13.2.1 三角形的边 教案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.2.1 三角形的边

 

一、情境导入

任意画一个（如图），从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？

路线1：从点B到点A，再从点A到点C，长度为BA+AC。

路线2：从点B直接到点C，长度为BC。

根据"两点之间线段最短"，路线2更短，即BA+AC>BC。

【知识点】三角形三边关系（和）：三角形任意两边的和大于第三边。这是由"两点之间线段最短"直接推导出的重要结论。

【过渡语】从路径比较中我们发现了三边"和"的关系，那么换个角度，能否推导出三边"差"的关系呢？

设计意图：通过生活实例导入，激发学生探究兴趣，渗透从直观到抽象的数学思想。

二、探究新知

1. 三角形三边关系——两边的和

 

换个角度思考：从A到B、从A到C出发，利用"两点之间线段最短"推导三边关系。

从A到B：直路AB比A→C→B近，得AC+BC>AB。

从A到C：直路AC比A→B→C近，得AB+BC>AC。

【知识点】三边不等式（和）：三角形任意两边的和大于第三边，即。这三条不等式同时成立，是三角形存在的必要条件。

设计意图：引导学生多角度思考，培养逻辑推理能力，从不同路径推导同一结论。

【过渡语】掌握了"和"的关系后，我们通过不等式变形来推导"差"的关系。

2. 三角形三边关系——两边的差

 

由AC+BC>AB，移项可得BC>AB-AC。

由AB+BC>AC，移项可得BC>AC-AB。

综合以上两式，得BC>|AB-AC|，即三角形两边的差小于第三边。

【知识点】三边不等式（差）：三角形两边的差小于第三边。一般形式为。注意：差的绝对值小于第三边。

设计意图：通过移项变形，引导学生从"和"自然过渡到"差"，培养等价变形能力。

【过渡语】"和"与"差"的关系都推导完毕，我们来综合归纳第三边的取值范围。

3. 第三边的取值范围

综合"两边的和大于第三边"和"两边的差小于第三边"，可得第三边的取值范围。

即：两边之差<第三边<两边之和。这说明给定三角形两边后，第三边并非任意取值，而是被限制在一个区间内。

 

【知识点】第三边取值范围：设三角形两边为a、b，第三边为c，则。这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。

设计意图：通过归纳表格，帮助学生系统掌握三边关系的完整体系。

【过渡语】有了三边关系的理论基础，接下来学习如何快速判断三条线段能否组成三角形。

4. 判断三条线段能否组成三角形

核心判断技巧：只需锁定三条线段中的最长边，计算另外两条较短线段的长度之和。

如果较短两边之和大于最长边，则能组成三角形；如果较短两边之和小于或等于最长边，则不能组成三角形。

 

【知识点】快速判断法：设三条线段中最长边为c，较短两边为a、b，则只需判断a+b是否大于c。这大大简化了判断过程。

设计意图：通过技巧总结，帮助学生掌握高效的判断方法，避免繁琐的逐一验证。

【过渡语】掌握了判断方法后，我们通过例题来综合运用三边关系解决实际问题。

三、例题精讲