专题16 二次函数填选题压轴题综合（4考点20题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题16二次函数填选题压轴题综合（4考点20题解析版），聚焦中考填选压轴，覆盖二次函数图象与性质、最值、实际问题、综合压轴核心考点，创新考法适配2026中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填选题|20题|图象与性质（多结论判断）、最值（几何与函数结合）、实际问题（动态场景建模）、综合压轴（新定义）|多结论正误判断成主流，几何最值弱化纯代数计算，结合运动过程分段设问，新定义题型强化综合探究能力，匹配中考真题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题16二次函数填选题压轴题综合(4考点20题) 答案版 考点01二次函数y=ar+br+C的图象与性质 1.B 2.B 3.A 4.B 5.c 6.D 7.0<a<m<1 品 考点02二次函数的最值 1.A 2.D 3.B 8686 4.3/3 5.32 品 考点03实际问题与二次函数 1.D 2.D 3.B 112 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.A 考点04二次函数综合 1.B 2.A 3. 29 28 4.①②③④函学科网 专题165 考点分类 考点01二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 考点02二次函数的 最值 考点03实际问题与 二次函数 考点04二次函数综 合压轴 www.zxxk.com 让教与学更高效 次函数填选题压轴题综合(4考点20 题) (解析版) 中考命题规律。 2026年中考命题解读 创新考法 填选压轴高频考点，依托抛物线图 考法创新：多结论正误判断成主 象、表格数据、多函数对比命题， 流；表格与图象双维度考查；联动 考查开口、对称轴、参数符号、函 一次、反比例函数综合辨析，强化 数值比较，多以多结论正误判断呈 参数推理。 现，侧重数形结合与逻辑推理。 核心重难点，涵盖纯函数区间最 融合创新：几何最值与函数性质深 值、几何最值、动态最值三类，结 度绑定；区间最值分类讨论成必 合动点、几何图形、区间限定命 考；结合旋转、动点轨迹求最值， 题，考查最值求解与分类讨论，常 弱化纯代数计算。 作为填空压轴出现。 应用类核心考点，结合矩形动点、 场景创新：多阶段动态场景建模： 运动轨迹、图形重叠、行程问题等 图形重叠面积函数探究；结合运动 场景，考查函数建模、面积/最 过程分段设问，强化实际问题转化 值求解，多以分段函数图象判断形 能力。 式呈现。 填选压轴难点，结合新定义、函数 定义创新：新定义题型成创新热 交点、存在性问题命题，考查函数 点；综合创新：多函数联动探究、 与方程思想、分类讨论，多以新定 存在性问题与函数性质结合，强化 义函数、多函数联动形式呈现。 综合探究能力。 真题考点精练 1/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01二次函数y=r+br+C的图象与性质 1.(2026四川宜宾中考直腿)点P是抛物线”-r+2如-)r-(女-)的顶点，点4-lm）、B,m)在抛 物线上（其中t>-1).下列结论： ①当点P在x轴上时，a=1;②点P在直线y=2x上；③m+2t<1;④当点P所在直线与线段AB没有交 点时，a的取值范围是a>2:回当点p在原点时，过点C0-4)的直线与抛物线交于M、N两点，则 1 1 CM+cN=4】 其中正确的结论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(2026黑龙江绥化中考真题)已知二次函数=r+br+ 的图象如图所示，顶点坐标为 2,5).与 轴交于1(m,0),B两点，其中2<m<3.则下列结论 (-2,5)月 6 3 7-6-5-4-3-2-101234x -2 -3 -4 5 6之0@h+4n:0图ab+c之0@6不a<询方程r+6+爬x+c+=0为帝数有实题 ①ac 根. 其中正确的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.(2026山东烟台中考真恩)如图，二次函数=r+bx+C的部分图象与'轴交于点1L0,与》轴的 2/10 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 交点C位于点 ,-2）和点Q3引之间，原点为点P,对称轴为直线=2.下列说法：0c<0:② 2 -1<a< 4a+b=0;③ 3;④设抛物线与x轴的另一交点为B,当∠CPB=90°时， as、② 2.其中正确 的是() A.②③④ B.②③ C.②④ D.①③④ 4.(206黑龙江齐齐哈尔中考真腿)如图所示的是二次函数'=a+x+C(“,6,C为常数，a0) 的部分图象，其顶点坐标为山，m）,与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B(m,0)(3<m<4).下列结论： ①abc>0:②3a+c<0:③b2=4a(c-nm:④若点P6,y),Q(3-6,y,)(t<2)都在抛物线 y=ax'+bx+c 上，则>%，⑤若01=0B,则关于”的方程+6+x= 的两根之和为‘.其中正确 结论的个数是() 1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3/10 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 5.(2026四川达州中考真题)二次函数 y=ar+br+c(a≠0，c<0 )的自变量x与函数y的部分对应 值如下表： -2 0 2 0 … 在下列结论中：0a>0:②20+h=0:®当<时，y的值随若x值的增大而增大：05=-之，名=4发 是 关于x的方程ar+br+c=0(a≠0)的两个根.正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2026重庆中考真思)已知整式M,0+4x+4++a,,其中”，0为正整数， ao a az a-为整数， <a<a<…<a,且”++++=6 下列说法： ①当n=1时，满足条件的所有整式M的和为22x-7; ②当n=2时，若函数y=M+x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式M有且仅有1个： ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 7.(2026贵州中考真题)一元二次方程r+2x+1=0的两根分别是，，一元二次方程 mx2+2x+1= 0的两根分别是，。，若<飞<<西<0，把，m,0,1这四个数校从小到大的顺序 用“<”连接起来： 考点02二次函数的最值 1.(2026四广元中考直盟)已知二次函数’=-2x+3,当a≤x≤a+2时，'的最小值为，则下列 t与a的函数关系图象正确的是() 4/10 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026四川遂宁中考直题)如图，抛物线'=+x+C(4么C为常数，且≠0)与x轴的两个 坐标分别为10m.0,且2<m<3·下列论心ac之0：②3a+c<0:③a<s 1 ④若方程ar+bx+c+2=0有实数根，则62-4ac>a·其中正确结论的序号为（） 2 A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④ y=x2+bx+c 3.(2026四川乐山中考真题)己知二次函数 有下列结论： ①二次函数图象与'轴的交点坐标是 0,c) b b2 ②二次函数的顶点坐标是 2c-4 ③若二次函数图象经过 (-)、B(3,)两点，且>，则b>-2: ④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m,最小值为n,则m-n的值与c无关. 5/10 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 其中，正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2026四川宜宾中考真题)如图，∠ABC=135°，AB+BC=8,将AC绕点A逆时针旋转90°得到 AD,连接BD,则BD的最小值为一 D B 5.(2026四川内江中考真题)在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线AC、边CD上的 动点，且D0=51P,则P0的最小值为 D 考点03实际问题与二次函数 1.(2026天津中考真题)矩形ABCD中，AB=5cm,AD=7cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度 沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1Cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动. 设运动的时间为8，当t=3s时，点P,Q的位置如图所示.给出下面三个结论： D B 6/10 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ①当t=6s时，四边形APCQ是平行四边形： 35 ②△APg的最大面积为2cm ③当10 10cm2 的面积为 时，1=25成1=10 或 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)如图，在R△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,动点P从点 B出发沿边BA向终点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿边AC→CB向终点B匀速运动，两动点运 动到各自终点停止运动.若P,P两点每秒运动的路程相同，点P运动的路程为(x>0）, △BPO的面积 为'，则下列图象能反映'与x之间函数关系的是() B VA 19.2 19.2 16 B OI 8 14x O81014x 81014x (2026新疆中考真题)如图，水平放置的边长为2cm的正方形1BCD 边长为2cm EFGH 3. 的正方形 的顶点F,H在同一水平线上，点F与AD的中点重合，现将正方形EFGH以lcm/s的速度沿AB方向匀 速运动，当点H运动到BC上时停止.在这个运动过程中，正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积 (cm)与运动时间()之间的函数关系图象大致是（） 7/10 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 y/cm2 y/cm2 ◆ylcm B x/s y/cm2 D x/s 4,(2026江苏连云港中考真题)如图，四边形ABCD中，AB川CD，,AB=10,DC=4,AD=BC=5, 点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向终点B运动，同时点Q从点A出 发，以同样速度沿边AB向终点B运动.设△APQ的面积为S,运动时间为t(s),则S关于t的函数图象 大致为() D S不 8/10 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 考点04二次函数综合 1.(2026四川泸州中考真题)在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点 1 A(2,) 为“倒数点”.如： 83,都是“倒数点”，给出下列结论： ①函数y=3x的图象上存在2个“倒数点”； ②函数少=k- 的图象上不存在“倒数点”； ③函数'=2r2+1 的图象上存在1个“倒数点”： ④若函数y=+2的图象上存在“倒数点”，则k≤-1. 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026四川南充中考真题)已知抛物线C:y=mr与G,:为=(m+2) ,过原点O的直线1与抛物线 G,C的月个交点分别为，4，如果9 0A2=30A ,则的值为() 3 13 1 A.-3或2 B.-3或1 C.-2或2 D.-2或1 3.(2026重庆·中考真题)自然数m与n均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9， 且m与n的乘积为三位数.m+n的最小值为一；当m>n时，存在正整数k,使得k2=m2-m,则满足 条件的所有k的值之和为一· 4.(2026四川巴中中考真题)如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点（不与端点 重合)，过点D作DG⊥AB于点G.下列说法正确的有 一·（填写序号，错选不得分，少选得 2分，选全得4分) 9/10 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ①0<DG<1: ②5ao>Sa ③设AG=x,则△ADG的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D,使得 AACD=S△MDG 10/10 专题16 二次函数填选题压轴题综合（4考点20题）（解析版） 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点 01 二次函数的图象与性质 填选压轴高频考点，依托抛物线图象、表格数据、多函数对比命题，考查开口、对称轴、参数符号、函数值比较，多以多结论正误判断呈现，侧重数形结合与逻辑推理。 考法创新：多结论正误判断成主流；表格与图象双维度考查；联动一次、反比例函数综合辨析，强化参数推理。 考点 02 二次函数的最值 核心重难点，涵盖纯函数区间最值、几何最值、动态最值三类，结合动点、几何图形、区间限定命题，考查最值求解与分类讨论，常作为填空压轴出现。 融合创新：几何最值与函数性质深度绑定；区间最值分类讨论成必考；结合旋转、动点轨迹求最值，弱化纯代数计算。 考点 03 实际问题与二次函数 应用类核心考点，结合矩形动点、运动轨迹、图形重叠、行程问题等场景，考查函数建模、面积 / 最值求解，多以分段函数图象判断形式呈现。 场景创新：多阶段动态场景建模；图形重叠面积函数探究；结合运动过程分段设问，强化实际问题转化能力。 考点 04 二次函数综合压轴 填选压轴难点，结合新定义、函数交点、存在性问题命题，考查函数与方程思想、分类讨论，多以新定义函数、多函数联动形式呈现。 定义创新：新定义题型成创新热点；综合创新：多函数联动探究、存在性问题与函数性质结合，强化综合探究能力。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 3．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定、、正负，判断①；利用抛物线对称性得到，结合点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由推出，代入抛物线得到与、关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。 【详解】解：由二次函数图象可得： 抛物线开口向下， ； 顶点坐标为，则对称轴为直线， 由对称轴公式， 整理得，结合，得 ； 抛物线与轴交于正半轴， ； 抛物线与轴正半轴交点满足． ， ， 故①错误 根据二次函数轴对称性质：对称轴为，则 将代入解析式： 把代入化简： ，说明直线在交点左侧，此位置抛物线图象在轴上方 ，即 故②错误 ∵顶点坐标为， ∴ 故③正确 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 平方作差比较距离大小： ， ， 即，得 点离对称轴更近，， 故④正确 由得，由得 ， ，即， 将代入抛物线解析式： ， 设一元二次方程的两根为，由韦达定理： ， 将代入： ， 故⑤正确 综上所述正确结论一共有3个． 5．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 6．（2026·重庆·中考真题）已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意和的取值，分别确定相应的值，进而可得的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可． 【详解】解：①当时，，即， ∵，为正整数， ∴， 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得，此时， 则满足条件的所有整式的和为，说法①正确； ②当时，，，即， 由题意可知，为正整数，，为整数，且， ∴， ∵函数的图象关于轴对称， ∴，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 又∵为正整数， ∴，， ∴或（舍去）， ∴满足条件的整式，有且仅有1个；说法②正确； ③∵整式是二次二项式， ∴，且只有两个非零项， 同②可得：，为正整数， ∴在这个二次二项式中，或， （Ⅰ）当时，，，， ∴， ∴， ∴当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； 当时，，能在有理数范围因式分解； 当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； （Ⅱ）当时，，，， ∴， ∴只有符合，此时，能在有理数范围因式分解； 综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个；说法③正确； 所以说法正确的个数是3个． 7．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【答案】 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 考点02 二次函数的最值 1．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 2．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， ∵与x轴的两个交点坐标分别为， ∴对称轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故①正确； ， 由和可得， 故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵，， ∴当时，随增大而减小，当时，；当时，； ∴， 故③正确； ④方程有实数根， ，即. ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 3．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 【详解】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 5．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 考点03 实际问题与二次函数 1．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，分三段讨论： 时，在上，在上；时，在上，在上；时，在上，到达点停止．分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断． 【详解】解：在 中，，，， ，，． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上，，， 过点作于点， 则， ， 此时图象为开口向上的抛物线，当 时，； ②当时，点在上，点在上，过点作于点 ，， ∴， ， 此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，； ③当时，点在上，点到达点停止运动， 此时（即变为），， 以为底，为高， ， 此时图象为线段， 当时，； 当时，． 综上所述，图象D符合题意． 3．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，四边形中，，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路径向终点运动，同时点从点出发，以同样速度沿边向终点运动．设的面积为，运动时间为（），则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，先求得，，根据三角形的面积公式，分成当在上时，即时，当在上时，即时，当在上且未到达时，即时，当在上且到达后，即时，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 过点作于点， 当在上时，即时，如图所示， ∴， ∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意； 当在上时，即时， ∴， ∴，函数图象为直线的一部分， 当在上且未到达时，即时， ∴， ∴， ∴，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意； 当在上且到达后，即时， ∴，函数图象为直线的一部分，故A符合题意． 考点04 二次函数综合 1．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 2．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可． 【详解】解：设过原点的直线为，， 联立直线与抛物线，消去y得：，解得：， ∴的横坐标为，代入得：， ∴， 同理联立直线与抛物线得：的坐标为， ∴根据两点间距离公式可得： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴约去公因式得，整理得， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， ∴的值为或． 3．（2026·重庆·中考真题）自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．的最小值为_____；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为____． 【答案】 【分析】设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为，表示出，根据的化简结果确定其和的关系，结合乘积为三位数的条件求出的最小值，再利用平方差公式变形，根据完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有的和即可． 【详解】解：设两个自然数的十位上的数字为（，且为整数），自然数的个位上的数字为（，且为整数），则自然数的个位上的数字为， ∴，， ∴， ， 要使最小，需最小， 则当时，的最小值为， 此时， 由二次函数的性质可知，当或时，的值最大，最大值为或，符合题意． 当时，， 解得， ∴，且为整数， ∴， ∵， ∴， 又∵为奇数，且， ∴所有可能的取值为， ①当，即时，，， ∵，且为整数， ∴当时，， 此时正整数，，符合题意； 当时，， 此时正整数，，不符合题意，舍去； ②当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ③当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ④当，即时，，， 同理可得：没有符合条件的，使得正整数满足； ⑤当，即时，，， 当时，， 此时正整数，，符合题意； 当时，， 此时正整数，，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的所有的值为7和21，它们的和为． 【点睛】本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论． 4．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 【答案】①②③④ 【分析】由题意易得，则有，，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形，且边长为1， ∴， ∵， ∴，， ∵D为边上的动点（不与端点重合）， ∴， ∴，，故①说法正确； ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②说法正确； 设，则有， ∴， ∴， ∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确； 过点作，如图所示： ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴仅存在一点D，使得，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 2 / 37 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $