专题04 函数的零点问题（含嵌套函数、复合函数）（专项训练）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 覆盖12类函数零点题型，从基础定义到复杂应用逻辑递进，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|12题型（5-8题/题型）|基础定义应用（求零点、判断区间）到参数问题（求值/范围）、个数判断|从概念生成（零点定义）到原理应用（存在性定理）| |综合攻坚·知能拔高|8道综合题|嵌套函数、新定义等复杂情境，融合多零点关系|再到综合拓展（跨知识整合、逻辑推理）|

专题04 函数的零点问题 常考题型·精准突破 题型01 求函数的零点 题型 07 二分法 题型02 根据函数零点求值（参数） 题型08 二次函数零点分布问题 题型03 判断零点所在的区间（高频） 题型09 比较零点大小关系 题型04 根据零点所在的区间求参数的范围 题型10 嵌套函数的零点问题（难） 题型05 判断函数零点个数 题型11 零点的和差积商问题（重） 题型06 根据零点个数求参数 （重） 题型12 零点中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 求函数的零点 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．集合与集合不是同一个集合 B．已知，满足条件的集合的个数有7个 C．代数式的值组成的集合是 D．函数的零点为 3．（25-26高一上·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高一上·四川·阶段检测）函数的零点是（   ） A．0和9 B．0和 C．和 D．和 5．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 6．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）已知函数的零点是，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． ◆题型02 根据函数零点求值（参数） 1．函数的零点为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（    ） A． B． C． D． 4．关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 5．已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （    ） A． B． C．4 D．3 6．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是_________． ◆题型03 判断零点所在的区间 1．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知，则在下列区间内一定有零点的是（   ）. A． B． C． D． ◆题型04 根据零点所在区间求参数 1．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 4．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 6．已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 8．若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为__________． ◆题型05 判断函数零点个数 1．（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 4．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．定义在上的偶函数满足：当时，，且当时，，则的零点个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个 6．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 7．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．9 8．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 ◆题型06 根据零点个数求参数 1．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）函数与的图像有四个交点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北·阶段检测）若关于的方程有且仅有三个实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 ◆题型07 二分法 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． ◆题型08 二次函数零点分布问题 1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若函数在区间上恰有一个零点，则实数a的取值范围为（   ） A．且 B． C． D．或 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）二次函数有零点的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． ◆题型09 比较零点大小关系 1．已知方程有两个实根、，方程有两个实根、，那么、、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数恰有两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解集为 C．不等式的解集为 D．的大小关系是 ◆题型10 嵌套函数的零点问题 1．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 4．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若关于的方程在区间上共有6个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型11 零点的和差积商问题 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ◆题型12 零点中的新定义问题 1．（25-26高一上·广东广州·期末）对实数和，定义运算“”，设函数，若函数的图象与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津·期末）已知、，定义运算“”：，设函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海杨浦·期中）定义在上的函数满足：对任意，恒成立．则下列说法正确的是（    ） A．函数一定是常值函数 B．函数的函数值一定非负 C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点 D．若函数存在零点，则一定存在，使得 4．（25-26高一上·上海·期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（    ） A．不存在常值函数是“相关函数” B．是“相关函数” C．“2026相关函数”至少有一个零点 D．“相关函数”至少有一个零点 5．（多选）（25-26高一上·重庆·期中），用表示不超过的最大整数，称为取整函数，也称为高斯函数.例如：，.设，则下列命题中正确的是（   ） A．， B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．函数的所有零点之和为 合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）若函数有三个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数恰有1个零点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测）关于x的方程，下列说法正确的有（    ） ①若方程有6个不同的实数根，则； ②若方程恰有5个不同的实数根，则； ③若方程恰有3个不同的实数根，则； ④若方程只有1个实数根，则或； A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 6．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 7．（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．当时， C．不等式的解集是 D．，都有 8．（多选）（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知，函数，则下列结论中正确的是（　　） A．存在，使得无零点 B．对任意至少有一个零点 C．存在，使得有两个零点 D．存在，使得的图象关于对称 9．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 10．（25-26高一上·安徽安庆·期末）定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的零点问题 常考题型·精准突破 ◆题型01 求函数的零点 1． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 2． 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据集合中元素判断B，分类讨论判断C，根据零点的定义判断D. 【详解】选项A，是点集，是数集，不是同一个集合，A对； 选项B，因为， 所以满足条件的集合的个数有，B对； 选项C，当时，； 当或时，； 当时，，C对； 选项D，函数的零点不是点，是变量x的值， 所以函数的零点是，D错． 3． 【答案】A 【分析】根据函数零点的定义求解. 【详解】解方程，解得. 所以函数的零点是. 故选：A. 4． 【答案】A 【分析】根据零点定义求解即可. 【详解】令， 解得或， 故函数的零点是和， 故选：A 5． 【答案】C 【分析】求出函数的零点即可得解. 【详解】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C 6． 【答案】D 【分析】根据函数的零点结合根与系数的关系得，，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由韦达定理，可得：，， 那么：， ， ，当且仅当取得等号， 即， 故的最大值为. 故选：D. ◆题型02 根据函数零点求值（参数） 1 【答案】B 【分析】由已知可得，即可求得实数的值. 【详解】由题意得，即． 故选：B. 2． 【答案】B 【分析】根据题意，是方程的两个根，进而可以求. 【详解】依题意，是方程的两个根 代入可得， 解得 所以 故选：B 3． 【答案】B 【分析】根据零点定义，借助根与系数的关系求出的值，然后求出二次函数的零点. 【详解】的两个零点为2，3， ， ， 令，得或， 故选：B． 4． 【答案】A 【分析】根据韦达定理列式可求出结果. 【详解】依题意得是方程的两不等实根， 所以， ，， 所以，即， 又，所以. 故选：A 5． 【答案】C 【分析】由题意可得，得，从而可得函数解析式为，从而由可求出的值 【详解】因为2是函数（为常数）的零点， 所以，得，所以， 因为，所以，得， 故选：C 6． 【答案】 【分析】根据解析式研究的区间单调性，令，数形结合得且，进而有，最后由二次函数的性质求的范围. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 由在上单调递增，且值域为， 所以的大致图象如下，对于且，则，    由图知，，则， 所以，且， 所以. 故答案为： ◆题型03 判断零点所在的区间 1． 【答案】A 【分析】由零点存在性定理即可判断， 【详解】由解析式可知在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在区间为, 故选：A 2． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. 3． 【答案】B 【详解】因为与均在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点. 4． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 5． 【答案】C 【分析】由函数零点存在定理即可求解. 【详解】， 所以，，,,, 根据零点存在定理可得在区间内一定存在零点. 故选：C ◆题型04 根据零点所在区间求参数 1． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 2 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3． 【答案】A 【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 4． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 5． 【答案】B 【分析】将问题化为，在上有交点，结合函数单调性列不等式求参数范围. 【详解】设，， 由题意得，在上有交点， 又，易知，在上分别单调递增、单调递减， 所以，只需，即，可得的范围为. 故选：B 6． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解. 【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 7． 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 8． 【答案】 【分析】根据题意转化为函数与图象的交点，根据，得到函数在内有一个零点，结合题意得到，即可求解. 【详解】如图所示，函数的零点，即函数与图象的交点， 由图象可知，两函数的图象只有一个交点，且， 所以，所以函数在内有一个零点， 又由，所以，所以. 故答案为：.    ◆题型05 判断函数零点个数 1． 【答案】B 【分析】令函数等于0，解出对应方程的根即可. 【详解】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 2． 【答案】B 【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数． 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． 3． 【答案】D 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 4． 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 5． 【答案】C 【分析】将的零点转化为与图像交点个数，画出图像，看交点即可. 【详解】的零点，则，即的根个数， 画出与图像，看两个函数图像交点个数即可. 当时，，画出此部分图像，再根据当时，， 即表示x隔2函数值减半，画出y轴右侧图像.最后根据偶函数图像性质，得到y轴左侧图像. 根据图像，知道的零点个数是8个. 故选：C. 6． 【答案】D 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 7． 【答案】C 【分析】利用奇函数和周期函数的性质求出函数在区间上的部分零点，即可判断. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若， 所以,,,,,, 所以函数在区间上至少有7个零点. 故选：C 8． 【答案】C 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数的草图，再作出函数的草图，数形结合，判断方程解的个数即可. 【详解】因为时，，作出函数，的草图，如图1：    因为函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，可作出函数的草图，如图2：    保持轴上方的图象不变，将轴下方的图象对称到轴上方，得到函数的草图，如图3：    作直线，与函数的图象有4个交点，所以函数有4个零点. 故选：C ◆题型06 根据零点个数求参数 1． 【答案】B 【分析】先求出函数的表达式，然后画出其图象，再结合函数与的图象有四个交点的条件来确定的取值范围. 【详解】令，因式分解可得，解得或； 所以当，即或时，； 当，即时，；    要使函数与的图象有四个交点，则. 故选：B. 2． 【答案】D 【分析】将方程的根转换为函数零点问题，通过函数图象即可求解. 【详解】当时，,不合题意，舍去； 当时，， 问题转化为函数的图象与有三个不同角度， 当时，；当时，， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知应满足，解得. 故选：D. 3． 【答案】D 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象上存在关于原点对称的点等价于与在上有交点， 即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立，所以. 故选：D. 4． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有三个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由函数， 画出函数的图象，如图所示， 因为函数有三个零点，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 5． 【答案】D 【分析】将问题转化为与有两个交点，结合分析即可求解. 【详解】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根， 则函数与有两个交点， 作出函数的图像如下： 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，无意义， 综上，实数的取值范围是，且； 故选：D ◆题型07 二分法 1． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 2． 【答案】A 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 3． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二分法，结合选项确定所在区间即可. 【详解】函数在上单调递增，，则， 又，则，而，则， 又，因此，， 而，所以与最接近的数为. 故选：B 4． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 5． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 6． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. ◆题型08 二次函数零点分布问题 1． 【答案】B 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 2． 【答案】D 【分析】对a进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解. 【详解】若时，，则，满足题意； 若，当，解得且，此时满足题意； 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意； 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意； 当，得时，此时， 此时方程的根为，满足题意； 综上可得或. 故选：D 3． 【答案】D 【分析】先求解函数有零点时的充要条件，即可根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】若二次函数有零点，则，解得或， 由于是的真子集， 故二次函数有零点的一个必要不充分条件是， 故选：D 4． 【答案】D 【分析】根据二次函数零点的存在性质，分类讨论，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】当时，即，解得或， 令，则，令，解得，符合题意； 令，则，令，解得，不合题意. 当时，由题意可得，则，解得； 令，则，令，解得或，显然不合题意； 令，则，令，解得或2，显然符合题意. 综上所述，的取值范围为或. 故选：D 5． 【答案】D 【分析】通过换元令，得，由于有两个不同的正根，列出不等式求解即可. 【详解】由， 得，令， 得， 由题意可知方程有两个不同的正根， 则，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D 6． 【答案】A 【分析】求出二次函数的对称轴，结合开口方向得到不等式，求出答案. 【详解】二次函数的对称轴为，开口向下， 要想满足区间上有且仅有一个零点，需当时，， 解得. 故选：A ◆题型09 比较零点大小关系 1． 【答案】C 【分析】作出函数与函数的图象，即可得出结论. 【详解】函数的图象可在函数的图象上向下平移个单位长度得到， 如下图所示： 由图可知. 故选：C. 2． 【答案】C 【分析】根据方程与函数的关系，结合函数图象以及平移变换，可得答案. 【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标， 令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标， 易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到， 所以. 故选：C. 3． 【答案】BCD 【分析】作出的图象，由题意，结合图形可知且，化简计算即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图，    由图可知，， 由知，，即， 即，得，故A错误，B正确； 由，得，所以故C正确， 所以故D正确，. 故选：BCD. 4． 【答案】ABD 【分析】对于A根据零点的定义即可得，对于B方程得到解出即可，对于C根据零点的定义有，所以不等式等价于，对于D画出的草图即可判断. 【详解】对于A：因为是函数的两个零点，所以，故A正确； 对于B：方程或，所以方程的解集为，故B正确； 对于C：因为函数恰有两个零点，所以， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于D：先画的图像，把向下平移一个单位得的图像如下： 由图可知，故D正确. 故选：ABD. ◆题型10 嵌套函数的零点问题 1． 【答案】B 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 2． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程和的根，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，关于的方程，即，解得：或， 作出函数的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得，故A正确. 故选：A. 3． 【答案】D 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 4． 【答案】C 【分析】先求得为偶函数，然后化简函数并画出图象，记方程的两根分别为，数形结合得，，进而利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由题意得，的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， ，作出函数的图象如下： 由题意关于的方程恰有6个不同的解， 令，由的图象得当时，方程有四个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程无解． 设方程的两根分别为，则，， 令，则，解得，即， 因此实数的取值范围是． 5． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 6． 【答案】A 【分析】先求出区间上的表达式，并作出函数图象，再将方程有根问题转化为函数交点问题，结合图象求解即可. 【详解】由得. 当时，；； 设，则，所以； 设，则，所以； 设时，则，所以； 画出的函数图象，如图， 由，可得， 所以或. 由图可知，与有四个不同的交点， 即方程有四个不等的实根， 而方程在区间上共有6个实根， 所以方程有两个实根，即与有两个交点， 由图可知，即的取值范围是. 故选：A ◆题型11 零点的和差积商问题 1． 【答案】A 【分析】画出图象，结合图象可得，. 【详解】当时，；令，得， 由图象可知，欲使方程恰有个不同的实根有，， 所以.    故选：A 2． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数性质并作出图象，建立目标式的函数关系，借助二次函数求出范围. 【详解】函数的图象关于直线对称， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象，得，，， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 故选：A 3． 【答案】D 【分析】将问题转化为与有三个或四个交点，根据对称性可知，化简得到；结合韦达定理可构造方程，利用和可确定的范围，结合二次函数值域可确定的范围. 【详解】有四个实根等价于与有三个或四个交点； 若有三个交点，则或；若有四个交点，则且； 作出大致图象如下图所示， 结合图象可知：， ，； 令，则， 由图象可知，，则，； ，， ， 若，则，整理可得：恒成立， ，，，解得：； 综上所述：； 当时，，， 即的取值范围为. 故选：D. 4． 【答案】A 【分析】画出函数图像，结合一元二次方程韦达定理和一元二次函数求值域即可求解. 【详解】解：由 可得函数图象如下所示由图可知: 当时，存在，使得， 不妨令此时， 则对于满足方程，即，所以； 对于满足方程， 即，所以，则有， ， 其中，则， 即， 故选：A 5． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合直线与函数 图象的交点个数可得出的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令，转化为求的值域可得. 【详解】令， 由有四个不同的零点， 则与有四个不同的交点， 令，解得或， 故当或时，；当时，； 且当，； 解方程，得； 作函数的图象，对称轴为.    要使与有四个不同的交点，如图可得. 又满足， 则，可得. 因为图象关于对称，所以， 则， 则，令，则， 构造函数，， 由，函数在单调递增， 则，即. 故选：A ◆题型12 零点中的新定义问题 1． 【答案】B 【分析】根据给定定义求出函数的解析式并画出图象，将函数的图象与轴恰有3个公共点问题转化为函数的图象与直线的有3个交点求解. 【详解】解不等式，得；解不等式，得或， 于是，画出函数的图象，如图： 由函数的图象与轴恰有三个公共点，得函数的图象与直线的有3个交点， 观察图象，当且仅当时，函数的图象与直线的有3个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 2． 【答案】C 【分析】化简函数的解析式，分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，即，即时，， 当时，即时，即或时，， 令可得， 因为函数恰有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：C. 3． 【答案】C 【分析】通过讨论，的正负，分析成立的条件． 【详解】对于， 1）若，等式成立； 2）若， 若，等式成立． 若，，则必有，可知可以是常值函数或非负函数 若，或，等式不成立． 由以上讨论可知可以是常值函数或非负函数． A选项，任取一个非负非常值函数满足，但不是常值函数． B选项，任取一个负常值函数满足，但不是非负函数． C选项，若函数是上的严格增函数且存在零点，设，由于严格递增， 取，，有，，此时 ，与题设矛盾，故不存在零点． D选项，存在反例，满足条件．，，有． 4． 【答案】C 【分析】根据“相关函数”定义可知A错误，假设是“相关函数”得出方程无解，可判断B错误，利用“相关函数”定义并结合零点存在性定理，即可判断C正确，D错误. 【详解】对于A，易知任意常值函数都是“相关函数”， 而对任意都是“相关函数”，故A错误； 对于B，若是“相关函数”，则恒成立， 即恒成立， 此时有，此时无解，故B错误； 对于C，由“2026相关函数”可得， 若，则函数至少有两个零点， 若，则必有， 则函数在上至少有一个零点，故C正确， 对于D，由“相关函数”可得， 若，则必有，零点个数不确定，故D错误； 故选：C 5． 【答案】BCD 【分析】举特例判断A；由取整函数的定义，分段表示，可求值域判断B；由值域结合取整函数定义可判断C；首先得出的整数零点为-1，然后当不是整数时，得出，则可得非整数零点之和为0，则可得出所有零点之和判断D. 【详解】A选项，，，故A错误； B选项，当，时，，，故B正确； C选项，由B得，，则，故C正确； D选项，设，当时，，，； 当时，， ，， 此时，， ，， 故的非整数零点之和为0，所有零点之和为，故D正确； 故选：BCD. 合攻坚·知能拔高 1． 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理及函数单调性求解判断各选项即可. 【详解】对于A，由， 则，由零点存在性定理，在内有零点，故A错误； 对于B，计算，则， 由零点存在性定理，在内有零点， 任取，则， 因为，， 故，即，所以在内单调递减， 因此在区间内有且仅有1个零点，故B正确； 对于CD，由AB知，，，且， 且函数最多只有3个零点， 由零点存在性定理可知，函数有3个零点，不妨设为，故D错误， 则， 则，故零点之和为0，故C错误. 故选：B 2． 【答案】B 【分析】对的表达式整理后可得二次方程有两个不相等的实根，且根不能等于1，结合判别式即可求解． 【详解】由因式分解可得： ， 由此可知，是函数的一个零点，剩余零点由二次方程的根决定， 即二次方程有两个不相等的实根，且根不能等于1 即判别式； 又将代入二次方程得：，即， 因此需保证， 综上，条件为， 故选：B． 3． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况进行讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【详解】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，符合题意； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C 4． 【答案】D 【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①；由数形结合判断②③，借助图象归纳规律可判断④. 【详解】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，； 依次类推，作出函数的图像： 对于①：函数有4个零点，即与有4个交点， 如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间， 又因为，，所以，故①正确； 对于②：令，则，且， 当，时，与均有2个交点， 当时，与有1个交点， 所以有个交点，故②正确； 对于③：对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确； 对于④：当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形， 所以函数的图象与x轴围成的图形的面积为，故④正确； 综上所述：所有正确结论的个数为4. 5． 【答案】B 【分析】构造函数，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，利用交点个数确定的取值即可判断得解. 【详解】方程，令，， 则方程的实根个数即为函数的图象与直线的交点个数， 函数的定义域为R，，函数是偶函数， 直线恒过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象得，直线与函数的图象至少有2个交点； 当时，直线与函数的图象有5个交点； 当时，直线与函数的图象有3个交点； 当时，直线与函数的图象有6个交点； 当或时，直线与函数的图象有4个交点； 当或时，直线与函数的图象有2个交点， 所以方程至少有2个实数根，④错误； 方程有6个不同的实数根，，①错误； 方程恰有5个不同的实数根，，②正确； 方程恰有3个不同的实数根，，③正确. 6． 【答案】ACD 【分析】根据根与系数的关系可判断A；根据基本不等式计算可判断B；根据韦达定理计算可判断CD. 【详解】对于A，因为有且只有一个零点， 所以，即， 等价于，该式显然成立，故A项正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B项错误； 对于C，因为的两根为， 所以，故C项正确； 对于D，因为方程的两根为， 所以， 所以，可得，故D项正确. 7． 【答案】BD 【分析】根据函数为奇函数，确定零点取值情况可判断A；由对称区间解析式的求解可判断B；作图分析确定不等式解集情况，可判断C；结合图象确定函数在区间的值域得最值，从而判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数，， 当时，，可得，，所以函数有3个零点，故A错误； 当时，，则时，，故B正确； 由题可得函数图象如下： 不等式的解集满足：或，结合图象可得， 即不等式的解集为，故C错误； 因为，根据图象可得在的值域为， 则，故D正确. 故选：BD. 8． 【答案】BCD 【分析】转化为函数的图象与函数的图象的交点个数问题，通过作图可判断ABC；根据的对称性，结合平移变换可判断D. 【详解】记， 函数的零点个数，等价于函数的图象与函数的图象的交点个数， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，函数与函数的图象至少有一个交点，A错误，B正确； 当直线与函数的图象相切，且切点不是时，有两个交点，C正确； 易知，函数的图象关于点成中心对称， 取，则的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD. 9． 【答案】 【分析】借助根的判别式与基本不等式计算即可得. 【详解】由题意知，，∴， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 10． 【答案】 【分析】根据已知关系式通过赋值求出，解方程得到零点. 【详解】令，则，解得， 令，得，解得， 所以， 由得或， 所以或（舍）， 解得， 故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的零点问题 常考题型·精准突破 题型01 求函数的零点 题型 07 二分法 题型02 根据函数零点求值（参数） 题型08 二次函数零点分布问题 题型03 判断零点所在的区间（高频） 题型09 比较零点大小关系 题型04 根据零点所在的区间求参数的范围 题型10 嵌套函数的零点问题（难） 题型05 判断函数零点个数 题型11 零点的和差积商问题（重） 题型06 根据零点个数求参数 （重） 题型12 零点中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型01 求函数的零点 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 2．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．集合与集合不是同一个集合 B．已知，满足条件的集合的个数有7个 C．代数式的值组成的集合是 D．函数的零点为 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据集合中元素判断B，分类讨论判断C，根据零点的定义判断D. 【详解】选项A，是点集，是数集，不是同一个集合，A对； 选项B，因为， 所以满足条件的集合的个数有，B对； 选项C，当时，； 当或时，； 当时，，C对； 选项D，函数的零点不是点，是变量x的值， 所以函数的零点是，D错． 3．（25-26高一上·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的定义求解. 【详解】解方程，解得. 所以函数的零点是. 故选：A. 4．（25-26高一上·四川·阶段检测）函数的零点是（   ） A．0和9 B．0和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据零点定义求解即可. 【详解】令， 解得或， 故函数的零点是和， 故选：A 5．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【答案】C 【分析】求出函数的零点即可得解. 【详解】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C 6．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）已知函数的零点是，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的零点结合根与系数的关系得，，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由韦达定理，可得：，， 那么：， ， ，当且仅当取得等号， 即， 故的最大值为. 故选：D. ◆题型02 根据函数零点求值（参数） 1．函数的零点为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，即可求得实数的值. 【详解】由题意得，即． 故选：B. 2．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，是方程的两个根，进而可以求. 【详解】依题意，是方程的两个根 代入可得， 解得 所以 故选：B 3．若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点定义，借助根与系数的关系求出的值，然后求出二次函数的零点. 【详解】的两个零点为2，3， ， ， 令，得或， 故选：B． 4．关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理列式可求出结果. 【详解】依题意得是方程的两不等实根， 所以， ，， 所以，即， 又，所以. 故选：A 5．已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （    ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，得，从而可得函数解析式为，从而由可求出的值 【详解】因为2是函数（为常数）的零点， 所以，得，所以， 因为，所以，得， 故选：C 6．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据解析式研究的区间单调性，令，数形结合得且，进而有，最后由二次函数的性质求的范围. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 由在上单调递增，且值域为， 所以的大致图象如下，对于且，则，    由图知，，则， 所以，且， 所以. 故答案为： ◆题型03 判断零点所在的区间 1．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由零点存在性定理即可判断， 【详解】由解析式可知在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在区间为, 故选：A 2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. 3．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与均在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点. 4．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 5．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知，则在下列区间内一定有零点的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数零点存在定理即可求解. 【详解】， 所以，，,,, 根据零点存在定理可得在区间内一定存在零点. 故选：C ◆题型04 根据零点所在区间求参数 1．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 4．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 5．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为，在上有交点，结合函数单调性列不等式求参数范围. 【详解】设，， 由题意得，在上有交点， 又，易知，在上分别单调递增、单调递减， 所以，只需，即，可得的范围为. 故选：B 6．已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解. 【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 7．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 8．若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意转化为函数与图象的交点，根据，得到函数在内有一个零点，结合题意得到，即可求解. 【详解】如图所示，函数的零点，即函数与图象的交点， 由图象可知，两函数的图象只有一个交点，且， 所以，所以函数在内有一个零点， 又由，所以，所以. 故答案为：.    ◆题型05 判断函数零点个数 1．（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令函数等于0，解出对应方程的根即可. 【详解】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数． 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． 3．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 4．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 5．定义在上的偶函数满足：当时，，且当时，，则的零点个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个 【答案】C 【分析】将的零点转化为与图像交点个数，画出图像，看交点即可. 【详解】的零点，则，即的根个数， 画出与图像，看两个函数图像交点个数即可. 当时，，画出此部分图像，再根据当时，， 即表示x隔2函数值减半，画出y轴右侧图像.最后根据偶函数图像性质，得到y轴左侧图像. 根据图像，知道的零点个数是8个. 故选：C. 6．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】D 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 7．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】利用奇函数和周期函数的性质求出函数在区间上的部分零点，即可判断. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若， 所以,,,,,, 所以函数在区间上至少有7个零点. 故选：C 8．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数的草图，再作出函数的草图，数形结合，判断方程解的个数即可. 【详解】因为时，，作出函数，的草图，如图1：    因为函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，可作出函数的草图，如图2：    保持轴上方的图象不变，将轴下方的图象对称到轴上方，得到函数的草图，如图3：    作直线，与函数的图象有4个交点，所以函数有4个零点. 故选：C ◆题型06 根据零点个数求参数 1．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）函数与的图像有四个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的表达式，然后画出其图象，再结合函数与的图象有四个交点的条件来确定的取值范围. 【详解】令，因式分解可得，解得或； 所以当，即或时，； 当，即时，；    要使函数与的图象有四个交点，则. 故选：B. 2．（25-26高一上·河北·阶段检测）若关于的方程有且仅有三个实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程的根转换为函数零点问题，通过函数图象即可求解. 【详解】当时，,不合题意，舍去； 当时，， 问题转化为函数的图象与有三个不同角度， 当时，；当时，， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知应满足，解得. 故选：D. 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象上存在关于原点对称的点等价于与在上有交点， 即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立，所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有三个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由函数， 画出函数的图象，如图所示， 因为函数有三个零点，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 5．（25-26高一上·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】将问题转化为与有两个交点，结合分析即可求解. 【详解】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根， 则函数与有两个交点， 作出函数的图像如下： 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，无意义， 综上，实数的取值范围是，且； 故选：D ◆题型07 二分法 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 2．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二分法，结合选项确定所在区间即可. 【详解】函数在上单调递增，，则， 又，则，而，则， 又，因此，， 而，所以与最接近的数为. 故选：B 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 6．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. ◆题型08 二次函数零点分布问题 1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若函数在区间上恰有一个零点，则实数a的取值范围为（   ） A．且 B． C． D．或 【答案】D 【分析】对a进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解. 【详解】若时，，则，满足题意； 若，当，解得且，此时满足题意； 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意； 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意； 当，得时，此时， 此时方程的根为，满足题意； 综上可得或. 故选：D 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）二次函数有零点的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解函数有零点时的充要条件，即可根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】若二次函数有零点，则，解得或， 由于是的真子集， 故二次函数有零点的一个必要不充分条件是， 故选：D 4．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数零点的存在性质，分类讨论，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】当时，即，解得或， 令，则，令，解得，符合题意； 令，则，令，解得，不合题意. 当时，由题意可得，则，解得； 令，则，令，解得或，显然不合题意； 令，则，令，解得或2，显然符合题意. 综上所述，的取值范围为或. 故选：D 5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换元令，得，由于有两个不同的正根，列出不等式求解即可. 【详解】由， 得，令， 得， 由题意可知方程有两个不同的正根， 则，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出二次函数的对称轴，结合开口方向得到不等式，求出答案. 【详解】二次函数的对称轴为，开口向下， 要想满足区间上有且仅有一个零点，需当时，， 解得. 故选：A ◆题型09 比较零点大小关系 1．已知方程有两个实根、，方程有两个实根、，那么、、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与函数的图象，即可得出结论. 【详解】函数的图象可在函数的图象上向下平移个单位长度得到， 如下图所示： 由图可知. 故选：C. 2．已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程与函数的关系，结合函数图象以及平移变换，可得答案. 【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标， 令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标， 易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到， 所以. 故选：C. 3．（多选）设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】作出的图象，由题意，结合图形可知且，化简计算即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图，    由图可知，， 由知，，即， 即，得，故A错误，B正确； 由，得，所以故C正确， 所以故D正确，. 故选：BCD. 4．（多选）已知函数恰有两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解集为 C．不等式的解集为 D．的大小关系是 【答案】ABD 【分析】对于A根据零点的定义即可得，对于B方程得到解出即可，对于C根据零点的定义有，所以不等式等价于，对于D画出的草图即可判断. 【详解】对于A：因为是函数的两个零点，所以，故A正确； 对于B：方程或，所以方程的解集为，故B正确； 对于C：因为函数恰有两个零点，所以， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于D：先画的图像，把向下平移一个单位得的图像如下： 由图可知，故D正确. 故选：ABD. ◆题型10 嵌套函数的零点问题 1．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 2．定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程和的根，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，关于的方程，即，解得：或， 作出函数的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得，故A正确. 故选：A. 3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】D 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 4．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得为偶函数，然后化简函数并画出图象，记方程的两根分别为，数形结合得，，进而利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由题意得，的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， ，作出函数的图象如下： 由题意关于的方程恰有6个不同的解， 令，由的图象得当时，方程有四个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程无解． 设方程的两根分别为，则，， 令，则，解得，即， 因此实数的取值范围是． 5．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 6．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若关于的方程在区间上共有6个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出区间上的表达式，并作出函数图象，再将方程有根问题转化为函数交点问题，结合图象求解即可. 【详解】由得. 当时，；； 设，则，所以； 设，则，所以； 设时，则，所以； 画出的函数图象，如图， 由，可得， 所以或. 由图可知，与有四个不同的交点， 即方程有四个不等的实根， 而方程在区间上共有6个实根， 所以方程有两个实根，即与有两个交点， 由图可知，即的取值范围是. 故选：A ◆题型11 零点的和差积商问题 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图象，结合图象可得，. 【详解】当时，；令，得， 由图象可知，欲使方程恰有个不同的实根有，， 所以.    故选：A 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数性质并作出图象，建立目标式的函数关系，借助二次函数求出范围. 【详解】函数的图象关于直线对称， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象，得，，， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 故选：A 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为与有三个或四个交点，根据对称性可知，化简得到；结合韦达定理可构造方程，利用和可确定的范围，结合二次函数值域可确定的范围. 【详解】有四个实根等价于与有三个或四个交点； 若有三个交点，则或；若有四个交点，则且； 作出大致图象如下图所示， 结合图象可知：， ，； 令，则， 由图象可知，，则，； ，， ， 若，则，整理可得：恒成立， ，，，解得：； 综上所述：； 当时，，， 即的取值范围为. 故选：D. 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数图像，结合一元二次方程韦达定理和一元二次函数求值域即可求解. 【详解】解：由 可得函数图象如下所示由图可知: 当时，存在，使得， 不妨令此时， 则对于满足方程，即，所以； 对于满足方程， 即，所以，则有， ， 其中，则， 即， 故选：A 5．（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合直线与函数 图象的交点个数可得出的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令，转化为求的值域可得. 【详解】令， 由有四个不同的零点， 则与有四个不同的交点， 令，解得或， 故当或时，；当时，； 且当，； 解方程，得； 作函数的图象，对称轴为.    要使与有四个不同的交点，如图可得. 又满足， 则，可得. 因为图象关于对称，所以， 则， 则，令，则， 构造函数，， 由，函数在单调递增， 则，即. 故选：A ◆题型12 零点中的新定义问题 1．（25-26高一上·广东广州·期末）对实数和，定义运算“”，设函数，若函数的图象与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定定义求出函数的解析式并画出图象，将函数的图象与轴恰有3个公共点问题转化为函数的图象与直线的有3个交点求解. 【详解】解不等式，得；解不等式，得或， 于是，画出函数的图象，如图： 由函数的图象与轴恰有三个公共点，得函数的图象与直线的有3个交点， 观察图象，当且仅当时，函数的图象与直线的有3个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 2．（25-26高一上·天津·期末）已知、，定义运算“”：，设函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数的解析式，分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，即，即时，， 当时，即时，即或时，， 令可得， 因为函数恰有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高一下·上海杨浦·期中）定义在上的函数满足：对任意，恒成立．则下列说法正确的是（    ） A．函数一定是常值函数 B．函数的函数值一定非负 C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点 D．若函数存在零点，则一定存在，使得 【答案】C 【分析】通过讨论，的正负，分析成立的条件． 【详解】对于， 1）若，等式成立； 2）若， 若，等式成立． 若，，则必有，可知可以是常值函数或非负函数 若，或，等式不成立． 由以上讨论可知可以是常值函数或非负函数． A选项，任取一个非负非常值函数满足，但不是常值函数． B选项，任取一个负常值函数满足，但不是非负函数． C选项，若函数是上的严格增函数且存在零点，设，由于严格递增， 取，，有，，此时 ，与题设矛盾，故不存在零点． D选项，存在反例，满足条件．，，有． 4．（25-26高一上·上海·期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（    ） A．不存在常值函数是“相关函数” B．是“相关函数” C．“2026相关函数”至少有一个零点 D．“相关函数”至少有一个零点 【答案】C 【分析】根据“相关函数”定义可知A错误，假设是“相关函数”得出方程无解，可判断B错误，利用“相关函数”定义并结合零点存在性定理，即可判断C正确，D错误. 【详解】对于A，易知任意常值函数都是“相关函数”， 而对任意都是“相关函数”，故A错误； 对于B，若是“相关函数”，则恒成立， 即恒成立， 此时有，此时无解，故B错误； 对于C，由“2026相关函数”可得， 若，则函数至少有两个零点， 若，则必有， 则函数在上至少有一个零点，故C正确， 对于D，由“相关函数”可得， 若，则必有，零点个数不确定，故D错误； 故选：C 5．（多选）（25-26高一上·重庆·期中），用表示不超过的最大整数，称为取整函数，也称为高斯函数.例如：，.设，则下列命题中正确的是（   ） A．， B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．函数的所有零点之和为 【答案】BCD 【分析】举特例判断A；由取整函数的定义，分段表示，可求值域判断B；由值域结合取整函数定义可判断C；首先得出的整数零点为-1，然后当不是整数时，得出，则可得非整数零点之和为0，则可得出所有零点之和判断D. 【详解】A选项，，，故A错误； B选项，当，时，，，故B正确； C选项，由B得，，则，故C正确； D选项，设，当时，，，； 当时，， ，， 此时，， ，， 故的非整数零点之和为0，所有零点之和为，故D正确； 故选：BCD. 合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理及函数单调性求解判断各选项即可. 【详解】对于A，由， 则，由零点存在性定理，在内有零点，故A错误； 对于B，计算，则， 由零点存在性定理，在内有零点， 任取，则， 因为，， 故，即，所以在内单调递减， 因此在区间内有且仅有1个零点，故B正确； 对于CD，由AB知，，，且， 且函数最多只有3个零点， 由零点存在性定理可知，函数有3个零点，不妨设为，故D错误， 则， 则，故零点之和为0，故C错误. 故选：B 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）若函数有三个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对的表达式整理后可得二次方程有两个不相等的实根，且根不能等于1，结合判别式即可求解． 【详解】由因式分解可得： ， 由此可知，是函数的一个零点，剩余零点由二次方程的根决定， 即二次方程有两个不相等的实根，且根不能等于1 即判别式； 又将代入二次方程得：，即， 因此需保证， 综上，条件为， 故选：B． 3．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数恰有1个零点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况进行讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【详解】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，符合题意； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C 4．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①；由数形结合判断②③，借助图象归纳规律可判断④. 【详解】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，； 依次类推，作出函数的图像： 对于①：函数有4个零点，即与有4个交点， 如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间， 又因为，，所以，故①正确； 对于②：令，则，且， 当，时，与均有2个交点， 当时，与有1个交点， 所以有个交点，故②正确； 对于③：对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确； 对于④：当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形， 所以函数的图象与x轴围成的图形的面积为，故④正确； 综上所述：所有正确结论的个数为4. 5．（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测）关于x的方程，下列说法正确的有（    ） ①若方程有6个不同的实数根，则； ②若方程恰有5个不同的实数根，则； ③若方程恰有3个不同的实数根，则； ④若方程只有1个实数根，则或； A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】构造函数，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，利用交点个数确定的取值即可判断得解. 【详解】方程，令，， 则方程的实根个数即为函数的图象与直线的交点个数， 函数的定义域为R，，函数是偶函数， 直线恒过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象得，直线与函数的图象至少有2个交点； 当时，直线与函数的图象有5个交点； 当时，直线与函数的图象有3个交点； 当时，直线与函数的图象有6个交点； 当或时，直线与函数的图象有4个交点； 当或时，直线与函数的图象有2个交点， 所以方程至少有2个实数根，④错误； 方程有6个不同的实数根，，①错误； 方程恰有5个不同的实数根，，②正确； 方程恰有3个不同的实数根，，③正确. 6．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】ACD 【分析】根据根与系数的关系可判断A；根据基本不等式计算可判断B；根据韦达定理计算可判断CD. 【详解】对于A，因为有且只有一个零点， 所以，即， 等价于，该式显然成立，故A项正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B项错误； 对于C，因为的两根为， 所以，故C项正确； 对于D，因为方程的两根为， 所以， 所以，可得，故D项正确. 7．（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．当时， C．不等式的解集是 D．，都有 【答案】BD 【分析】根据函数为奇函数，确定零点取值情况可判断A；由对称区间解析式的求解可判断B；作图分析确定不等式解集情况，可判断C；结合图象确定函数在区间的值域得最值，从而判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数，， 当时，，可得，，所以函数有3个零点，故A错误； 当时，，则时，，故B正确； 由题可得函数图象如下： 不等式的解集满足：或，结合图象可得， 即不等式的解集为，故C错误； 因为，根据图象可得在的值域为， 则，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知，函数，则下列结论中正确的是（　　） A．存在，使得无零点 B．对任意至少有一个零点 C．存在，使得有两个零点 D．存在，使得的图象关于对称 【答案】BCD 【分析】转化为函数的图象与函数的图象的交点个数问题，通过作图可判断ABC；根据的对称性，结合平移变换可判断D. 【详解】记， 函数的零点个数，等价于函数的图象与函数的图象的交点个数， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，函数与函数的图象至少有一个交点，A错误，B正确； 当直线与函数的图象相切，且切点不是时，有两个交点，C正确； 易知，函数的图象关于点成中心对称， 取，则的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD. 9．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】借助根的判别式与基本不等式计算即可得. 【详解】由题意知，，∴， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 10．（25-26高一上·安徽安庆·期末）定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 【答案】 【分析】根据已知关系式通过赋值求出，解方程得到零点. 【详解】令，则，解得， 令，得，解得， 所以， 由得或， 所以或（舍）， 解得， 故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $