直线的一般方程为； （2）由已知得，可得BC边上的高所在直线斜率． ∴BC边上的高所在直线方程为：， 化简得BC边上的高所在直线方程为． 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）略 （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 【答案】(1) (2) 法一：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得， ，，， 而，则 ， 所以. 法二：直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得，， ，，， 而，则， ，所以 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，法一：借助作差法推理得证；法二：借助作商法计算推理得证. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由，得， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）略 19．（本题17分）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先由直线与双曲线唯一公共点可得及M点坐标，进而可求直线的方程及，从而可得点的轨迹方程； （2）先设直线的方程，再与轨迹的方程联立得根与系数关系，再由对称性可知定点必在x轴上，设定点坐标，根据三点共线可得定点坐标. 【详解】（1）设点的坐标为，联立方程，消去后整理为， 令，可得. 所以，， 得点的坐标为.如图：    直线的方程为，整理为，可得， 有，可得，有， 所以点的轨迹方程为. （2）设点的坐标分别为，有，设直线的方程为.如图：    联立方程，消去后整理为， 有，. 由双曲线及对称性可知若直线过定点，定点必在轴上，设定点. 有，有，有. 有，，得， 可得点的坐标为，故直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $