高中数学单元测试——第二章等式与不等式（适中版02）

**基本信息** 高中数学第二章“等式与不等式”单元复习卷，覆盖不等式求解、均值定理、方程根与系数关系等核心知识，通过基础题与综合应用题结合，适配单元复习巩固，培养数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式解集、均值定理应用（如苹果单价计算）|基础巩固，结合生活情境| |多选题|3/18|不等式性质、方程实根问题|多角度辨析，提升推理能力| |填空题|3/15|方程组解的范围、最值计算|抽象能力考查，强化符号意识| |解答题|5/77|二次函数不等式、证明、利润应用题（如材料投入利润）、韦达定理应用（含数学史素材）|综合应用，融入现实问题与文化传承，发展模型意识与创新思维|

高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）小明购买单价分别为4元/斤和6元/斤的两种苹果所花的钱数相同.混合后，苹果的平均单价（元/斤）是（   ） A．4.8 B．5.0 C．5.2 D．5.4 5．（本题5分）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（本题5分）已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知关于的方程组的解都为正数，则实数的取值范围为_________. 13．（本题5分）设正实数，满足，则的最小值是_______. 14．（本题5分）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 16．（本题15分）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 2．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将不等式进行移项通分，化为整式不等式，求解即可. 【详解】由不等式，得，即， 所以，解得. 故选：A 4．（本题5分）小明购买单价分别为4元/斤和6元/斤的两种苹果所花的钱数相同.混合后，苹果的平均单价（元/斤）是（   ） A．4.8 B．5.0 C．5.2 D．5.4 【答案】A 【分析】设用于购买每种苹果的钱数均为元，求得总重量，即可求解. 【详解】设用于购买每种苹果的钱数均为元， 则单价为4元/斤的苹果购买了斤，单价为6元/斤的苹果购买了斤， 总花费为元，总重量为斤. 所以混合后，苹果的平均单价4.8元/斤. 故选：A. 5．（本题5分）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题可先将不等式因式分解，再根据与的大小关系讨论不等式的解集，最后结合解集中恰有个整数解确定的取值范围． 【详解】将不等式因式分解，可得， 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 当时，不等式变为，因为任何实数的平方都大于或等于，所以此时不等式无解，不符合题意； 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 综上，实数的取值范围为或． 故选：D． 6．（本题5分）已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例排除ACD；利用不等式的性质证明B. 【详解】选项 A： ，，则 . 由于，不满足 ，故选项 A 不成立； 选项 B： 因为，所以，， 又因为，由不等式的性质得，故选项 B 成立； 选项 C： 取 ，，则 不满足 ，故选项 C 不成立； 选项 D： 取，，则 . 不满足 ，故选项 D 不成立. 故选：B 7．（本题5分）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式将 转化为含 的形式，再代入已知等式得到关于 的不等式，最后求解不等式得出 的最小值. 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立， 又因为 ，所以 ， 整理可得 ，解得 或 （舍去）， 所以 ，所以 ，当且仅当时等号成立． 所以 的最小值为：9. 故选：A 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】AB 【分析】由不等式性质判断AB正确，举反例说明CD错误即可. 【详解】由不等式性质可知AB正确； 对于C，当，时，不成立，故C错误； 对于D，当时，不成立，故D错误. 故选：AB. 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，若且， 则在上有且只有一个实数解， 而，故且满足； 若且，则在上有且只有一个实数解， 设，则， 而，故，此时对称轴， 而， 故此时在上无解， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】AD选项，直接使用基本不等式进行求解，得到A正确；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，变形得到，由基本不等式求出答案； 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，因为且， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知关于的方程组的解都为正数，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可; 【详解】解这个方程组的解为：， 由题意，得， 则原不等式组的解集为. 故答案为：. 13．（本题5分）设正实数，满足，则的最小值是_______. 【答案】9 【分析】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数，满足，即， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值是9. 故答案为：9. 14．（本题5分）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 【答案】； 【分析】由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】由于的解集为,则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意知和是方程的两个根，结合韦达定理可求出的值； （2）由题设条件得出，求出的值，再利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知，和是方程的两个根，则，解得. （2）由题意可知：，解得， 则不等式即为，所以， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 16．（本题15分）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 【答案】(1) (2)22或37． (3)，，． 【分析】（1）由题意，可把看作的根，利用韦达定理求解即可； （2）由韦达定理的逆定理，可将，看作方程的两个实数根，求解后即可得解； （3）由韦达定理求出，，代入化简求出得解. 【详解】（1）由已知，，， 可将m，n看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可得，，， 所以． （2）由，， 可将，看作方程的两个实数根， 则有，或，， ①当，时，； ②当，时，， 所以的值为22或37． （3）由韦达定理，可得，，， 且，解得， 故， 因，又，故必为的因数， 则的值可能为，，，1，2，4， 则实数k的值可能为，，，0，1，3， 又，故k的所有取值为，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $