高中数学单元测试——第二章一元二次函数、方程和不等式（适中版02）

**基本信息** 高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式单元复习卷，知识覆盖全面，梯度合理，结合销售、利润等现实情境，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|不等式变形、解集等|基础巩固，考查运算能力| |多选题|3题18分|不等式性质、方程根的充要条件|逻辑推理，培养批判性思维| |填空题|3题15分|销售总收入不等式、基本不等式求最值|模型意识，联系生活实际| |解答题|5题77分|含参不等式、利润函数构建、二次函数综合|分层设计，提升综合应用与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．（本题5分）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．（本题6分）已知正实数满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 13．（本题5分）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 16．（本题15分）已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，由，可得，故D正确. 故选：D. 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小后可得正确的选项. 【详解】因为， 所以， 同理可得均小于． 故选：D. 3．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 4．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定，结合不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则有， 所以，即， 所以. 故选：B 7．（本题5分）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先化简变形再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意得， 所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2. 故选：A. 8．（本题5分）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知正实数满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A利用基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；B根据不等式计算即可求解判断；C平方再利用基本不等式即可求解判断；D直接利用基本不等式求解判断. 【详解】A：， 当且仅当取等号，故A正确. B：，当且仅当取等号，故B错误. C：， 当且仅当取等号，所以，故C正确. D：，当且仅当取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 13．（本题5分）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的解集为，得到的根为或，利用根与系数的关系求解即可； （2）由不等式的解集为，按照和两种情况讨论求解.当时，由不等式的解集为， 得到，计算得解. 【详解】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 16．（本题15分）已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1) 由，且，得，， 故，所以，所以，即. (2) 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）由条件得且，代入，利用基本不等式求解. 【详解】（1） （2）由且，，，得，且， 略 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且，解得，故. （2）因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. （3）由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $