13.2.1 三角形的边 学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕“三角形的边”展开，核心内容包括三角形三边关系定理及推论、三条线段组成三角形的判断方法、等腰三角形分类讨论及三角形稳定性的应用。课堂导入通过生活中从A地到B地的路线问题，结合“两点之间线段最短”，衔接线段性质，引导学生探究折线路径与直线路径的关系，搭建从生活情境到数学知识的学习支架。 这份资料的特色在于分层设计与数学文化融入，设有合作探究引导自主发现定理，错误诊所辨析常见误区，分层达标检测适配不同学生需求。通过生活情境抽象数学问题（数学眼光），推理证明定理及分类讨论（数学思维），符号表达第三边范围及化简（数学语言），帮助学生建构知识体系，提升抽象能力、推理意识和应用意识，适合课堂教学与自主学习。

13.2.1 三角形的边 （第1课时） 人教版2024版 八年级上册 第十三章 三角形 一、学习目标 1. 理解并掌握三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。 2. 掌握三边关系的推论：三角形任意两边之差小于第三边，能求已知两边时第三边的取值范围。 3. 能判断给定的三条线段能否组成三角形，掌握简便判断方法。 4. 了解三角形的稳定性及其在生活中的应用，能运用三边关系解决简单的实际问题。 二、学习重点与难点 学习重点：掌握三角形三边关系定理及其推论；能判断三条线段能否组成三角形；能求第三边的取值范围。 学习难点：在等腰三角形中对腰和底进行分类讨论，并用三边关系验证每种情况的合理性；综合运用三边关系化简求值。 三、情境导入 如图，从A地到B地有3条路线：路线①是折线A→C→B，路线②是折线A→D→B，路线③是直线路径A→B。 思考：哪条路线最短？为什么？ 根据"两点之间，线段最短"，直线路径A→B最短。 那么，折线路径与直线路径之间有什么关系？这与三角形的三边有什么关系呢？ 带着这个问题，让我们一起探究三角形的三边关系。 四、合作探究 探究一：三边关系的发现 如图，在△ABC中，三边分别为a、b、c。 思考：从B到C，走折线路径B→A→C与走直线路径B→C，哪个更短？ 由"两点之间，线段最短"可知： AB + AC > BC，即 c + b > a 同理可得： AB + BC > AC，即 c + a > b AC + BC > AB，即 b + a > c 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。 即：a + b > c，a + c > b，b + c > a 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 即：|a - b| < c < a + b（已知两边a、b时，第三边c的范围） 简便判断方法：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 ______________________________ ______________________________ 探究二：判断能否组成三角形 判断下列各组线段能否组成三角形： （1）3，4，5 ______________________________ （2）2，3，6 ______________________________ （3）4，4，8 ______________________________ ______________________________ 探究三：已知两边求第三边范围 三角形两边长分别为3和5，求第三边c的取值范围。 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 五、典型例题 例题1（基础判断） 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 例题2（求第三边范围） 一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 例题3（等腰三角形分类讨论） 若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是________cm。 ______________________________ ______________________________ 例题4（综合应用） 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简： |a - b - c| + |b - c - a| + |c - a - b| ______________________________ ______________________________ ______________________________ 六、错误诊所 请辨析以下说法是否正确，如不正确请说明原因。 辨析1：小明说"长度为2，3，5的三条线段能组成三角形，因为2+3=5"。 ______________________________ ______________________________ 辨析2：已知等腰三角形两边长分别为3和5，小红说周长一定是11。 ______________________________ ______________________________ 辨析3：有人认为只要满足"两边之和大于第三边"中的某一组就行。 ______________________________ ______________________________ 七、达标检测 A组 · 基础达标 1. 下列长度的各组线段能首尾相接组成一个三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，8cm，5cm C. 4cm，5cm，10cm D. 4cm，5cm，6cm 2. 若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________。（写出一个即可） 3. 已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2和4，则第三边可以是________。（写出一个即可） 4. 下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（ ） A B C D 5. 已知a，b，c是△ABC的三边，a = 4，b = 6，若三角形的周长是小于18的偶数。 （1）求c的值； ______________________________ （2）判断△ABC的形状。 ______________________________ ______________________________ B组 · 能力提升 1. 已知三角形两边长分别为2和7，则第三边a的取值范围为________。 2. 用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？ ______________________________ （2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另外两边的长。 ______________________________ ______________________________ 3. 如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA = 13m，PB = 7m，那么A、B之间的距离不可能是（ ） A. 8m B. 12m C. 17m D. 21m C组 · 核心素养拓展 1. 如图，P是△ABC内一点，连接BP、PC，延长BP交AC于点D。 求证：AB + AC > PB + PC ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ 中考链接 1. 四根长度分别为2cm，3cm，5cm，7cm的木条，以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架，那么这个框架的周长是（ ） A. 10cm B. 15cm C. 14cm D. 12cm 八、数学文化长廊 三角形的稳定性在建筑中的应用 三角形的稳定性是指：当三角形的三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生变形。 这一性质在建筑和工程中有广泛的应用： • 埃菲尔铁塔：塔身大量采用三角形桁架结构，使得这座高达324米的铁塔历经百余年仍然坚固稳定。 • 桥梁桁架：各种桥梁的钢架结构中都可以看到三角形的影子，三角形单元将桥面的载荷均匀分散，保证桥梁安全。 • 屋顶钢架：人字形屋顶的基本结构就是三角形，利用三角形分散重力，增强承重能力。 • 自行车车架：车架的核心结构是三角形，使车架坚固耐用。 与之对比，四边形不具有稳定性——当四边形的四条边长度确定后，其形状仍可以改变（例如平行四边形可以被"推斜"）。伸缩门正是利用了四边形的这一性质。 思考：你能列举更多生活中运用三角形稳定性的实例吗？ 九、课堂小结 知识框架： • 三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。即 a+b > c，a+c > b，b+c > a。 • 推论：三角形任意两边之差小于第三边。已知两边a、b时，第三边c的范围：|a-b| < c < a+b。 • 简便判断：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两边之和 > 最长边。 • 应用： • 判断三条线段能否组成三角形。 • 已知两边求第三边的取值范围。 • 等腰三角形中的分类讨论（须用三边关系验证每种情况）。 • 三角形的稳定性：三边确定后形状和大小唯一确定，这一性质称为三角形的稳定性。 十、课后反思 1. 为什么判断三线段能否组成三角形只需验证较短两边之和 > 最长边？ ______________________________ 2. 等腰三角形已知两边求周长时，为什么要分类讨论？需要注意什么？ ______________________________ 3. 三角形的稳定性在现实生活中有哪些应用？你能举出至少三个例子吗？ ______________________________ 参考答案 四、合作探究 探究一： 由"两点之间，线段最短"： 折线 B→A→C 的长度 = AB + AC > 直线 BC，即 c + b > a。 同理：c + a > b，b + a > c。 所以三角形任意两边之和大于第三边。 推论：由 a + b > c 得 c > a + b 不成立，由 a + c > b 得 c > b - a，由 b + c > a 得 c > a - b，综合得 |a - b| < c < a + b。 探究二： （1）能。较短两边之和 3 + 4 = 7 > 5，满足条件。 （2）不能。较短两边之和 2 + 3 = 5 < 6，不满足条件。 （3）不能。较短两边之和 4 + 4 = 8 = 8，等于而非大于，不满足条件。 探究三： 由三边关系：|3 - 5| < c < 3 + 5，即 2 < c < 8。 所以第三边c的取值范围为 2 < c < 8。 五、典型例题 例题1：选C。 A：1 + 3 = 4，不大于4，不能组成三角形。 B：2 + 2 = 4 < 7，不能组成三角形。 C：4 + 5 = 9 > 7，能组成三角形。 ✓ D：3 + 3 = 6，不大于6，不能组成三角形。 例题2：选C。 由三边关系：|4 - 7| < c < 4 + 7，即 3 < c < 11。 第三边为整数，可取 4，5，6，7，8，9，10。 选项中只有 C（8）在此范围内。 例题3：周长为 22 cm。 分两种情况讨论： ① 腰 = 4，底 = 9：验证 4 + 4 = 8 < 9，不能组成三角形，舍去。 ② 腰 = 9，底 = 4：验证 9 + 9 = 18 > 4，9 + 4 = 13 > 9，能组成三角形。 周长 = 9 + 9 + 4 = 22 cm。 例题4：原式 = a + b + c。 解：由三边关系： a < b + c → a - b - c < 0 → |a - b - c| = b + c - a b < a + c → b - c - a < 0 → |b - c - a| = a + c - b c < a + b → c - a - b < 0 → |c - a - b| = a + b - c 原式 = (b + c - a) + (a + c - b) + (a + b - c) = a + b + c。 六、错误诊所 辨析1： 错误。三角形要求两边之和严格大于第三边。2 + 3 = 5，是"等于"而非"大于"，不满足条件，所以不能组成三角形。 辨析2： 不正确，需要分类讨论。 ① 腰 = 3，底 = 5：验证 3 + 3 = 6 > 5 ✓，周长 = 3 + 3 + 5 = 11。 ② 腰 = 5，底 = 3：验证 5 + 5 = 10 > 3 ✓，5 + 3 = 8 > 5 ✓，周长 = 5 + 5 + 3 = 13。 所以周长可能是 11 或 13，不一定是 11。 辨析3： 不正确。三角形的任意两边之和都要大于第三边（三组不等式都要满足）。 但简便判断时，只需验证较短两边之和 > 最长边即可，因为这一组满足后，其他两组自动满足。 七、达标检测 A组 1. 选D。 A：1 + 2 = 3，不大于3。 B：3 + 5 = 8，不大于8。 C：4 + 5 = 9 < 10。 D：4 + 5 = 9 > 6 ✓ 2. 4（答案不唯一）。由 |3 - 6| < a < 3 + 6，即 3 < a < 9，整数可取 4，5，6，7，8。 3. 3（答案不唯一）。由 |2 - 4| < c < 2 + 4，即 2 < c < 6，正整数可取 3，4，5。 4. 选D。A屋顶钢架利用了三角形结构；B自行车三角架利用了三角形结构；C门框斜拉条将长方形分成三角形；D伸缩门利用的是四边形的不稳定性。 5. 解： （1）由三边关系：|4 - 6| < c < 4 + 6，即 2 < c < 10。 周长 = 4 + 6 + c = 10 + c < 18，所以 c < 8。 综合 2 < c < 8，c 为整数，可取 3，4，5，6，7。 周长 = 10 + c 为偶数，则 c 为偶数，所以 c = 4 或 c = 6。 （2）当 c = 4 时，a = 4 = c，△ABC 是等腰三角形。 当 c = 6 时，b = 6 = c，△ABC 是等腰三角形。 所以△ABC 是等腰三角形。 B组 1. 5 < a < 9。 由三边关系：|2 - 7| < a < 2 + 7，即 5 < a < 9。 2. 解： （1）设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm。 x + 2x + 2x = 20，5x = 20，x = 4。 底边 = 4 cm，腰 = 8 cm。 验证：8 + 8 = 16 > 4 ✓，8 + 4 = 12 > 8 ✓，能组成三角形。 各边长分别为 8cm、8cm、4cm。 （2）分两种情况： ① 底边 = 5 cm，腰 = (20 - 5) / 2 = 7.5 cm。 验证：7.5 + 7.5 = 15 > 5 ✓，7.5 + 5 = 12.5 > 7.5 ✓，能组成三角形。 ② 腰 = 5 cm，底边 = 20 - 5 - 5 = 10 cm。 验证：5 + 5 = 10，不大于 10，不能组成三角形，舍去。 所以能围成，另外两边分别为 7.5cm 和 7.5cm。 3. 选D。 在△PAB中，由三边关系：|PA - PB| < AB < PA + PB。 |13 - 7| < AB < 13 + 7，即 6 < AB < 20。 21 不在此范围内，所以 AB 不可能是 21m。 C组 1. 证明： 在△ABD中，由三边关系：AB + AD > BD = BP + PD ... ① 在△PDC中，由三边关系：PD + DC > PC ... ② ① + ②：AB + AD + PD + DC > BP + PD + PC 即 AB + (AD + DC) > BP + PC 即 AB + AC > PB + PC。 证毕。 中考链接 1. 选B。 从4根木条中选3根，有以下4种选法： （2，3，5）：2 + 3 = 5，不大于5，不能组成三角形。 （2，3，7）：2 + 3 = 5 < 7，不能组成三角形。 （2，5，7）：2 + 5 = 7，不大于7，不能组成三角形。 （3，5，7）：3 + 5 = 8 > 7，能组成三角形。周长 = 3 + 5 + 7 = 15 cm。 学科网（北京）股份有限公司 $