第三章 函数（复习讲义）（知识梳理+9核心题型+4大难点突破+验收过关）数学人教B版高一必修第一册

该高中数学第三章函数复习讲义通过表格梳理、分点归纳构建知识体系，涵盖函数三要素、单调性、奇偶性、零点及应用等核心内容，用对比表格呈现常见函数定义域值域，以要点速测衔接基础与重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“题型示例+迁移练习+难点精练”的分层设计，如函数概念判断通过多选例题强化定义理解，复合函数单调性用“同增异减”法则培养数学思维，零点问题结合图象与定理提升数学语言表达。基础题夯实核心素养，能力题挑战综合应用，助力学生自主复习与教师精准教学。

第三章 函数 复习要点 1．理解函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能判断两个函数是否为同一函数； 2．掌握函数单调性、奇偶性的基本定义，能直接判断简单函数（一次、二次、反比例）的单调性与奇偶性； 3．会求常见函数（一次、二次、分式等）的定义域、值域，能通过解方程求简单函数的零点。 复习重难点 重点：1．能结合函数图象分析单调性、奇偶性的综合性质，解决分段函数的求值、最值问题； 2．掌握复合函数单调性的“同增异减”法则，能判断简单复合函数的单调性； 3．能利用函数零点存在性定理，结合图象判断函数在给定区间内零点的存在性 难点：1．运用数形结合思想，解决函数性质、零点与一元二次方程、不等式的综合问题； 2．理解函数与方程的转化关系，能运用函数性质解决含参数的单调性、奇偶性综合题型 知识点 函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 4．常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 5．函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 6．分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 要点速测 1.（多选）（25-26高三上·河南·阶段检测）下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（    ） A．为“乘以2”， B．为“对应元素为4或5”， C．为“求倒数”， D．为“求平方根”， 【答案】AC 【分析】根据函数的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，符合题意，故A正确； B：因为，所以不符合题意，故B错误； C：若，则，所以符合题意，故C正确； D：若，则的平方根为，而，故D错误. 故选：AC 2．（25-26高二下·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 知识点 函数的单调性 1．单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值, 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 3．复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 要点速测 3．（2026高二上·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 知识点 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 2．奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 要点速测 3．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数基本性质结合基本初等函数的性质求解 【详解】A项，的定义域为，该函数在定义域上不具有单调性，A错误； B项，在定义域上为非奇非偶函数，B错误； C项，为幂函数，在定义域上单调递增且， 所以为奇函数，C正确； D项，，故为偶函数，D错误. 知识点 函数的零点与二分法 1．函数的零点 （1）零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． （2）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 2．函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 3．二分法 （1）二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． （2）二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： ①确定的初始区间,验证； ②求区间的中点； ③计算,并进一步确定零点所在的区间 若 (此时),则就是函数的零点； 若 (此时零点),则令； 若 (此时零点),则令）. ④判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤②～④ 要点速测 4．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 知识点函数的应用 1.解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 2.几类常见的函数模型 名字 解析式 条件 一次函数模型 二次函数模型 一般式： 顶点式： 分段函数模型 分式函数模型 要点速测 5．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 【答案】C 【详解】解:设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则，解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元). 故选：C 题型1 函数的概念 ▌例1 （25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 解题技巧 判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． ▌迁移练1-1下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B ▌迁移练1-2（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. ▌迁移练1-3（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C ▌迁移练1-4（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 题型2 函数的定义域 ▌例2 （25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 解题技巧 1．求具体函数定义域 （1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 2．两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． ▌迁移练2-1（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. ▌迁移练2-2（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. ▌迁移练2-3（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. ▌迁移练2-3 （25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的定义域为______. 【答案】 【详解】要使有意义，则，解得且， 的定义域为. 题型3 相等函数的判断 ▌例3 　(多选)下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 解题技巧 判断两个函数是否相等，需同时满足两个条件：一是定义域相同，即自变量的取值范围完全一致；二是对应关系相同，即对定义域内每一个x ，函数值 f(x) 与g(x) 严格相等。值域由定义域和对应关系决定，无需单独验证。 ▌迁移练3-1（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． ▌迁移练3-2（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域是, 值域是, A.    函数的定义域是，所以A错误； B.    函数的定义域是，所以B错误； C.    函数与的对应法则不同，所以C错误； D.    函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. ▌迁移练3-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. ▌迁移练3-4（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意知的定义域为R， 的定义域为，故与函数不是同一个函数，A错误； 的定义域为R，且，与函数是同一个函数，B正确； ，函数定义域为R，则，与对应关系不一样， 故与函数不是同一个函数，C错误； ，函数定义域为R，且， 与函数是同一个函数，D正确. 题型4 求函数的解析式 ▌例4 （25-26高一下·河南新乡·期末）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得，由， 得， 整理得，所以，所以，所以. 解题技巧 （1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （2）解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 ▌迁移练4-1（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解． 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． ▌迁移练4-2（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． ▌迁移练4-3（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． ▌迁移练4-4 设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 题型5 简单函数的值域 ▌例5 （25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在上的最小值为. 故选：A 解题技巧 （1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． ▌迁移练5-1（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. ▌迁移练5-2（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【答案】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： ▌迁移练5-3（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： ▌迁移练5-4 （2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． ▌迁移练5-5 （25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 题型6 判断函数的单调性 ▌例6 函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 解题技巧 证明或判断函数单调性的方法 ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 ▌迁移练6-1 （25-26高一上·河南焦作·期末）已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合函数的单调性及充要条件判断进行求解. 【详解】对于充分性，由单调递增性质显然有，充分性成立， 对于必要性，考虑，此时，但其在上不是单调递增的，必要性不成立. 故选：A ▌迁移练6-2 设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. ▌迁移练6-3 （2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. ▌迁移练6-4 “”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C ▌迁移练6-5 （25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 题型7 函数的奇偶性 ▌例7 （25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. ▌迁移练7-1 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. ▌迁移练7-2 已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． ▌迁移练7-3 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． ▌迁移练7-4 设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 题型8 函数的零点 ▌例8 （25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令函数等于0，解出对应方程的根即可. 【详解】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 解题技巧 判断函数零点主要有两种方法： 代数法：直接令f(x)=0 ，求方程的实数根。若方程有解，则解即为零点。适用于简单函数。 几何法：画出函数y=f(x) 的图象，观察图象与 x 轴交点的横坐标。 零点存在性定理：若函数在区间 [a,b] 上连续，且端点值异号（即 f(a)⋅f(b)<0 ），则函数在 (a,b) 内至少存在一个零点。此法常用于判断零点所在的区间。 ▌迁移练8-1 （25-26高一上·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的定义求解. 【详解】解方程，解得. 所以函数的零点是. 故选：A. ▌迁移练8-2 （25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. ▌迁移练8-3 （25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. ▌迁移练8-4 （2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 题型9 函数的应用 ▌例9 （25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. ▌迁移练9-1 （25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B ▌迁移练9-2 （25-26高一上·北京延庆·期末）某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意得，即，求解不等式估算即可. 【详解】由题意有：，即， 所以，解得， ，可得， 所以该收割机第3年开始盈利， 故选：B. ▌迁移练9-3 国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，则元可得元购物券，再购物元可得元购物券，故可得结论． 【详解】解：由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. ▌迁移练9-4 （25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 难点一 函数单调性的应用 难点1：根据单调性求参数 将函数变形，利用初等函数的单调性判断，或者结合单调性的定义转化为恒成立问题。 难点2：根据单调性求最值 高一数学中利用单调性求最值，核心技巧是“先定域，再判性，后求值”。首先，务必明确函数的定义域；其次，准确判断函数在给定区间上的单调性。若函数在闭区间上单调递增，则左端点为最小值，右端点为最大值；若单调递减，则左端点为最大值，右端点为最小值。对于分段函数，需分别求出各段最值后再进行综合比较。 难点3：根据单调性解不等式 核心是“脱去函数符号”。先确定函数单调性，将不等式，在利用单调性化为求解，务必注意定义域限制，确保自变量在单调区间内。 难点精练 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 4．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 5．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 6．（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 三、填空题 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 难点二 函数奇偶性的应用 难点1 根据奇偶性求参数 根据函数奇偶性求参数的核心技巧有两步： 第一步是“看定义域”。若函数在包含原点的对称区间上具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称。利用这一性质，常可直接求出参数值。 第二步是“用恒等式”。根据奇偶性定义列出等式（奇函数f(-x)=-f(x)，偶函数f(-x)=f(x)），代入参数后化简。由于该等式对定义域内任意x恒成立，可通过比较等式两边同类项的系数，或代入特殊值，从而求出参数。 难点2 根据奇偶性求解析式 核心技巧是“变量转化法”。已知某区间解析式求对称区间解析式时，首先在目标区间内设x，则-x必落在已知区间。接着将-x代入已知解析式得到f(-x)，最后利用奇偶性定义（偶函数f(x)=f(-x)，奇函数f(x)=-f(-x)）即可求出目标区间的解析式。切记分段函数需分段求解，且最终结果必须标明x的取值范围。 难点精练 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 2．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 3．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 可得，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 4．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得，令，结合的奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】， 令，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而， 则， 故选：A. 5．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. 6．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 难点三 抽象函数 难点1 抽象函数的求值 核心技巧是“特殊值赋值法”。观察题目给出的恒等式，通过巧妙地给变量赋特殊值（如0、1、-1，或令x=y、令y=1等），将抽象关系转化为具体的数值方程，通过解方程即可求出特定函数值 难点2 抽象函数的奇偶性 核心技巧是“赋值法”与“凑配法”。首先必须验证定义域是否关于原点对称。其次，通过给变量赋特殊值（如令x=y=0，或令y=-x等），凑出f(x)与f(-x)的关系。若推导出f(-x)=f(x)则为偶函数；若推导出f(-x)=-f(x)则为奇函数。特别注意：若奇函数在x=0处有定义，赋值后常可直接得出f(0)=0。 难点3抽象函数的单调性 核心技巧是“定义法”与“作差变形”。严格遵循单调性定义，任取x1<x2，作差f(x1)-f(x2)。利用题目给出的抽象恒等式（如f(x-y)=f(x)-f(y)），将差值转化为f(x1-x2)的形式。再根据x1-x2<0，结合已知条件判断f(x1-x2)的正负，从而得出单调性。 难点4抽象函数不等式 核心技巧是“脱去f外衣”。首先利用奇偶性将不等式两边化为同一单调区间的形式，即f(A)>f(B)；然后利用前面求出的单调性，去掉函数符号f，将其转化为常规代数不等式（如A>B或A<B）；最后求解时，千万不可遗漏检验A、B是否在函数的定义域内。 难点精练 1．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【分析】令，求得，可判定A错误；令，得到，根据奇偶性的定义，可判定B错误；任取，令，结合函数单调性的定义，可判定C正确；取函数，结合不能恒成立，可判定D错误. 【详解】对于任意的实数，都有，， 且当时，， 对于A，令，可得，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 所以，所以不恒成立， 所以函数不满足，所以不是奇函数，所以B错误； 对于C，任取，则，令， 则， 所以， 因为时，，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，取函数，此时函数满足， 且当时，，满足， 则， 所以不能恒成立，所以D错误. 故选：C. 3．已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】D 【分析】A：令结合可求解出；B：令结合可求解出；C：令结合换元法可得的关系，由此可判断出奇偶性；D：根据C中的关系可进行判断. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则， 因为，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 6．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 7．（多选）（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 8．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】AB 【分析】令可得出，再令结合函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用赋值法可判断C选项；由题意得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数满足， 令可得，解得， 令，则，即，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，任取、且， 则， 故函数是上的增函数，B对； 对于C选项，因为，故，， 故，C错； 对于D选项，由得， 因为函数是上的增函数，则，解得， 故的解集为，D错. 故选：AB. 9．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1)0 (2) 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 【分析】（1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. 【详解】（1）令，则. （2）略 难点四 函数零点的分布 求解函数零点分布，核心技巧是“数形结合”与“端点值法”： 一是利用零点存在性定理。若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则区间(a,b)内至少存在一个零点。这是判断零点所在区间最常用的方法。 二是结合函数的单调性。若函数在区间内单调，结合端点值异号，可精确断定该区间内有且仅有一个零点。 三是二次函数零点分布。需综合考察判别式Δ、对称轴位置以及区间端点函数值的正负，画出草图辅助分析。 难点精练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 2．（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合的性质，可得零点为，结合条件求的范围即可. 【详解】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 因为函数在区间上恰好有个零点， 所以， 所以的最大值是. 3．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得为偶函数，然后化简函数并画出图象，记方程的两根分别为，数形结合得，，进而利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由题意得，的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， ，作出函数的图象如下： 由题意关于的方程恰有6个不同的解， 令，由的图象得当时，方程有四个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程无解． 设方程的两根分别为，则，， 令，则，解得，即， 因此实数的取值范围是． 4．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】D 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 5．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设元将问题转化为两个一元二次方程根的问题，用韦达定理求解. 【详解】令，函数的图象如下： 当时，方程有两个解，此时， 当时，方程有两个解，此时， 所以要使有4个解，则， 方程，即，由韦达定理， 方程，即，由韦达定理， 所以. 6．（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 【答案】 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 7．（专题拓展：一元二次方程的根的分布问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 8．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为.    9．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 基础达标 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得. 3．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可. 【详解】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B 4．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算，代入验证即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ，，，， 故选项C正确. 5．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 6．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 7．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 8．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 9．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 10．（多选）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 11．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 【答案】3 【详解】由题意可得，， 所以. 12．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 13．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 能力进阶 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 3．（25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 4．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可. 【详解】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 5．（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法，根据奇偶函数的定义，逐项检验，可得答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 6．（多选）（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（    ） A． B．为偶函数 C． D．为增函数 【答案】ACD 【分析】对于A，令可解得，即可判断；对于B，令，结合，即可判断；对于C，令，结合，即可判断；对于D，注意到，即可判断. 【详解】对于A：令，得， 即，得，故A错误； 对于B：令，得，又由前分析可知，， 故有，得， 又因为函数的定义域为，因此为偶函数，故B正确； 对于C：令，得，又由前分析可知，， 故有，得，故C错误； 对于D：由题可知，由前分析可知， 因为，而，故不可能为增函数，故D错误. 故选：ACD. 7．已知函数，则___________ 【答案】 【分析】直接由分段函数求函数值可得. 【详解】因为函数，且， 所以 . 8．函数的值域为_________ 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 9．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 ______ . 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到为奇函数，由函数单调性的定义和判定方法，证得为单调递减函数，把不等式转化为，即可求得不等式的解集，得到答案. 【详解】因为对任意的，都有成立， 当时，有，必有， 令，有，即，所以为奇函数， 设且，可得，则， 由， 可得，即，所以为上的单调递减函数， 又由，可得， 因为在上单调递减，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【答案】(1) ， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. (2)或. 【分析】（1）取，解得， 取，得到，故为奇函数. （2）由为奇函数，将转化为，将中的换，， 得到，代入，得到，利用得到，由是上的增函数，得到，解此不等式即可. 【详解】（1）略 （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 复习要点 1．理解函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能判断两个函数是否为同一函数； 2．掌握函数单调性、奇偶性的基本定义，能直接判断简单函数（一次、二次、反比例）的单调性与奇偶性； 3．会求常见函数（一次、二次、分式等）的定义域、值域，能通过解方程求简单函数的零点。 复习重难点 重点：1．能结合函数图象分析单调性、奇偶性的综合性质，解决分段函数的求值、最值问题； 2．掌握复合函数单调性的“同增异减”法则，能判断简单复合函数的单调性； 3．能利用函数零点存在性定理，结合图象判断函数在给定区间内零点的存在性 难点：1．运用数形结合思想，解决函数性质、零点与一元二次方程、不等式的综合问题； 2．理解函数与方程的转化关系，能运用函数性质解决含参数的单调性、奇偶性综合题型 知识点 函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的 一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有 确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做 的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值, 叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 4．常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 5．函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 6．分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的 取值范围，有着 的对应关系的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是空集． 要点速测 1.（多选）（25-26高三上·河南·阶段检测）下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（    ） A．为“乘以2”， B．为“对应元素为4或5”， C．为“求倒数”， D．为“求平方根”， 2．（25-26高二下·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 知识点 函数的单调性 1．单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的 两个自变量的值, 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是 的 自左向右看,图象是 的 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 3．复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 减 增 减 减 增 要点速测 3．（2026高二上·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 知识点 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于 对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于 对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的 ； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 2．奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性 ． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性 ． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 要点速测 4．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 知识点 函数的零点与二分法 1．函数的零点 （1）零点的概念：对于一般函数，我们把使的 叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个 ，当自变量取该值时，其函数值等于零． （2）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 2．函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 ，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 3．二分法 （1）二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． （2）二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： ①确定的初始区间,验证； ②求区间的 ； ③计算,并进一步确定零点所在的区间 若 (此时),则就是函数的零点； 若 (此时零点),则令； 若 (此时零点),则令）. ④判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤②～④ 要点速测 5．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 知识点函数的应用 1.解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 2.几类常见的函数模型 名字 解析式 条件 一次函数模型 二次函数模型 一般式： 顶点式： 分段函数模型 分式函数模型 要点速测 6．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 题型1 函数的概念 ▌例1 （25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． ▌迁移练1-1下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 ▌迁移练1-2（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 ▌迁移练1-3（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌迁移练1-4（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 题型2 函数的定义域 ▌例2 （25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 解题技巧 1．求具体函数定义域 （1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 2．两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． ▌迁移练2-1（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 ▌迁移练2-2（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-3（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] ▌迁移练2-3 （25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的定义域为______. 题型3 相等函数的判断 ▌例3 　(多选)下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 解题技巧 判断两个函数是否相等，需同时满足两个条件：一是定义域相同，即自变量的取值范围完全一致；二是对应关系相同，即对定义域内每一个x ，函数值 f(x) 与g(x) 严格相等。值域由定义域和对应关系决定，无需单独验证。 ▌迁移练3-1（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌迁移练3-2（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． ▌迁移练3-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 ▌迁移练3-4（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． 题型4 求函数的解析式 ▌例4 （25-26高一下·河南新乡·期末）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 解题技巧 （1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （2）解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 ▌迁移练4-1（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是一次函数，若，则______． ▌迁移练4-3（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． ▌迁移练4-4 设是二次函数，且，则_____. 题型5 简单函数的值域 ▌例5 （25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 （1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． ▌迁移练5-1（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. ▌迁移练5-3（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． ▌迁移练5-4 （2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． ▌迁移练5-5 （25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 题型6 判断函数的单调性 ▌例6 函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 证明或判断函数单调性的方法 ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 ▌迁移练6-1 （25-26高一上·河南焦作·期末）已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 ▌迁移练6-2 设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ▌迁移练6-3 （2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． ▌迁移练6-4 “”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练6-5 （25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 题型7 函数的奇偶性 ▌例7 （25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． ▌迁移练7-1 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2 已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 ▌迁移练7-3 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 ▌迁移练7-4 设 是定义在上的奇函数，则______ 题型8 函数的零点 ▌例8 （25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 解题技巧 判断函数零点主要有两种方法： 代数法：直接令f(x)=0 ，求方程的实数根。若方程有解，则解即为零点。适用于简单函数。 几何法：画出函数y=f(x) 的图象，观察图象与 x 轴交点的横坐标。 零点存在性定理：若函数在区间 [a,b] 上连续，且端点值异号（即 f(a)⋅f(b)<0 ），则函数在 (a,b) 内至少存在一个零点。此法常用于判断零点所在的区间。 ▌迁移练8-1 （25-26高一上·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． ▌迁移练8-2 （25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练8-3 （25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练8-4 （2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 题型9 函数的应用 ▌例9 （25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 ▌迁移练9-1 （25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ ▌迁移练9-2 （25-26高一上·北京延庆·期末）某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 ▌迁移练9-3 国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌迁移练9-4 （25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 难点一 函数单调性的应用 难点1：根据单调性求参数 将函数变形，利用初等函数的单调性判断，或者结合单调性的定义转化为恒成立问题。 难点2：根据单调性求最值 高一数学中利用单调性求最值，核心技巧是“先定域，再判性，后求值”。首先，务必明确函数的定义域；其次，准确判断函数在给定区间上的单调性。若函数在闭区间上单调递增，则左端点为最小值，右端点为最大值；若单调递减，则左端点为最大值，右端点为最小值。对于分段函数，需分别求出各段最值后再进行综合比较。 难点3：根据单调性解不等式 核心是“脱去函数符号”。先确定函数单调性，将不等式，在利用单调性化为求解，务必注意定义域限制，确保自变量在单调区间内。 难点精练 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 5．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 难点二 函数奇偶性的应用 难点1 根据奇偶性求参数 根据函数奇偶性求参数的核心技巧有两步： 第一步是“看定义域”。若函数在包含原点的对称区间上具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称。利用这一性质，常可直接求出参数值。 第二步是“用恒等式”。根据奇偶性定义列出等式（奇函数f(-x)=-f(x)，偶函数f(-x)=f(x)），代入参数后化简。由于该等式对定义域内任意x恒成立，可通过比较等式两边同类项的系数，或代入特殊值，从而求出参数。 难点2 根据奇偶性求解析式 核心技巧是“变量转化法”。已知某区间解析式求对称区间解析式时，首先在目标区间内设x，则-x必落在已知区间。接着将-x代入已知解析式得到f(-x)，最后利用奇偶性定义（偶函数f(x)=f(-x)，奇函数f(x)=-f(-x)）即可求出目标区间的解析式。切记分段函数需分段求解，且最终结果必须标明x的取值范围。 难点精练 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 6．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 难点三 抽象函数 难点1 抽象函数的求值 核心技巧是“特殊值赋值法”。观察题目给出的恒等式，通过巧妙地给变量赋特殊值（如0、1、-1，或令x=y、令y=1等），将抽象关系转化为具体的数值方程，通过解方程即可求出特定函数值 难点2 抽象函数的奇偶性 核心技巧是“赋值法”与“凑配法”。首先必须验证定义域是否关于原点对称。其次，通过给变量赋特殊值（如令x=y=0，或令y=-x等），凑出f(x)与f(-x)的关系。若推导出f(-x)=f(x)则为偶函数；若推导出f(-x)=-f(x)则为奇函数。特别注意：若奇函数在x=0处有定义，赋值后常可直接得出f(0)=0。 难点3抽象函数的单调性 核心技巧是“定义法”与“作差变形”。严格遵循单调性定义，任取x1<x2，作差f(x1)-f(x2)。利用题目给出的抽象恒等式（如f(x-y)=f(x)-f(y)），将差值转化为f(x1-x2)的形式。再根据x1-x2<0，结合已知条件判断f(x1-x2)的正负，从而得出单调性。 难点4抽象函数不等式 核心技巧是“脱去f外衣”。首先利用奇偶性将不等式两边化为同一单调区间的形式，即f(A)>f(B)；然后利用前面求出的单调性，去掉函数符号f，将其转化为常规代数不等式（如A>B或A<B）；最后求解时，千万不可遗漏检验A、B是否在函数的定义域内。 难点精练 1．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 3．已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 8．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 9．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 难点四 函数零点的分布 求解函数零点分布，核心技巧是“数形结合”与“端点值法”： 一是利用零点存在性定理。若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则区间(a,b)内至少存在一个零点。这是判断零点所在区间最常用的方法。 二是结合函数的单调性。若函数在区间内单调，结合端点值异号，可精确断定该区间内有且仅有一个零点。 三是二次函数零点分布。需综合考察判别式Δ、对称轴位置以及区间端点函数值的正负，画出草图辅助分析。 难点精练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 5．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 7．（专题拓展：一元二次方程的根的分布问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 8．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 9．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 基础达标 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 11．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 12．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）若函数是上的偶函数，则的值为______． 13．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 能力进阶 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 6．（多选）（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（    ） A． B．为偶函数 C． D．为增函数 7．已知函数，则___________ 8．函数的值域为_________ 9．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 ______ . 10．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $