第二章 等式与不等式 单元培优检测卷-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第二章 等式与不等式 单元培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 2．已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】，当且仅当时取等号，而已知条件为，所以等号取不到， 所以的取值范围是. 故选：D 3．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 由不等式的性质可得. 因此，的取值范围是. 故选：C. 4．已知，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，结合，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 5．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为2， 故选A. 6．若，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的代换技巧求解即可. 【详解】由题意，， 故 ， 当且仅当且时等号成立，联立解得 所以的最小值为. 故选：B 7．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．11 D．24 【答案】B 【分析】对所求的式子进行适当的变形再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为7. 故选：B 8．如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据翻折可知三角形的周长，设，，所以，结合直角三角形勾股定理可得，再根据基本不等式可得面积的最大值. 【详解】由题意可知，，，， 所以，所以，， 所以， 所以的周长为；设，，所以， 在中，由勾股定理可得，解得， 且，解得或， 当且仅当时取等号； 因为，，所以，所以，则； 所以在中，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积取得最大值， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知正数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式判断即可. 【详解】因为，，，所以，解得，当且仅当时，等号成立，A正确，B不正确； ，当且仅当，时，等号成立，C不正确，D正确． 故选：AD 10．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．当时，的最小值是5 C．若不等式的解集为，则实数的取值范围为 D．已知，且，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，化为一元二次不等式即可求解；对于B，结合基本不等式即可求解；对于C，对不等式的二次项系数分类讨论求解即可；对于D，求出，代入后结合基本不等式即可求解． 【详解】对于A，因为，所以，等价于， 解得，所以不等式的解集是，故A正确； 对于B，当时，， 则， 当且仅当，即时取到等号，故B正确； 对于C，若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以，解得， 综上．故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，也即时取等号，故D正确． 故选：ABD． 11．已知，，为正实数，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项A；由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项B；根据题意变形得，由，结合基本不等式即可判断选项C；由，化简再结合基本不等式即可判断选项D． 【详解】A：由，且，为正实数， 则，即，解得， 则，当且仅当，即，时取等号，故A正确； B：由，且，为正实数，则， 即， 所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确； C：由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C错误； D：由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，，即时取等号，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 13．已知实数满足，则的取值范围是 .. 【答案】 【分析】由题干中的等量关系化简所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案. 【详解】，则， 又，得， 设，由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，由原式为，则所求范围为. 故答案为：. 14．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知等式的结构，利用换元法、基本不等式、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以， 即，当且仅当时，即时取等号， 由 ， 所以有， 设，因为，所以， 则有，或， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式基本性质即可得到答案； （2）利用待定系数法,设，得到方程组解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 两式相加得，所以， 所以实数的取值范围为． （2）设， 所以，所以解得 所以． 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 16．已知函数． (1)恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设m的最小值为，a，b，c均为正实数，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）求出的最大值，再将原不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）结合基本不等式及“1”的妙用求解即可． 【详解】（1）法一：由绝对值三角不等式； 法二：化简，则的最大值为3； 所以等价解不等式，解得所以的取值范围为． （2）由（1）知，则， ， 当且仅当时，等号成立，即原式的最小值为9． 17．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【分析】（1）由，结合一元二次不等式求解即可； （2）由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 18．平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 【答案】(1)当时，取得最小值3； (2)当时，的最小值是4； (3)当时，的最小值为. 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式即可得到最小值； （2）根据题意对所求式子乘，在结合基本不等式即可得到最小值； （3）先配凑出，再将其与所求式子相乘，然后结合基本不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 根据基本不等式，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最小值3； （2）因为, 所以， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 由且，解得， 因此，当时，的最小值是4； （3）因为， 所以，， 因为， ， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以， 因此，当时，的最小值为. 19．定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. (1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； (2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得（等号不能同时成立）.根据新定义可得，解之即可求解； （2）首先解出第一个不等式范围为，再根据各区间长度和为6，得到不等式在恒成立，再构建新函数，转换主元即可得到范围； （3）分类讨论对称轴与区间的位置关系，求出函数对应的最值，建立方程组，解之即可求解. 【详解】（1）由（等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立）， 所以（等号不能同时成立）.又，所以， 因为的区间的长度为4，则，得， 所以，解得，即实数的取值范围为. （2），解不等式得， 解不等式得，所以不等式的解集为. ∵不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式在上恒成立， 令，， 则，解得， ∴实数t的范围为． （3）二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为. 要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 所以，且，即为方程的两根， 得，所以，得， 即的最大值为； 要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧， 即，此时，得， 由，解得， 由，解得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到， 所以. 同理当时，可得. 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式 单元培优检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 5．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 6．若，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 7．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．11 D．24 8．如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知正数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 10．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．当时，的最小值是5 C．若不等式的解集为，则实数的取值范围为 D．已知，且，则的最小值为 11．已知，，为正实数，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 13．已知实数满足，则的取值范围是 .. 14．已知，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 16．已知函数． (1)恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设m的最小值为，a，b，c均为正实数，当时，求的最小值． 17．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 18．平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 19．定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. (1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； (2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $