第四章 指数函数、对数函数与幂函数 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

[阶段质量评价]　　　　　　 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 A卷——基本知能盘查 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m= (　　) A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 解析：选A　由于f(x)=(m2-m-1)是幂函数，所以m2-m-1=1，解得m=2或m=-1，由于f(x)在x∈(0，+∞)上是减函数，所以m2-2m-3<0，故-1<m<3，因此m=2. 2.已知函数f(x)=则f的值为 (　　) A. B. C.-2 D.2 解析：选C　因为>0，故f=log2=-2. 3.(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　D.既不充分也不必要条件 解析：选C　由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b；由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C. 4.函数y=2x+1的图象是 (　　) 解析：选A　因为函数y=2x+1的图象是由函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的，而y=2x的图象过点(1，2)，且在R上是增函数，所以y=2x+1的图象过点(0，2)，且在R上是增函数. 5.a=，b=20.5，c=log3的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 解析：选D　0<=2-3<20.5，即0<a<b，c=log3<log31=0，所以c<a<b. 6.函数f(x)=-+log2x的零点所在区间是 (　　) A. B. C.(1，2) D.(2，3) 解析：选C　易知增函数加增函数为增函数，函数f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增，且f(1)=log21-=-1<0，f(2)=log22-=1-=>0，所以f(x)存在唯一零点x0，且x0∈(1，2). 7.已知函数f(x)=log3(x2-2kx+5)在区间[1，2]上单调递减，则实数k的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意解得2≤k<. 8.某企业从2013年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2013年至2023年的年产值(万元).为了描述该企业年产值y(万元)与新政策实施年数x(年)的关系，现有以下三种函数模型：y=kx+b，y=kax(a>0，且a≠1)，y=klogax+b(a>0，且a≠1)，选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2026年的年产值约为 (　　) (附：1.113≈1.368) 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A.924万元 B.976万元 C.1 109万元 D.1 231万元 解析：选C　由表中数据可知该企业年产值y(万元)随着新政策实施年数x(年)的增加而增加，结合2014年比2013年增加31万元，2023年比2022年增加82万元，可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快，结合三种函数模型：y=kx+b，y=kax(a>0，且a≠1)，y=klogax+b(a>0，且a≠1)，可知y=kax(a>0，且a≠1)为最符合实际的函数模型.则729=ka2 022，811=ka2 023，故a=≈1.11，故预测该企业2026年的年产值约为y=ka2 026，则y=811×a3≈811×1.113≈1 109(万元)，即预测该企业2026年的年产值约为1 109万元. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若函数f(x)=2x，则下列等式不成立的是 (　　) A.f(x+1)=2f(x) B.f(x+y)=f(x)·f(y) C.f(x·y)=f(x)·f(y) D.f(x·y)=f(x)+f(y) 解析：选CD　f(x+1)=2x+1=2·2x=2f(x)，A正确；f(x+y)=2x+y=2x·2y=f(x)f(y)，B正确；f(x·y)=2xy=(2x)y=[f(x)]y或f(x·y)=2xy=(2y)x=[f(y)]x，而f(x)f(y)=2x·2y，f(x)+f(y)=2x+2y，故C、D错误. 10.下列说法正确的有 (　　) A.= B.lg x2=(lg x)2 C.若a+a-1=4，则+= D.若a=log32，则log23= 解析：选CD　当x<0时，>0，=<0，A错误；当x<0时，lg x2有意义，(lg x)2无意义，B错误；若a+a-1=4，则a>0，+>0，因为(+)2=a+a-1+2=4+2=6，故+=，C正确；若a=log32，由换底公式可得====log23，D正确. 11.已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3，则下列说法正确的是 (　　) A.f(4)=-3 B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点 C.函数y=f(x)的最小值为-4 D.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 解析：选ABC　函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3的定义域为(0，+∞)，则f(x)=(log2x)2-2log2x-3，f(4)=(log24)2-2log24-3=-3，A正确；由f(x)=0，得(log2x+1)(log2x-3)=0，即log2x=-1或log2x=3，解得x=或x=8，因此函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，B正确；显然f(x)=(log2x-1)2-4，当且仅当log2x=1，即x=2时，函数f(x)取得最小值，最小值为-4，C正确；由于4∈(0，+∞)，而数0不在函数f(x)的定义域内，因此函数y=f(x)的图象关于直线x=2不对称，D错误. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(5分)函数f(x)=log5(x2+1)在区间[1，7]上的平均变化率为　　　　.  解析：f(x)在区间[1，7]上的平均变化率为===. 答案： 13.(5分)函数f(x)是定义在R上的减函数，则不等式f(1)<f(lg x)的解集为　　　　.  解析：∵f(x)为定义在R的减函数，∴由f(1)<f(lg x)得1>lg x，∴0<x<10，即不等式f(1)<f(lg x)的解集为(0，10). 答案：(0，10) 14.(5分)设a=lg 6，b=lg 15，则lg 120=　　　　.(用a，b来表示)  解析：因为a=lg 6，b=lg 15，所以a=lg 2+lg 3，b=lg 3+lg 5=lg 3+lg=lg 3+1-lg 2， 两式相减可得a-b=2lg 2-1， 解得lg 2=， lg 120=lg(15×8)=lg 15+3lg 2=b+3·=. 答案： 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)计算下列各题. (1)(×)6+(-4×-×80.25-(-2 005)0；(6分) (2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+()2+lg+lg 0.06.(7分) 解：(1)原式=+-4×-×(23-1=22×33+2-4×-2-1=108+2-7-3=100. (2)原式=lg 5(3lg 2+3)+(lg 2)2+lg 0.01=3lg 5lg 2+3lg 5+3(lg 2)2+lg 10-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=3-2=1. 16.(15分)已知函数f(x)=loga(1-x)-loga(b+x)+m(a>0且a≠1)为奇函数. (1)求函数f(x)的定义域及解析式；(5分) (2)若x∈，函数f(x)的最大值比最小值大2，求a的值.(10分) 解：(1)要使函数f(x)有意义，则可得-b<x<1，因为f(x)为奇函数，所以-b+1=0，即b=1，所以f(x)的定义域为(-1，1).由f(0)=0可得m=0，所以f(x)=loga(1-x)-loga(1+x)，此时f(-x)=loga(1+x)-loga(1-x)=-f(x)，是奇函数，符合题意. 故f(x)=loga(1-x)-loga(1+x)，x∈(-1，1). (2)由(1)得f(x)=loga(1-x)-loga(1+x)=loga=loga， ①当a>1时，函数y=f(x)单调递减， 所以f(x)max=f=loga-loga=loga3，f(x)min=f=loga-loga=loga，所以f(x)max-f(x)min=loga3-loga=loga9=2，解得a=3. ②当0<a<1时，函数y=f(x)单调递增， 所以f(x)max=f=loga-loga=loga，f(x)min=f=loga-loga=loga3，所以f(x)max-f(x)min=loga-loga3=loga=2，解得a=.综上，a的值为或3. 17.(15分)已知函数f(x)=+. (1)证明函数f(x)为偶函数；(6分) (2)对于∀x∈R，f(x)≤m2-2m-2恒成立，求实数m的取值范围.(9分) 解：(1)证明：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，且定义域关于原点对称， 又因为f(-x)=+=+=+=f(x)，所以f(x)为偶函数. (2)因为f(x)=+=+，且2x>0， 所以2x+≥2=2，当且仅当x=0时取等号，所以f(x)≤+=1，又因为∀x∈R，f(x)≤m2-2m-2恒成立，即f(x)max≤m2-2m-2，所以1≤m2-2m-2，解得m≤-1或m≥3，所以实数m的取值范围为(-∞，-1]∪[3，+∞). 18.(17分)某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2 mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94 mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量rn，可由函数模型rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R，n∈N+)给出，其中n是指改良工艺的次数. (1)试求改良后rn的函数模型；(7分) (2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标?(参考数据：lg 2≈0.3)(10分) 解：(1)由题意得r0=2，r1=1.94，所以当n=1时，r1=r0-(r0-r1)·50.5+p，即1.94=2-(2-1.94)·50.5+p，解得p=-0.5，所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N+)，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N+). (2)由题意可得rn=2-0.06×50.5n-0.5≤0.08，整理得50.5n-0.5≥32，两边同时取常用对数，得0.5n-0.5≥，整理得n≥2×+1，将lg 2≈0.3代入，可得2×+1=+1≈5.3，所以n≥5.3，又因为n∈N+，所以n≥6. 综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 19.(17分)已知函数f(x)=ex+ae-x为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数. (1)求函数f(x)的解析式；(5分) (2)求函数h(x)=e2x+e-2x-4f(x)-2在[0，+∞)上的最小值，并求h(x)取最小值时x的值.(12分) 解：(1)因为函数f(x)=ex+ae-x为R上的奇函数，所以f(0)=e0+ae0=0，解得a=-1，所以f(x)=ex-e-x，经检验，满足题意. (2)由(1)知，h(x)=e2x+e-2x-4(ex-e-x)-2=(ex-e-x)2-4(ex-e-x)，令t=ex-e-x，因为t(x)在[0，+∞)上单调递增，所以t≥0，函数转化为y=t2-4t=(t-2)2-4，当t=2时，h(x)取得最小值-4，此时t=ex-e-x=2，即(ex)2-2ex-1=0，解得ex=1+，则x=ln(1+)，所以h(x)在[0，+∞)上的最小值是-4，取最小值时x的值为ln(1+). B卷——高考能力达标 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是 (　　) A.y=ex B.y=ln x C.y=2x D.y=e-x 解析：选A　函数y=e-x，函数值随x的增大而减小， 当函数值随x的增大而增大时，在对数函数、一次函数和指数函数中，指数函数的增长速度最快，如图所示，即四个函数中，随x的增大而增大且速度最快的是y=ex. 2.函数f(x)=+lg(x-1)的定义域是 (　　) A.[2，+∞) B.(1，2] C.(1，2) D.(2，+∞) 解析：选C　由题知，⇒⇒1<x<2. 3.函数y=(a>1)的图象的大致形状是 (　　) 解析：选C　因为y=f(x)=(a>1)，当x>0时，f(x)==ax，由于a>1，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，排除B、D；当x<0时，f(x)==-ax，由于a>1，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，排除A；而C选项满足上述性质，故C正确. 4.已知函数f(x)=的值域为(0，+∞)，g(x)=log3(x2-8x+5b)的值域为[2，+∞)，则a-b= (　　) A.0 B.1 C.3 D.5 解析：选A　因为函数f(x)=的值域为(0，+∞)， 所以函数y=(a-5)x2-(a+1)x-1的值域为R，所以a-5=0，解得a=5， 因为g(x)=log3(x2-8x+5b)的值域为[2，+∞)，所以y=x2-8x+5b=(x-4)2+5b-16的最小值为9，所以5b-16=9，解得b=5，所以a-b=0. 5.幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0，+∞)上单调递增，且a+b>0，则f(a)+f(b)的值 (　　) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 解析：选A　幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0，+∞)上单调递增， ∴解得m=2，∴f(x)=x5， ∴f(x)在R上为奇函数，由a+b>0，得a>-b，∵f(x)在R上为增函数， ∴f(a)>f(-b)=-f(b)，∴f(a)+f(b)>0恒成立. 6.假设有机体生存时碳14的含量为m0，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为y=m0ax(其中m0，a都是非零实数).若测得死亡5 730年后的古生物样品体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11 460年后这类古生物样品体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5) (　　) A.10 550年 B.7 550年 C.8 550年 D.9 550年 解析：选D　由已知解得即5 730lg a=lg 0.5， 推测此古生物的死亡时间为x年，则ax=0.3， xlg a=lg 0.3， 所以==≈=，x=9 550.故选D. 7.(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则 (　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 解析：选B　因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点，所以y1=，y2=，且x1≠x2，则≠，所以y1+y2=+>2=2，即> >0，所以log2>log2=，故选B. 8.已知函数f(x)=2x+x-2，g(x)=log2x+x-2，h(x)=x3+x-2的零点分别为a，b，c，则有 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 解析：选D　因为函数y=2x，y=log2x，y=x3，y=x-2都是增函数，所以函数f(x)=2x+x-2，g(x)=log2x+x-2，h(x)=x3+x-2都是连续增函数， 因为f(0)=20+0-2=-1<0，f(1)=21+1-2=1>0，即f(0)·f(1)<0， 所以f(x)在(0，1)内存在唯一零点，即a∈(0，1)， 因为g(1)=log21+1-2=-1<0，g(2)=log22+2-2=1>0，即g(1)·g(2)<0， 所以g(x)在(1，2)内存在唯一零点，即b∈(1，2)， 令h(x)=0，即x3+x-2=0，即(x2+x+2)(x-1)=0，解得x=1，即c=1， 综上，b>c>a.故选D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是 (　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 解析：选BC　∵0<a<1，幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，且b>c>1，∴ba>ca，故A错误；∵0<a<1，∴函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴logab<logac<loga1=0，∴0>>，即0>logba>logca，故B正确；∵0<a<1，则a-1<0，∵幂函数y=xa-1在(0，+∞)上单调递减，且b>c>1，∴ba-1<ca-1，∴cba<bca，故C正确；由B可知，0>logba>logca，∴0<-logba<-logca，∵b>c>1，∴c(-logba)<b(-logca)，∴blogca<clogba，故D错误. 10.已知函数f(x)=lg(1-x)，则 (　　) A.f(x)的定义域为(-∞，1) B.f(x)的值域为R C.f(-1)+f(-4)=1 D.y=f(x2)的单调递增区间为(0，1) 解析：选ABC　由1-x>0，得x<1，则f(x)的定义域为(-∞，1)，值域为R，A、B均正确；f(-1)+f(-4)=lg 2+lg 5=lg 10=1，C正确；因为f(x2)=lg(1-x2)，所以y=lg u，外层函数为增函数，u=1-x2，令1-x2>0，所以函数定义域为(-1，1)，内层函数u=1-x2，在(-1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减，所以y=f(x2)的单调递增区间为(-1，0)不是(0，1)，D错误.故选ABC. 11.氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301) (　　) A.t=12.43log2 B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16 解析：选CD　由题意得N=N0·，故有=，左右同时取对数得log2=-，故得t=-12.43log2，故A错误；当t=24.86时，N=N0·=2-2·N0=N0，故B错误；而当t=62.15时，N=N0·=2-5·N0=N0，得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0=N0·，化简得x=-12.43log2=-12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=-12.43=-12.43， 将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈-12.43×≈16.44>16，故D正确.故选CD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(5分)已知幂函数f(x)=m满足条件f(3-a)>f(a)，则实数a的取值范围是　　　　　　　 .  解析：因为f(x)=m为幂函数，所以m=1，则f(x)=，故f(x)的定义域为[0，+∞)，且在定义域上为增函数， 所以由f(3-a)>f(a)，可得 解得0≤a<，故a的取值范围为. 答案： 13.(5分)已知b>a>0，log4a+log2b=1，且|lg a|=|lg b|，则a+b=　　　　.  解析：因为b>a>0，log4a+log2b=log4a+log4b2=log4ab2=1，所以ab2=4， 因为|lg a|=|lg b|， 所以-lg a=lg b， 所以lg a+lg b=0，即ab=1， 所以b=4，a=，则a+b=. 答案： 14.(5分)若m∈R，f(x)=则满足f(m-2)≥f(m+3)的m的最大值为　　　　　　.  解析：当x>0时，-x<0，即f(-x)==2x=f(x)， 当x<0时，-x>0，即f(-x)=2-x==f(x)， 于是，在(-∞，+∞)上，f(-x)=f(x)都成立，即f(x)为偶函数. 由指数函数的单调性可知，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 因此，不等式f(m-2)≥f(m+3)等价于|m-2|≥|m+3|， 即(m-2)2≥(m+3)2，解得m≤-. 故m的最大值为-. 答案：- 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求值： (1)80.25×+log510--；(4分) (2)已知a>0，b>0，a+b=1，求的最小值.(9分) 解：(1)80.25×+log510-- =×+log510-log52-3=2+1-3=0. (2)因为a>0，b>0，a+b=1， 所以=+=+=++ =++=+1+++1 =++2≥2+2=2+2. 当且仅当即时取等号， 故的最小值为2+2. 16.(15分)已知幂函数f(x)与一次函数g(x)的图象都经过点(4，2)，且f(9)=g(5). (1)求f(x)与g(x)的解析式；(5分) (2)求函数h(x)=g(x)-f(x)在[0，1]上的值域.(10分) 解：(1)设f(x)=xα，g(x)=kx+b，k≠0， 则解得 则f(x)=，g(x)=x-2. (2)由(1)知，h(x)=x--2， 令t=，t∈[0，1]，则x=t2， 记p(t)=t2-t-2=-， 当t=时，p(t)min=-， 当t=0或t=1时，p(t)max=-2， 故h(x)在[0，1]上的值域为. 17.(15分)为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题.为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流.已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y/千人 14 20 29 为了描述建立平台年数x(x∈N+)与该平台会员人数y(千人)的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①y=+b(a>0)；②y=dlogcx+e(d>0，c>1)；③y=kax+m(k>0，a>1). (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；(5分) (2)根据第(1)问选择的函数模型，预计建立平台t年的会员人数将超过2 002千人，求t的最小值.(10分) 参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099，ln 5≈1.609. 解：(1)从题表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快.因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②；模型③符合两个条件，所以选择模型③. 将数据代入y=kax+m(k>0，a>1)可得解得 所以函数的解析式为y=8×+2，x∈N+. (2)由(1)知y=8×+2，x∈N+， 则8×+2>2 002，得>250， 即t>lo250== ≈≈13.60.又因为t∈N+，所以t≥14，故t的最小值为14. 18.(17分)已知函数f(x)=(a>0，且a≠1). (1)若a=，求函数f(x)在[1，4]上的最值；(7分) (2)若函数f(x)在区间(2，4)上单调递增，求实数a的取值范围.(10分) 解：(1)当a=时，f(x)=，设t=x2-2x+1， 函数y=t(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，函数y=在R上单调递减， 则函数f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，f(1)=，f(2)=2，f(4)=， 所以当a=，x∈[1，4]时，f(x)max=f(2)=2， f(x)min=f(4)=. (2)函数y=ax2-2x+1在上单调递减，在上单调递增， 当a>1时，函数y=ax在R上单调递增，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 又<1，则函数f(x)在区间(2，4)上单调递增，故a>1满足题意； 当0<a<1时，函数y=ax在R上单调递减，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减， 又>1，若需满足题意，则≥4，得0<a≤. 综上，实数a的取值范围是∪(1，+∞). 19.(17分)已知函数f(x)=log3(x2+ax+1)(a∈R). (1)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；(4分) (2)若f(x)的值域为R，求a的取值范围；(3分) (3)设a>0，若对任意t∈[0，+∞)，函数f(x)在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.(10分) 解：(1)函数f(x)=log3(x2+ax+1)的定义域为R， 即x2+ax+1>0在x∈R上恒成立，则满足Δ=a2-4<0，解得-2<a<2， 所以实数a的取值范围是(-2，2). (2)函数f(x)=log3(x2+ax+1)的值域为R， 则满足Δ=a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2，即实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[2，+∞). (3)因为a>0且t≥0，可得f(x)在[t，t+1]上单调递增， 所以f(x)min=f(t)=log3(t2+at+1)，f(x)max=f(t+1)=log3[(t+1)2+a(t+1)+1]=log3[t2+(a+2)t+a+2]， 所以f(t+1)-f(t)≤1对任意t∈[0，+∞)恒成立， 所以log3[t2+(a+2)t+a+2]-log3(t2+at+1)≤1对任意t∈[0，+∞)恒成立， 即2t2+(2a-2)t+1-a≥0对任意t∈[0，+∞)恒成立， 令g(t)=2t2+(2a-2)t+1-a，t∈[0，+∞)，所以g(t)min≥0， 当2a-2>0，即a>1时，g(t)min=g(0)=1-a≥0，解得a≤1，所以无解； 当2a-2≤0，即a≤1时，g(t)min=g=-≥0时，解得-1≤a≤1，所以0<a≤1. 综上，实数a的取值范围是(0，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $