第三章 函数（复习讲义）数学人教B版2019必修第一册

第三章 函数（复习讲义） 基础目标 1．理解函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能判断两个函数是否为同一函数； 2．掌握函数单调性、奇偶性的基本定义，能直接判断简单函数（一次、二次、反比例）的单调性与奇偶性； 3．会求常见函数（一次、二次、分式等）的定义域、值域，能通过解方程求简单函数的零点。 进阶目标 1．能结合函数图象分析单调性、奇偶性的综合性质，解决分段函数的求值、最值问题； 2．掌握复合函数单调性的“同增异减”法则，能判断简单复合函数的单调性； 3．能利用函数零点存在性定理，结合图象判断函数在给定区间内零点的存在性 拓展目标 1．运用数形结合思想，解决函数性质、零点与一元二次方程、不等式的综合问题； 2．理解函数与方程的转化关系，能运用函数性质解决含参数的单调性、奇偶性综合题型 1．函数的判断 判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 2．求具体函数定义域 （1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 3．两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 4．求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （2）解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出； 5．求简单函数的值域 （1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． 6．证明或判断函数单调性的方法 ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 7．证明或判断函数奇偶性的方法 先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数 8．判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 9．利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 题型一 函数的辨析 例1．（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 变式1-1．下列关于，的关系中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 -6 1 变式1-2．给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1-3．（多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    题型二 函数的定义域问题 例2．函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 变式2-1．求下列函数的定义域： (1)； (2). 变式2-2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．若函数的定义域为，则函数的定义域是 题型三 求函数的解析式 例3．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 变式3-1．已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 变式3-2．若函数，则（ ） A． B． C． D． 变式3-3．求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 题型四 求函数的值域 例4．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 变式4-1．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C．， D． 变式4-3．下列与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 题型五 分段函数问题及其图象的作法 例5．已知函数，则 . 变式5-1．已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 变式5-2．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 变式5-3．已知函数 (1)的值； (2)若的值; (3)若的取值范围. 题型六 函数的单调性及单调区间 例6．函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 变式6-1．“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-2．（1）函数的定义域是 ； （2）函数的单调递增区间为 ． 变式6-3．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 题型七 单调性求参数及解不等式 例7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 变式7-1．已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 变式7-2．已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式7-3．已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 题型八 奇偶函数求解析式、求参数 例8．已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式8-2．函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式． 变式8-3．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 题型九 奇偶函数的对称性应用 例9．已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 变式9-1．已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 变式9-2．已知是偶函数，对任意，且，都有，且，的解集是（    ） A． B． C． D． 变式9-3．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为 ． 题型十 抽象函数及其应用 例10．（多选）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 变式10-1．（多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 变式10-2．已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 变式10-3．已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 题型十一 函数的零点 例11．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 变式11-1．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式11-2．设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式11-3．（多选）已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知函数为奇函数，则的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 2．二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．7 3．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（   ）    A． B． C． D． 6．若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 10．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 11．若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 三、填空题 12．函数的定义域是 ． 13．已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 14．若存在，使函数在（）上有三个零点，则实数的最小值为 ． 四、解答题 15．已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 16．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 17．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 18．已知函数对于任意的都有. (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 19．设函数. (1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (2)若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由. 能力提升进阶练 1．设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 7．定义在上的函数满足．若当时，． (1)当时，求的解析式； (2)，，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数（复习讲义） 基础目标 1．理解函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能判断两个函数是否为同一函数； 2．掌握函数单调性、奇偶性的基本定义，能直接判断简单函数（一次、二次、反比例）的单调性与奇偶性； 3．会求常见函数（一次、二次、分式等）的定义域、值域，能通过解方程求简单函数的零点。 进阶目标 1．能结合函数图象分析单调性、奇偶性的综合性质，解决分段函数的求值、最值问题； 2．掌握复合函数单调性的“同增异减”法则，能判断简单复合函数的单调性； 3．能利用函数零点存在性定理，结合图象判断函数在给定区间内零点的存在性 拓展目标 1．运用数形结合思想，解决函数性质、零点与一元二次方程、不等式的综合问题； 2．理解函数与方程的转化关系，能运用函数性质解决含参数的单调性、奇偶性综合题型 1．函数的判断 判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 2．求具体函数定义域 （1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 3．两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 4．求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （2）解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出； 5．求简单函数的值域 （1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． 6．证明或判断函数单调性的方法 ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 7．证明或判断函数奇偶性的方法 先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数 8．判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 9．利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 题型一 函数的辨析 例1．（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 变式1-1．下列关于，的关系中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 -6 1 【答案】D 【详解】对于A，不等式的解集为，不是的函数，A不是； 对于B，当时，有两个与对应，不是的函数，B不是； 对于C，当时，有两个与对应，不是的函数，C不是； 对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，D是. 故选：D 变式1-2．给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A: 对，当时，，无实数解， 即不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故A不正确； 对于B: 对，不妨设，则，解得， 不满足唯一的实数与对应，不符合函数定义，故B不正确； 对于C: 对，当时，由得， 即在中不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故C不正确； 对于D:由得，对，都有唯一确定的与之对应， 符合函数定义，可知D正确. 故选：D. 变式1-3．（多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 题型二 函数的定义域问题 例2．函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 变式2-1．求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 变式2-2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 变式2-3．若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 题型三 求函数的解析式 例3．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 变式3-1．已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）设函数， 因为经过，，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以，， ，. 变式3-2．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，而， 所以． 故选：D. 变式3-3．求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 题型四 求函数的值域 例4．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 变式4-1．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，的值域为． 对于A，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于B，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于C，由，则函数的值域为，与的值域不相同； 对于D，由，则函数值域为，与的值域相同. 故选：C． 变式4-2．（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】AC 【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增， 又，，所以，故A正确； 对于B：由，所以，即，故B错误； 对于C：函数，在定义域上单调递增， 又，，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，故D错误； 故选：AC 变式4-3．下列与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 开口向下，对称轴， 所以当时，， 所以函数的值域为. 故选：D. 题型五 分段函数问题及其图象的作法 例5．已知函数，则 . 【答案】5 【详解】根据题意知， 则. 故答案为：5 变式5-1．已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1)1 (2)或2 (3) 【详解】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 变式5-2．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 变式5-3．已知函数 (1)的值； (2)若的值; (3)若的取值范围. 【答案】(1)，，． (2)或； (3)或． 【详解】（1）由已知，； ，则； （2）时，，无解； 时，，解得或（舍去）； 时，，解得， 综上，或； （3）时，恒成立，∴， 时，，或，∴或； 时，，，所以， 综上，的取值范围是或． 题型六 函数的单调性及单调区间 例6．函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【答案】 和 和 【详解】因为， 根据对勾函数的性质得函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 故答案为：和；和． 变式6-1．“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 变式6-2．（1）函数的定义域是 ； （2）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】（1）由，则， 即，解得， 所以函数的定义域是． （2）由，则 解得或， 所以的定义域为， 而二次函数开口向上，对称轴为， 从而函数的单调递增区间为． 故答案为：；. 变式6-3．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 题型七 单调性求参数及解不等式 例7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 【答案】B 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 变式7-1．已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 变式7-2．已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 变式7-3．已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，对任意的且，总有， 所以在上为单调递增函数， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型八 奇偶函数求解析式、求参数 例8．已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是奇函数， 所以，即， 所以函数关于点中心对称， 函数， 它是由函数向左平移1个单位再向上平移2个单位得到的， 而函数的对称中心为，所以函数的对称中心为， 所以， 当时， ，显然为奇函数，符合题意. 故选：A 变式8-1．若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，且为偶函数， 所以为偶函数，若，则满足要求， 若，则，此时不是偶函数，不合要求， 所以.所以，又，所以. 故选：A. 变式8-2．函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式． 【答案】(1)​，； (2)当时，. 【详解】（1）函数，则当时，，， 由函数是定义在R上的奇函数，得. （2）由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. 变式8-3．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 题型九 奇偶函数的对称性应用 例9．已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【答案】C 【详解】由题意得，且，解得， 由题图得函数在内单调递增， 由奇函数的性质得函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：C． 变式9-1．已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象与函数的图象关于轴对称，不满足要求，B错误； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，A正确； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，C错误； 函数的图象与函数的图象关于原点对称，D错误； 故选：A. 变式9-2．已知是偶函数，对任意，且，都有，且，的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是偶函数，可知的图像关于对称， 且，则， 又因为任意，且，都有， 可知在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增． 当，，可得； 当，，可得； 所以的解集是． 故选：A. 变式9-3．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意偶函数在区间上单调递减，， 所以在区间上单调递增，， 因为，所以或， 即或， 解得或，所以的解集为. 故答案为：. 题型十 抽象函数及其应用 例10．（多选）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【详解】对于A，令，可得，即 因为，所以，所以A正确； 对于B，令，可得，即， 因为，所以，所以B正确； 对于C，令，则且，所以， 令，则， 由，可得， 则， 令，可得，解得， 令，可得，所以， 因为不恒为，所以不是偶函数，即不是偶函数，所以C错误； 对于D，设，则， 令，可得， 所以， 即，所以为奇函数，即是奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 变式10-1．（多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，函数的定义域为，满足， 对于A，令，可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，因为，所以一定不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以， ， 由此可得，函数的周期为2，则，所以C正确； 对于D，由，，可得， 所以，所以D不正确. 故选：AC. 变式10-2．已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 设，因为，所以， 则是增函数，， 因为为奇函数，所以为奇函数， 所以，． 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为， 故答案为：. 变式10-3．已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数；函数是上的减函数 (3)或． 【详解】（1）令，代入得，所以． （2）令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． （3），即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 题型十一 函数的零点 例11．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在区间是. 故选：B 变式11-1．函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有2个零点. 故选：C. 变式11-2．设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】是上的增函数，则任意，，， 因此任意无零点； 由对任意无零点， 则成立或成立， 所以在上一个y只对应一个x，， 所以“任意无零点”是“是上的增函数”的必要不充分条件. 故选：B 变式11-3．（多选）已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，则方程，即， 由题可得，在上单调递减，在上单调递增， 据此作出函数的大致图象，如图1所示， 作直线，则当或时，直线与曲线有1个交点； 当或时，直线与曲线有2个交点； 当时，直线与曲线有3个交点． 作出函数的可能的大致图象，如图2，横轴为轴，纵轴为轴， 所以要使方程有6个不同的解， 则有2个不同的实数解，且， 则，解得. 故选：BC. 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知函数为奇函数，则的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由函数为奇函数， 所以， 即，解得. 当时，所以符合题意， 所以． 故选：D． 2．二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】A 【详解】因为函数满足条件与时的函数值相等， 所以的图象关于直线对称， 则与时的函数值相等，均为5. 故选：A. 3．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 4．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为上的减函数；，在上单调递减； 为上的增函数，符合题意；在上单调递减； 故选：C 5．已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分， 然后将轴左侧图象翻折到轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是. 故选：C 6．若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 7．已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题意知在上单调递增， 设，且为正常数。 则，则，，解得或（舍去）， 则，，令，解得. 故选：C. 8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 二、多选题 9．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】BD 【详解】，故A选项错误； ，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得，即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得，综上，的解集为，故D选项正确； 故选：BD. 10．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，易知其定义域为，满足奇函数定义，且为增函数，即A正确； 对于B，易知其定义域为，满足偶函数定义，不符合题意，B错误； 对于C，易知其定义域为，关于原点对称， 但它在和上单调递减，C错误； 对于D，显然的定义域为，且满足，为奇函数， 当时，在上单调递增， 由奇函数性质可知函数在定义域内单调递增，即D正确. 故选：AD 11．若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD 三、填空题 12．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】要使原函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13．已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 14．若存在，使函数在（）上有三个零点，则实数的最小值为 ． 【答案】7 【详解】 由题意知，函数的图象与函数的图象（一条垂直于轴的直线）在区间上有三个交点. 函数的图象如图所示. . 由图可知，当经过点即时，第3个交点的横坐标最小， 由，得. 所以正整数的最小值为. 故答案为：7. 四、解答题 15．已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)定义域内单调递减，证明见详解 (3) 【详解】（1）因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， （2）对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3）因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 17．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 【答案】(1) (2)该户居民所交水资源费为315元，污水处理费为294元 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，； 当时，. 所以用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式是 （2）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 所以. 所以水资源费为（元），污水处理费为（元）， 所以该户居民所交水资源费为315元，污水处理费为294元. 18．已知函数对于任意的都有. (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，用替换得， 联立方程组，得， 解得. （2）若对任意的，总存在，使得成立，可得在上的值域是在上的值域的子集， 由（1）可得，当时，； 为二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递增； 所以在上的最小值为，最大值为； 可得，即，解得，所以的取值范围为. 19．设函数. (1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (2)若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）由二次函数性质得的对称轴， 因为函数在上是单调函数， 所以或，则实数m的取值范围是. （2）若，则， 假设存在实数，使得函数的定义域为，值域为， 分以下情况讨论：（i）若，函数在上单调递增， 由题意得，即， 解得，与矛盾，排除， （ii）若，函数在上单调递减， 由题意得，即， 解得，此时， （iii）若，函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意得，解得，因为， ，所以， 解得，此时， 综上所述，存在实数，或， 使得函数的定义域为，值域为. 能力提升进阶练 1．设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 又因为函数、在上均为增函数， 故函数在上是增函数， 由，得，则，即， 即，解得，即满足题设条件的的取值范围是. 故选：A. 2．已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得解得，，所以． 当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增 （破瓶颈：我们称形如的函数为对勾函数， 该函数的定义域为，在，上单调递减， 在，上单调递增）， 当时，；当或时，， 所以，则． 不等式，即，则在上有解， 所以且，即， 则实数m的取值范围为． 故选：A. 3．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 4．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 5．函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 又，且，则，， 设，则， 所以在单调递增， 又函数是定义域为的偶函数，所以也是上的偶函数， 又，所以，即， 则，解得. 故选：C. 6．已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意有：令有：， 令有：， 对任意的且，所以，即， 所以， 即，所以， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以， 故答案为：. 7．定义在上的函数满足．若当时，． (1)当时，求的解析式； (2)，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则， 因为，所以， 又当时，，所以； （2）因为，，所以对恒成立， 即对恒成立，即， 令， 当，则，， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以，所以实数的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $