高中数学单元测试——第四章指数函数、对数函数与幂函数（较难版01）

**基本信息** 高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数单元复习卷（较难版），覆盖函数性质、运算及应用，通过基础辨析与综合情境题（如森林面积增长、洗衣液去污），适配单元巩固与能力提升，体现数学建模与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、指数对数运算、函数奇偶性|基础概念辨析，如奇函数求值| |多选题|3/18|幂函数性质、公式正误判断|多维度性质考查，如幂函数单调性与定义域| |填空题|3/15|对数运算、函数值域、实际应用（轮胎降解）|含数学建模，如残留量时间计算| |解答题|5/77|幂函数解析式、成功函数判定、函数拼接|综合应用，如“成功函数”定义探究与实际问题求解|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 4．（本题5分）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题5分）函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）计算：_____. 13．（本题5分）已知函数的值域为，的值域为，则_______ 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 17．（本题15分）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”. (1)判断函数是否为“成功函数”； (2)函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围. 18．（本题17分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 4．（本题5分）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数可得，即可结合奇函数的性质代入求解. 【详解】由于为定义在上的奇函数，故，得， 当时，，所以. 故选：B 5．（本题5分）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由不等式的解集为，可得，再由为指数函数可得，代入运算可得解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，即， 又为指数函数，，所以，，且， . 故选：A. 6．（本题5分）函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和对数函数的性质求解即可； 【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得， 所以， 故选：B. 7．（本题5分）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题得，解得．因为在定义域内单调递减， 所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增， 在定义域内，函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是． 故选：D． 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为、与的图象的交点问题，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由指数式和对数式的运算规则，逐个判断选项. 【详解】，故选项正确； ，故B选项错误； ，故C选项正确； 对于，故D选项错误. 故选：AC. 10．（本题6分）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）计算：_____. 【答案】/ 【分析】运用换底公式，结合指数幂的运算公式、对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 . 故答案为： 13．（本题5分）已知函数的值域为，的值域为，则_______ 【答案】0 【分析】由的值域为，得到的值域为，则有，从而求得；由的值域为，得到的最小值为9，则有，从而求得，计算的值得解. 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为，所以，解得； 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以. 故答案为：. 14．（本题5分）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； (2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． （2）由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可； （2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：， 即，则，故. 故森林面积的年增长率为. （2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：， 即，则，解得. 故该地已经植树造林年. 17．（本题15分）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”. (1)判断函数是否为“成功函数”； (2)函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数不是“成功函数” (2) 【分析】（1）根据的单调性即可判断是否是“成功函数”；（2）根据复合函数同增异减，可得：为增函数，得到由两个根，转化为根的分布，得到不等关系，求出实数的取值范围. 【详解】（1）不是单调函数， 函数不是“成功函数” （2）由题意，函数（，且）是“成功函数”，且复合函数单调性满足同增异减，可得函数在其定义域内为增函数， 且在上的值域为， 则，即， 所以方程必有两个不相等的实数根. 又由，即， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 18．（本题17分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 【答案】(1) (2)12分钟 (3)能持续有效去污，理由见解析 【分析】（1）利用所给函数，令，解出即可得； （2）分及讨论即可得； （3）当时，计算的最小值是否大于即可得. 【详解】（1）由， 则当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升时， 可得，即，解得； （2）由题意可得，则， 则当时，由，解得，即， 当时，由，解得，即， 综上所述，得，即有效去污时间可达12分钟； （3）则当时， ， 当且仅当时，等号成立， 即9分钟后再投放3个单位的洗衣液能使接下来的6分钟内持续有效去污. 19．（本题17分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）因为在上单调递减，且， ，解得. （3）存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $