高中数学单元测试——第二章等式与不等式（较难版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学第二章等式与不等式（较难版），覆盖不等式求解、最值应用、集合运算等核心知识，通过实际利润问题与三次方程根与系数关系推导题，强化数学思维与应用能力，适配单元复习提升训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|不等式比较大小、解集、数轴中点坐标|基础巩固，考查数学抽象与运算能力| |多选题|3题18分|不等式性质、方程实根分布|能力提升，培养逻辑推理意识| |填空题|3题15分|方程组解集、正数最值|综合应用，体现数学符号意识| |解答题|5题67分|含参不等式、实际利润函数、三次方程根与系数关系|创新应用，如公司利润模型（模型意识）、类比推导三次方程定理（推理能力），贴合高考命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小后可得正确的选项. 【详解】因为， 所以， 同理可得均小于． 故选：D. 2．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 3．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】，即为，即， 解得， 故解集为. 故选：C. 4．（本题5分）已知数轴上两点，，且的中点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点公式列方程求坐标即可. 【详解】设，则线段的中点坐标为，解得，则点的坐标是． 故选：A 5．（本题5分）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，化简后求出，根据不等式的性质可得答案． 【详解】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，若且， 则在上有且只有一个实数解， 而，故且满足； 若且，则在上有且只有一个实数解， 设，则， 而，故，此时对称轴， 而， 故此时在上无解， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】AD选项，直接使用基本不等式进行求解，得到A正确；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，变形得到，由基本不等式求出答案； 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，因为且， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）方程组的解集为__________. 【答案】 【分析】利用加减消元和代入消元解方程组. 【详解】 由①③可得：， 整理并化简得：，④ 由②④得：， 整理并化简得：， 将代入②得，， 将，代入③得：， 所以该方程组的解集为， 故答案为： 13．（本题5分）若，为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】由题知，， 当时，即时，的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的解集为，得到的根为或，利用根与系数的关系求解即可； （2）由不等式的解集为，按照和两种情况讨论求解.当时，由不等式的解集为， 得到，计算得解. 【详解】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 16．（本题15分）已知，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用不等式的性质计算可得范围 （2）应用不等式的性质计算即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 所以. （2）由题意得， 则，， 得， 所以. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）（i）由建立不等式求出范围；（ii）按分类求解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，不等式的解集为， 则，解得，所以的取值范围是. （2）（i）不等式， 由，得，即，解得或， 所以的取值范围是或. （ii）由（i）得， 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，；当时，； 当时，. 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. （3） 【分析】（1）根据韦达定理求值. （2）结合已知的思路，探索一元三次方程根与系数的关系. （3）利用（2）的结论，可求的值. 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 展开得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为， 所以有，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知数轴上两点，，且的中点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）方程组的解集为__________. 13．（本题5分）若，为正数，且，则的最小值为______. 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 16．（本题15分）已知，. (1)求的取值范围； (2)证明：. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $