第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·强化卷）高一数学苏教版2019必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.已知幂函数（为常数）具有性质：（1）定义域为，（2）图象关于y轴对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. 2 D. 4.函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5.已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时19%的速度减少，那么他至少经过（ ）小时才能驾驶？ （参考数据：） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7.已知函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或1 8.已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若实数满足则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10.下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 若且，则 C. 函数在区间上单调递增 D. 若，则 11.已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知幂函数的图象通过点，则__________． 13.已知函数，则的单调递减区间为_______． 14.已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数且. （1）若，求函数的定义域及值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 16.已知函数的图象过点 （1）求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； （2）证明：的图象关于点对称； （3）任取，且，恒有成立，求实数m的取值范围. 17.2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．已知在不考虑空气阻力的条件下，某火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：t）、火箭自身质量m（指除燃料以外的质量，单位：t）的函数关系是． （1）若该火箭包含燃料的总质量为500t，最大速度为，求该火箭中燃料的质量． （2）物体在无动力的状态下脱离地球引力束缚所需的最小速度，被称为“第二宇宙速度”，其大小为11.2km/s．若该火箭的最大速度为第二宇宙速度，则燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少？ 附：结果四舍五入精确到整数，． 18. 已知是奇函数． （1）求实数； （2）若，求x的取值范围； （3）若当时恒成立，求实数m的取值范围． 19.如果函数的每一个函数值y都有唯一的自变量x和它对应，则函数有反函数，记为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“a积性质”． 温馨提示：如何求函数的反函数，可参考函数的反函数求解过程．令，则，解得，即．又函数的值域为R，故其反函数为． （1）求函数的反函数； （2）判断函数是否满足“积性质”，并说明理由； （3）求所有满足“2025和性质”的一次函数． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】解不等式求得集合、，由此求得. 【解析】， ， 所以. 故选：B 2.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据指数函数的图像和性质即可直接求解. 【解析】由题知，和草图如下， 则若，则. 故选：A 3.已知幂函数（为常数）具有性质：（1）定义域为，（2）图象关于y轴对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义与性质逐个选项判断. 【解析】由幂函数的性质知其为偶函数且， 对于A，，为奇函数，故A错误； 对于B，，定义域为， 且，故为偶函数，故B正确； 对于C，，，，故C错误； 对于D，，，，故D错误. 故选：B． 4.函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、值域利用排除法可得答案. 【解析】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 图象关于原点对称，故排除B， 当时，， 由，得，排除CD. 故选：A. 5.已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，根据对数的单调性比较，即可根据单调性比较大小.. 【解析】由于函数均为上的单调递增函数，故在单调递增， ， 故， 所以 故选：B 6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时19%的速度减少，那么他至少经过（ ）小时才能驾驶？ （参考数据：） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【解析】设经过个小时才能驾驶，则，即， 而函数在定义域上单调递减， 则， 所以他至少经过9小时才能驾驶. 故选：C 7.已知函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或1 【答案】B 【分析】分，两种情况讨论求解即可. 【解析】当时，，解得（舍去）或， 此时； 当时，，解得， 此时. 综上所述，. 故选：B. 8.已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设，结合条件得到：，然后根据函数的奇偶性和单调性求解. 【解析】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若实数满足则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【分析】先利用函数为上的增函数，得，选项A，选项D利用不等式性质可得到，选项B则利用作差法即可得到结果；选项C利用对数函数的单调性即可得到. 【解析】因为函数为上增函数，由，可得， 对于A，当时，不成立，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，则，可得，所以， 因为函数为上的减函数，所以C正确： 对于D，由于，所以，故D不正确. 故选：BC. 10.下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 若且，则 C. 函数在区间上单调递增 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义即可判断A；根据对数函数的性质结合对数的运算性质即可判断BD；根据对数型复合函数的单调性即可判断C. 【解析】对于A，函数的定义域为， 因为，所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，因为且， 所以，所以， 即，所以，故B正确； 对于C，令，则， 所以函数的定义域为， 令，在单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，， 则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11.已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【解析】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知幂函数的图象通过点，则__________． 【答案】##0.5 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【解析】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 13.已知函数，则的单调递减区间为_______． 【答案】 【分析】根据题意，先分析函数的定义域，再设，则，利用复合函数单调性的判断方法分析可得答案． 【解析】根据题意可知，即，解得， 即函数的定义域为， 设，则， 易知是开口向下的二次函数，其对称轴为，在区间上递增，在区间上递减， 而在上单调递减， 所以在上单调递减，在区间上单调递增， 故的单调递减区间为． 故答案为： 14.已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决. 【解析】画出函数的图象如图所示： 要使得方程有4个不同的实数根， 只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点， 结合图象可知：. 因为，所以， 所以， 即， 所以，即， 而是的两根，即， 因为，满足所以， ， 令，因为，则在单调递增， 所以，故. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数且. （1）若，求函数的定义域及值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）定义域为，值域为； （2）. 【分析】（1）当时，可得函数的解析式，进而求出函数的定义域，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可求得函数的值域； （2）分、两种情况讨论，利用复合函数的单调性列出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 又函数为增函数，所以， 故当时，函数的定义域为，值域为. （2）当时，函数为减函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，该不等式组无解； 当时，函数为增函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16.已知函数的图象过点 （1）求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； （2）证明：的图象关于点对称； （3）任取，且，恒有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；在定义域内单调递增，证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【分析】（1）根据题意直接代入求得，并根据单调性的定义分析证明的单调性； （2）根据题意可证，即可得对称中心； （3）根据单调性和对称性可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【解析】（1）因为函数的图象过点， 则，解得， 所以. 可知定义域内单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域内单调递增. （2）因为的定义域为， 且， 所以的图象关于点对称. （3）因为，即， 由（1）可知：在定义域内单调递增，则， 由（2）可知：，即， 可得，即， 又因为，可得， 即，解得， 所以实数m的取值范围. 17.2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．已知在不考虑空气阻力的条件下，某火箭的最大速度v（单位：）与燃料质量M（单位：t）、火箭自身质量m（指除燃料以外的质量，单位：t）的函数关系是． （1）若该火箭包含燃料的总质量为500t，最大速度为，求该火箭中燃料的质量． （2）物体在无动力的状态下脱离地球引力束缚所需的最小速度，被称为“第二宇宙速度”，其大小为11.2km/s．若该火箭的最大速度为第二宇宙速度，则燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少？ 附：结果四舍五入精确到整数，． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可. 【解析】（1）由题意可得， 则，所以，所以， 所以该火箭中燃料的质量； （2）由题意， 则，所以， 所以燃料质量与火箭自身质量的比值约为多少. 18. 已知是奇函数． （1）求实数； （2）若，求x的取值范围； （3）若当时恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由题意可得，由此即可得解； （2）先判断出函数的单调性，再由，，结合函数的单调性即可得解； （3）分离分离参数可得，令，则再分离常数即可得解. 【解析】（1）函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以，即，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）得， 因为函数是减函数，是减函数， 所以函数是减函数， 由，， 得，即为， 所以； （3），即， 即，对任意的恒成立， 分离参数可得， 令，则， 则， 因为函数在上都增函数， 所以函数在上是增函数， 所以，所以， 所以， 所以实数m的取值范围为． 19.如果函数的每一个函数值y都有唯一的自变量x和它对应，则函数有反函数，记为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“a积性质”． 温馨提示：如何求函数的反函数，可参考函数的反函数求解过程．令，则，解得，即．又函数的值域为R，故其反函数为． （1）求函数的反函数； （2）判断函数是否满足“积性质”，并说明理由； （3）求所有满足“2025和性质”的一次函数． 【答案】（1）反函数为 （2）函数满足“积性质”，理由见解析 （3） 【分析】（1）由题意中反函数的求解方法可得； （2）先求的反函数，再验证“积性质”即可； （3）设函数满足“2025和性质”，先求其反函数，再利用“和性质”定义求出即可； 【解析】（1）令，可知函数在区间上单调递增，故， 又，则，即． 故函数的反函数为 （2）由，得，则函数的反函数为， 因此． 再令，可得， 因此函数的反函数为，与是同一函数， 故函数满足“积性质”． （3）设函数满足“2025和性质”． 由，得，则， 而，得反函数， 由“和性质”定义可知对恒成立． ，即所求一次函数． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $