高中数学单元测试——第四章对数运算与对数函数（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第四章对数运算与对数函数较难版单元卷，通过基础运算、性质应用及现实情境题，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题30分|对数运算、函数定义域值域等|第5题结合臭氧层破坏情境，体现用数学眼光观察现实世界| |多选题|2题12分|函数性质与比较|第8题通过函数交点考查逻辑推理，发展数学思维| |填空题|2题10分|函数定点、不等式恒成立|第9题考查抽象函数定点，强化数学抽象能力| |解答题|3题48分|对数运算、函数最值与不等式|第13题三问梯度设计，综合应用数学语言解决问题|

高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（本题5分）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 6．（本题5分）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 8．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）已知常数且，假设无论取什么值，函数的图象恒经过一个定点，则的值为__________. 10．（本题5分）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________ 四、解答题 11．（本题14分）化简下列各式，并求值． (1) (2) 12．（本题16分）已知函数的最小值为3． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 13．（本题18分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求的值； (3)若函数在的最大值与最小值之和为1，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据指对互化关系直接求解即可. 【详解】由指对互化关系得. 故选：C 2．（本题5分）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 3．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式以及对数式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4．（本题5分）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即， 又函数在上单调递减，所以，所以． 5．（本题5分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 6．（本题5分）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 则实数a的取值范围为 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用即可求解D. 【详解】由可得，故的定义域为，值域为，A错误，B正确， 由于函数在单调递增，在单调递减，而为上的单调递增函数，因此在上单调递增，C正确， 由于的定义域为关于对称，且，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 8．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 9．（本题5分）已知常数且，假设无论取什么值，函数的图象恒经过一个定点，则的值为__________. 【答案】5 【分析】利用对数函数性质求解定点可得，进而求解即可. 【详解】令，得，此时， 则函数的图象恒过定点，即， 所以. 故答案为：5 10．（本题5分）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【分析】由的取值范围求出的范围，依题意利用换底公式及参变分离可得对于任意恒成立，根据对勾函数的性质求出，即可得到，再根据对数函数的性质计算可得. 【详解】解：因为不等式对于任意恒成立， 即不等式对于任意恒成立， 因为，所以， 所以不等式对于任意恒成立， 令，， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以或， 解得或，即； 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）化简下列各式，并求值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数、对数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 12．（本题16分）已知函数的最小值为3． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）解原不等式可得，即，利用对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以， 因为的最小值为3， 所以， 解得，故的值为2； （2）对于不等式，令，则， 解得， 则，所以，即或， 解得或， 所以不等式的解集是. 13．（本题18分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求的值； (3)若函数在的最大值与最小值之和为1，求实数的值. 【答案】(1)或； (2)1； (3)或． 【分析】（1）代入直接求解； （2）计算可知，由此得； （3）分析得函数在上最大值是1，分类讨论可求解． 【详解】（1）由题意，所以或，解得或； （2）由题意，又，且在上单调， 所以，即，所以； （3）显然时，取得最小值0，则函数在上的最大值是1， 由（2）可知， 由对数函数性质知在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，解得或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $