高中数学单元测试——第四章指数函数、对数函数与幂函数（适中版01）

**基本信息** 高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数单元复习卷（适中版01），覆盖函数概念、运算、性质及实际应用，通过分层题型与情境设计，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|根式运算、指数函数概念等|基础概念辨析，如指数函数判定| |多选题|3/18|幂函数性质、公式正误判断|多角度性质考查，如奇偶性与单调性| |填空题|3/15|函数值域、降解残留量计算|实际应用，如橡胶轮胎降解问题| |解答题|5/77|幂函数解析式、增长率、注意力指数模型等|情境化与新定义综合，如“成功函数”探究、森林面积增长问题|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 【答案】A 【分析】先计算出，代入求解即可. 【详解】因为，故， 所以. 故选：A 2．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 3．（本题5分）若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 【答案】B 【分析】根据对数运算性质直接计算即可. 【详解】由，所以， 又，所以. 故选：B 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 5．（本题5分）已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（    ） A． B． C． D．方程有两个解 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的基本性质，求出函数解析式，作出函数图像，判断各选项正误. 【详解】设，且， 则，可得，则， ，因为且，解得，所以，， 对于A选项，，即所以A错误； 对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图像如下图所示： 由图可知，当时，；当时，. 所以，B错误； ，C正确； 函数、的图像有三个公共点，即方程有三个解，D错误. 故选：C. 6．（本题5分）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 7．（本题5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性求出函数的单调递增区间，结合题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为外层函数为增函数，故函数的增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 故，即实数的取值范围是. 故选：D. 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为、与的图象的交点问题，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由指数式和对数式的运算规则，逐个判断选项. 【详解】，故选项正确； ，故B选项错误； ，故C选项正确； 对于，故D选项错误. 故选：AC. 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和性质，逐项分析即可. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得 或，故A正确； 对于B，当或时， 或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，是增函数， 当时，不是减函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有， 所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）_______． 【答案】5 【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式进行运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：5 13．（本题5分）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质求出，进而求得的值域. 【详解】，，故， 所以函数的值域为. 故答案为：. 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； (2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． （2）由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可； （2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：， 即，则，故. 故森林面积的年增长率为. （2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：， 即，则，解得. 故该地已经植树造林年. 17．（本题15分）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”. (1)判断函数是否为“成功函数”； (2)函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数不是“成功函数” (2) 【分析】（1）根据的单调性即可判断是否是“成功函数”；（2）根据复合函数同增异减，可得：为增函数，得到由两个根，转化为根的分布，得到不等关系，求出实数的取值范围. 【详解】（1）不是单调函数， 函数不是“成功函数” （2）由题意，函数（，且）是“成功函数”，且复合函数单调性满足同增异减，可得函数在其定义域内为增函数， 且在上的值域为， 则，即， 所以方程必有两个不相等的实数根. 又由，即， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 18．（本题17分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【答案】(1)； (2)80； (3)能，理由： 当时， ，解得，则； 当时，，解得，则， 因此当时学生听课效果最佳，此时， 所以老师能经过合理安排时间在学生听课效果最佳时段讲完. 【分析】（1）根据所给的函数图象，由分别求出当时的二次函数解析式，当时函数解析式，再用分段函数表达即可. （2）分段判断代入求出注意力指数p. （3）由分段函数，分段解不等式求出的取值范围，求出时间的长度并比较大小判断. 【详解】（1）当时，设，而， 则，解得，当时，； 又，解得，当时，， 所以. （2）当时，， 所以当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为80. （3）略 19．（本题17分）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，最小值为 (2) (3) 【分析】（1）令，借助作差法可得与的大小关系，即可得函数在上的单调性，从而可得其最小值； （2）参变分离后计算即可得； （3）作出函数图象分析即可得. 【详解】（1）时，， 令，则 ， 由，则、， 故，即， 故在上单调递增，则的最小值为； （2），由对任意，恒成立， 则，即对任意恒成立， 又，故， 即实数的取值范围为； （3）当时，， 由时，，当且仅当时，等号成立， 故可作出与图象如下图： 由图可得，当时，与有2个交点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 2．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 3．（本题5分）若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（    ） A． B． C． D．方程有两个解 6．（本题5分）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．（本题5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）_______． 13．（本题5分）函数的值域是_____． 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 17．（本题15分）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”. (1)判断函数是否为“成功函数”； (2)函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围. 18．（本题17分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求的函数关系式； (2)当一位学生在坚持听课32分钟时，注意力指数p大约为多少？ (3)一道数学难题，讲解需要20分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 19．（本题17分）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $