第二章 平面解析几何（复习课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第二章平面解析几何 人教B版2019选择性必修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.在平面直角坐标系中认识直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的标准方程 3.运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想 2. 运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系 单元学习目标 平面解析几何 坐标法 直线及其方程 圆及其方程 直线与圆锥曲线的位置关系 曲线与方程 椭圆及其方程 双曲线及其方程 抛物线及其方程 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 两条直线的位置关系 点到直线的距离 圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 标准方程 几何性质 标准方程 标准方程 几何性质 几何性质 单元知识图谱 一、坐标法 （一）平面直角坐标系中的基本公式 给定一个平面，选定原点、单位长度以及x轴和y轴正方向， 建立平面直角坐标系xOy M(x，y)是线段AB的中点，则M AB两点间距离|AB|== 考点串讲 一、坐标法 定义：通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题。这种解决问题的方法称为坐标法 用坐标法解决几何问题的基本步骤： （二）坐标法 ①建系 ②设点 ③列式 ④化简 ⑤证明 ⑥还原为几何结论 关键：如何正确又简单地设出有关点的坐标 考点串讲 二、直线及其方程 （一）直线的倾斜角 定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角 直线 l 与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0° 倾斜角θ 的范围： 0°≤ θ <180° 考点串讲 二、直线及其方程 （二）直线的斜率 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当x1=x2时(此时必有y1≠y2)，θ=90°； (2)当x1≠x2且y1≠y2时，可以构造以AB为斜边且 两直角边分别平行于坐标轴或在坐标轴上的 直角三角形，如图所示，此时 当θ≠时，称 k = tanθ为直线l的斜率； 当θ=时，称直线l的斜率不存在. 平面内任意直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 考点串讲 二、直线及其方程 若A(x1,y1)，B(x2,y2)是直线l上两个不同的点，则 当x1≠x2时,直线l的斜率为 当x1=x2时,直线l的斜率不存在. 注：①直线上两点的坐标与直线斜率的关系 ②直线的倾斜角与直线斜率的关系 斜率不存在 斜率随倾斜角变化的规律： 当倾斜角满足且逐渐增大时，斜率逐渐增大； 当倾斜角，斜率不存在 当倾斜角满足且逐渐增大时，斜率逐渐增大. 考点串讲 （三）直线的方向向量 二、直线及其方程 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量为直线l的一个方向向量，记作//l 求直线的方向向量的基本方法： (1)已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是直线l上两个不同的点， 则是直线l的一个方向向量 (2)已知直线的倾斜角，则直线的 一个方向向量为 (3)已知直线的斜率为，则直线的 一个方向向量为， 特别地，当直线的斜率不存在时，直线的方向向量为 一条直线的方向向量与法向量互相垂直 考点串讲 注：①确定直线位置关系的几何要素之间的关系 倾斜角 直线上两个不同的点A(x1,y1)，B (x2,y2) 斜率 方向向量 ，斜率不存在 斜率不存在 θ≠， k = tanθ θ=，斜率不存在 考点串讲 二、直线及其方程 ②解析几何中证明A,B,C三点共线的常用方法 (1)任意两点确定的直线倾斜角相等，则三点共线 (2)任意两点确定的直线的斜率，要么都不存在，要么存在且相等，则三点共线 (3)利用向量共线，若，则三点共线 (4)利用三角形三边关系，若，A,B,C三点不能构成三角形，则三点共线 (5)利用点与直线的关系，若点A的坐标满足直线BC的方程，则三点共线 (6)利用点到直线的距离为零，若点A到直线BC的距离为零，则三点共线 考点串讲 （四）直线的方程 二、直线及其方程 一般地，如果直线上点的坐标都是方程的解， 而且以方程的解为坐标的点都在直线上，则称为直线的方程，而直线称为方程的直线 两个条件缺一不可 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 1.直线方程的五种形式 若没有特殊要求，最后可以把直线方程化为一般式或斜截式 考点串讲 二、直线及其方程 2.直线的法向量和直线的一般式方程系数之间的关系 一般式： 一个法向量 一个方向向量 考点串讲 二、直线及其方程 （五）两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1：y=k1x+b1， l2：y=k2x+b2 l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0 相交 k1≠k2 A1B2≠A2B1 平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1 重合 k1=k2且b1=b2 A1B2=A2B1且B1C2=B2C1 垂直 k1 · k2=-1 A1A2+B1B2=0 1.判断两条直线的位置关系 2.直线系 满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线） 考点串讲 二、直线及其方程 （1）过定点的直线系方程 （2）平行直线系方程 （3）垂直直线系方程 （4）过两直线交点的直线系方程 经过定点的直线系方程为(除直线)，其中是待定系数 ①直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程 ②与直线平行的直线系方程为 与直线垂直的直线系方程为 经过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交点的 直线系方程为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0(除l2)，其中是待定系数 考点串讲 二、直线及其方程 （六）点到直线的距离 1.点P(x0,y0)到直线 l：Ax+By+C=0的距离为： d= 直线方程形式要化为一般式 绝对值号不能丢 注：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，因此，也可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为 两条直线方程应为一般式，并且x，y的系数应分别相等 考点串讲 二、直线及其方程 （七）直线与点的对称问题 1.点关于点对称 2.直线关于点对称 点A(x0,y0)与点B关于点M(a,b)对称 利用中点坐标公式 M是AB的中点 直线l:Ax+By+C=0与直线m关于点P(a,b)对称，求直线m的方程 实质：两直线平行 方法一：转化为“点关于点”的对称问题 先在l上找两个点A、B，求出各自关于点P对称的点，再求出直线m的方程 方法二：利用点到直线的距离相等 设直线m的方程为 Ax+By+D=0，再利用点P到直线l和m的距离相等求出未知量D 考点串讲 二、直线及其方程 （七）直线与点的对称问题 3.点关于直线对称 4.直线关于直线对称 直线是对称点连线段的中垂线 点P(x0,y0)与点Q关于直线l:Ax+By+C=0对称，求点Q的坐标 方法：利用“垂直”和“平分”这两个条件建立方程组求对称点的坐标 直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2关于直线l:Ax+By+C=0对称，求直线l2的方程 （1）当l1与l相交时，转化为“点关于线”对称的问题 （2）当l1与l平行时，对称直线与已知直线平行 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可 首先联立l1与l求出交点，再在l1上任意找一点（非交点），求出关于直线l的对称点，最后利用两点式得到直线l2的方程 考点串讲 三、圆及其方程 （一）圆的标准方程 ☉C上任意一点M的坐标(x,y)满足方程①；如果平面上一点M的坐标(x,y)满足方程①，可得,则点M在☉C上.因此方程①能表示以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆，①式通常称为圆的标准方程 (x - a)2+(y - b)2= r2 ① 判断点与圆位置关系的方法 点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2外的充要条件 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的充要条件 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 重“形”，圆心和半径一目了然 考点串讲 三、圆及其方程 （二）圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 形如①式的圆的方程称为圆的一般方程，其中D,E,F都是常数 若将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方，得 当D2+E2-4F<0时，方程无解，不表示任何图形 当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解，所以方程只表示一个点 当D2+E2-4F>0时，方程为圆心，为半径的圆 重数，表现出明显的代数形式与结构 考点串讲 三、圆及其方程 注：求圆的方程的方法 1.直接代入法 已知圆心和半径时 2.待定系数法 （1）标准方程形式：列出关于a、b、r的方程组 （2）一般方程形式：列出关于D、E、F的方程组 标准方程和一般方程都含有三个参变量，必须具备三个独立的条件，才能求出圆的方程 3.借助圆的几何性质求出圆心和半径 圆心在弦的垂直平分线上 圆心在过切点与切线垂直的直线上 圆心到圆上任意一点 的距离等于半径 圆心到切线的距离等于半径 结合圆的几何性质求解，计算量较小 考点串讲 三、圆及其方程 圆C：(x - a)2+(y - b)2= r2的参数方程为 注：圆的其他方程形式 其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角 1.圆的参数方程 2.圆的直径式方程 若则以AB为直径的圆的方程是 考点串讲 三、圆及其方程 （三）直线与圆的位置关系 1.直线与圆位置关系的判断方法 （1）代数法 （2）几何法 联立直线与圆得方程组，消去x或y得一元二次方程 一元二次方程有两个不相等的实数解⇔直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交 一元二次方程有两个相等的实数解⇔直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切 一元二次方程有没有实数解⇔直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离 圆心到直线的距离为d，半径为r ⇔直线与圆相交 ⇔直线与圆相切 ⇔直线与圆相离 常用方法 考点串讲 三、圆及其方程 2.圆的切线 求过某已知点的切线方程，首先判断该已知点与圆的位置关系 ▸若已知点在圆上，所求切线只有一条 ▸若已知点在圆外，注意过这点的切线有两条，若只求出一个斜率k，则另一条切线的斜率不存在，但切线存在 ▸若已知点在圆内，则过此点不可能作圆的切线 易忽视 注：相关结论 （1）已知点P(x0,y0)在圆上 ▸若圆的方程为则圆过点P的切线为 ▸若圆的方程为则圆过点P的切线为 考点串讲 ▸若圆的方程为则圆过点P的切线为 （2）已知点P(x0,y0)在圆内 ▸过点P(x0,y0)作圆的弦AB(不过圆心),分别过A,B作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线 ▸若圆的方程为则轨迹方程为直线 ▸若圆的方程为则轨迹方程为直线 三、圆及其方程 考点串讲 三、圆及其方程 （3）已知点P(x0,y0)在圆外 ▸过点P(x0,y0)作圆的两条切线，切点分别为A,B，则切点AB的直线方程为 ▸若圆的方程为则切点AB的直线方程为 ▸若圆的方程为则切点AB的直线方程为 考点串讲 三、圆及其方程 3.圆的切线长 4.圆的弦长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角 若圆的半径为r,圆外一点P到圆心O的距离为d,则切线长PA= 直线和圆相交，求被截得的弦长 ▸几何法：半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得 ▸代数法：若直线与圆有两个交点,则| 考点串讲 三、圆及其方程 （四）圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R和r（R>r）,圆心距为d 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 注：1.圆与圆的位置关系的判断方法 ①根据两圆方程联立的方程组的解的个数进行判断 ②用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定 优点：若两圆有公共点，可直接求出公共点的坐标 缺点：计算量大，而且当方程组无解或只有一个解时，无法明确判断两圆的位置关系 2.求公切线条数前，先判断两圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系一般用几何法 考点串讲 三、圆及其方程 相关结论 1.求两圆的公共弦长 法一：圆与圆的公共弦长转化为直线（公共弦所在直线）和圆（两个圆中任意选一个）相交的弦长 法二：联立两圆方程，方程组的解就是交点坐标，再代入两点间距离公式 2.两圆相交时，求公共弦所在的直线 两圆方程相减所得方程就是公共弦所在直线的方程 需满足两个条件： ①两个圆不是同心圆 ②两圆方程中二次项系数相同 ▸若两圆外切时，相减后的方程为两圆的内公切线 ▸若两圆内切时，相减后的方程为两圆的公切线 考点串讲 三、圆及其方程 3.圆系方程 （1）过直线和圆交点的圆系方程 （2）过两圆交点的圆系方程 过直线与圆交点的圆系方程为, 过圆与圆交点的圆系方程为, 若时，表示过两圆交点的直线 ▸两圆相交时，此直线为公共弦所在直线 ▸两圆相切时，此直线为两圆的公切线 ▸两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线 此圆系方程中不含圆的方程，注意对方程进行验证 考点串讲 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系： (1) 曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解； (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线，方程F(x,y)=0为曲线C的方程. 四、曲线与方程 点P 按某种规律运动 （几何意义） 曲线C 方程F(x,y)=0 坐标(x,y) x,y的制约条件 （代数意义） 考点串讲 注： 四、曲线与方程 1.求两曲线的交点的一般方法 求两曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0的交点，实际上是 求方程组的实数解 两条曲线有交点的充要条件是两条曲线的方程所组成的方程组的实数解 2.点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程 常用求轨迹方程的方法 1.直接法：关键在于把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性 步骤：①建系②设点③列式④化简⑤证明（检验） 考点串讲 四、曲线与方程 2.待定系数法（定义法）：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程 3.相关点法：形成轨迹的动点随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点的轨迹方程是给定的或容易求得的， 则可先将表示成关于的式子， 再代入的轨迹方程， 即可求出动点的轨迹方程 考点串讲 如果F1，F2 是平面内的两个定点， a是一个常数，且2a>|F1F2 |，则平面内满足|PF1|+|PF2 |=2a 的动点P的轨迹称为椭圆 五、椭圆及其方程 （一）椭圆的定义 两个定点F1，F2 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2 |称为椭圆的焦距 注：2a>|F1F2 |不能少（三角形中两边之和大于第三边） ①2a=|F1F2 |时，其轨迹为线段 ②2a<|F1F2 |时，其轨迹不存在 考点串讲 第二定义:平面内到定点距离与到定直线(定点不在定直线上)距离之比为常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆.其中定点为椭圆的一个焦点,定直线称为椭圆的准线. 五、椭圆及其方程 第三定义:平面内与两定点连线的斜率之积为常数λ(λ<0且λ≠-1)的动点的轨迹为椭圆(不含两定点). 可以解决焦半径与椭圆外线段(距离)和最值问题 快速解决椭圆的中点弦、中心弦问题 考点串讲 图形 标准方程 焦点在x轴： 焦点在y轴： 范围 axa，by≤b b≤x≤b，a≤y≤a 对称性 关于x轴对称，关于y轴对称，关于坐标原点对称 顶点 (a,0) (a,0) (0,b) (0,b) (b,0) (b,0) (0,a) (0,a) 焦点 (c,0) (c,0) (0,c) (0,c) 轴 是长轴,长轴长2a；是短轴，短轴长2b a,b,c关系 (椭圆的中心、短轴一个端点、一个焦点组成的直角三角形三边是a,b,c) 离心率 ，,椭圆越圆，,椭圆越扁 五、椭圆及其方程 （二）椭圆的几何性质 考点串讲 五、椭圆及其方程 注： 1.“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程 2.在两种标准方程中，因为,所以可根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上 椭圆的焦点总在长轴上 3.求椭圆标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 （2）待定系数法：根据题目中的条件确定焦点位置，可设出标准方程，再由题设确定方程中的参数；若焦点位置无法确定，一般需要分类讨论，也可设方程为 先定型，再定量 考点串讲 五、椭圆及其方程 4.点与椭圆的关系 5.对于方程表示椭圆的条件 6.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为 P(x0,y0)在椭圆内⇔ P(x0,y0)在椭圆上⇔ P(x0,y0)在椭圆外⇔ 题干中作为隐含条件出现，容易忽视 （1）表示椭圆的充要条件为 （2）表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件为 （3）表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为 考点串讲 五、椭圆及其方程 （三）椭圆的相关结论 2.焦点三角形 1.通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦； 椭圆通径的长为，通径的端点坐标为 最短的焦点弦 结合椭圆定义及余弦定理、三角形面积公式解决焦点三角形问题 定义：椭圆上一点与两焦点组成的三角形 （1）焦点三角形的周长： （2）焦点三角形的面积：设P(x0,y0)，∠ 当点P为短轴端点时，S取最大值， 考点串讲 五、椭圆及其方程 （3）焦点三角形中的余弦定理： 即 所以 思考：何时最大？ 由焦点三角形中的余弦定理可得 的值最大时，最小，此时最大 利用基本不等式 ， 当且仅当时等号成立 当点P为短轴端点时，最大 考点串讲 五、椭圆及其方程 （4）焦点三角形中的正弦定理： 设∠，∠ 由正弦定理可得 又因为 考点串讲 五、椭圆及其方程 3.焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的距离 (1)坐标式（设P(x0,y0)在椭圆上） 焦点在左： 焦点在右： 焦点在上： 焦点在下： 左加右减 上减下加 (2)角度式 无论焦点在x轴还是y轴，角度统一为∠ (3)比例式 无论焦点在x轴还是y轴，角度统一为∠ 若，则 事实上，谁比谁没有影响 A B F o 考点串讲 五、椭圆及其方程 4.参数方程 A B o M 如图，以原点O为圆心，a、b为半径分别作两个同心圆.设A为大圆上一点，链接OA，与小圆交于点B.过点A、B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M. 设以Ox为始边，OA为终边的角为，点，那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y.由于A、B均在角的终边上，由三角函数的定义知： 当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹 椭圆的焦点在x轴上的参数方程 椭圆的焦点在y轴上的参数方程 参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角） 考点串讲 六、双曲线及其方程 （一）双曲线的定义 一般地，如果F1,F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足：| |PF1|-|PF2| |=2a 的动点P的轨迹称为双曲线. 两个定点F1，F2称为双曲线的焦点；两焦点之间的距离|F1F2|=2c称为双曲线的焦距. 注： ①2a=|F1F2 |时，其轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点） ②2a>|F1F2 |时，其轨迹不存在 ③2a=0时，其轨迹为线段F1F2的垂直平分线 如果没有“绝对值”，表示双曲线的一支. 考点串讲 六、双曲线及其方程 （二）双曲线的几何性质 图形 标准方程 焦点在x轴： 焦点在y轴： 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 关于x轴对称，关于y轴对称，关于坐标原点对称 顶点 (a,0) (a,0) (0,a) (0,a) 焦点 (c,0) (c,0) (0,c) (0,c) 轴 是实轴,实轴长2a；是虚轴，虚轴长2b 渐近线 直线y=±x 直线y=±x a,b,c关系 c2＝a2＋b2 离心率 ，e越大开口越大 考点串讲 六、双曲线及其方程 注： 1.在双曲线的标准方程中，焦点在的系数中为正的坐标轴上， 即“焦点跟着正项走” 3.将双曲线标准方程等号右侧的1改成0，即得其渐近线方程 2.当时，双曲线方程为，此时实轴与虚轴相等，称为等轴双曲线，渐进线方程为，互相垂直; 4.点与双曲线的关系 P(x0,y0)在双曲线内⇔ P(x0,y0)在双曲线上⇔ P(x0,y0)在双曲线外⇔ 双曲线的两个焦点各自所在的区域为双曲线的内部 考点串讲 六、双曲线及其方程 5.对于方程 表示双曲线的条件 （1）表示双曲线的充要条件为 （2）表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件为 （3）表示焦点在y轴上的双曲线的充要条件为 （1）如果不确定双曲线焦点位置，可设； 6.双曲线方程的特殊设法： （2）与椭圆共焦点的双曲线方程可设为 ，其中 考点串讲 六、双曲线及其方程 （3）与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为 （4）若渐近线方程为的形式，则双曲线方程可设为 或 7.双曲线焦点到渐近线的距离为 8.求椭圆标准方程的方法:定义法和待定系数法 先定型，再定量 考点串讲 六、双曲线及其方程 （三）双曲线的相关结论 1.通径： 过焦点且垂直于实轴的弦 双曲线通径长，通径的端点坐标为 2.焦点三角形 （1）焦点三角形的面积：设P(x0,y0)，∠ （2） （3） 结合双曲线定义及余弦定理、三角形面积公式解决焦点三角形问题 考点串讲 六、双曲线及其方程 3.焦半径：双曲线上一点到双曲线焦点的距离 (1)坐标式（设P(x0,y0)在双曲线上） 焦点在左： 焦点在右： 焦点在上： 焦点在下： 左加右减 上减下加 半径为正 (2)角度式 无论焦点在x轴还是y轴，角度统一为∠ (3)比例式 无论焦点在x轴还是y轴，角度统一为∠ 若，则 事实上，谁比谁没有影响 考点串讲 六、双曲线及其方程 注：焦半径的最值 ▸右支上的点：的最小值为,此时P在右顶点； 的最小值为,此时P在右顶点 ▸左支上的点：的最小值为,此时P在左顶点； 的最小值为,此时P在左顶点 考点串讲 七、抛物线及其方程 一般地，设F是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线 定点F称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线 ①当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线； ②当直线不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线. （一）抛物线的定义 注： 考点串讲 七、抛物线及其方程 （二）抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离（p越大，抛物线开口越大） 图形 一次项决定焦点位置：抛物线标准方程中的一次项就反映了对称轴是哪个轴， 焦点在该轴的什么位置（由一次项的符号决定） 考点串讲 七、抛物线及其方程 顶点 对称轴 x轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 离心率 e＝1 准线方程 焦半径 <m></m> 为抛物线上 任一点） F(，0) x＝－ F(－，0) x＝ F(0，) y＝－ F(0，－) y＝ <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 考点串讲 七、抛物线及其方程 注：1.点P(x0,y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的关系 P在抛物线内（含焦点）⇔ P在抛物线上⇔ P在抛物线外⇔ 2.抛物线的标准方程的求法：定义法和待定系数法 3.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p 考点串讲 过抛物线的焦点的直线交抛物线于A(x1, y1), B(x2, y2)两点(其中点位于轴上方)，若该直线的倾斜角为 ； ； ； 七、抛物线及其方程 （三）抛物线相关结论 考点串讲 八、直线与圆锥曲线的位置关系 （一）直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立, 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程 直线与圆锥曲线相交⇔ 直线与圆锥曲线相切⇔ 直线与圆锥曲线相离⇔ 直线与圆锥曲线相切的定义： 一般地，给定直线与圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线),如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解),则称直线与圆锥曲线相切 注： ①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线 相交，只有一个交点 ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，只有一个交点 考点串讲 八、直线与圆锥曲线的位置关系 （二）弦长 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长 简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 M，N 两点， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 抛物线焦点弦的坐标公式： 考点串讲 八、直线与圆锥曲线的位置关系 （三）切线与切点所在直线的方程 圆锥曲线方程 过曲线上一点P(x0,y0)的切线方程 过曲线外一点P(x0,y0)引两条切线的切点弦所在直线的方程 考点串讲 八、直线与圆锥曲线的位置关系 注：1.点差法解决中点弦问题 已知椭圆方程,点是弦的中点，，，直线的斜率为，直线的斜率为 解：把两点的坐标代入椭圆方程得 把两式相减得， 即 考点串讲 八、直线与圆锥曲线的位置关系 当时， = ， 所以 考点串讲 八、直线与圆锥曲线的位置关系 2.斜率乘积定值另一个模型 考点串讲 八、直线与圆锥曲线的位置关系 3.直线的设法 ①点斜式 ②当直线恒过定点时直线可设为 ③当直线恒过定点时直线可设为 需要单独讨论斜率不存在时的直线 需要单独讨论斜率为0时的直线 考点串讲 题型一 圆的方程 例1 题型剖析 针对训练 题型二 与圆有关的弦长问题 例2 题型剖析 定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短 针对训练 题型三 与圆有关的切线问题 例3 题型剖析 切线长最小时即是面积最小 针对训练 题型四 两圆的公切线问题 例4 先判断两圆位置关系 题型剖析 根据两圆有三条公切线可判断两圆外切 针对训练 题型五 轨迹方程 例5 题型剖析 针对训练 题型六 求圆锥曲线的标准方程 例6 题型剖析 针对训练 针对训练 题型七 焦点三角形 例7 题型剖析 针对训练 题型八 离心率问题 例8 题型剖析 针对训练 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 例9 题型剖析 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 题型剖析 题型剖析 针对训练 题型十 弦长问题 例10 题型剖析 针对训练 题型十一 与抛物线焦点弦有关的性质 例11 题型剖析 题型十一 与抛物线焦点弦有关的性质 题型剖析 针对训练 题型十二 最值问题 例12 题型剖析 针对训练 题型十三 三角形面积 例13 题型剖析 针对训练 题型十四 直线与圆锥曲线的综合题 例14 题型剖析 题型十四 定点、定值问题 题型剖析 针对训练 一、坐标法 二、直线及其方程 三、圆及其方程 四、椭圆及其方程 五、双曲线及其方程 六、抛物线及其方程 七、直线与圆锥曲线的位置关系 课堂总结 感谢聆听! 解：设圆C的方程为（xa）2+（yb）2＝r2（r＞0）， 由已知得，解得a＝1，b＝2，， 所以圆C的方程为（x1）2+（y+2）2＝2 $$