（14）数论综合（一）-2026-2027学年六年级枫叶新希望数学

阁叶糕常 数学 六年级数学探究 贝贝三枫枫 22 战藏 六年级·秋 枫叶新希望研发中心 长音半雠￥十患 SS[………… 5谁亚十熊 b[… (一)号31源d十崽 纪[… 盘（马业三十 乙沉I… 园1幽二十典 00.04444440004440000440004440004440004.404000.00044.04…·4。·0·400 9且一+患 00[……………… (二)回工十 68… 号涤1（患 8L 长音中雠)/患 L9 (二)☒号围与图熊 (一)☒号与画￥崽 S… 越源？乎患 tE… 出四与Y阳1hd崽 7 莫号歌9源4三患 乙[… 回岭细二患 回（与黑丹一患 人物介绍 欣欣老师 旺旺老师 茜茜老师 有耐心、多才 开明、博学多才 时尚、美丽大方、 多艺、平易近人。 和学生打成一片。 授课风趣幽默。 祥子 大壮 老王 思想活跃、总是有新 慈祥、守旧、 想法蹦出、喜欢创新 勤劳勇敢、正直。 善良、勤俭节约。 NEW HOPE CUP 新笔杯 第十四讲数论综合（一） 图说数学 M 你答对了我们的 问题就让你回去。 小猫误入了数字王国， 碰到了1、2、3、4、5、 6六个数字拦着去路。 2 3 这要怎么做呢？ 你可以从我们之中任 选3个，使得和能被3整除 说出所有的 可能才算答对。 2 数论综合（一） 平动思维 驱动1 在2018后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3、4、 5整除，这个七位数最小是多少？ 可以从3、4、5的整 除特征入手，也可以直接 从能被60整除入手。 练习① 在912后面补上四个数字，组成一个七位数，使它能分别被5、8、9 整除，这个七位数最大是多少？ NEW HOPE CUP 新笔杯 驱动2 甲、乙，丙三种溶液分别重5君3专、4千克。现要将它们全部装 入小瓶中，每个小瓶装入的液体相同，重量也相同，最少要装多少瓶？ 每瓶多少千克？ 先化成假分数再通 分，然后求最大公因数。 练月2门 一个长方体木头长4号米、宽4兮米、高1米，如果把这块木头截成 一些相同的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及 个数各是多少？ 数论综合（一） 驱动3 一个三位数在七进制中表示为(abch,在九进制中表示为(cbag,这 个三位数在十进制中是多少？ 利用位值原理， 根据数相等列方程。 练月(3 个三位数在八进制中表示为(abc8,在七进制中表示为(bca,这 个三位数在十进制中是多少？ NEW HOPE CUP 新笔杯 驱动4 在射箭运动中，每射一箭得到的环数是不超过10的自然数，甲、乙 两名运动员各射了五箭，每人五箭得到的环数的积都是1764，但是甲的 总环数比乙少四环。分别求甲和乙的总环数。 先将1764分解质因数， 再根据每箭不超过10分析。 练月4】 有甲、乙、丙、丁四个人，他们的年龄恰好一个比一个大2岁，已 知他们四个人年龄相乘的积是48384，那么这四个人中年龄最大的是多少 岁？ 数论综合（一） 驱动5 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三 位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？ 用a、b、c表示这 3个数字，再根据位值 原理列出等式。 练月（⑤】 用三位数abc的数字a、b、c可以再组成5个不同的三位数，如果这 6个三位数的和是1776，那么abc最大是多少？ NEW HOPE CUP 新笔杯 驱动6 老师在黑板上依次写了三个数22、8、9，现在进行如下的操作，每 次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1。能否经过若干次这样的 操作（若能，请写出一种操作过程；若不能，请说明理由），使得： (1)三个数变成24、16、17？ (2)三个数都变成18？ 从两个数差的变化人手。 练月(6】 如图，在3×3的方格表中已填入了9个质数。将表中同一行或同一 列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：能否通过若干次操作， 使得表中9个数都变为相同的数？为什么？ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 数论综合（一） 础强化 1.求下列各组分数的最大公因数和最小公倍数。【难度系数：★★】 3 5 212元和3 5 2.在2018后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被8和9整 除，这个七位数最小是多少？【难度系数：★★】 3.一副扑克牌共54张，最上面的一张是红桃K,如果每次把最上面的 12张移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，至少经过多少次移动， 红桃K才会又出现在最上面？【难度系数：★★】 NEW HOPE CUP 新笔杯 4. 10个非零自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 【难度系数：★★★】 5. 已知三位数abc与它的反序数cba的乘积为232468，则abc+cba= 。 【难度系数：★★★】 6.有5个小朋友，他们年龄都不到12岁，且都是整数，已知他们的年 龄乘积是13860，这5个小朋友的年龄和最大是多少岁？ 【难度系数：★★★】 数论综合（一）》 7.如图，在一个999×999的方格表ABCD中，将点A与线段BC上的 格点P,P,P3,…,P8,分别相连，得到998条线段，在这些线段中， 恰好经过28个格点（包含端点）的线段共有多少条？ 【难度系数：★★★★】 B P P998 C 8.对于表①，每次操作使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否 经过若干次操作（各次减去或加上的数可以不同），变为表②？为什 么？【难度系数：★★★★】 ① ② 官后反馈 我的表现 我得了颗星 我的收获 家长观察 老师点评NEW HOPE CUP 新养望杯 第十四讲数论综合（一) 驱动思维 【驱动1】 方法一：因为七位数能同时被4和5整 除，所以个位只能是0， 设七位数为2018b0,考虑最小值， a=0, 此时2+0+1+8+0+b+0=b+11是3的 倍数，且b0能被4整除，所以b最小 是4，这个七位数最小是2018040。 方法二：3、4、5的最小公倍数是60， 所以七位数能被60整除， 2018000除以60余20， 60-20=40 所以这个七位数最小是2018040。 【练习1】 5、8、9的最小公倍数是360， 所以七位数能被360整除， 9130000除以360余40， 9130000-40=9129960 所以这个七位数最大是9129960。 【驱动2】 53-35420 6672 2125225 3 8872 44-40_320 9972 420、225和320的最大公因数是5， (420+225+320)÷5=193(瓶) 千克 答：最少要装193瓶，每瓶7 【练习2】 42-14280 3360 421_252 5560 13-7105 4460 280、252、105的最大公因数是7， (280+252+105)÷7=91(个) 答：小立方体棱长了米，可以截成91 60 个。 【驱动3】 七进制中3位数为49a+7b+c, 九进制中3位数为81c+9b+a, 49a+7b+c=81c+9b+a 24a=40c+b 24和40是8的倍数，所以b是8的倍数， 而a、b、c都小于7， 所以b=0,24a=40c,3a=5c, 所以a=5,c=3, 49×5+7×0+3=248 所以这个三位数在十进制中是248。 【练习3】 八进制中3位数为64a+8b+c, 七进制中3位数为49b+7c+a, 64a+8b+c=49b+7c+a 63a=41b+6G 63和6是3的倍数，所以41b是3的 倍数，而a、b、c都小于7， 所以b=0、3或6， 当b=0、3时，无解； 当b=6时，a=4,c=1。 64×4+8×6+1=305 所以这个三位数在十进制中是305。 【驱动4】 依题意知，每射一箭的环数，只能是下 列11个数中的一个： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 而甲、乙5箭总环数的积1764≠0， 这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有 0和10， 1764=1×2×2×3×3×7×7, 于是推知每人有两箭中的环数都是7， 因此，甲、乙的总环数相差4，甲的总 环数少， 所以，甲的总环数是24，乙的总环数 是28， 甲的环数：7、7、3、3、4，和为24。 乙的环数：7、7、1、4、9，和为28。 答：甲的总环数是24，乙的总环数是 28。 【练习4】 48384=23×3×7,其中必有一人的年龄 是7的倍数， 48384=6×7×8×9×24=12×14×16×18 所以这四个人中年龄最大的是18岁。 参考答案 【驱动5】 设这六个不同的三位数为 abc,acb,bac,bea cab,cba, 因为abc=100a+10b+c, acb=100a+10c+b, 它们的和是：222×(a+b+c)=1554, 所以a+b+c=1554÷222=7, 7=1+2+4 所以这3个数字分别是1、2、4。 【练习5】 另外5个三位数为 acb,bac,bea,cab,cba, 6个三位数的和是： 222×(a+b+c)=1776, 所以a+b+c=1776÷222=8, 8=1+2+5=1+3+4 所以abc最大是521。 【驱动6】 (1)能，操作如下： (22,8,9)→(21,10,11) →(23,12,13)→(22,14,15) →(24,16,17)。 (2)不能，理由如下： 考虑8和9，它们相差1， ①如果8和9同时-1或+2，它们的差 还是1： ②如果8和9一个-1，另一个+2，它 们的差-3或+3。 综合①②，可得8和9的差除以3余1 或2，所以不管怎么操作，8和9操作 后的差不可能是0，所以三个数不能都 变成18。 NEW HOPE CUP 新异望杯 【练习6】 因为表中9个质数之和恰为100，被3 除余1，经过每一次操作，总和增加3 的倍数，所以表中9个数之和除以3总 是余1。如果表中9个数变为相等，那 么9个数的总和应能被3整除，这就得 出矛盾！ 所以，无论经过多少次操作，表中的数 都不会变为9个相同的数。 基础强化 )最大公因数是之 最小公倍数是 2 (2)最大公因数是7 美办会格致处号罗 2.8和9的最小公倍数是72， 2018000除以72余56， 72-56=16 2018000+16=2018016 所以这个七位数最小是2018016。 3.相当于顺序相同的多副扑克牌放在一起， [54,12]=108,108÷12=9(次)。 4.1001=7×11×13 设最大公约数为， 则×(a1+a2+43+…+a10）=1001 因为a1+2+a3+…+a10≥10， 1001÷10=100…1 所以m≤100， 在1001的因数中，不超过100的因数 最大是7×13=91， 所以最大公约数的最大值是91。 5.相乘个位是8且小于23的有1×8、 2×4、2×9、3×6, 经尝试，只有3口6×6口3符合， 35×65=2275,2275<2324, 进一步尝试可得356×653=232468， 356+653=1009。 6.13860分解质因数，13860=2×2×3×3× 5×7×11=4×9×5×7×11=2×7×9×10×11, 又4+5<2+10，所以和最大为： 2+7+9+10+11=39(岁) 答这5个小朋友的年龄和最大是39岁。 7.对于线段APk,当k和999不互质时， APk经过的格点数为k与999的最大 公因数加1,28-1=27，则k与999 的最大公因数是27,999÷27=37， 则k=27,且m与37互质，可取 1~36共36个数，所以恰好经过28个 格点的线段共有36条。 8.无论经过多少次操作，都不能将表①变 为表②。 理由如下：将3×3方格表如图黑白染 色， 3 6 0 0 9 0 ① ② 每次操作，一个黑格与相邻的白格 中的数同时增加或减少一个数，它 们的差不变，因此，每次操作5黑 个格所填数之和与4个白格所填数之 和的差值是不变的，而表①黑格数之 和为1+3+5+7+9=25，白格数之和 为2+4+6+8=20，它们的差为25- 20=5,这个值在操作过程中不发生变 化，而表乙中黑格填数总和与白格填数 总和的差为4-0=4，所以不能将表① 变为表②。 参考答案