高中数学单元测试——第六章平面向量初步（较难版02）

**基本信息** 高中数学第六章平面向量初步单元复习卷（较难版），通过基础概念辨析、几何情境应用及动态问题设计，覆盖向量线性运算、坐标表示等核心知识，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题30分|向量基本性质、线性表示等|如第3题辨析相等向量概念，考查抽象能力| |多选题|2题12分|向量命题判断、共线条件|如第8题三点共线参数取值，体现推理意识| |填空题|2题10分|动态范围、最值问题|如第10题三角形中线段比最小值，培养模型观念| |解答题|3题48分|几何图形与坐标系应用|如第13题直角梯形中向量表示及动点范围，综合几何直观与运算能力|

高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量初步（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在中，已知，用表示，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 4．（本题5分）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 5．（本题5分）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 6．（本题5分）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）下列命题正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．零向量的方向是任意的，且长度为0 D．向量的长度与向量的长度相等 8．（本题6分）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为________________． 10．（本题5分）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 四、解答题 11．（本题14分）（1） （2） 12．（本题16分）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 13．（本题18分）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第六章 平面向量初步（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得. 【详解】. 故选：C. 2．（本题5分）在中，已知，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件可得为中点，再利用中点向量式求得答案. 【详解】在中，由，得为中点， 所以. 故选：B 3．（本题5分）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 4．（本题5分）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 5．（本题5分）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由向量的平行四边形定则结合相等向量计算可得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以，解得， 故选：B. 6．（本题5分）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及的范围计算即可得其最大值. 【详解】设、、， 则、、， 由，则有，即， 由，有，故，即， 即有，且， 则， 由，故当时，有最大值， 且的最大值为. 故选：D. 二、多选题 7．（本题6分）下列命题正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．零向量的方向是任意的，且长度为0 D．向量的长度与向量的长度相等 【答案】BCD 【分析】根据向量的概念，即可得出答案. 【详解】对于A，有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来，故A错误； 根据向量的概念，可知B、C、D正确. 故选：BCD. 8．（本题6分）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为三点共线，所以. 所以，即，解得或. 三、填空题 9．（本题5分）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为________________． 【答案】 【分析】建系标点，设，根据向量的坐标表示可得，进而可得取值范围. 【详解】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据向量相关问题，常常通过建系方法运算，可以迅速建立关系和简化运算. 10．（本题5分）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题 11．（本题14分）（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）（2）利用向量线性运算计算即得. 【详解】（1）. （2） . 12．（本题16分）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证. 【详解】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 13．（本题18分）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3) . 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【详解】（1）依题意，， ， ； （2）    以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $