专题26 几何压轴综合（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦山东中考几何压轴题，汇编2024-2026年真题及模拟题，覆盖对称、旋转、相似、几何与函数四大核心考点，突出动态探究与多定理综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约20题/4-12分|对称（折叠/动点轨迹）、旋转（全等/分类讨论）、相似（模型构造）、几何与函数（动态建模）|分层设计（基础探究→创新应用），情境真实（折纸/最小覆盖圆），贴合2025-2026年从单一性质到多定理联动的命题趋势|

专题26 几何压轴综合 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 对称 2026 山东统考 / 烟台卷、2025 淄博 / 东营卷、2024 济南 / 淄博卷 多作为几何压轴题的基础背景载体，分值 4-6 分。早年以折叠、轴对称的基础性质推导为主，常结合矩形、正方形设题。2025 年起升级为对称变换下的线段最值、角度定值探究；2026 统考后融入动点轨迹、隐圆模型，从单一性质应用转向对称转化 + 多定理联动的综合探究，对转化思想与辅助线构造要求逐年提升，是压轴题的核心变换工具。 考点02旋转 2026 山东统考 / 烟台卷、2025 德州 / 烟台 / 淄博卷、2024 青岛 / 泰安卷 是几何压轴题的核心命题背景，分值 6-10 分。早年以正方形、等边三角形内旋转全等为基础模型，侧重线段等量关系推导。2025 年拓展至旋转最值、半角模型分层探究，新增分类讨论设问；2026 统考后固定为几何解答压轴的分层结构，结合相似、三角函数综合拓展，从全等证明转向动态旋转下的存在性与最值探究，对分类讨论与几何推理能力要求大幅提升。 考点03相似 2026 山东统考 / 烟台卷、2025 德州 / 滨州卷、2024 德州 / 东营卷 是几何压轴的核心计算工具，分值 4-8 分。早年以直接相似判定求边长为主，常嵌入三角形、四边形背景。2025 年起成为旋转、折叠探究题的核心推导环节，需构造相似转化线段比例；2026 统考后深度融合圆、三角函数，作为压轴题的关键得分步骤，从孤立判定考查转向复杂几何背景下的构造应用，对模型识别与逻辑链条完整性要求显著提升。 考点04几何与函数 2026 山东统考 / 德州卷、2025 东营 / 济南卷、2024 烟台 / 日照卷 为全卷压轴核心题型，分值 10-12 分。早年以动点生成的面积函数图像判断为主，侧重基础数形结合。2025 年升级为几何动点轨迹与函数解析式结合的最值探究；2026 统考后形成 “几何变换 + 函数建模 + 存在性探究” 的固定结构，融合二次函数、相似、三角函数，对动态分析与代数建模能力要求极高，是拉开分差的核心考点，难度与综合性逐年递增。 考点01 对称 一、解答题 1．（2025·山东东营·中考真题）     （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）； （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）略 （3）略 2．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 【答案】（1）（2）或（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形，边长为4， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵折叠， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 综上：或； （3）连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，利用轴对称解决线段和最短问题等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点位置，是解题的关键． 3．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②； （3）线段的最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 4．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 【答案】 （1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下： 四边形是矩形， 由第一步操作根据折叠性质可知： 四边形为矩形， 又 四边形为正方形， 故甲同学的结论正确； 作于点M， 四边形为正方形， 设， 由第二步操作根据折叠性质可知：， 在中， 在中，, 故乙同学的结论正确； （2）证明：作交于点R，如图所示： 为折痕,      四边形为矩形， 在和中， 又 由折叠性质可知： 四边形为菱形， 即 在和中， 【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握相关的性质定理， （1）先证明四边形为矩形，再根据即可证明四边形为正方形，设，由折叠性质可知：，，再根据等腰直角三角形的性质分别求出，，即可得出，进而可得出结论； （2）作交于点R，利用证明，得出，再证明四边形为菱形，得出，进而证明，再根据证明，得出，进而证明，即可得出结论 【详解】（1）略 （2）略 考点02 旋转 一、解答题 1．（2026·山东·中考真题）在中，，． 【观察与发现】 (1)如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 (2)如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； (3)或2 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，根据，即可得出答案； （3）延长，并取点N，使，过点G作于点M，根据中位线的性质得出，，设，则，，，解直角三角形求出，，根据勾股定理得出：，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，并取点N，使，过点G作于点M，如图所示： 则， ∵， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，， ∴或2． 2．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】 ∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：略 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①略 ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 4．（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）90；； （2）①（1）中的结论仍然成立，证明： ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）①略 ②在中，∵，，， ∴， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】(1)证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； (2)①； ②证明： ∵， ， ， ． 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②略 考点03 相似 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）【尝试发现】 (1)如图1，，．当点 ， 分别在边和 上时，的值是__________； 【变式探究】 (2)如图2，将（1）中的 绕点 按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接 ，， 与交于点 ， 与的延长线交于点 ． ①求的值； ②写出 和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形 中， ， ，点 在边上且，连接． 是直线上的动点，作，连接， ． ①当点 在线段 的延长线上，且时，求的长； ②当的长度最小时，直接写出此时的长． 【答案】(1) (2)①； ②，证明如下： 连接 ， ， 由①得， ∴，即， ∴点 、 、 、 四点共圆， ∴； (3)①；② 【分析】（1）由相似三角形的性质可得，从而可得，，再结合，，计算即可得出结果； （2）①由相似三角形的性质可得， ，从而得出，，再证明，即可得出结果；②连接 ，由①得，由相似三角形的性质得出，即点 、 、 、 四点共圆，最后再由圆周角定理即可得证； （3）①由矩形的性质得 ，由勾股定理得，由相似三角形的性质得，，，证明点 、 、 、 四点共圆，求出，从而可得，由正切的定义得出，设，则，结合勾股定理求出，从而可得，即可得出结果；②由主动点 在直线上，得出点 在直线 上运动，当时，的长度最小，为，此时点 在处，由①得，结合正切的定义得出，设，则， 由勾股定理求得，，作于 ，由等面积法得出，再证明，由相似三角形的性质计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵点 ， 分别在边和 上， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略； （3）解：①∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴，，， ∵点 在线段 的延长线上， ∴， ∴点 、 、 、 四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴； ②∵主动点 在直线上， ∴从动点 必须在某一直线上， ∵当点 在点 时，点 在点 的位置， ∴点 在直线 上运动， 当时，的长度最小，为，此时点 在处， 由①得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得（负值不符合题意舍去）， ∴，， 作于 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上所述，当的长度最小时，此时的长为． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（） 设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）略 （）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3） 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 考点04 几何与函数 一、解答题 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点A在线段的垂直平分线上 (2) (3)存在使 【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可； （2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可； （3）过点P作于G，解，得到，，则，进而得到；再解得到，由对称性可得，解得到，由平行线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，∵ ， ∴， 如图②所示，由题意得，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点A在线段的垂直平分线上； （2）解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作于G， 由（2）可知， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∵， ∴符合题意； 综上所述，存在使． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． (1)求证：； (2)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求为何值时，线段的长度最短． 【答案】(1)证明：设与相交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)； (3)． 【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； （）过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由，可得自变量的取值范围； （）证明为等边三角形，可得，可知线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，又由菱形的性质可得为等边三角形，利用三线合一求出即可求解； 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，线段的长度最短． 一、解答题 1．（2026·山东泰安·三模）如图（1），四边形是平行四边形，过点A的直线m经过点C．． (1)请直接写出、的数量关系； (2)如图（2），将绕点A逆时针方向旋转，作，此时、、有怎样的数量关系？并说明理由； (3)将绕点A顺时针方向旋转，，如图（3），点M为中点，，请直接写出点M到直线m的距离． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下： 如图，过点作于点， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ，即； (3)或． 【分析】（1）证明即可解答； （2）过点作于点，证明，证明四边形为矩形，利用线段等量代换即可解答； （3）分情况讨论，当点到达直线之前或当点到达直线之后，分别画图，利用全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，进行解答． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：当点到达直线之前，如图，过点作，交的延长线于点，取的中点，连接， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 分别为的中点， ， ， ， 点到直线的距离为； 当点到达直线之后，如图，过点作，交于点，取的中点，连接， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 分别为的中点， ， ， ， 点到直线的距离为； 综上，点到直线的距离为或． 2．（2026·山东泰安·三模）如图，等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交直线于点F． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，当三点共线时，连接，点G为中点，连接，过点G作于点H，请猜想的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，点D在边上运动时，点P为线段上一点，点Q为线段上一点，连接，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积． 【答案】(1)； (2) ； 证明：连接，延长至点Q使得，连接，如图2， 点G为中点， ， 在和中， ， ， 将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ， 三点共线， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)． 【分析】（1）过点F作于点H，根据旋转的性质及等边三角形的性质在和中，解直角三角形，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）连接，延长至点Q使得，连接，证明，旋转，结合等边对等角，求出 ，三线合一得到垂直平分，进而得到，证明，得到，为含角的直角三角形，进而求出，线段的和差关系求出； （3）延长至点F，使，证明，从而推出，得到点E在直线上运动，垂线段最短，得到时最短，得到此时三点共线，结合（2）中结论得到，将绕点A旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到当三点共线时，有最小值，求出的长，进而确定的位置，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 过点F作于点H， 将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）略． （3）解：延长至点F，使，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E在直线上运动， 当时，最小， 此时， ， 当最小时，点三点共线， 由（2）可知，此时D为中点， ， ， 如图4，将绕点A旋转，得到，连接， 则， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，有最小值， 过点P作， ， ， ， ， ， ． 如图5，当以及均最小时，位置如图， 则 ， 过点C作，则，， ． 3．（2026·山东济南·三模）【问题发现与证明】 如图1，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．将绕点顺时针旋转，得到，可证：．请完成下面的问题． (1)______； (2)求证：． (3)【问题拓展与应用】某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图2所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 【答案】(1) (2)证明：四边形为正方形， ，， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ，， ，，， ∴，即G、B、E共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3)需要投入元资金 【分析】（1）由旋转性质可得答案； （2）先由正方形的性质得到，，再由旋转性质得到，，，则可得G、B、E共线，证明，得到，进而可得答案； （3）在上截取，连接并延长使，连接，过作，交延长线于点，先证明为等边三角形得，，证明得到，，，再证明得到，，设，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，过点作于点，于点，利用角平分线的性质定理得到，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得， ∴； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接并延长使，连接，过作，交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，， ∴， 为中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ，， ， ，， 设，则， ， ， ， 在中，， ， ，， 在中，由勾股定理得， 解得， 过点作于点，于点， ， 在中，，， ，则， ， （平方米）， 需投入的资金为：（元）， 答：该公园种植郁金香需要投入元资金． 4．（2026·山东日照·三模）综合实践：如图1，在中，，，，点D、分别在边、上，且，的形状保持不变． (1)问题发现 ①与数量关系是_____；②与位置关系是_____； (2)拓展探究 如图2，判断与数量关系是否变化并给出证明； (3)问题解决 ①如图3，点在内部，若、、三点共线，且，求线段的长； ②如图4，点在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)与数量关系不变化，， 证明：∵的形状保持不变， ∴由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)①；② 【分析】（1）①根据得出，根据相似三角形点性质即可得出； ②根据，点D、分别在边、上即可得出； （2）根据，，结合角的和差关系得出，，即可证明，得出，可得与数量关系不变化， （3）①由得出，利用三角形内角和定理得出，利用勾股定理求出，根据，结合得出，利用勾股定理，列方程求出的长即可； ②过点作，交于，则，根据，，可证明，根据相似三角形的性质求出，由得出点在以为直径的圆上运动（一段圆弧），设圆心为，连接，可得当时，的面积最大，此时，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ②∵，点D、分别在边、上， ∴． （2）解：略 （3）解：①如图，设、交于点， 由（2）可知，， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． ②如图，过点作，交于，则， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上运动（一段圆弧），设圆心为，连接， ∴当时，的面积最大，此时，，， ∴． 5．（2026·山东济南·二模）特例研究：在正方形中，，相交于点O． (1)如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究： (3)如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的值与无关，理由如下： 由旋转的性质，可得， 由菱形的性质，可得， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ， 如图，过点 O作于 ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴的值与无关． 【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的性质和判定解题； （2）根据题意得到 ，进一步证明，结合相似三角形的性质解题； （3）证明，得到 ，过点 O作 于 ，根据含的直角三角形的性质和勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵四边形 是正方形， ∴， ， ， ∴ ， ∵绕点A逆时针旋转，旋转角为 ，并放大得到， ∴，； （2）解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵绕点A逆时针旋转，旋转角为 ，并放大得到， ∴ ， ∴， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴； （3）略． 6．（2026·山东枣庄·模拟预测）【问题情境】 如图，在中，，，．点D是边的三等分点（），过点D作于点E，得到．将绕点D顺时针旋转β度（）得到，且点E在旋转一周的过程中形成．设边所在的直线与直线相交于点F． 【问题初探】 (1)连接，求证：平分； (2)若以D，E，F，M为顶点的四边形是正方形，求的长． 【深入探究】 (3)①连接，若直线与相切，请求出此时的长； ②连接，请直接写出线段长的最小值． 【答案】(1)证明：如图，连接， ， ， 由旋转得，， 在和中，， ， ， 即平分； (2)或 (3)①或；② 【分析】（1）连接，由旋转得，，证明，推出即可； （2）用三角函数解和，求出和，当以D，E，F，M为顶点的四边形是正方形时，，分点F在点E左侧、右侧两种情况，分别求解； （3）①当直线与相切时，分点M在下方与上方两种情况，同（1）证明，推出，利用勾股定理解即可；②点C，M，D三点共线且点M在点C，D中间时，取最小值． 【详解】（1）略 （2）解：中，，，， ， 点D是边的三等分点（）， ，， ， ，， 当以D，E，F，M为顶点的四边形是正方形时，， 分两种情况： 当点F在点E左侧时，， 当点F在点E右侧时，， 即的长为或； （3）解：①当直线与相切时，分两种情况： 当点M在下方时，如图： 与相切， ， ，， ， 由旋转得， ，即点A，M，N，F在同一直线上， 同（1）可证， ， 设， 则，， 中， ，， ， 在中，， ， 解得， ； 当点M在上方时，如图：    同理可得，， 设， 则，， 在中，， ， 解得， ； 综上可得，此时的长为或； ②连接， 在中，， ， ， 当点C，M，D三点共线且点M在点C，D中间时，取最小值，如图： 此时， 即的最小值为． 7．（2026·山东枣庄·三模）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图①）． 操作1：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点． 【初步感知】 (1)在图①中，若与交于点，连接，可判断四边形的形状是________；若正方形的边长为4，则四边形的周长为________．（直接写出答案） 【方法探究】 (2)请你利用图①证明：为边的三等分点，即． 【拓展应用】 (3)若为正方形纸片的边上的一个三等分点（如图②，），，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考：为边的几等分点？试通过计算加以说明． (4)小顾把正方形纸片换成如图③所示的矩形纸片，左右对折后，再重复“问题背景”中操作2的折纸过程，她发现点恰好是边靠近点的三等分点．请你帮她算出该矩形的长与宽之比________．（直接写出答案） 【答案】(1)菱形；10； (2)证明：设正方形的边长为1，，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， ∴，， 由折叠以及正方形可知：， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， ∴； (3)点为边的中点． 设正方形的边长为1，，则，， ， ，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， ， 同理可得， ∴， 则， 解得， 为边的中点； (4) 【分析】（1）由折叠知，，四边形是矩形，则，从而得，则可得，从而得四边形是平行四边形，进而得四边形是菱形；然后设，则，再对运用勾股定理求解即可； （2）设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明∽，由相似三角形的性质求得的长，即可求得的长，从而证得； （3）设正方形的边长为1，，则，，求出，，在中，由勾股定理求出，则，再由，求出，即可求解； （4）由题意可设，，，则，同理可得，可求，则，对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 由题意得，，，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得， ∴菱形的周长为； （2）略 （3）略 （4）解：由题意可设，，，则，，则， 同理可得，， ∴， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 整理得， 解得（舍负） 经检验，是原方程的解， ∴． 8．（2026·山东临沂·二模）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一：将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请判断四边形是什么特殊四边形？ (2)动手操作二：为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2，其中，． ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三：大家在第三张卡纸的一边上任取动点，始终沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接．如图3，，．当线段长度取得最小值时，求此时的长． 【答案】(1)四边形是菱形； (2)解：①位置关系：，理由如下： 连接交于点，如图， 由翻折可知：垂直平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即； ②线段的长为； (3)的长为 【分析】（1）连接，，设与交于点，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②根据①可求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）连接，由勾股定理可得，，得出当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：②由①可知：，， 在矩形纸片中，，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， 在矩形中，，， ∴， ∵， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小， 此时， 设，则， 由翻折可知，，， ∴ 解得， 即． 【点睛】本题核心是折叠问题的全等不变性，学会利用折叠必产生全等三角形，折痕是对应点连线的垂直平分线；线段长度计算优先勾股定理，斜边上的高用等面积法等性质解题．常见错误为忽略折叠后直角的传递，误判最值时三点共线的位置，列方程时混淆线段对应关系． 9．（2026·山东日照·三模）综合与实践 (1)【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； (2)【深入探究】如图②，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接．过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； (3)【学以致用】如图③，梯形ABCD中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 【答案】(1) (2)解：， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，，， ∴；， ∴； ∴； ∴， ∴， 过点F作于点G，取的中点H，连接， , 根据直角三角形的性质，得， ， 故当F，H，G三点共线时，取得最大值， ，， 四边形是矩形， ， ， 故点F到的距离的最大值为5； (3) 【分析】（1）利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明即可； （2）利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明即可，利用垂线段最短求解即可； （3）仿照（2）的解答，利用三角形相似，圆的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 过点F作于点G，取的中点H，连接， , 根据直角三角形的性质，得， ， 故当F，H，G三点共线时，取得最大值， ，， 四边形是矩形， ， ， 故点F到的距离的最大值为5； （3）解：梯形中，，，，，点E是线段的中点， ，， ， ， ， ， ， 在上截取，过点E作，过点Q作，二线交于点P, 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ∴， ∴； ∴； ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上，且圆的半径为，记圆心为O， 过点G作于点N，交于点M， ，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 当最大，且时，，此时最小，此时的面积最小， 此时点N与圆心O重合， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 10．（2026·山东日照·二模）综合与探究 在一次数学课上，老师给出了一道问题的一部分，在等腰中，，，点D是直线上一个动点．连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．请同学们在此基础上，添加条件，并提出问题、解决问题． (1)【观察证明】小明组的同学添加的条件是：如图1，令，，连接，观察发现一个结论：，，请证明这一结论； (2)【探索发现】小亮组的同学在（1）的基础上提出了一个新问题：当时，的长为多少？请写出解答过程． (3)【拓展应用】经过前面的讨论，老师提出一个思考问题，如图2，令，，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：由题意得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； (2)解：的长为或； 当点在线段延长线上时， 由题意得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上：当时，的长为或； (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质以及已知条件证明，再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质证明即可； （2）先由勾股定理求解，然后求出，再分两种情况求解即可； （3）先证明为等边三角形，则，，然后证明，再分两种情况讨论，利用锐角三角函数和勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， 当点在线段上时， 由旋转可得，， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ 设 ∴， ∵ ∴， 解得，（舍去）， ∴； 当点在线段延长线上时， 由旋转可得，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴ 设 ∴， ∵ ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上：的长为或． 11．（2026·山东淄博·二模）【尺规作图】：小强同学在学习了三角形的中线后，知道“三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分”． (1)如图1，在中，请用尺规作出过顶点A且平分面积的直线（点D在边上）；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【学以致用】： (2)小强同学在后来又学习了平行四边形的相关性质后，借助“平行线之间的距离处处相等”，对图形面积的等分问题有了更深入的理解． 如图2，在中，已知，，，P是边上的一点，且．请用尺规作出过点P且平分面积的直线（点D在边上），并求的长；（尺规作图只保留作图痕迹，不要求写作法） 【用以致学】： (3)小强在以上深刻理解的基础上，继续深入思考． 如图3，在中，已知，，过点B作，连接，使，P为四边形的边的中点． ①请画出过点P且平分四边形面积的直线（点D在边上）；（无需尺规作图，只需根据（2）中已完成的作图，画出直线平分四边形面积的草图即可） ②连接，问的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出当的面积最大时的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求， ； (2)解：如图，点D即为所求， ，的长为 (3)①如图，直线即为所求， ； ②存在，当的面积最大时的四边形的面积为102 【分析】（1）作的垂直平分线，交于D，作直线即可； （2）连接，过A作的平行线，交的延长线于M，作线段的垂直平分线，交于D，作直线即可；过A作于E，在中，解直角三角形求出，，在中，解直角三角形求出，，，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解； （3）过E作的平行线，交的延长线于M，过A作的平行线，交的延长线于N，作线段的垂直平分线，交于D，作直线即可；取中点H，过H作，且，连接，则，，根据勾股定理求出，根据正切定义求出，则，根据三线合一的性质可得出，则点A在以J为圆心，5为半径的圆上运动，过B作，且，连接，，过I作于G，证明，求出，则点E在以I为圆心，10为半径的圆上运动，故当E、I、G三点共线，且G在的延长线时，最大，则的面积最大，证明，求出，，根据勾股定理求出，进而求出，过A作于K，同理可证，则，然后根据四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：作图略， 过A作于E， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由作图知：点D是中点， ∴； （3）解：①略； ②如图，取中点H，过H作，且，连接，则，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A在以J为圆心，5为半径的圆上运动， ∴ 过B作，且，连接，，过I作于G， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴点E在以I为圆心，10为半径的圆上运动， ∴当E、I、G三点共线，且G在的延长线时，最大，则的面积最大， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过A作于K， 同理可证， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积． 12．（2026·山东青岛·三模）如图①，在矩形中，，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒（）． (1)当t为何值时，？ (2)当时，设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． (3)存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2) (3)存在， (4)存在， 【分析】（1）利用矩形性质，以及勾股定理求出，根据题意得到,,证明，利用相似三角形性质求出，再根据建立方程求解，即可解题； （2）根据矩形性质证明，过点作于点，结合矩形的性质和判定，以及相似三角形性质，分别表示出，再根据整理出S关于t的函数表达式即可； （3）过点作的平行线，平行线交于点，交于点，结合矩形性质证明四边形为矩形，进而推出，再证明四边形为矩形，结合（2）推出,最后根据相似三角形性质求解，即可解题； （4）由（2）， （3）推出,根据线段中点特点推出，利用矩形性质证明，利用相似三角形性质求出,再证明，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ，， ， 运动时间是t秒， ， ， ， ， ,即， 整理得， ， ， 解得； （2）解：四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 过点作于点， ,， ， ， 四边形为矩形， ,， ， ， 解得， ； （3）存在， 过点作的平行线，平行线交于点，交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 同理可证，四边形为矩形， 结合（2）可知，，， ，， ， 解得； （4）存在， 由（2）， （3）可知，，，，， ， M是的中点，N是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 经检验，是该方程的解， 当时，M，N，P三点共线． 13．（2026·山东潍坊·二模）如图①，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接．将沿翻折得到，射线交射线于点． 【问题初探】 (1)求证：是等腰三角形； 【综合探究】 (2)当点恰好落在矩形的对称轴上时，求此时线段的长； 【深度思考】 (3)如图②，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）由翻折和矩形的性质，可得，则是等腰三角形； （2）作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，分点在矩形内部、外部两种情况分别求出线段的长； （3）在上取，可证，可得，由两点之间直线最短可得的最小值． 【详解】（1）证明：将沿翻折得到， ． 四边形是矩形， ． ． ． ． 是等腰三角形． （2）解：作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，且在矩形内部时，如图 四边形是矩形， ，． ，， ． 点恰好落在矩形的对称轴上时， 、E、C在同一条直线上． ， ． ． 将沿翻折得到， ． ． 作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，且在矩形外部时，如图 ，． 四边形是矩形， ，． 将沿翻折得到， ．，． ． ， ． ． ． ． 综上，线段的长或． （3）解：在上取， 四边形是矩形，将沿翻折得到， ． ，， ． ， ． ． ． ，， ． ， 的最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26 几何压轴综合 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 对称 2026 山东统考 / 烟台卷、2025 淄博 / 东营卷、2024 济南 / 淄博卷 多作为几何压轴题的基础背景载体，分值 4-6 分。早年以折叠、轴对称的基础性质推导为主，常结合矩形、正方形设题。2025 年起升级为对称变换下的线段最值、角度定值探究；2026 统考后融入动点轨迹、隐圆模型，从单一性质应用转向对称转化 + 多定理联动的综合探究，对转化思想与辅助线构造要求逐年提升，是压轴题的核心变换工具。 考点02旋转 2026 山东统考 / 烟台卷、2025 德州 / 烟台 / 淄博卷、2024 青岛 / 泰安卷 是几何压轴题的核心命题背景，分值 6-10 分。早年以正方形、等边三角形内旋转全等为基础模型，侧重线段等量关系推导。2025 年拓展至旋转最值、半角模型分层探究，新增分类讨论设问；2026 统考后固定为几何解答压轴的分层结构，结合相似、三角函数综合拓展，从全等证明转向动态旋转下的存在性与最值探究，对分类讨论与几何推理能力要求大幅提升。 考点03相似 2026 山东统考 / 烟台卷、2025 德州 / 滨州卷、2024 德州 / 东营卷 是几何压轴的核心计算工具，分值 4-8 分。早年以直接相似判定求边长为主，常嵌入三角形、四边形背景。2025 年起成为旋转、折叠探究题的核心推导环节，需构造相似转化线段比例；2026 统考后深度融合圆、三角函数，作为压轴题的关键得分步骤，从孤立判定考查转向复杂几何背景下的构造应用，对模型识别与逻辑链条完整性要求显著提升。 考点04几何与函数 2026 山东统考 / 德州卷、2025 东营 / 济南卷、2024 烟台 / 日照卷 为全卷压轴核心题型，分值 10-12 分。早年以动点生成的面积函数图像判断为主，侧重基础数形结合。2025 年升级为几何动点轨迹与函数解析式结合的最值探究；2026 统考后形成 “几何变换 + 函数建模 + 存在性探究” 的固定结构，融合二次函数、相似、三角函数，对动态分析与代数建模能力要求极高，是拉开分差的核心考点，难度与综合性逐年递增。 考点01 对称 一、解答题 1．（2025·山东东营·中考真题）     （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 2．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 3．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 4．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 考点02 旋转 一、解答题 1．（2026·山东·中考真题）在中，，． 【观察与发现】 (1)如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 (2)如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度． 2．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 4．（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 考点03 相似 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）【尝试发现】 (1)如图1，，．当点 ， 分别在边和 上时，的值是__________； 【变式探究】 (2)如图2，将（1）中的 绕点 按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接 ，， 与交于点 ， 与的延长线交于点 ． ①求的值； ②写出 和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形 中， ， ，点 在边上且，连接． 是直线上的动点，作，连接， ． ①当点 在线段 的延长线上，且时，求的长； ②当的长度最小时，直接写出此时的长． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 考点04 几何与函数 一、解答题 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． (1)求证：； (2)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求为何值时，线段的长度最短． 一、解答题 1．（2026·山东泰安·三模）如图（1），四边形是平行四边形，过点A的直线m经过点C．． (1)请直接写出、的数量关系； (2)如图（2），将绕点A逆时针方向旋转，作，此时、、有怎样的数量关系？并说明理由； (3)将绕点A顺时针方向旋转，，如图（3），点M为中点，，请直接写出点M到直线m的距离． 2．（2026·山东泰安·三模）如图，等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交直线于点F． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，当三点共线时，连接，点G为中点，连接，过点G作于点H，请猜想的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，点D在边上运动时，点P为线段上一点，点Q为线段上一点，连接，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积． 3．（2026·山东济南·三模）【问题发现与证明】 如图1，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．将绕点顺时针旋转，得到，可证：．请完成下面的问题． (1)______； (2)求证：． (3)【问题拓展与应用】某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图2所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 4．（2026·山东日照·三模）综合实践：如图1，在中，，，，点D、分别在边、上，且，的形状保持不变． (1)问题发现 ①与数量关系是_____；②与位置关系是_____； (2)拓展探究 如图2，判断与数量关系是否变化并给出证明； (3)问题解决 ①如图3，点在内部，若、、三点共线，且，求线段的长； ②如图4，点在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大时，请直接写出线段的长． 5．（2026·山东济南·二模）特例研究：在正方形中，，相交于点O． (1)如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究： (3)如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 6．（2026·山东枣庄·模拟预测）【问题情境】 如图，在中，，，．点D是边的三等分点（），过点D作于点E，得到．将绕点D顺时针旋转β度（）得到，且点E在旋转一周的过程中形成．设边所在的直线与直线相交于点F． 【问题初探】 (1)连接，求证：平分； (2)若以D，E，F，M为顶点的四边形是正方形，求的长． 【深入探究】 (3)①连接，若直线与相切，请求出此时的长； ②连接，请直接写出线段长的最小值． 7．（2026·山东枣庄·三模）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图①）． 操作1：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点． 【初步感知】 (1)在图①中，若与交于点，连接，可判断四边形的形状是________；若正方形的边长为4，则四边形的周长为________．（直接写出答案） 【方法探究】 (2)请你利用图①证明：为边的三等分点，即． 【拓展应用】 (3)若为正方形纸片的边上的一个三等分点（如图②，），，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考：为边的几等分点？试通过计算加以说明． (4)小顾把正方形纸片换成如图③所示的矩形纸片，左右对折后，再重复“问题背景”中操作2的折纸过程，她发现点恰好是边靠近点的三等分点．请你帮她算出该矩形的长与宽之比________．（直接写出答案） 8．（2026·山东临沂·二模）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一：将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请判断四边形是什么特殊四边形？ (2)动手操作二：为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2，其中，． ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三：大家在第三张卡纸的一边上任取动点，始终沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接．如图3，，．当线段长度取得最小值时，求此时的长． 9．（2026·山东日照·三模）综合与实践 (1)【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； (2)【深入探究】如图②，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接．过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； (3)【学以致用】如图③，梯形ABCD中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 10．（2026·山东日照·二模）综合与探究 在一次数学课上，老师给出了一道问题的一部分，在等腰中，，，点D是直线上一个动点．连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．请同学们在此基础上，添加条件，并提出问题、解决问题． (1)【观察证明】小明组的同学添加的条件是：如图1，令，，连接，观察发现一个结论：，，请证明这一结论； (2)【探索发现】小亮组的同学在（1）的基础上提出了一个新问题：当时，的长为多少？请写出解答过程． (3)【拓展应用】经过前面的讨论，老师提出一个思考问题，如图2，令，，若，请直接写出的长． 11．（2026·山东淄博·二模）【尺规作图】：小强同学在学习了三角形的中线后，知道“三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分”． (1)如图1，在中，请用尺规作出过顶点A且平分面积的直线（点D在边上）；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【学以致用】： (2)小强同学在后来又学习了平行四边形的相关性质后，借助“平行线之间的距离处处相等”，对图形面积的等分问题有了更深入的理解． 如图2，在中，已知，，，P是边上的一点，且．请用尺规作出过点P且平分面积的直线（点D在边上），并求的长；（尺规作图只保留作图痕迹，不要求写作法） 【用以致学】： (3)小强在以上深刻理解的基础上，继续深入思考． 如图3，在中，已知，，过点B作，连接，使，P为四边形的边的中点． ①请画出过点P且平分四边形面积的直线（点D在边上）；（无需尺规作图，只需根据（2）中已完成的作图，画出直线平分四边形面积的草图即可） ②连接，问的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出当的面积最大时的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 12．（2026·山东青岛·三模）如图①，在矩形中，，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒（）． (1)当t为何值时，？ (2)当时，设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． (3)存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 13．（2026·山东潍坊·二模）如图①，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接．将沿翻折得到，射线交射线于点． 【问题初探】 (1)求证：是等腰三角形； 【综合探究】 (2)当点恰好落在矩形的对称轴上时，求此时线段的长； 【深度思考】 (3)如图②，连接，，请直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $