专题02 函数的单调性 （高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题02函数的单调性 题型一：定义法判断或证明函数单调性 题型二：求函数单调区间 题型三：复合函数单调区间 题型四：根据函数的单调性求参数 题型五：根据函数的单调性解不等式 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 题型八：函数不等式恒成立、能成立问题 题型一：定义法判断或证明函数单调性 1．判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 2．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 3．已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 4．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3)最大值是，最小值是 【分析】（1）利用函数的定义域概念求解； （2）利用函数单调性的定义判断并证明； （3）利用函数的单调性和最值关系求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 所以定义域为. （2）由题，， 判断函数在上是增函数，证明如下： ， ， 因为， 所以， 所以，所以， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 所以 5．已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1) (2)函数在上为减函数.证明见解析. 【分析】（1）待定系数法得到方程，求出，，则； （2）根据定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，即可解出. 【详解】（1）根据题意函数的图象过点和， 则，， 解得，，则. （2）函数在上单调递减， 证明：任取，，设， 则， 又因为，则，，，， 则；所以, 故函数在上为减函数. 题型二：求函数单调区间 6．已知    (1)将写出分段函数的形式； (2)画出的图象，写出的单调增区间； 【答案】(1) (2)图象见解析，单调增区间为和 【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值即可得分段函数解析式； （2）根据二次函数的图象作图即得分段函数的图象，利用函数图象写出单调增区间即可. 【详解】（1）由，当时，， 当时，， 故； （2）函数的图象如图所示，函数的单调增区间为和.    7．分别作出下列函数的大致图象，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间. 【详解】（1）令，解得：或， 令，解得：， ，图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. （2），图象如图所示： 单调减区间：；单调增区间. 8．已知函数．      (1)的值； (2)记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）； 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递减区间， 【分析】（1）根据题意，由函数解析式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得函数的解析式，即可得到其单调减区间，以及其函数图象. 【详解】（1）因为，则，所以. （2）因为，当时，，所以的单调递减区间为， 当时，，所以的单调递减区间为，因此函数的单调递减区间为，. 函数的图象如图所示      9．（1）根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是单调递增还是单调递减；    （2）写出的单调区间． 【答案】（1）函数在上是单调递减，在上是单调递增；（2）单调减区间为；单调增区间为． 【分析】（1）利用函数图象变化趋势可直接得到其在不同区间上的单调性； （2）利用分段函数形式写出函数的解析式，画出函数图象即可得其单调区间. 【详解】（1）由函数图象易知函数在上是单调递减，在上是单调递增； （2）根据题意可知，当或时，， 此时; 当时，，此时， 所以可得 先画出其图象如图所示： 由图可知，的单调减区间为，单调增区间为. 题型三：复合函数单调区间 10．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 11．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 12．若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由复合函数的区间单调性及定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以，故． 故答案为： 13．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 14．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据二次函数、根式性质，利用复合函数的单调性确定函数递减区间. 【详解】令，则或， 又在上递减，在上递增， 而在定义域上递增，所以的递减区间为. 故答案为： 题型四：根据函数的单调性求参数 15．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 16．若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 17．已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 18．已知函数，在区间上是增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性的定义，在给定区间内任取两个值，通过比较和的大小关系来判断函数单调性，进而得出a满足的条件. 【详解】设， ， 因为即， 由函数在上是增函数， 则恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 由，可知，      所以， 因此要使恒成立， 那么， 所以，由已知， 由此时，符号恒负，即单调递增． 19．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，根据为定义域的子集列不等式求得，再分离常数可知在区间上为增函数，利用反比例函数的单调性可得，即可得解. 【详解】，定义域为， 故，所以，所以， 又函数在区间上为增函数， 所以在区间上为增函数， 而函数的图象是由的图象平移得到的， 故函数在区间上为增函数， 由反比例函数性质可知，所以， 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为： 题型五：根据函数的单调性解不等式 20．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 21．已知函数，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质得到且，再由绝对值不等式得到的取值范围. 【详解】，由得， 因为，所以，解得且，所以且， 所以的取值范围为. 故答案为： 22．已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合函数性质可得函数在上单调递减，结合函数的单调性及定义域化简不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域为，函数为奇函数，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 23．已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知函数为上单调递增，根据奇函数性质结合函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递增，可知函数为上单调递增， 且，，则， 若，即， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 24．已知函数，，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用二次函数的顶点性质，将比较函数值转化为比较自变量到顶点的距离，进而解绝对值不等式. 【详解】的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，      由， 因此有，即， 从而有， 即， 即， 即， 即， 所以或． 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 25．已知函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 2 【分析】先利用反比例函数得函数在上单调递减，然后利用单调性求解最值即可. 【详解】函数的图象是由函数图象向左平移一个单位得到的， 所以函数在上单调递减， 所以，. 故答案为：2， 26．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 函数分别在上单调递增，因此函数在上单调递增， ，无最大值， 所以原函数的值域为. 帮答案为： 27．函数的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 又在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为. 故答案为：. 28．求函数的值域. 【答案】 【分析】根据解析式判断函数的定义域及其单调性，再应用单调性求值域. 【详解】由，可得，故函数的定义域为， 又，在上均单调递减， 所以在上单调递减，，时， 所以函数的值域为. 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 29．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 30．若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将系数与0比较分类讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 31．已知函数．若的最大值为4，则实数的值为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】D 【分析】先根据函数的单调性求最大值，再列方程可得m的值. 【详解】当时，在上单调递增，在处取得最大值， 则，解得； 当时，在上单调递减，在处取得最大值， 则，解得． 综上所述，或. 故选：D． 32．设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 33．已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明. (2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （2）由（1）知函数在上单调递增，则最大值为，最小值为，即可得到方程，解得即可. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 因为， 则， 因为，所以，，， 所以，即，所以函数在上单调递增. （2）由（1）知函数在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为， 所以，即，解得. 题型八：函数不等式恒成立、能成立问题 34．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】，而函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 选项中只有是的真子集， 所以“”的一个充分不必要条件是. 故选：D 35．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 故答案为：. 36．已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意可得，分，和三种情况讨论即可求解. 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增， ，，解得； ②当时，在上单调递减， ，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或. 故答案为：或. 37．，使得不等式成立，则的范围是 . 【答案】 【分析】，使得不等式，其中，即可得答案. 【详解】，使得不等式，其中. 又，当且仅当时取等号，即. 故答案为：. 38．函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据存在性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，， 所以此函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 所以当时，函数的值域为， 因为，，使得，所以，所以，所以a的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02函数的单调性 题型一：定义法判断或证明函数单调性 题型二：求函数单调区间 题型三：复合函数单调区间 题型四：根据函数的单调性求参数 题型五：根据函数的单调性解不等式 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 题型八：函数不等式恒成立、能成立问题 题型一：定义法判断或证明函数单调性 1．判断函数的单调性并证明． 2．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 3．已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 4．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 5．已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 题型二：求函数单调区间 6．已知    (1)将写出分段函数的形式； (2)画出的图象，写出的单调增区间； 7．分别作出下列函数的大致图象，并指出它们的单调区间： (1)； (2). 8．已知函数．      (1)的值； (2)记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）； 9．（1）根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是单调递增还是单调递减；    （2）写出的单调区间． 题型三：复合函数单调区间 10．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 13．函数的单调递减区间为 . 14．函数的单调递减区间为 . 题型四：根据函数的单调性求参数 15．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 17．已知在上是减函数，则的取值范围是 . 18．已知函数，在区间上是增函数，则a的取值范围是 ． 19．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 题型五：根据函数的单调性解不等式 20．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 21．已知函数，则满足的实数的取值范围为 ． 22．已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的最小值为 ． 23．已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 . 24．已知函数，，求实数m的取值范围． 题型六：根据单调性（图象）求最值或值域 25．已知函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 26．函数的值域为 ． 27．函数的最大值为 . 28．求函数的值域. 题型七：根据函数的最值（值域）求参数 29．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 30．若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 31．已知函数．若的最大值为4，则实数的值为（   ） A． B． C．或3 D．或 32．设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 33．已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明. (2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 题型八：函数不等式恒成立、能成立问题 34．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 35．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 36．已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 37．，使得不等式成立，则的范围是 . 38．函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $