高中数学单元测试——第二章等式与不等式（较易版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学第二章等式与不等式核心知识，以基础巩固为主，通过分层题型与现实情境设计，适配单元复习，助力数学思维与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式解集、因式分解、基本不等式|基础概念辨析，强化数学眼光| |多选题|3/18|不等式性质、方程实根问题|多角度考查，培养逻辑推理| |填空题|3/15|方程组求解、恒成立问题|抽象能力训练，体现数学思维| |解答题|5/77|二次函数不等式、证明、利润应用|结合公司利润计算情境，强化应用意识，注重综合能力提升|

高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（本题5分）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（本题5分）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知方程组，则________． 13．（本题5分）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为______. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 16．（本题15分）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 等式与不等式（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 2．（本题5分）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 3．（本题5分）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将不等式等价变形为，求解即可． 【详解】， 解得：或． 故选：D． 4．（本题5分）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项分解因式可得答案. 【详解】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 5．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【详解】原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 6．（本题5分）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【详解】由条件，又，故， 所以． 故选：B 7．（本题5分）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式将 转化为含 的形式，再代入已知等式得到关于 的不等式，最后求解不等式得出 的最小值. 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立， 又因为 ，所以 ， 整理可得 ，解得 或 （舍去）， 所以 ，所以 ，当且仅当时等号成立． 所以 的最小值为：9. 故选：A 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，若且， 则在上有且只有一个实数解， 而，故且满足； 若且，则在上有且只有一个实数解， 设，则， 而，故，此时对称轴， 而， 故此时在上无解， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 11．（本题6分）已知且，则 （    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】AD选项，直接使用基本不等式进行求解，得到A正确；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，变形得到，由基本不等式求出答案； 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，因为且， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知方程组，则________． 【答案】 【分析】根据题目中等量关系代入即可求解 【详解】令， 解得， 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用乘的方法求的最小值，即可得解. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立， 故，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. 【详解】（1）当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 16．（本题15分）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且，解得，故. （2）因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. （3）由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $