13.2.1 三角形的边 教案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该教案聚焦三角形的边这一核心内容，涵盖三边关系定理、第三边取值范围、线段组成判断、等腰三角形周长及稳定性。通过情境导入中路径比较，以“两点之间线段最短”引出三边和的关系，再经不等式变形推导差的关系，构建从直观到抽象的学习支架。 资料亮点在于以核心素养为导向，情境导入激发探究兴趣培养数学眼光，探究过程多角度推导三边关系发展逻辑推理，例题分类讨论等腰三角形周长问题强化数学建模，动手实践理解稳定性提升直观想象。助力学生掌握知识同时发展思维，为教师提供清晰教学脉络与实用策略。

13.2.1 三角形的边 课题 13.2.1 三角形的边 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标 1.数学抽象：从实际问题中抽象出三角形三边关系定理；2.逻辑推理：通过“两点之间线段最短”推导三边不等式；3.数学建模：运用三边关系解决等腰三角形周长问题；4.直观想象：通过动手实践理解三角形的稳定性。 教学重点 三角形三边关系定理及其应用。突破策略：通过“两点之间线段最短”直观推导，结合具体例题强化计算与判断。 教学难点 三边关系的差的形式及第三边取值范围。突破策略：通过不等式移项变形，归纳“两边之差＜第三边＜两边之和”的统一表达。 一、情境导入 任意画一个（如图），从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？ 路线1：从点B到点A，再从点A到点C，长度为BA+AC。 路线2：从点B直接到点C，长度为BC。 根据"两点之间线段最短"，路线2更短，即BA+AC>BC。 【知识点】三角形三边关系（和）：三角形任意两边的和大于第三边。这是由"两点之间线段最短"直接推导出的重要结论。 【过渡语】从路径比较中我们发现了三边"和"的关系，那么换个角度，能否推导出三边"差"的关系呢？ 设计意图：通过生活实例导入，激发学生探究兴趣，渗透从直观到抽象的数学思想。 二、探究新知 1. 三角形三边关系——两边的和 换个角度思考：从A到B、从A到C出发，利用"两点之间线段最短"推导三边关系。 从A到B：直路AB比A→C→B近，得AC+BC>AB。 从A到C：直路AC比A→B→C近，得AB+BC>AC。 【知识点】三边不等式（和）：三角形任意两边的和大于第三边，即。这三条不等式同时成立，是三角形存在的必要条件。 设计意图：引导学生多角度思考，培养逻辑推理能力，从不同路径推导同一结论。 【过渡语】掌握了"和"的关系后，我们通过不等式变形来推导"差"的关系。 2. 三角形三边关系——两边的差 由AC+BC>AB，移项可得BC>AB-AC。 由AB+BC>AC，移项可得BC>AC-AB。 综合以上两式，得BC>|AB-AC|，即三角形两边的差小于第三边。 【知识点】三边不等式（差）：三角形两边的差小于第三边。一般形式为。注意：差的绝对值小于第三边。 设计意图：通过移项变形，引导学生从"和"自然过渡到"差"，培养等价变形能力。 【过渡语】"和"与"差"的关系都推导完毕，我们来综合归纳第三边的取值范围。 3. 第三边的取值范围 综合"两边的和大于第三边"和"两边的差小于第三边"，可得第三边的取值范围。 即：两边之差<第三边<两边之和。这说明给定三角形两边后，第三边并非任意取值，而是被限制在一个区间内。 关系类型 文字表述 符号表示 两边的和 三角形任意两边的和大于第三边 a+b>c, b+c>a, a+c>b 两边的差 三角形两边的差小于第三边 |a-b|<c, |b-c|<a, |a-c|<b 第三边范围 第三边大于两边之差且小于两边之和 |a-b|<c<a+b 【知识点】第三边取值范围：设三角形两边为a、b，第三边为c，则。这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。 设计意图：通过归纳表格，帮助学生系统掌握三边关系的完整体系。 【过渡语】有了三边关系的理论基础，接下来学习如何快速判断三条线段能否组成三角形。 4. 判断三条线段能否组成三角形 核心判断技巧：只需锁定三条线段中的最长边，计算另外两条较短线段的长度之和。 如果较短两边之和大于最长边，则能组成三角形；如果较短两边之和小于或等于最长边，则不能组成三角形。 💡 解题技巧：解题技巧：判断三条线段能否组成三角形，不需要逐一验证三组不等式，只需比较"较短两边之和"与"最长边"的大小即可。若较短两边之和>最长边，则能组成；否则不能。 【知识点】快速判断法：设三条线段中最长边为c，较短两边为a、b，则只需判断a+b是否大于c。这大大简化了判断过程。 设计意图：通过技巧总结，帮助学生掌握高效的判断方法，避免繁琐的逐一验证。 【过渡语】掌握了判断方法后，我们通过例题来综合运用三边关系解决实际问题。 三、例题精讲 例题：等腰三角形周长问题 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 审题分析：等腰三角形有两腰相等，腰长是底边长的2倍。设底边长为x cm，则腰长为2x cm。周长=底边+2×腰。 解题过程： 设底边长为x cm，则腰长为2x cm，列方程：。 解得。 所以三角形三边的长分别为（单位：cm）。 验证：3.6+7.2>7.2，7.2+7.2>3.6，符合三角形三边关系。 方法总结 等腰三角形中，设未知数时通常设底边为x（或设腰为x），利用"周长=底边+2×腰"列方程。注意求解后必须验证三边关系。 （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 审题分析：长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，需要分情况讨论。 解题过程： 情况一：如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm。 列方程：，解得。 验证：4+7>7，7+7>4，符合三角形三边关系，可以围成。 情况二：如果4cm长的边为腰，设底边长为y cm。 列方程：，解得。 验证：，不符合"三角形两边的和大于第三边"，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形。 结论：可以围成底边长是4cm、腰长为7cm的等腰三角形。 ⚠ 易错提示：易错提示：等腰三角形问题中，给出一边长时必须分"此边为腰"和"此边为底边"两种情况讨论，且每种情况都必须验证三角形三边关系！ 【知识点】分类讨论思想：等腰三角形问题中，当给定一边长但未指明是腰还是底边时，必须分两种情况讨论。同时，每种情况求解后都必须用三边关系验证是否成立。 设计意图：通过分类讨论和验证，培养学生严谨的数学思维和检验习惯。 【过渡语】例题展示了三边关系在等腰三角形中的应用，下面我们来认识三角形的另一个重要性质——稳定性。 四、三角形的稳定性 在日常生活中，三角形的形状随处可见，工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构等。 动手实践：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变。 三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定后，三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫作三角形的稳定性。 三角形稳定性有着广泛的应用。 例如：起重机、钢架桥等工程结构中都利用了三角形的稳定性。 📚 知识拓展：知识拓展：与三角形不同，四边形在边长确定后形状仍可改变（不稳定），因此在需要稳固的结构中常采用三角形而非四边形。这就是为什么桥梁、塔架等建筑大量使用三角形结构的原因。 【知识点】三角形稳定性：三角形三条边长确定后，形状和大小完全确定，这一性质称为三角形的稳定性。它是三角形区别于其他多边形的重要特征，在工程建筑中有广泛应用。 设计意图：通过动手实践和生活实例，帮助学生直观理解三角形的稳定性，渗透数学应用意识。 【过渡语】学习了三角形的三边关系和稳定性后，我们通过一组练习来巩固所学知识。 五、巩固练习 练习1：判断能否组成三角形 下列长度的三条线段能否组成三角形？ （1）3cm、4cm、5cm；（2）5cm、5cm、8cm；（3）2cm、3cm、6cm。 答案与解析 （1）能。最长边为5，3+4=7>5，符合。。 （2）能。最长边为8，5+5=10>8，符合。。 （3）不能。最长边为6，2+3=5<6，不符合。。 练习2：求第三边范围 已知三角形两边长分别为3cm和5cm，求第三边c的取值范围。 答案与解析 由第三边取值范围，即。所以第三边c的取值范围是2<c<8（cm）。 练习3：等腰三角形周长 等腰三角形两边长分别为5cm和8cm，求周长。 答案与解析 分两种情况讨论： 情况一：若5为腰、8为底，则三边为5、5、8。验证：5+5>8，成立。周长=5+5+8=18。 情况二：若8为腰、5为底，则三边为8、8、5。验证：8+5>8，成立。周长=8+8+5=21。 所以周长为18cm或21cm。 六、课堂小结 1. 三角形三边关系 两边的和大于第三边：。 两边的差小于第三边：。 2. 第三边取值范围 两边之差<第三边<两边之和，即。 3. 快速判断法 只需比较较短两边之和与最长边的大小即可。 4. 三角形的稳定性 三角形三边长确定后，形状和大小完全确定。在工程建筑中有广泛应用。 ★ 重点强调：重点强调：①三边关系是三角形存在的必要条件；②等腰三角形问题必须分类讨论并验证三边关系；③三角形具有稳定性，四边形不具有。 设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理知识脉络，强化对三边关系和稳定性的理解。 七、教学反思 亮点：从"两点之间线段最短"出发，自然推导出三边关系，逻辑链条清晰；例题选取等腰三角形周长问题，兼顾分类讨论和三边验证，综合性强；稳定性部分通过动手实践激发兴趣，联系生活实际。 改进方向：第三边取值范围的"差"的形式学生理解有困难，可增加更多具体数值的练习帮助巩固；分类讨论思想需要反复训练，后续教学中应增加变式练习。 学科网（北京）股份有限公司 $