高中数学单元测试——第二章等式与不等式（较易版02）

**基本信息** 高中数学第二章等式与不等式单元复习卷（较易版），涵盖单选、多选、填空、解答题，注重基础巩固与能力梯度，适配单元知识检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式解集、中点坐标、取值范围|基础概念辨析，强化数学思维的运算能力| |多选题|3/18|不等式性质、方程根的分布|多选项设计考查推理意识，提升思维严谨性| |填空题|3/15|方程组解集、最值问题|简洁设问检测数学语言的精准表达| |解答题|5/77|二次函数不等式、证明、利润函数、根与系数关系|综合题结合实际情境（如利润问题）培养模型意识，推导三次方程根与系数关系发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 2．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【详解】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 3．（本题5分）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将不等式等价变形为，求解即可． 【详解】， 解得：或． 故选：D． 4．（本题5分）已知数轴上两点，，且的中点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点公式列方程求坐标即可. 【详解】设，则线段的中点坐标为，解得，则点的坐标是． 故选：A 5．（本题5分）关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况解不等式，再结合已知求解即可. 【详解】因为， 所以，当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 所以实数的值等于. 故选：D. 6．（本题5分）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用举反例来判断AC，利用不等式性质来判断BD. 【详解】当时，，此时，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，则由两边同时除以，即可得，故D正确； 故选：BD 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）若关于，的方程组与的解集相等，则______. 【答案】/3.5 【分析】由题可知方程组，代入即求. 【详解】∵方程组与的解集相同， ∴方程组的解也是它们的解， 由得， ∴即， ∴. 故答案为： 13．（本题5分）若正数满足，则的最小值等于_______. 【答案】 【分析】根据，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】，，， , （当且仅当，即，时取等号）， 则的最小值等于. 故答案为：. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. 【详解】（1）当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 16．（本题15分）（1）已知，，，求证： （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质可证结论；（2）利用韦达定理和判别式的符号可证结论. 【详解】（1）因为，所以，因为，所以， 所以，因为，所以. （2）充分性：因为， 所以方程的判别式，且， 所以方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据韦达定理，可得，代入所求，即可得答案. （2）设有三个不相等的实数根，将可分解因式为，展开整理，待定系数，即可求得答案. （3）由（2）可知，，结合条件，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 打开括号得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为，， 所以有，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（本题5分）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（本题5分）已知数轴上两点，，且的中点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 6．（本题5分）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 8．（本题5分）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．（本题6分）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 三、填空题 12．（本题5分）若关于，的方程组与的解集相等，则______. 13．（本题5分）若正数满足，则的最小值等于_______. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 16．（本题15分）（1）已知，，，求证： （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $