专题09 函数与方程、不等式间的关系9大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题09 函数与方程、不等式间的关系9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数零点的定义 1 题型二、函数零点所在区间的判断（重） 2 题型三、已知零点所在区间求参数 4 题型四、判断函数的零点（方程根）的个数（难） 7 题型五、求解高次不等式 9 题型六、已知函数零点（方程根）个数求参数（难） 10 题型七、二分法的适用条件及求零点的近似值 12 题型八、二分法的次数确定 15 题型九、零点之和问题（难） 16 B 综合攻坚·能力跃升 19 题型一、函数零点的定义 1．已知二次函数的两个零点为，则 【答案】 【详解】因为二次函数的两个零点为， 所以，，解得，， 所以． 故答案为：. 2．下列各图象表示的函数中没有零点的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数零点的概念知，函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标， 结合函数零点的定义可知选项D没有零点． 故选：D 3．函数的零点为 . 【答案】 【详解】由得或， 即或或. 由得或，则不合题意， 故函数的零点为. 故答案为：. 4．函数的两个零点为，则= 【答案】/ 【详解】令， 得的零点为1与，则. 故答案为： 5．若函数的一个零点为，则 . 【答案】0 【详解】因为函数的一个零点为， 所以是方程的一个根， 则， 解得， 所以， 则. 【点睛】本题考查根据函数的零点求参数的值，求具体函数的函数值，属于简单题. 题型二、函数零点所在区间的判断 6．对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ， 因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ， 结合选项知函数的零点所在的区间为， 故选：B． 7．已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间（1，3）上有零点， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分条件； 若，满足在区间（1，3）上有零点，但是， 所以“”不是“在区间（1，3）上有零点”的必要条件， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分不必要条件． 故选:A． 8．已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，， 所以，所以在区间上存在唯一零点. 故选：C 9．已知命题函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然可知函数在上单调递增， 由零点存在定理可得， 即，解得， 要成为命题成立的一个必要不充分条件， 则该条件所对应的集合包含， 经检验，D选项是命题成立的必要不充分条件. 故选：D. 题型三、已知零点所在区间求参数 10．已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 11．已知函数，，则函数的零点个数为 . 【答案】3 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 12．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【详解】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 13．已知函数则函数的零点个数为 ． 【答案】6 【详解】令，则， 作出的图象，如图（a）所示， 有3个根，且， 作出的图象，如图（b）所示， 则各有2个根． 综上，函数的零点个数为． 故答案为：. 14．已知函数，则函数的零点的个数为 . 【答案】 【详解】，的零点个数等价于与的交点个数； 当时，，此时； 当时，，此时，……依此类推， 当，时，， 则，，， 设，则，，， 当，且时，， 在，且上恒成立， 由此可得图象如下图所示， 当时，，由解得，此时两个函数图象只有一个交点， 由图象知：两个函数图象有个交点，即函数的零点个数为个. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：判断函数零点的个数常用的方法： （1）方程法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为零点个数； （2）图象法：作出函数图象，根据函数图象与轴交点个数得到零点个数； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，将问题转化为两个函数的交点个数问题. 题型四、判断函数的零点（方程根）的个数 15．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 16．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 【答案】A 【详解】因为元二次方程有两个实数根，， 且，令， 则由题意可得，即 解得，又，可得. 故选：A. 17．若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为 ． 【答案】 【详解】如图所示，函数的零点，即函数与图象的交点， 由图象可知，两函数的图象只有一个交点，且， 所以，所以函数在内有一个零点， 又由，所以，所以. 故答案为：.    18．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得：为连续函数， 且在上单调递减，在上单调递增， 故，，， 所以只需或， 解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为： 题型五、求解高次不等式 19．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 20．不等式 的解集为（   ） A．且 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【详解】， 故原不等式等价于， 对于方程可得或或或， 根据数轴穿根法，可得不等式的解集为或， 故选：C. 21．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，，， 解得或，又因为， 所以. 故选：D. 22．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式化为： 或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 题型六、已知函数零点（方程根）个数求参数 23．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：因为，且有两个零点， 所以方程在上有两个不同的解， 所以,解得. 法二：由得， 因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点. 函数，的图像如图，由图可知. 故选：D. 24．已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】作出的大致图象如图所示，    由的零点，即为 观察可知． 当时，令，可得，当时，令，可得，所以，故． 故答案为：． 25．若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或.    26．函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中作出函数和的图像如图， 结合图像可以看出：当时，两函数的图像只有一个轴左侧的交点， 即函数仅有一个负零点. 故答案为：. 27．已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为3， 的图象如图所示， 由图可知当时，两函数图象有3个交点， 所以的取值范围为， 故答案为： 题型七、二分法的适用条件及求零点的近似值 28．下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 29．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 30．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 31．已知函数在内有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，则对区间至少需要的等分次数为 ． 【答案】4 【详解】设函数的零点为，取区间的中点， 且，，， 所以． 取区间的中点，且， 所以． 取区间的中点，且， 所以． 取区间的中点，且， 所以． 又，故至少需要等分4次． 故答案为： 题型八、二分法的次数确定 32．已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半， 经过次后，区间长度变成，则，即，故对区间只需要分4次即可． 故选：C. 33．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【详解】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 34．已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 . 【答案】 5 【详解】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次操作后，区间长度变为，故有，即， 因为，所以. 故计算5次就可满足要求，所以将区间等分的次数至少是5次. 因为，所以第一次得到的区间为； 因为，所以第二次得到的区间为； 因为，所以第三次得到的区间为； 因为，所以第四次得到的区间为； 因为，所以第五次得到的区间为， 因为， 所以函数零点为. 故答案为：5；. 题型九、零点之和问题 35．已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【详解】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 36．已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出的图象，如下，    设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：A 37．（多选）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最大值为4 C．t的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AD 【详解】如图，作出函数的图象，根据，可知，是与的两个交点， 根据对称性可知，则， 因为，所以，故A正确，B错误； ， 由图可知t的取值范围是，故C错误； 因为，所以，又，则的取值范围是，故D正确． 故选：AD 38．设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然关于对称，则， 另一个交点位于直线上，在中，当时，，即， 因此，所以. 故答案为： 39．已知是定义在区间的函数，则函数的零点是 ；若方程有四个不相等的实数根，，，，则 . 【答案】 2，8 20 【详解】由题意可知，令，即，解得或， 故函数在内的零点为和； 方程有四个不相等的实数根，， 即为与的四个交点的横坐标， 方程即，，即， 当即时，方程可转化为即； 当时，方程可转化为即； 故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根， 不妨设为的两根，则， 则为的两根，则， 则； 故答案为: 2，8; 20. 1．若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由，令，则， 由在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为， 所以在上值域为，在上的值域为， 则时，有2个不同的对应值，此时有3或4个不同值， 时，有1个对应值，此时有2个不同值， 要使函数的图象与直线有两个交点，则，最小. 故选：B 2．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在内的取值为0、1和2，且易知不可能是原方程的解， 当时，，，得， 由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 由题意知，方程在有2个解， 根据上述讨论，a所属的范围必须同时满足其中两个才能成立，也即， 故选：A． 3．已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】根据题意，若，则，，中两正一负，或者三负， 例如，当，，时，方程在和内至少各有一个解， 当，，时，不能保证方程在至少有两解， 所以“”不是“方程在内至少有两个解”的充分条件； 反之，若方程在内至少有两个解，无法确定，，的符号， 所以“”不是“方程在内至少有两个解”的必要条件. 所以“”是“方程在内至少有两个解”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．设函数有两个不同零点，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】条件等价于“V”字形函数与的图象有两个交点， 如答图15-14，易知“V”字形函数图象的顶点在直线上， 因此当图象的右支与的图象相切时为临界情况， 此时，因此原函数有两个零点应满足． 故选：A．    5．（多选）设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】CD 【详解】∵，且， ∴直线与的图象有三个交点， 作出的图象，如图所示， 由图可知 且解得 则 因为，则， 所以 所以的取值范围是． 故选：CD. 6．若方程存在三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，可知等式成立，即为方程的一个实数根． 当时，可化为； 当且时，可化为． 令，则只需与的图象有两个交点． 的图象如图．    当时，， 故当时，与的图象有两个交点． 综上所述，当时，存在三个实数根． 7．定义在上的函数满足，当时，，若直线与的图象恰有8个交点，，，，则实数a的取值范围为 ， ． 【答案】 32 【详解】因为定义在上的函数满足， 当时，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 作出函数与在上的图象如图所示． 由图可知，当时，直线与函数的图象有8个交点， 不妨设，结合图可知，点，关于直线对称， 则，同理可得，，， 因此，． 故答案为：；32. 8．已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 9．在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，有，解得，，符合题意； 当时，若，则有，解得， 此时方程为，即， 解得，，符合题意； 当，且时，即且时，令 若在区间上恰有一个x满足方程， ①，又，， 所以有：，解得或， ②当时，，符合题意； 当时，，，解得或，不合题意； 综上所述，的取值范围为：. 故答案为： 10．已知函数．    (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)作图见解析，单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【详解】（1）因为的图象是由的图象向下平移2个单位长度而得的， 而的图象是由的图象保留轴上方的图象， 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得的，所以的大致图象如图，    所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 所以有两个根，即与的图象有两个交点，如图，    结合图象可知，，解得，即实数的取值范围为． 11．已知函数其中，且在上有三个零点，，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为， 所以由在上有三个零点，，得 在内有1个零点，且在内有两个不同的零点， 若在内有1个零点，则，得， 若在内有两个不同的零点，则， 即得． 综上所述，． （2）不妨设，，， 则， 令则 由（1）知，∴， 所以． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数与方程、不等式间的关系9大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数零点的定义 1 题型二、函数零点所在区间的判断（重） 2 题型三、已知零点所在区间求参数 4 题型四、判断函数的零点（方程根）的个数（难） 7 题型五、求解高次不等式 9 题型六、已知函数零点（方程根）个数求参数（难） 10 题型七、二分法的适用条件及求零点的近似值 12 题型八、二分法的次数确定 15 题型九、零点之和问题（难） 16 B 综合攻坚·能力跃升 19 题型一、函数零点的定义 1．已知二次函数的两个零点为，则 2．下列各图象表示的函数中没有零点的是（    ）． A． B． C． D． 3．函数的零点为 . 4．函数的两个零点为，则= 5．若函数的一个零点为，则 . 题型二、函数零点所在区间的判断 6．对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是（    ） A． B． C． D． 9．已知命题函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型三、已知零点所在区间求参数 10．已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数，，则函数的零点个数为 . 12．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 13．已知函数则函数的零点个数为 ． 14．已知函数，则函数的零点的个数为 . 题型四、判断函数的零点（方程根）的个数 15．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 17．若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为 ． 18．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 题型五、求解高次不等式 19．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 20．不等式 的解集为（   ） A．且 B．且 C．或 D．或 21．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 22．不等式的解集为 . 题型六、已知函数零点（方程根）个数求参数 23．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ． 25．若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 26．函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 27．已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ． 题型七、二分法的适用条件及求零点的近似值 28．下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 29．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 30．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 31．已知函数在内有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，则对区间至少需要的等分次数为 ． 题型八、二分法的次数确定 32．已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 34．已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 . 题型九、零点之和问题 35．已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 36．已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最大值为4 C．t的取值范围是 D．的取值范围是 38．设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 . 39．已知是定义在区间的函数，则函数的零点是 ；若方程有四个不相等的实数根，，，，则 . 1．若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设函数有两个不同零点，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 5．（多选）设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 6．若方程存在三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 7．定义在上的函数满足，当时，，若直线与的图象恰有8个交点，，，，则实数a的取值范围为 ， ． 8．已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是 ． 9．在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 10．已知函数．    (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围． 11．已知函数其中，且在上有三个零点，，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $