专题16 抛物线的几何性质（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题16 抛物线的几何性质 题型一：抛物线的简单性质 题型二：直线与抛物线的位置关系 题型三：抛物线的弦长 题型四：抛物线的中点弦和点差法 题型五：抛物线的焦点弦 题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题 题型七：抛物线的向量问题 题型八：抛物线的三角形问题 题型一：抛物线的简单性质 1．已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（   ） A．2 B． C． D．3 3．（多选）抛物线的焦点为，准线为为上两个动点，则下列结论正确的有（    ） A．焦点的坐标为 B．准线的方程为 C．若直线经过点，则的最小值为 D．以为直径的圆与准线最多有1个公共点 4．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则 . 5．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上的点到点的距离等于点到的距离，则 . 题型二：直线与抛物线的位置关系 6．已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 7．在过点的所有直线中，与抛物线仅有一个公共点的直线有（    ）条 A．3 B．2 C．1 D．不能确定 8．（多选）已知直线与抛物线相切，则（   ） A． B． C． D． 9．已知抛物线，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可） 10．若直线与抛物线只有个公共点，则抛物线的准线方程为 ． 11．设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 12．已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中． （I）求焦点的坐标； （Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明． 题型三：抛物线的弦长 13．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． (1)求的方程； (2)求以为直径的圆的标准方程； (3)设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 14．曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 15．已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，且，求． 16．已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为两点，与轴的交点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求. 17．已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 18．已知曲线上任一点到的距离等于它到直线的距离． (1)求曲线的方程； (2)直线与抛物线相切于点，且与曲线交于两点，求． 题型四：抛物线的中点弦和点差法 19．过直角顶点的两直角边交抛物线于两点，求中点的轨迹方程． 20．已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求该抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 21．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 22．（1）、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围； （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由． 23．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程. 24．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 题型五：抛物线的焦点弦 25．已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（   ） A．16 B．6 C． D．4 26．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 27．已知曲线上任意一点与定点的距离比它到直线的距离小1. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线经过点，与曲线交于两点，且，求直线的方程. 28．若抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求. 29．已知抛物线方程为，焦点在直线上． (1)求抛物线的方程； (2)记直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 30．已知抛物线C：的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段AB的中点M到准线的距离． 题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题 31．已知抛物线（常数），是轴正半轴上一点，过点作直线交抛物线于两点．探究：是否存在定点，使为定值？ 32．已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 33．抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 34．已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 35．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 36．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 题型七：抛物线的向量问题 37．设，是抛物线：上异于原点的两点，且，直线与x轴相交于E. (1)若P，Q到x轴的距离的积为4，求抛物线的准线方程； (2)F是x轴上的点，直线与抛物线交于另一点，直线与轴相交于，若，求. 38．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 39．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 40．直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 41．经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 42．已知抛物线上的点P的纵坐标为，点P到焦点F和原点O的距离相等． (1)求抛物线的方程． (2)若AB，CD是抛物线的两条不同的弦，且满足． （ⅰ）求证：直线AB，CD过同一个定点Q； （ⅱ）过原点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN面积的最大值． 43．已知抛物线的焦点为，且抛物线经过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点． (1)求拋物线的标准方程； (2)若直线过定点，求面积的取值范围； (3)若，求直线的方程． 题型八：抛物线的三角形问题 44．已知过定点的直线交抛物线于两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 45．已知抛物线：的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积． 46．已知为抛物线上的点，动点满足． (1)求的轨迹方程； (2)已知点，直线与交于两点，求面积的取值范围． 47．在直角坐标系xOy中，点A到的距离等于点A到点的距离，记动点A的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设M为C上的一个动点，若，过M作圆E：的两条切线，，若，分别交y轴于P，Q两点，求面积的最小值． 48．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 抛物线的几何性质 题型一：抛物线的简单性质 题型二：直线与抛物线的位置关系 题型三：抛物线的弦长 题型四：抛物线的中点弦和点差法 题型五：抛物线的焦点弦 题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题 题型七：抛物线的向量问题 题型八：抛物线的三角形问题 题型一：抛物线的简单性质 1．已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先得，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解. 【详解】因为直线经过点，则，由得， 则，故，所以． 故选：D． 2．已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意可知为抛物线的焦点，再由焦半径等于，列等式即可得到的值，进而确定曲线方程，再讲点的横坐标代入，即可得到纵坐标的绝对值. 【详解】因为，所以为抛物线的焦点，且，则，得， 则抛物线方程为.点在曲线上，所以，则. 故选：C. 3．（多选）抛物线的焦点为，准线为为上两个动点，则下列结论正确的有（    ） A．焦点的坐标为 B．准线的方程为 C．若直线经过点，则的最小值为 D．以为直径的圆与准线最多有1个公共点 【答案】BCD 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可判断A、B，根据焦点弦的性质判断C，设的中点为，、、到准线的距离分别为、、，根据抛物线的定义得到，即可判断D. 【详解】对于A、B：抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C：直线经过点，当轴时，取得最小值，且最小值为，故C正确； 对于D：设的中点为，、、到准线的距离分别为、、， 所以，又，所以， 所以以为直径的圆与准线最多有1个公共点，故D正确. 故选：BCD. 4．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则 . 【答案】8 【分析】根据抛物线的焦半径公式计算即可. 【详解】因为点M到焦点的距离为5，所以，解得. 故答案为： 5．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上的点到点的距离等于点到的距离，则 . 【答案】 【分析】由条件结合抛物线定义可得，由此可求，根据点在抛物线上，列方程可求. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为， 根据抛物线的定义可得， 又点到准线的距离， 所以，解得. 因为点在抛物线上，所以，又， 所以. 故答案为：. 题型二：直线与抛物线的位置关系 6．已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据直线与抛物线的位置关系判断． 【详解】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条． 综上，符合要求的直线有3条． 故选：D． 7．在过点的所有直线中，与抛物线仅有一个公共点的直线有（    ）条 A．3 B．2 C．1 D．不能确定 【答案】A 【分析】当直线的斜率为0时，直线的方程为，满足与抛物线只有1个交点，当斜率存在且不为0时，设直线的方程为，代入抛物线方程中，根据判别式与0的关系，可求得直线方程，从而可得答案 【详解】解：由题意可知与抛物线有交点的直线的斜率存在，设过点的直线的斜率为， 当时，直线的方程为，此直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线只有1个交点， 当时，设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 由，得，即， 解得，所以过与抛物线相切的直线有2条， 综上所求直线有3条， 故选：A 8．（多选）已知直线与抛物线相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将直线方程与抛物线的方程联立，由可求得的值. 【详解】联立可得，由题意可得，解得. 故选：BC. 9．已知抛物线，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可） 【答案】（答案不唯一，不小于2的实数均正确） 【分析】点在抛物线的内部或在抛物线上时，过点的直线l与抛物线恒有公共点，由此建立不等式即可. 【详解】解：若点在抛物线的内部或在抛物线上，则过点的直线l与抛物线恒有公共点， 所以当x=1时，，解得， 故答案为：（答案不唯一，不小于2的实数均正确）. 10．若直线与抛物线只有个公共点，则抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程，利用求出即可得出准线方程. 【详解】由可得，将代入，消去可得， 因为直线与抛物线只有个公共点， 所以，即，解得（舍去）或， 所以抛物线的准线方程为． 故答案为：． 11．设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 【答案】当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 【分析】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可. 【详解】解：联立方程，得 消去并整理，得. 当时，方程为一元二次方程. 所以. 当，即时，与相切； 当，即且时，与相交； 当，即时，与相离. 当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点. 综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 12．已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中． （I）求焦点的坐标； （Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）相切，证明见解析. 【解析】（Ⅰ）求出的值，可得焦点的坐标； （Ⅱ）分别求出直线的斜率与抛物线C：上过点的切线的斜率，可得其相等，可证明直线与抛物线C相切. 【详解】解：（Ⅰ）由抛物线C：，可得：，， 可得焦点的坐标为； （Ⅱ）直线与抛物线C相切，证明如下： 由点及点，可得， 又，可得，可得， 同时由抛物线C：，，， 所以过的切线的斜率为：， 所以直线与抛物线C相切. 题型三：抛物线的弦长 13．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． (1)求的方程； (2)求以为直径的圆的标准方程； (3)设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算求出椭圆的焦点，再结合抛物线的焦点得出抛物线方程； （2）根据为直径得出圆心及半径即可得出圆的方程； （3）先联立方程组，再应用弦长公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意得的坐标为， 所以线段的中点坐标为． 因为以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为． （3）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，，则，，， 则． 14．曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程； （2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长求出直线方程. 【详解】（1）因为曲线上的点到的距离与到的距离相等， 所以轨迹为焦点在轴上，以为焦点的抛物线， 所以的方程为. （2）设，直线的方程为， 联立得， 所以. 所以， 解得， 所以直线的方程为. 15．已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义可知所求轨迹为抛物线，结合条件可写出方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消元后根据韦达定理可得关系式，结合，可解出方程组，继而利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意，到的距离和到直线的距离相等. 故点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为； （2）设直线的方程为， 联立，消去得， 设， 则， 因为，则， 解方程组，可得，或 所以 16．已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为两点，与轴的交点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，求得抛物线方程； （2）根据得到两点纵坐标的关系，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，从而求得两点的坐标，根据两点间的距离公式求得. 【详解】（1）由题意焦点到准线的距离为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，，直线的方程为， 联立，消去得， 则，即，， 又，则，可得， 解得，，代入抛物线方程得，， 所以，，代回直线的方程解得合题意， . 17．已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式即可求解， （2）根据点差法求解斜率，即可得直线方程，进而联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，，解得， 故抛物线C的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即. 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则， 故直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为：. 联立直线与抛物线方程，得， 由韦达定理可得，. 由弦长公式得 . 18．已知曲线上任一点到的距离等于它到直线的距离． (1)求曲线的方程； (2)直线与抛物线相切于点，且与曲线交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设曲线上任意一点，再根据题意建立方程，化简即可求出结果； （2）根据题设求出直线直线的方程，联立，消得，再利用弦长公式即可求出结果. 【详解】（1）设曲线上任意一点， 由题有，化简得到， 所以曲线的方程为. （2）因为直线与抛物线相切于点， 设直线的方程为，， 由，消得到， 所以，即，得到， 所以直线的方程为， 由，消得，所以， 则， 所以， 所以. 题型四：抛物线的中点弦和点差法 19．过直角顶点的两直角边交抛物线于两点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，利用已知及直径圆方程列式化简即可求解轨迹方程. 【详解】设， 由已知及直径圆方程得 将⑤式变形得， 将③④式代入得， 整理得，即．⑥ ①式变形得，⑦ ②式平方得．⑧ ⑧-⑦得．⑨ ⑨式和②式均代入⑥式得，的轨迹方程为． 20．已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求该抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的性质可得p的值，即求出抛物线的方程； （2）设与平行的直线：，代入抛物线的方程求得t的值，进而求出点； （3）设A，B的坐标，由中点坐标公式，可得A，B的坐标的关系，结合点差法可得直线l的方程． 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． （2）设与平行的直线：， 联立，得， 由，得，∴切线：， 此时切线到直线的距离最短， 由，解得，即． （3）设，，则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 21．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 22．（1）、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围； （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）依题意设直线的方程为，的中点为，利用设而不求点差法求得，代入直线的方程求得，然后利用点在抛物线的内部列不等式求解即可； （2）设存在被点平分的弦，且、，利用设而不求点差法求得，进而求得直线方程，与双曲线联立，利用判别式即可判断被点平分的弦不存在． 【详解】（1）由题意、两点在抛物线上，直线是的垂直平分线， 设直线在轴上的截距为，依题意直线的方程为． 又设的中点为，则有，两式相减可得， 所以，所以，所以， 代入直线方程，得． 因为线段的中点在抛物线（含焦点）的内部， 所以，解得． 即直线在轴上截距的取值范围为． （2）设存在被点平分的弦，且、， 则 ①、②两式相减，得．⑤ 把③、④代入⑤得，故直线的方程为． 由消去，得， 而． 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线． 23．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程. 【答案】 【分析】求出直线过的定点，设出三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间的关系将定点坐标代入化简可得中点的轨迹方程. 【详解】设直线为，设， 由，得， 因为点在抛物线上， 所以， 所以，解得或（舍去）， 由，得， 由，得， 则，得， 所以直线恒过定点， 设，则， 因为点在抛物线上， 所以， 两式相减得， 当时，，即， 因为直线恒过定点，所以， 所以，所以， 当，亦满足上式 所以所求为. 24．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且 (1)求C的标准方程； (2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在抛物线上得A坐标，结合正弦定理得，即可求解； （2）利用点差法结合中点坐标求解. 【详解】（1）过点A作轴于B，易知点 则 所以 在中，由正弦定理得        得                                           所以                                                          解得， 所以C的标准方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，MN 的中点不可能为，故直线l的斜率存在且不为零， 设直线l的斜率为 则,两式相减得，整理得 因为的中点为,所以，所以 所以直线l的方程为，即 题型五：抛物线的焦点弦 25．已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（   ） A．16 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点， 由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为， 设， 联立方程，可得，解得， 由抛物线的定义可知，. 故选：C. 26．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得，则抛物线， 直线的方程为，由， 则，显然， 所以，故， 所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 27．已知曲线上任意一点与定点的距离比它到直线的距离小1. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线经过点，与曲线交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据抛物线的定义求轨迹方程； （2）由抛物线方程知直线的斜率一定存在，设出直线方程后代入抛物线方程，应用韦达定理结合抛物线定义得弦长，从而求得参数值得直线方程． 【详解】（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等， 所以，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，，， 所以曲线的轨迹方程是； （2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在， 设直线方程为，代入曲线方程整理得， 设，，则， ，， 所以直线方程为，即或． 28．若抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求. 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意可知，，即可抛物线的方程； （2）首先求得直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得. 【详解】（1）由抛物线焦点为，所以，， 所以抛物线的方程：； （2）由题意可知，直线的方程为：，设，， 联立方程组，消去，整理得， 则， 由抛物线的焦点弦公式， 所以的值为20. 29．已知抛物线方程为，焦点在直线上． (1)求抛物线的方程； (2)记直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)5. 【分析】（1）根据焦点在直线上，令直线中，可得焦点坐标，进而可得抛物线的方程． （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，计算，然后利用焦点弦长公式计算． 【详解】（1）因为抛物线方程为，焦点在直线上， 所以令，解得，则，所以， 所以抛物线的方程为； （2）因为直线与抛物线交于，两点， 联立，消去整理得，， 所以， 所以， 即线段的长度为5． 30．已知抛物线C：的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段AB的中点M到准线的距离． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得，解出即可求解; （2）根据抛物线的定义可得，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解. 【详解】（1）∵双曲线E：的焦点坐标为， 又抛物线（）的焦点， ∴，即. ∴抛物线C的方程为. （2）设，，由抛物线定义， 知， ∴，于是线段的中点M的横坐标是1， 又准线方程是， ∴点M到准线的距离等于. 题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题 31．已知抛物线（常数），是轴正半轴上一点，过点作直线交抛物线于两点．探究：是否存在定点，使为定值？ 【答案】存在 【分析】设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及两点距离公式化简得，由即可得定值. 【详解】设，，，，    由，得，则，， ， 当且仅当时，即存在定点使得为定值． 32．已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程. （2）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为0，且过点，设的直线的方程为， 由消去得，， 设，则，不妨设，则， 直线AD的方程为：，即， 即，令，得， 因此，解得， 所以. 33．抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 34．已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 35．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径，根据抛物线的准线与圆相切求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据轴可求出的值，由此可得出直线的斜率； （3）利用抛物线的焦点弦长公式以及平面内两点间的距离公式可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. （2）设点、、， 显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得， 因此，直线的斜率为. （3）由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 36．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 题型七：抛物线的向量问题 37．设，是抛物线：上异于原点的两点，且，直线与x轴相交于E. (1)若P，Q到x轴的距离的积为4，求抛物线的准线方程； (2)F是x轴上的点，直线与抛物线交于另一点，直线与轴相交于，若，求. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用数量积的坐标表示可得，再结合抛物线方程求出即可. （2）联立直线、与抛物线的方程，结合已知求出的横坐标关系即可得解. 【详解】（1）由，得， 整理得，又，则， 而，因此，由P，Q到x轴的距离的积为4，得，则， 所以抛物线的准线方程为：. （2）设，，，， 由，得， 设直线方程为：，由消去得，则， 设直线的方程为：，同理得，则， 所以，. 38．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，和 【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程； （2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可. 【详解】（1）由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. （2） 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 39．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出，再结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可. 【详解】（1）设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为； （2）抛物线的焦点，设直线的方程为， 因为，所以，所以． 联立，得，， 所以，即， 又，所以，解得． 所以． 40．直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出方程； （2）设直线的方程，联立方程，由点的横坐标以及韦达定理得出，由弦长公式得出，由距离公式得出点到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得出，所以抛物线的方程为. （2），设直线的方程为， 联立，得，则. . ，四边形为平行四边形， 由点的横坐标为3，得. , 点到直线的距离， 所以四边形的面积为.    41．经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）设，由题意直接求出即可； （2）设出直线的方程，直曲联立，表示出韦达定理，利用向量的坐标表示出向量的数量积进而求出，得到直线所过定点，再结合直径所对应的圆周角为直角可得； 【详解】（1）设， 由题意可得， 所以抛物线的方程为. （2）    设直线的方程为，， 联立，消去可得， ，， ， 解得， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点，设为， 因为，所以点D在以为直径的圆上（不含原点），所以平面内存在定点，使垂足点D到N点的距离为定值1. 42．已知抛物线上的点P的纵坐标为，点P到焦点F和原点O的距离相等． (1)求抛物线的方程． (2)若AB，CD是抛物线的两条不同的弦，且满足． （ⅰ）求证：直线AB，CD过同一个定点Q； （ⅱ）过原点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【分析】（1）由题意得，代入抛物线方程即可求得p值，则抛物线方程可得； （2）（i）设直线AB的方程为，联立直线方程与抛物线方程，求得t值即可得直线AB过的定点，同理得CD过的定点即可得证； （ii）先确定O，M，Q，N四点在以OQ为直径的圆上，结合图象即可直接求得四边形OMQN面积的最大值. 【详解】（1）原点，焦点，因为， 所以点P在线段OF的垂直平分线上，故， 代入抛物线方程可得．又，所以， 所以抛物线方程为． （2）（ⅰ）证明：设直线AB的方程为，，， 与联立可得，且，， 由韦达定理可得． 又，即， 所以，解得，所以直线AB：经过定点， 同理，直线CD也经过定点． （ⅱ）解：由（ⅰ）知，， 所以O，M，Q，N四点在以OQ为直径的圆上，圆心即焦点． 当MN经过圆心F且与OQ垂直时，四边形OMQN的面积最大， 此时四边形OMQN的面积为2，即四边形OMQN面积的最大值为2． 43．已知抛物线的焦点为，且抛物线经过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点． (1)求拋物线的标准方程； (2)若直线过定点，求面积的取值范围； (3)若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入抛物线方程，可求，得抛物线的标准方程. （2）设直线：，与抛物线方程联立，根据韦达定理，表示出，表示，可求其取值范围. （3）设直线，与抛物线方程联立，可得，，再把转化成，可求的值，得到直线方程. 【详解】（1）由题意抛物线C经过点，代入方程可得. 所以抛物线的标准方程为：. （2）如图： 依题意，直线与抛物线有2个交点 所以直线斜率不为0， 设直线 联立，整理得 ． 整理得： 故的取值范围是. （3）如图： 由题意得抛物线的焦点， 又由，可知直线过焦点且斜率不为0 于是可设直线的方程为：， 设 联立方程组得 于是 由可知，，代入上式 所以直线的方程或. 题型八：抛物线的三角形问题 44．已知过定点的直线交抛物线于两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】 【分析】法1，按直线的斜率存在与否分类，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系求解；法2，设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系求解. 【详解】法1，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由消去得，显然， ，原点到直线的距离， ， 因此的面积， 当直线的斜率不存在时，其方程为，由，得，， 的面积， 所以的面积最小值为． 法2，直线不垂直于轴，设直线的方程为，， 由消去得，则， ，而直线过点， 因此的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值. 45．已知抛物线：的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)128 【分析】（1）根据已知条件列出方程，解方程即可得出结果； （2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出相关点的坐标，进而利用基本不等式计算最小值，最后求解四边形的面积. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 因为，所以，解得，所以的方程为．    （2）由（1）知，直线的斜率存在且不为0． 设直线的方程为，，， 由消去得，则， 所以，因为点G是AB的中点， 所以，同理得， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为8． 根据对称性，不妨取，即直线AB的方程为， 则，同理得，故． 46．已知为抛物线上的点，动点满足． (1)求的轨迹方程； (2)已知点，直线与交于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1) 设点的坐标为,根据题设条件得到的坐标，把的坐标代入抛物线方程，化简即可. (2) 设，，由(1)得到方程，联立直线方程与曲线方程,根据韦达定理，应用弦长公式表示出，求出点到直线的距离，表示出面积，得到它的取值范围. 【详解】（1）设点的坐标为，因为， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，则， 即，故的轨迹方程为． （2）由题设，，联立 消去得， 由题意可得， 则，， 所以 由题可得点P到直线AB的距离， 则， 因为，所以， 故面积的取值范围为． 47．在直角坐标系xOy中，点A到的距离等于点A到点的距离，记动点A的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设M为C上的一个动点，若，过M作圆E：的两条切线，，若，分别交y轴于P，Q两点，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)32． 【分析】（1）根据题意列等量关系，化简即可求解， （2）根据两点可求解直线，的直线方程，进而可得a，b为方程的两根，由韦达定理，可求解的长度，进而根据面积公式，结合基本不等式求解最值. 【详解】（1）设，依题有，即， 则的方程为． （2）如图，不妨设，，，    依题意，，所以， 设直线MP的方程为，直线MQ的方程为， 依题意直线MP与圆E：相切，所以， 整理可得， 同理可得， 所以a，b为关于的方程的两根， 所以，， 又M是C上的动点，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为32． 48．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $