专题32 周期性与对称性及其融合应用（十类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题32 周期性与对称性及其融合应用 （十类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用函数周期性求值 类型二、利用函数周期性求解析式 类型三、单个函数的周期性迭代 类型四、两个函数的周期性迭代 类型五、类周期函数及其应用 类型六、函数周期与零点融合问题 类型七、判断或证明函数的对称性 类型八、利用函数对称性求解析式 类型九、利用函数对称性求值（参数） 类型十、函数的对称性与单调性、奇偶性、周期性（融合） 压轴专练 类型一、利用函数周期性求值 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 【技巧方法】 可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值 例1．若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 变式1-1．函数和均为上的奇函数，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 变式1-2．已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 . 类型二、利用函数周期性求解析式 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 【技巧方法】 由周期函数图象研究函数的解析式只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”。 例2．已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，若当时，，则当时，=_________________． 变式2-2．设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ． 变式2-3．周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 类型三、单个函数的周期性迭代 函数周期性的判定： 周期函数f(x)满足的条件 周期 f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x) 2a f(x＋a)＝－ 2a f(x＋a)＝ 2a 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a| 奇函数，关于对称 关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称 4a 4a 【技巧方法】 周期函数单调区间的判别：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减） 例3．（多选）已知对于，，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 的周期为3 C. D. 变式3-1．已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 变式3-2．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（    ） A. B. C. D. 变式3-3．已知函数的定义域为，且，，则 . 类型四、两个函数的周期性迭代 【技巧方法】 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 例4．已知函数，的定义域均为，的函数图象关于对称，函数图象关于点对称，且，，则（    ） A. B. C. D. 变式4-1．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（    ） A．的周期为4 B． C． D． 变式4-3．已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则_______ 类型五、类周期函数及其应用 类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 注：函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质；类周期函数同样也具有这样的作用。 例5．定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是 ． 变式5-1．已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（  ） A． B． C． D． 变式5-2．设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．设函数的定义域为，且，，则 ． 变式5-4．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 . 类型六、函数周期与零点融合问题 利用周期函数图像及其性质研究函数零点或方程的根。 【技巧方法】 根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解. 例6．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-1．已知对任意的， 都有， 当时，，而 ，则方程的实数解的个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式6-2．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____. 类型七、判断或证明函数的对称性 轴对称的等价描述： （1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数） （2）关于轴对称 2、中心对称的等价描述： （1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数） （2）关于中心对称 （3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 【技巧方法】 ① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。 例7．（多选）已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 变式7-1．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是奇函数 C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象关于直线对称 变式7-2．已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（多选）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．为偶函数 类型八、利用函数对称性求解析式 【技巧方法】 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，可利用对称性求函数解析式， 例8．我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. (1)已知函数，求该函数图象的对称轴方程； (2)若函数的图象关于直线对称，且当时，. ①求的解析式； ②求不等式的解集. 变式8-1．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 变式8-2．已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 变式8-3．设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是 . 类型九、利用函数对称性求值（参数） 【技巧方法】 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，可利用对称性求得某些点的函数值。 例9．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 变式9-1．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 变式9-2．（多选）若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．存在实数使得 D． 变式9-3．设函数在上的图象的所有交点为，则_________ 类型十、函数的对称性与单调性、奇偶性、周期性（融合） 对称性与其他函数性质融合的作用： 最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像，在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 【技巧方法】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 例10．（多选）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 变式10-1．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．在区间上是增函数，且有最小值为 B．在区间上是减函数，且有最大值为 C．在区间上是增函数，且有最大值为 D．在区间上是减函数，且有最小值为 变式10-2．（多选）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 变式10-3．（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D． 变式10-4．已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 变式10-5．已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 1.函数的最小正周期为2，且.当时，，那么在区间上，函数的图象与函数的图象的交点个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2.函数的定义域为 ，且满足 ，若 ，则（    ） A． B． C．2 D．1 3.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 4.已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．在单调递增 D．有最小值 5.已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 6.（多选）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．，方程都有两个不等的实根 D．不等式恒成立 7.（多选）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 8.（多选）已知函数，则（ ） A. 当时，是增函数 B. 当时，的值域为 C. 当时，曲线关于点对称 D. 当时，，则 9.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则 . 10.已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则 ． 11.已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 12.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为_____________ 13.若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 14.已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题32 周期性与对称性及其融合应用 （十类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用函数周期性求值 类型二、利用函数周期性求解析式 类型三、单个函数的周期性迭代 类型四、两个函数的周期性迭代 类型五、类周期函数及其应用 类型六、函数周期与零点融合问题 类型七、判断或证明函数的对称性 类型八、利用函数对称性求解析式 类型九、利用函数对称性求值（参数） 类型十、函数的对称性与单调性、奇偶性、周期性（融合） 压轴专练 类型一、利用函数周期性求值 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 【技巧方法】 可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值 例1．若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 【答案】/0.125 【分析】由题设可得偶函数的周期为6，利用周期性求函数值即可. 【解析】由题设，即偶函数的周期为6， 所以. 故答案为： 变式1-1．函数和均为上的奇函数，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值. 【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故. 故选：A 变式1-2．已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 【解析】因为， 所以， 所以是周期为的周期函数， 所以． 又因为是上的奇函数，所以， 因为， 所以，所以． 故选：A． 变式1-3．已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则 . 【答案】 【分析】根据函数周期性和奇函数的基本性质化简原式求解即可. 【解析】因为，所以奇函数的周期为. 所以 故答案为: 类型二、利用函数周期性求解析式 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 【技巧方法】 由周期函数图象研究函数的解析式只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”。 例2．已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式． 【解析】令，则， ∵当时，有， ∴f（x+2）＝2x+2， ∵f（x+2）＝f（x）， ∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，． 故选：C． 变式2-1．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，若当时，，则当时，=_________________． 【答案】， 【分析】根据对称性与奇偶性得到，当，则，且，即可得解. 【解析】由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，有， 所以， 即是周期为的周期函数； 当时，，又是周期为的周期函数， 当，则， 所以， 所以，. 故答案为：，. 变式2-2．设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ． 【答案】 【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得，结合的范围以及已知条件，即可求得答案. 【解析】当时，，则， 因为当时，，所以． 因为是周期为2的奇函数， 所以， 故答案为： 变式2-3．周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 【答案】(1);(2)，，. 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期； （2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式. 【解析】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为. （2）解：当时，设，则，即； 当时，设，则，可得，即. 故当时，， 因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，， 对任意的，当时，， 则. 因此，函数的解析式为，，. 类型三、单个函数的周期性迭代 函数周期性的判定： 周期函数f(x)满足的条件 周期 f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x) 2a f(x＋a)＝－ 2a f(x＋a)＝ 2a 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a| 奇函数，关于对称 关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称 4a 4a 【技巧方法】 周期函数单调区间的判别：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减） 例3．（多选）已知对于，，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 的周期为3 C. D. 【答案】ACD 【分析】选项A，利用的对称性推导；选项B，通过递推式推导的周期；选项C，结合与的关系，利用的性质计算；选项D，利用的周期性计算前项和. 【解析】选项A，由，得关于对称，故. 由，得， 故为偶函数，A正确. 选项B，由，替换为得， 再替换为得. 联立得，故， 周期为6，B错误. 选项C，，令，得. 由，得. 由，得，故； 结合是偶函数，得，即， 故，. 因此，C正确. 选项D，周期为6，一个周期内和为. ，前2025项和为，D正确. 故选：ACD 变式3-1．已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【解析】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 故选：B 变式3-2．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，，以及，计算出的值，结合函数周期性可得出所求代数式的值. 【解析】因为是定义域为的奇函数，满足， 即，， 在等式中，用代替得， 所以， 故函数是周期为的周期函数，且， 对任意的，， 所以， 因为，所以 ， 故选：C. 变式3-3．已知函数的定义域为，且，，则 . 【答案】 【分析】利用赋值法，结合周期性求得正确答案. 【解析】依题意，，， 令得， 所以，则， ， 所以， 所以是周期为的周期函数. 令，则， ， ， ，所以， 因为，所以. 故答案为：0 类型四、两个函数的周期性迭代 【技巧方法】 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 例4．已知函数，的定义域均为，的函数图象关于对称，函数图象关于点对称，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【分析】根据已知条件判断为周期为4的偶函数，，然后根据已知等式逐项判断计算即可. 【解析】因为的函数图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称， 所以是偶函数，则，故A正确； 因为函数图象关于点对称，所以. 因为，所以，又， 所以，所以，所以. 所以函数的周期为4，所以. 因为，由得， 由及得. 所以，C错误； 因为，所以，又，，所以. 所以，B正确； 由可得，. 因为，所以，D正确. 故选：ABD. 变式4-1．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据函数奇偶性可得的图象关于点中心对称、的图象关于点中心对称，进而可知是以4为周期的周期函数．求出，，，，结合周期即可求解. 【解析】因为为奇函数，所以为奇函数， 所以，的图象关于点中心对称，． 因为为偶函数，所以，的图象关于直线对称． 由，得，则， 所以，所以的图象关于点中心对称． 因为的图象关于轴对称，所以，， 所以，即是以4为周期的周期函数． 因为，，所以，，，， 所以． 故选：D． 变式4-2．（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（    ） A．的周期为4 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【解析】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称； 所以 所以①， 而②，将两式相加得：， 则③，所以， 所以是的一个周期，故A正确； 对B、C、D：由A项知令，由③得，由①， 得，由②得， 则，所以，所以， 故D正确； 由①令，得，， 由，，得， 两式相减得， 即，且关于对称，， 所以④，所以， 所以是周期为的周期函数，所以，故B正确； 由④令，得，所以，所以，故C错误； 故选：ABD. 变式4-3．已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则_______ 【答案】2024 【分析】根据条件得到，从而得到的一个周期为，进而求得，即可求解. 【解析】因为是偶函数，所以 又，所以①， 又因为，所以②， 由①②得到③，所以④， 由③④得到，即，所以的一个周期为， 又，由，得到，且，， 所以，则， 故答案为：2024 类型五、类周期函数及其应用 类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 注：函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质；类周期函数同样也具有这样的作用。 例5．定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值. 【解析】由题设知，当时，，故， 同理：在上，， ∴当时，.函数的图象，如下图示： 在上，，解得或. 由图象知：当时，. 故答案为：. 变式5-1．已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设递推关系及，分析，应用赋值法求解. 【解析】由已知，， 令，则，即， 令，则，即， 又，即， 所以，，A，B选项错误； 又， ， 即，C选项错误； 又任意的，，当时，都有恒成立， 所以当时，为定值， 又，所以，D选项正确； 故选：D 变式5-2．已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数在上解析式，应用数形结合的方法求解. 【解析】当时,最大值为, 当时, 其最大值为, 当时,，在上是增函数,在上是减函数,, 当时,,最大值为, 当时, ,在上是增函数,在上是减函数, 又当时,的图像与直线有个交点,函数在区间上有个零点 故选：C 变式5-2．设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，作出的简图分析，应用数形结合的方法求解参数的最大值. 【解析】因为对称轴为，所以当时，的最小值为； 当时，，由知，，所以此时，其最小值为； 同理，当时，，其最小值为； 当时，的最小值为； 作出如简图，因为，要使， 则有.解得或， 要使对任意，都有，则实数的取值范围是. 故选:A. 变式5-3．设函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】512． 【分析】根据得，由可依次递推得到. 【解析】，， ，， ， ，， ，， ． 故答案为：512． 变式5-4．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，作出的简图分析，应用数形结合的方法求解参数的最大值. 【解析】由，得，得分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．，， 时，， 时，； 时，； 时，； 当时，由，解得或， 若对任意，都有，则． 故答案为：． 类型六、函数周期与零点融合问题 利用周期函数图像及其性质研究函数零点或方程的根。 【技巧方法】 根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解. 例6．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得函数的图象与的图象有3个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解. 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以时，， 又因为对任意的，都有， 所以，即， 又因为，即， 所以，所以，即函数以4为周期， 又由方程恰有3个不同的实数根， 得函数的图象与的图象有3个不同的交点， ， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 综上， 故选：D 变式6-1．已知对任意的， 都有， 当时，，而 ，则方程的实数解的个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】确定函数的周期为2，在同一坐标系中，作出的图象，再画出的图象，观察得出交点个数，即为方程解的个数． 【解析】对任意的，都有，所以函数的周期为2，又当时，， 在同一坐标系中作出的图象，再画出的图象， 观察可得交点个数为9，即方程的实数解的个数为9. 故选：B. 变式6-2．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析函数的性质，将零点问题转化为两个函数交点的问题，数形结合，列式运算即可. 【解析】因为，则函数关于直线对称， 又因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以为周期的周期函数， 又因为和，即， 故函数关于点对称， 令，即求方程的解， 原题等价于两个函数有3个交点， 且的定义域为， 如图所示， 则可得，解得. 故选：A. 变式6-3．已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案. 【解析】由题意知满足，故是以8为周期的函数， 结合，作出函数在上的图象，如图示： 因为， 故时，即或， 则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点， 由图象可知，和的图象有6个不同的交点， 则和的图象需有2个不同的交点，即， 故， 则实数的取值范围为， 故答案为： 类型七、判断或证明函数的对称性 轴对称的等价描述： （1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数） （2）关于轴对称 2、中心对称的等价描述： （1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数） （2）关于中心对称 （3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 【技巧方法】 ① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。 例7．（多选）已知函数，则下列叙述正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由的图像可以得出的性质，即可判断选项. 【解析】因为的图像如下图所示，由图像可知，的值域为，故A正确； 在区间上单调递减，在区间上单调递减，故B错误； 所以当时，，故D正确； 由图像可知，的图像关于点对称，所以，故C正确. 故选：ACD. 变式7-1．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是奇函数 C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象关于直线对称 【答案】D 【分析】对于A：直接求定义域即可；对于B：通过举反例来判断；对于C：利用复合函数的单调性规则来判断；对于D：通过计算可得. 【解析】对于A：由已知得，解得，即函数的定义域是，A错误； 对于B：，其定义域为， 又， 则，故函数不是奇函数，B错误； 对于C：， 对于函数，其在上单调递减，则由复合函数的单调性规则可得在上单调递增，C错误； 对于D： ， 即，故函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：D. 变式7-2．已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，且， 故函数为偶函数，图象关于轴对称， 函数的图象为函数的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数的图象关于直线对称， 而函数的图象为函数的图象向左平移1个单位长度得到， 故函数的图象关于直线对称，则可排除B,D选项； 又函数的图象关于直线对称， 因此函数的图象关于直线对称. 而又函数的图象关于点对称，故排除A选项. 故选：C. 变式7-3．（多选）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．为偶函数 【答案】AC 【解析】∵，则的图象关于直线对称，故A正确，B错误； ∵函数的图象关于直线对称，则，又， ∴，则， 即，∴函数的周期为8， 则，故C正确； ∵， 所以为奇函数，故D错误． 故选：AC. 类型八、利用函数对称性求解析式 【技巧方法】 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，可利用对称性求函数解析式， 例8．我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. (1)已知函数，求该函数图象的对称轴方程； (2)若函数的图象关于直线对称，且当时，. ①求的解析式； ②求不等式的解集. 【答案】(1)(2)①；②. 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义推导出函数为偶函数，即可得出结果； （2）①当时，可得出，即可得出函数的解析式； ②分析函数在上的单调性，由，可得出，不等式两边平方，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解析】（1）解：因为， 因为， 令，则该函数的定义域为， ， 所以，函数为偶函数， 因此，函数图象的对称轴方程为. （2）解：①因为函数的图象关于直线对称，且当时， 当时，，则， 所以，. ②当时，，因为函数、在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，则， 不等式两边平方可得，即，解得， 因此，不等式的解集为. 变式8-1．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】依题意关于直线对称的函数互为反函数，进而即可得到的解析式． 【解析】由于，解得，故它的反函数为. 再由函数的图像与的图像关于直线对称， 可得是函数的反函数，故， 所以． 故答案为． 变式8-2．已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】依题意得到，再代入化简，进而即可得到的解析式． 【解析】由是定义在R上的函数的对称轴，则， 又当时，， 则当时，即，则， 所以的解析式是． 故答案为：． 变式8-3．设函数的图象为，关于点对称的图象为，对应的函数为，则的解析式是 . 【答案】 【分析】设为上任意一点，然后求出点关于点的对称点，再将对称点的坐标代入化简可得答案. 【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为点在的图象上， 所以，解得， 所以， 故答案为： 类型九、利用函数对称性求值（参数） 【技巧方法】 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，可利用对称性求得某些点的函数值。 例9．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数定义域的对称性解得，再由特值法得的方程求解验证即可. 【解析】由题意知，且， 因为函数的图象关于直线对称， 则是方程的根， 故，解得，则. 又由得，,解得. 故，即， 验证：函数的定义域为，且， 且， 故函数的图象关于直线对称，满足题意. 则. 故选：B. 变式9-1．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【解析】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 故选：C 变式9-2．（多选）若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．存在实数使得 D． 【答案】AC 【分析】根据题意得，，从而结合各选项的要求和函数的性质逐项判断即可. 【解析】函数图象上任意一点关于对称点为， 所以，又可知. 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：当时，，即，故C正确； 对于D：由知，即，解得，故D错误. 故选：AC. 变式9-3．设函数在上的图象的所有交点为，则_________ 【答案】8 【分析】先判断出的图象的对称性，然后作出的图象，根据交点情况结合对称性可计算出结果. 【解析】因为，所以， 所以，所以的图象关于中心对称， 又因为， 所以的图象关于中心对称， 所以的图象交点也关于中心对称， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示， 由图象可知，的图象共有个交点，不妨设， 由图象的对称性可知，， 所以， 故答案为：8 类型十、函数的对称性与单调性、奇偶性、周期性（融合） 对称性与其他函数性质融合的作用： 最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像，在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 【技巧方法】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 例10．（多选）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抽象函数所满足的性质，可以推出的对称中心和对称轴，进一步求出其周期，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再结合图象可逐项判断解决问题. 【解析】因为为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称， 又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称， 将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象， 由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为， 对A，，故选项A正确； 对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误； 对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确； 对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点，再根据图象，可知函数与函数有5个交点，故选项D正确. 故选：ACD. 变式10-1．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．在区间上是增函数，且有最小值为 B．在区间上是减函数，且有最大值为 C．在区间上是增函数，且有最大值为 D．在区间上是减函数，且有最小值为 【答案】A 【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可. 【解析】因为为偶函数，所以①，且函数关于轴对称， 又为奇函数，所以②，且函数关于中心对称， 所以有， 即的一个周期为， 令代入②得，即， 令代入①得，所以， 解之得，所以，    如图所示，根据函数的对称性与周期性可知： 关于轴对称，关于中心对称，可得在区间的图象， 易知在区间上是增函数， 且有最小值为，故A正确，B错误； 在区间上是减函数， 且有最大值为，最小值为，故C，D都不正确． 故选：A 变式10-2．（多选）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由可判断A，根据平移变换得为奇函数判断B，由题干等量函数关系得判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D. 【解析】由知，故的图象关于点对称，A正确； 的图象由的图象向左平移一个单位得到， 故的图象关于点对称，即为奇函数，B错误； 由，知：， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 若，且，由的图象关于直线对称知， 平方化简得，解得，D正确. 故选：ACD 变式10-3．（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D． 【答案】AB 【分析】由奇函数及，取，即可判断A，结合奇函数即可判断B，结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD. 【解析】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又图象关于对称，则， 令，则，A正确； 由，得， 则，B正确 为奇函数，时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称， 则在区间上的单调性与在区间的单调性相反， 即在区间上单调递增，C错误； 则，则， 则周期为4，则在的单调性与在的单调性相同， 即在的单调递减，则，， 则，D错误. 故选：AB 变式10-4．已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】先根据题设条件得出函数的对称性和单调性，再利用这两个函数性质进行函数值比较以及解抽象不等式. 【解析】根据题意，函数对，都有， 则函数的图象关于直线对称，又任取， 则在区间上为减函数，在上为增函数． 对于A，，则有，A正确； 对于B，在区间上为减函数，在上为增函数，故在时取得最大值， 即对，B正确； 对于C，在区间上为减函数，又， 则，C错误； 对于D，若，因函数的图象关于直线对称，且在上为增函数，在区间上为减函数， 则有或，解得或，D错误． 故选：AB. 变式10-5．已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 【答案】（1）在上单调递减， ；（2）（i）4（ii）7 【分析】（1）先判断函数的单调性，进而求出值域. （2）（i）构造函数，判断该函数的对称轴，从而证明结论；（ii）根据（i）中的结论列出的表达式，进而可化简所求式子，最后根据二次函数的性质求出最大值即可. 【解析】（1）若， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故，值域为. （2）（i）证明：， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，即. 显然有，由 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：， （ii）由得：，由（i）得：， 于是，令 当且仅当时等号成立，故的最大值为7. 1.函数的最小正周期为2，且.当时，，那么在区间上，函数的图象与函数的图象的交点个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】结合函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可判断. 【解析】解：由题意可知，函数周期为2，且为偶函数，函数为偶函数， 在同一个坐标系中作出它们在[-3,4]上的图象如下，可得交点个数为6， 故选：C. 2.函数的定义域为 ，且满足 ，若 ，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据，可得,，然后推出是周期为4的周期函数，且 ，进而求解结果. 【解析】由， 可知，， 易得 ，所以 ， 即 ， 又 ，易得 ， 又 ，则 ， 所以 是周期为4的周期函数，且 ， 综上， , ， 所以 . 故选：A 3.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式易判断其在上的单调性，利用奇偶函数的定义判断的奇偶性，从而得到函数在上单调递增，结合函数的奇偶性和在与上的单调性，分别判断各选项即得. 【解析】易知函数的定义域均为．当时，易得函数在上单调递增， 又，所以为奇函数， 易知，所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减． 对于选项A：因为，所以是奇函数，所以A错误； 对于选项B：因为，所以是偶函数，所以B错误； 对于选项C：因为，所以，所以C错误； 对于选项D：因为所以，所以D正确． 故选：D. 4.已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．在单调递增 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函数的性质可确定A、D. 【解析】对于BC，由题意可知：， 显然的图象不关于对称，而，故B、C错误； 对于D，若为有理数，则，显然，函数无最小值，故D错误； 对于A，若是有理数，即互质，则也互质，即， 若为无理数，则也为无理数，即， 所以的图象关于对称，故A正确. 下证：互质，则也互质. 反证法：若互质，不互质，不妨设， 则，此时与假设矛盾，所以也互质. 故选：A 5.已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】D 【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值. 【解析】函数满足，则函数的图像关于点对称， 函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称， 与的图象的8个交点，也两两关于点对称， 则. 故选：D 6.（多选）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．，方程都有两个不等的实根 D．不等式恒成立 【答案】ABD 【分析】利用反例可以判断A,B,D，结合函数值域可判断C. 【解析】因为，，所以A不正确； 若函数的图象关于直线对称，则，而， 所以函数的图象不关于直线对称，B不正确； 当时，，此时的值域为； 当时，，此时的值域为； 简图如下： 所以，方程都有两个不等的实根，C正确； ，显然，所以D不正确. 故选：ABD 7.（多选）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可. 【解析】若的图象的对称轴方程为，则； 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，，， 即不恒成立，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD. 8.（多选）已知函数，则（ ） A. 当时，是增函数 B. 当时，的值域为 C. 当时，曲线关于点对称 D. 当时，，则 【答案】ACD 【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D. 【解析】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 9.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则 . 【答案】0 【分析】先求出当时，，然后结合函数奇偶性变形，再利用时的解析式计算即可. 【解析】当时，， 又函数是定义在上的偶函数 所以 . 故答案为：0. 10.已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则 ． 【答案】0 【分析】根据为奇函数，为偶函数可得函数为周期为4的周期函数，进而可得，利用周期性即可求解. 【解析】为奇函数，为偶函数， ，即， 即为周期函数，且周期为4， ，， ，，， ． 故答案为：0 11.已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【解析】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 12.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为_____________ 【答案】32 【分析】根据函数为奇函数及推理可得出函数的周期、对称中心，根据零点定义转化为方程解的关系，结合图象以及对称性即可求解. 【解析】依题意函数为定义在上的奇函数，所以， 又，所以函数关于轴对称，且， 所以，即， 所以，所以函数是周期为4的周期函数， 且函数的图象关于中心对称； 令，得， 由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称， 又当时，，结合对称性和周期性作出函数和的图象， 如图所示， 由图可知，函数和的图象有8个交点，且交点关于中心对称， 所以函数在区间上所有零点之和为. 故答案为：32 13.若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 【答案】(1)直线；(2)对称中心为点，证明见解析；(3)对称中心为，理由见解析 【分析】（1）根据二次函数的性质即可知道函数图象的对称轴； （2）（3）根据题目所给推广知识设出函数图像的对称中心，代入求解即可求得对称中心. 【解析】（1）函数图象的对称轴为直线. （2）函数图象的对称中心为点，证明如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数， 故有，即，故. 又，代入化简得， 即对任意的恒成立， ，解得. 故函数图象的对称中心为点. （3）关于成中心对称.原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即， 即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立， 故，， 即. 综上所述，图象的对称中心为. 14.已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3) 【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解； （2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式； （3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解. 【解析】（1）由题意可得：， 则，解得，则， 故使得成立的x的取值集合. （2）∵，即，则， ∴为周期为4的周期函数， 又∵是定义在R上的奇函数，则，即， 当时，则，故； 又∵是定义在R上的奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则，故； 综上所述：当时，则. （3）对于， 令，则的对称轴为， 故当时，取到最大值，故当时，取到最小值， 故， 由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且， 故当时，则的最大值为， 又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为， ∴的最大值为，则对任意恒成立， 又∵，当且仅当，即时等号成立，则有： 当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $