专题25 二次函数压轴综合（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数压轴综合，汇编2024-2026年山东各地中考真题及模拟题，覆盖线段周长、面积、角度等六大考点，突出几何变换与代数建模的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|多题，4-12分/题|二次函数图像与性质、几何变换（旋转/平移）、最值与存在性问题|真题与模拟结合，从基础对称最值到胡不归模型、旋转全等综合，如2026烟台卷抛物线旋转转化线段，2025淄博卷融合四点共圆考查角度关系|

专题25 二次函数压轴综合 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 线段周长问题 2026 烟台卷、2025 潍坊 / 烟台卷、2024 烟台卷 均为解答压轴题核心设问，分值 4-6 分。早年以将军饮马基础模型、线段差最值为主，依托对称法即可求解。2024 年融入抛物线旋转变换背景，需构造平行四边形转化线段；2025-2026 年升级为旋转全等、三角函数转化的胡不归类模型，从基础对称最值转向几何变换 + 代数建模的综合考查，对辅助线构造与转化思想要求大幅提升。 考点02面积问题 2024 日照 / 济南 / 东营卷 以解答题中档、压轴设问为主，分值 6-8 分。早年以铅垂法求三角形面积最值、平行四边形面积计算为主，解题方法固定。2024 年拓展至双抛物线背景下的面积探究、定点定直线证明，新增面积相等条件下的直线解析式求解，从常规面积公式套用转向代数推导与定点探究，对韦达定理应用与逻辑推理要求明显提高。 考点03角度问题 2025 淄博 / 济南 / 威海卷、2024 淄博卷 均为解答压轴题型，分值 8-10 分。早期以等角存在性为核心，依托中垂线、平行线构造等角，题型常规。2024 年新增角度和差、平移背景下的角度定值问题；2025 年全面升级，融合旋转、四点共圆、等腰直角三角形构造，结合平移抛物线综合设问，从单一角度存在性转向角度关系 + 图形变换的深度综合，分类讨论要求显著提升。 考点04三角形问题 2024 泰安卷 以解答压轴题形式考查，分值 10 分左右。核心为等腰直角三角形存在性，依托全等构造直角顶点，分三类情况讨论。早年侧重基础分类与坐标计算，2024 年将抛物线平移变换作为前置条件，先完成图像变换再探究三角形存在性，从纯存在性判断转向 “变换 + 分类证明” 的链式考查，推理链条明显加长。 考点05四边形问题 2025 东营卷 为解答压轴题第三小问，分值 4 分左右，属高频中档压轴考法。核心为平行四边形存在性，采用 “定点 + 对称轴动点 + 抛物线上动点” 的结构，按对角线分三类讨论。2025 年结合周长最值前置设问，从孤立的存在性判断转向与最短路径联动的综合考查，中点坐标公式是解题核心，对分类完整性与计算准确性要求稳步提升。 考点06其他问题 2026 德州卷、2025 滨州 / 德州 / 山东统考卷、2024 德州 / 威海 / 山东统考卷 覆盖全题型，分值 3-12 分。早年以对称轴、增减性、区间最值等基础性质考查为主，设问直白。2024 年新增线段交点、根与系数关系的参数范围推导；2025-2026 年统考后升级为恒成立问题、平移交点、函数值大小比较等综合题型，从性质识记转向参数推导与代数证明，抽象性与区分度逐年增强。 考点01 线段周长问题 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点02 面积问题 一、解答题 1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 2．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 考点03 角度问题 一、解答题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 2．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 考点04 三角形问题 一、解答题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点05 四边形问题 一、解答题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 考点06 其他问题 一、解答题 1．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 2．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 4．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 5．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 6．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 7．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 一、解答题 1．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线F的函数表达式； (2)点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ (3)设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求： ①P点的坐标； ②的最小值． 3．（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 4．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 6．（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 7．（2026·山东烟台·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 8．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 9．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2026·山东济宁·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，过点作轴交抛物线于点． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)连接，如果平分，求的值； (3)在（2）的条件下，点是抛物线上一点，点是轴上的动点，若以A、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标． 11．（2026·山东济南·二模）二次函数的图象经过点，点． (1)求二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)过点作轴的平行线，与二次函数的图象在第四象限内交于点．动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒个单位长度；动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒1个单位长度．已知，两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． ①如图1，作直线，当直线与轴垂直时，判断直线是否经过点，并说明理由； ②如图2，连接，点是的中点，点是抛物线上一动点，当四边形是平行四边形时，求的值． 12．（2026·山东济南·二模）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． (1)求二次函数的解析式； (2)当线段的长取得最小值时，求P点的坐标，并求线段的最小值？ (3)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，当以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形时？请你直接写出点N的坐标． 13．（2026·山东日照·三模）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①当时，若对任意的，，恒有，试判断n的取值范围； ②当时，若对任意的，，当满足时，恒有，则当时，求的值． 14．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过和． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记点与点之间的距离为，当与重合时，． ①若，求的值； ②若对于，都有，求的取值范围． 15．（2026·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，是二次函数在第三象限内的图象上的一点，连接，，两线段相交于点，求当时的点的坐标； (3)在该二次函数图象的对称轴上取一动点，连接，．若，且，请直接写出在该条件下的点纵坐标的取值范围． 16．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 二次函数压轴综合 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 线段周长问题 2026 烟台卷、2025 潍坊 / 烟台卷、2024 烟台卷 均为解答压轴题核心设问，分值 4-6 分。早年以将军饮马基础模型、线段差最值为主，依托对称法即可求解。2024 年融入抛物线旋转变换背景，需构造平行四边形转化线段；2025-2026 年升级为旋转全等、三角函数转化的胡不归类模型，从基础对称最值转向几何变换 + 代数建模的综合考查，对辅助线构造与转化思想要求大幅提升。 考点02面积问题 2024 日照 / 济南 / 东营卷 以解答题中档、压轴设问为主，分值 6-8 分。早年以铅垂法求三角形面积最值、平行四边形面积计算为主，解题方法固定。2024 年拓展至双抛物线背景下的面积探究、定点定直线证明，新增面积相等条件下的直线解析式求解，从常规面积公式套用转向代数推导与定点探究，对韦达定理应用与逻辑推理要求明显提高。 考点03角度问题 2025 淄博 / 济南 / 威海卷、2024 淄博卷 均为解答压轴题型，分值 8-10 分。早期以等角存在性为核心，依托中垂线、平行线构造等角，题型常规。2024 年新增角度和差、平移背景下的角度定值问题；2025 年全面升级，融合旋转、四点共圆、等腰直角三角形构造，结合平移抛物线综合设问，从单一角度存在性转向角度关系 + 图形变换的深度综合，分类讨论要求显著提升。 考点04三角形问题 2024 泰安卷 以解答压轴题形式考查，分值 10 分左右。核心为等腰直角三角形存在性，依托全等构造直角顶点，分三类情况讨论。早年侧重基础分类与坐标计算，2024 年将抛物线平移变换作为前置条件，先完成图像变换再探究三角形存在性，从纯存在性判断转向 “变换 + 分类证明” 的链式考查，推理链条明显加长。 考点05四边形问题 2025 东营卷 为解答压轴题第三小问，分值 4 分左右，属高频中档压轴考法。核心为平行四边形存在性，采用 “定点 + 对称轴动点 + 抛物线上动点” 的结构，按对角线分三类讨论。2025 年结合周长最值前置设问，从孤立的存在性判断转向与最短路径联动的综合考查，中点坐标公式是解题核心，对分类完整性与计算准确性要求稳步提升。 考点06其他问题 2026 德州卷、2025 滨州 / 德州 / 山东统考卷、2024 德州 / 威海 / 山东统考卷 覆盖全题型，分值 3-12 分。早年以对称轴、增减性、区间最值等基础性质考查为主，设问直白。2024 年新增线段交点、根与系数关系的参数范围推导；2025-2026 年统考后升级为恒成立问题、平移交点、函数值大小比较等综合题型，从性质识记转向参数推导与代数证明，抽象性与区分度逐年增强。 考点01 线段周长问题 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解； （2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解； （3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ∴， 设抛物线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点到直线的距离为 ∴在上， ∵平行， ∴的解析式分别为， 联立 消去得， 解得： 联立 消去得， 解得： ∵点横坐标为， ∴或或 （3）∵ ∴ 如图，过点作使得，则， ∴，，， ∴， 过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值，最小值为． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 考点02 面积问题 一、解答题 1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 【答案】(1) 证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． (2) (3) ①证明：对称轴为直线， ∴ ∴二次函数解析式为． 令，则，解得或， 则， 令，则，则 ∴． 设，由题意知，且均不为0，2． 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为．（记为①式） 又直线过点， ，即． 同理设直线的解析式为， 把代入得 解得， 直线的解析式为．（记为②式） 同理得直线的解析式为．（记为③式） 由②③式联立得， 解得 ． 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得 ，将①式代入化简得， 由对应系数相等得， ∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上． ②或 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上； ②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由二次函数的解析式得， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ，解得或（舍去）， 二次函数的解析式为． （3）①略 ②解：直线l的解析式为或 理由：， ∴， ， ， ， ∴， 由①知， ∴， ∴ 当时，，整理得． 又， ∴ 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ， 直线l的解析式为； 当时，，整理得． 又， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ∴直线l的解析式为． 综上所述，当时，直线l的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 2．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 考点03 角度问题 一、解答题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①；②线段的最小值为 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题． 考点04 三角形问题 一、解答题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 考点05 四边形问题 一、解答题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 考点06 其他问题 一、解答题 1．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 2．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 4．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． （2）解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． （3）解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 5．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案． 【详解】（1）解：该抛物线经过点， ， 解得， ， 顶点坐标为； （2）解：， 对称轴为，函数图象开口向上， ， ，， 当时，取最大值4， ， 解得，； （3）解：， ∴当，即时，， ∴抛物线过定点，且该点在x轴的上方， 由抛物线的对称轴的不同位置，分三种情况： 第一种，当抛物线的对称轴在点的左侧，即时， ∵，抛物线的对称轴右侧的部分，y随x的增大而增大， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 第二种，当抛物线的对称轴在线段上，即时， ∵抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点， 由抛物线的增减性可知，该交点为顶点，则当时，， 解得，，均不满足的前提条件，故舍去； 第三种，当抛物线的对称轴在点的右侧，即时， ∵，抛物线的对称轴左侧的部分，y随x的增大而减小， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 7．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)新的二次函数的最大值与最小值的和为； (3) 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 一、解答题 1．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线F的函数表达式； (2)点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ (3)设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或或或 【分析】(1) 将，代入抛物线表达式，利用待定系数法求解． (2) 先求出点坐标和直线表达式，用表示和的长度，列方程求解． (3) 先求顶点坐标，设，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：设， 当时，， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ，， ，， 当时，， 解得或（舍去）， 时，． （3）解：存在点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， ， 设 ，， ， ①当为斜边时， 解得或， 或； ②当为斜边时， 解得， ； ③当为斜边时， 解得， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 2．（2026·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求： ①P点的坐标； ②的最小值． 【答案】(1) (2)为直角三角形，见解析 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，利用勾股定理的逆定理求解即可； （3）①过点作PH∥轴交于点，证明，求得，设点，用含的式子表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； ②过点作轴，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求得，当点、、三点共线时取等号时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 解这个方程组，得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：△ABC为直角三角形，理由如下： 在中， 令，得， 解这个方程，得（舍），． ． ，， ，且， ， ， ∴为直角三角形； （3）解：①， ． 过点作PH∥轴交于点，则， 又， ， ， ． 直线过点，， 直线的函数表达式为， 设点，，则点． ， ， 当时， 的长度取得最大值，此时点； ②过点作轴，过点作于点，过点作于点． 在中，， ， ， 当点、、三点共线时取等号，取得最小值， ∴； 3．（2026·山东泰安·三模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，二次函数的最小值为，求a的值； (3)将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)a的值为或2； (3)，点或． 【分析】（1）把点代入二次函数即可求解； （2）先求出对称轴为直线，然后分当时和当时两种情况求解即可； （3）求出平移后的顶点，由求出当时，取得最小值，设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，当时，y取得最小值， ∴， ∴， 当时，抛物线开口向上，当时，y取得最小值，， ∴， ∴， 综上a的值为或2； （3）解：由得，顶点为， ∵图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴顶点P为， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴点P为时，最小， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线为， 当时，平移后的新函数为， 设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则， ∵的面积为4， ∴， ∴， 解得或， ∴点或． 4．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)的最大值为． (3)点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【分析】（1）根据待定系数法，求出，，即可得到函数解析式； （2）过点作于点，作于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质，求出，根据抛物线求出对称轴，求出点的坐标，根据两点间的距离公式求出， 要使的值最大，则需取到最大值，即可；设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线相切时，有最大值；联立可得：，分别求出点，点的坐标，求出，根据勾股定理求出，即可得到三角形的面积； （3）设点，，分类讨论：①当为边时，四边形是平行四边形，②当为对角线时，四边形是平行四边形，求出的坐标，即可． 【详解】（1）解：∵的图象与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：过点作于点，作于点，交于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴要使的值最大，则需取到最大值，即可； 设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线只有一个交点时，取到最大值，即取到 最大值； ∴， 整理得：， 由得，， 求得：； ∴， 解得：， ∴当，，即点； 当，，即点； ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： ∵点在对称轴上， ∴设点； ∵点在二次函数图象上， ∴设， ①当为边时，四边形是平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ②当为对角线时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴， ∴点； 综上所述，点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 5．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据题意得到，根据等边三角形的性质得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设点，根据点的C的位置，分类讨论：当时；当时；当时；结合图形，表示出的面积，根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，，结合（2）得到，过点P作，使得，连接，得到当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，证明，得到，由两点之间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O， ∴，，，， 如图所示，过点作于点E， ∴，， ∴， ∴， 把点的坐标，代入二次函数解析式得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：存在，最大值为，理由如下， ，，， ∴，， ∴点是线段的中点，则，即， 设点， 如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∴，，，，， ∴ ， 当时， ①式 ， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示， ∴，，，，， ∴ ， ∵， ∴该情况不符合题意； ∵， ∴面积的最大值是； （3）解：存在，最小值为，理由如下， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， 设，则，则， ∴， 如图所示， ∵轴于点， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作，使得，连接， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象与几何图形面积的计算方法，二次函数与线段最值得计算方法，相似三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 6．（2026·山东济南·二模）如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②时为锐角三角形 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可； ②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将、代入， ∴， 解得：， ∴． （2）解：①如图，连接，交于， 由（1）可知，， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． ②设的中点为，连接， ∵，， ∴， ∵点C的横坐标为， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴时，为锐角三角形． 7．（2026·山东烟台·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可． (3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 故或． （3）解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 8．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标； （3）延长交y轴于F，在上取点E，使，设，则， 利用勾股定理列出方程求得t的值，即可得到，，通过角度和差关系及等边对等角可得到点F的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，最后联立抛物线解析式即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，，解得：（舍），， ∴． （2）解：∵对称轴， ∴设， ∵，， ∴，，， ①当A为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ②当C为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ③当N为直角顶点时，， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：如图，延长交y轴于F，在上取点E，使， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标是， 点A的坐标是、点F的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， ∴直线的解析式是， 联立，解得：（舍），， ∴点D的坐标是． 9．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（）； (3)存在．点N的坐标为或或或． 【分析】（1）对于，令，求出值，令，求出的值，进而得到、的坐标，待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴、， ∵抛物线经过点A，B ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）解：存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 10．（2026·山东济宁·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，过点作轴交抛物线于点． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)连接，如果平分，求的值； (3)在（2）的条件下，点是抛物线上一点，点是轴上的动点，若以A、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)直线， (2) (3)或或 【分析】（1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）先求出点，然后设，，再根据对角线进行分类求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：此时抛物线的表达式为：， ∵对称轴为直线 ∴ 设，， 而 ①当是对角线时， 则有 解得（舍去）或 ∴； ②当是对角线时， 则有 解得（舍去）或‘ ∴； ③当是对角线时， 则有 解得或 ∴或 综上：所有满足条件的点P的坐标为或或． 11．（2026·山东济南·二模）二次函数的图象经过点，点． (1)求二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)过点作轴的平行线，与二次函数的图象在第四象限内交于点．动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒个单位长度；动点从点开始沿线段向点运动，速度为每秒1个单位长度．已知，两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． ①如图1，作直线，当直线与轴垂直时，判断直线是否经过点，并说明理由； ②如图2，连接，点是的中点，点是抛物线上一动点，当四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)； (2)①直线经过点；理由如下： 设直线交x轴于点G，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为1， ∴点C在直线上； ② 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设直线交x轴于点G，证明四边形为矩形，得出，根据，求出，从而得出，求出t的值，进行判定即可； ②根据四边形为平行四边形，得出，点M在对称轴的左侧，连接，过点G作，交抛物线于点M，过点E作于点H，根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出点M的坐标为，再根据中点坐标公式求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：①略 ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点C为抛物线的顶点， ∴点M在对称轴的左侧， 连接，过点G作，交抛物线于点M，过点E作于点H，如图所示： 根据①可得：，， 则 ， ∴ ， ∴点E的坐标为， 根据题意得：点F的坐标为， ∴点G的坐标为，即， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去） ∴点M的坐标为， ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴根据中点坐标公式得：， 解得：． 12．（2026·山东济南·二模）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． (1)求二次函数的解析式； (2)当线段的长取得最小值时，求P点的坐标，并求线段的最小值？ (3)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，当以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形时？请你直接写出点N的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 ，最小值为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据顶点式直接写出二次函数的解析式，整理可得二次函数的一般式； （2） 过点作轴交于点，即可通过三角函数关系式把求线段的长取最小值转化为求线段的最小值即可得到答案； （3）分为菱形的边和对角线两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：由题意，可得抛物线为 整理得： 故二次函数的解析式为 （2）解：把代入得 点的坐标为． 把代入 得 点的坐标为， ， ， 如图（1），过点作轴交于点， 则有， （两直线平行，同位角相等） 设点的横坐标为 则，， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时有最小值， 当时， 此时点的坐标为 （3）解：符合条件的点的坐标为或， 求解如下： 由题意知，抛物线的对称轴为， 把代入， 得或， ， ． I．如图当以为菱形的边时，平行且等于 若点在对称轴右侧， ， ， 把代入，得， 点的坐标为． 四边形为菱形， 即符合题意， 同理可知，当的坐标为时，四边形也为菱形． II．如图（3）当为菱形的对角线时， 根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分 所以在对称轴上，而且点在抛物线上， 所以点为抛物线的顶点，其坐标为． 综上所述，符合条件的点的坐标为或 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合运用，菱形的性质与判定定理以及三角函数，综合性较强，要学会分类讨论思想，理解所学知识、掌握相关的概念是解题的关键． 13．（2026·山东日照·三模）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数解析式； (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①当时，若对任意的，，恒有，试判断n的取值范围； ②当时，若对任意的，，当满足时，恒有，则当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，根据时，抛物线的解析式为，根据对任意的，，恒有，得到抛物线的顶点在抛物线的顶点的上方，即可得出结果；②根据，得到，根据恒成立，推出恒成立，令，根据对于任意值，恒成立，得到，结合完全平方的非负性求出，即可得出结论. 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①由（1）知：点在二次函数的图象上， ∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵时，抛物线化为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∵点在二次函数的图象上，且对于任意的，，恒有， ∴抛物线的顶点的纵坐标大于抛物线的顶点的纵坐标， 即； ②当时，， ∵点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∴恒成立， ∵， ∴恒成立， 令， ∴抛物线的开口向上， ∵对于任意值，恒成立， ∴抛物线与轴最多有1个交点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 14．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过和． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记点与点之间的距离为，当与重合时，． ①若，求的值； ②若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握二次函数的图象性质，分情况讨论绝对值函数的最值是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意求出点M、N的坐标，利用当与重合时，纵坐标相同，列方程求解即可； ②先求出的表达式，再利用二次函数的性质分情况讨论，求出该绝对值函数在给定区间内的最大值，结合恒成立的条件，列关于a的不等式，求解a的范围． 【详解】（1）解：将点和代入得： 解得：； （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 、， ， 与重合， ， ， ， 整理得：， 解得：或； ②由①知，、， ， 令， 函数的对称轴为， 令得：， 解得：或， 当时，， ， 此时随的增大而减小，在处有最大值， 当时，， 由题意恒有知，， ， 解得：， 当时，， ， 令，其对称轴为， 在顶点处，有最大值， 当时，， ， ， 解得：， ， ． 15．（2026·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，是二次函数在第三象限内的图象上的一点，连接，，两线段相交于点，求当时的点的坐标； (3)在该二次函数图象的对称轴上取一动点，连接，．若，且，请直接写出在该条件下的点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，轴于点，设，则，，证明，求得，，证明是等腰直角三角形，推出，据此列式计算即可求解； （3）由题意得，先求得时，点或，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点，， ∴； （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，令， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∴点的坐标为或； （3）解：∵，，且， ∴， ∵，， ∴，点、的中点坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，取直线上的，使得， ∴， 解得或， ∴或， ∴， ∴， ∴，， 当点在或时，满足， ∴点纵坐标的取值范围为或． 16．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据得，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 117 学科网（北京）股份有限公司 $