高中数学单元测试——第二章圆锥曲线（适中版01）

**基本信息** 覆盖圆锥曲线单元核心知识，基础巩固与创新应用结合，适配单元复习，培养数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点、双曲线渐近线、椭圆离心率|第6题以古代拱桥为情境，体现文化传承| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线焦点弦、双纽线|第11题引入双纽线，考查创新应用能力| |填空题|3/15|双曲线参数、抛物线距离、椭圆向量|第14题结合向量关系，提升综合思维| |解答题|5/77|曲线方程求解、焦点弦、中点弦、切线综合|第19题切线综合问题，层次分明，对接高考命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第二章 圆锥曲线（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（本题5分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 8．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，且，那么正实数______. 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（本题15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（本题17分）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 圆锥曲线（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 由抛物线的定义知，，得， 即点P的横坐标为7. 故选：C 2．（本题5分）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可. 【详解】由得，所以，所以； 所以该双曲线的渐近线方程为； 故选：A 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 6．（本题5分）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为，由题意可知，点在抛物线上，代入即可求得值，进而可求得抛物线的标准方程. 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m， 所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 7．（本题5分）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】先求出双曲线的方程，进而求出双曲线的渐近线方程，即可求出两点的坐标，即可求出的面积. 【详解】设双曲线为：， 因为，解得：， 所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：， 所以，解得：，则， 所以为等腰直角三角形， 所以的面积为. 故选：B. 8．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设出点的坐标，用的坐标表示点M的坐标，再利用点在椭圆上结合斜率关系求出，然后求出的最大值作答. 【详解】设，则， 由，得， 所以 ， 由，得，即，又， 因此， 而， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：若点在椭圆上，则点的坐标必满足椭圆方程，借助整体思想进行计算可以简化整个运算过程，可起到四两拨千斤的效果． 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BC 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 所以，则， 所以的焦点坐标为，A错误； 因为，所以的实轴长，B正确； 的离心率为，C正确； 的渐近线方程为，D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，且，那么正实数______. 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，得出方程，即可求解. 【详解】因为双曲线，且， 由，可得，所以， 因为，所以. 故答案为：. 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 【答案】3 【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由题知，设，其中，则 由于点是抛物线上到点距离最近的点，， 故答案为：3. 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可. 【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示， 设，则， 由，可得，解得. 又， 可得，即，⑤ 将①②代入⑤可得，⑥ 联立①⑥，即，解得， 将点带入椭圆方程可得，整理得， 由可得，解得， 又，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用待定系数法来求抛物线方程； (2)利用双曲线的来求双曲线方程. 【详解】（1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 由离心率为2，则， 所以， 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 16．（本题15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）由已知得出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线焦半径公式求解. 【详解】（1）由抛物线的性质知，，故抛物线； （2）由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得，         则，，故    17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)或. (2)是，定值为 【分析】（1）通过联立直线方程与椭圆方程，求解即可； （2）先设直线的方程为，与椭圆的方程联立，根据韦达定理及斜率公式计算即可. 【详解】（1）由题知，， 解得，或， 所以或. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， 方程的判别式， 所以， 所以 故直线、的斜率之和是定值，为0. 19．（本题17分）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 【答案】(1)() (2)答案见解析 【分析】（1）由双曲线的定义得出曲线的方程； （2）若选择①证明②成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上；若选择②证明①成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出，再由直线的方程证明直线经过定点. 【详解】（1）因为， 所以曲线是以、为焦点，以为实轴长的双曲线的右支, 所以，即， 又因为，所以，得， 所以曲线的方程为(). （2）若选择①证明②成立. 依题意，在双曲线右支上，此时直线的斜率必不为， 设直线方程为，，不妨设在第一象限，在第四象限. 因为，所以，且，求导得， 所以过点的直线方程为， 化简为①，同理②， 联立方程①②得,交点的横坐标为， 因为、点在直线上，所以， 所以， 所以的横坐标. 即点在定直线上. 若选择②证明①成立. 不妨设在第一象限，在第四象限.设， 因为，所以，且， 求导得，所以过点的直线方程为， 化简为①，同理② 联立方程①②得交点的横坐标为， 由题意，， 即③. 因为， 所以过直线的方程为， 化简， 整理得 由③式可得, 易知，即直线过定点.    【点睛】关键点睛：在解决第二问时，关键是由导数的几何意义得出过和过的方程，这里涉及到二级结论极点极线的知识，但大题需要证明，这里给出了导数的证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $